Kompositionsalgebra - Composition algebra

In der Mathematik ist eine Kompositionsalgebra A über einem Körper K eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra über K zusammen mit einer nicht entarteten quadratischen Form N , die

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

für alle x und y in A .

Eine Kompositionsalgebra enthält eine Involution, die Konjugation genannt wird : Die quadratische Form wird die Norm der Algebra genannt. ${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$${\displaystyle N(x)=xx^{*}}$

Zusammensetzung Algebra ( A , *, N ) entweder ein Divisionsalgebra oder eine Split - Algebra , abhängig von der Existenz eines Nicht-Null - V in A , so dass N ( v ) = 0, a genannten Nullvektor . Wenn x ist nicht ein Nullvektor, der multiplikativen Inversen von x ist . Wenn es einen Nullvektor ungleich Null gibt, ist N eine isotrope quadratische Form und "die Algebra spaltet sich". ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Struktursatz

Jede unitale Kompositionsalgebra über einem Körper K kann durch wiederholte Anwendung der Cayley-Dickson-Konstruktion ausgehend von K (wenn die Charakteristik von K von 2 verschieden ist ) oder einer 2-dimensionalen Kompositions-Subalgebra (wenn char( K ) = 2 ) erhalten werden. . Die möglichen Dimensionen einer Kompositionsalgebra sind 1 , 2 , 4 und 8 .

• 1-dimensionale Kompositionsalgebren existieren nur, wenn char( K ) 2 ist .
• Kompositionsalgebren der Dimension 1 und 2 sind kommutativ und assoziativ.
• Kompositionsalgebren der Dimension 2 sind entweder quadratische Körpererweiterungen von K oder isomorph zu K ⊕ K .
• Kompositionsalgebren der Dimension 4 heißen Quaternionenalgebren . Sie sind assoziativ, aber nicht kommutativ.
• Kompositionsalgebren der Dimension 8 werden Oktonionalgebren genannt . Sie sind weder assoziativ noch kommutativ.

Aus Gründen der einheitlichen Terminologie wurden Algebren der Dimension 1 unarion genannt , und diejenigen der Dimension 2 binarion .

Instanzen und Verwendung

Wenn das Feld K genommen werden komplexe Zahlen C und die quadratische Form z ² , dann vier Zusammensetzung algebras über C sind C selbst , die BIComplex Zahlen , die Biquaternion (isomorph zum 2 × 2 komplexen Matrixring M (2,  C ) ) und die Bioktonionen C ⊗ O , die auch komplexe Oktonionen genannt werden.

Der Matrixring M(2,  C ) ist seit langem ein interessantes Objekt, zuerst als Biquaternionen von Hamilton (1853), später in der isomorphen Matrixform und insbesondere als Pauli-Algebra .

Die Quadrierungsfunktion N ( x ) = x ² auf dem reellen Zahlenkörper bildet die ursprüngliche Kompositionsalgebra. Wenn der Körper K als reelle Zahlen R angenommen wird , dann gibt es nur noch sechs andere reelle Kompositionsalgebren. In zwei, vier und acht Dimensionen gibt es sowohl eine Divisionsalgebra als auch eine "Splitalgebra":

Binarionen: komplexe Zahlen mit quadratischer Form x ² + y ² und geteilt-komplexe Zahlen mit quadratischer Form x ² − y ² ,

Quaternionen und Split-Quaternionen ,

Oktonionen und Split-Octonionen .

Jede Kompositionsalgebra hat eine assoziierte Bilinearform B( x,y ), die mit der Norm N und einer Polarisationsidentität konstruiert ist :

${\displaystyle B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}$

Geschichte

Die Zusammensetzung von Quadratsummen wurde von mehreren frühen Autoren festgestellt. Diophantus war sich der Identität bewusst, die die Summe zweier Quadrate umfasst, die heute als Brahmagupta-Fibonacci-Identität bezeichnet wird und auch als Eigenschaft euklidischer Normen komplexer Zahlen bei Multiplikation artikuliert wird. Leonhard Euler diskutierte 1748 die Vier-Quadrat-Identität , was WR Hamilton dazu veranlasste, seine vierdimensionale Algebra von Quaternionen zu konstruieren . Im Jahr 1848 wurden Tessarine beschrieben, die erstmals bikomplexe Zahlen beleuchten.

Um 1818 zeigte der dänische Gelehrte Ferdinand Degen die Acht-Quadrat-Identität von Degen , die später mit Normen von Elementen der Oktonion- Algebra verbunden wurde:

Historisch gesehen entstand die erste nicht-assoziative Algebra, die Cayley-Zahlen ... im Zusammenhang mit dem zahlentheoretischen Problem quadratischer Formen, die Komposition erlauben…diese zahlentheoretische Frage kann in eine Frage nach bestimmten algebraischen Systemen, den Kompositionsalgebren, transformiert werden. ..

1919 trieb Leonard Dickson die Untersuchung des Hurwitz-Problems mit einer Übersicht über die bisherigen Bemühungen voran und zeigte die Methode der Verdoppelung der Quaternionen, um Cayley-Zahlen zu erhalten . Er führte eine neue imaginäre Einheit e ein und schreibt für Quaternionen q und Q eine Cayley-Zahl q + Q e . Bezeichnet man die Quaternion-Konjugation mit q ′ , ist das Produkt zweier Cayley-Zahlen

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}$

Die Konjugierte einer Cayley-Zahl ist q' – Q e , und die quadratische Form ist qq ′ + QQ ′ , erhalten durch Multiplizieren der Zahl mit ihrer Konjugierten. Die Verdopplungsmethode wird als Cayley-Dickson-Konstruktion bezeichnet .

1923 wurde der Fall reeller Algebren mit positiv-definiten Formen durch den Satz von Hurwitz (Zusammensetzungsalgebren) abgegrenzt .

1931 führte Max Zorn ein Gamma (γ) in die Multiplikationsregel der Dickson-Konstruktion ein, um Split-Octonionen zu erzeugen . Adrian Albert verwendete das Gamma auch 1942, als er zeigte, dass die Dickson-Verdopplung mit der Quadrierungsfunktion auf jedes Feld angewendet werden kann , um Binarion-, Quaternion- und Oktonionalgebren mit ihren quadratischen Formen zu konstruieren. Nathan Jacobson beschrieb 1958 die Automorphismen von Kompositionsalgebren.

Die klassischen Kompositionsalgebren über R und C sind unitale Algebren . Zusammensetzung Algebren ohne eine multiplikative Identität wurden von HP Petersson (gefunden Petersson algebras ) und Susumu Okubo ( Okubo algebras ) und andere.

Siehe auch

• Freudenthal magisches Quadrat
• Pfister-Formular
• Trialität

Verweise

Weiterlesen

• Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analyse an symmetrischen Kegeln . Oxford Mathematische Monographien. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. S. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR  1.446.489 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Einführung in quadratische Formen über Körpern . Diplomstudium Mathematik . 67 . Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023 .
• Harvey, F. Reese (1990). Spinoren und Kalibrierungen . Perspektiven in der Mathematik. 9 . San Diego: Akademische Presse . ISBN 0-12-329650-1. Zbl  0694.53002 .