Verwirrung der Umkehrung - Confusion of the inverse

Die Verwechslung des Inversen , auch bedingter Wahrscheinlichkeitsfehler oder inverser Fehler genannt , ist ein logischer Fehler, bei dem eine bedingte Wahrscheinlichkeit mit ihrer Umkehrung gleichgesetzt wird; Das heißt, bei zwei Ereignissen A und B , die Wahrscheinlichkeit von A Happening gegeben , dass B angenommen passiert , hat etwa das gleiche wie die Wahrscheinlichkeit für seine B gegeben A , wenn es tatsächlich keinen Beweis für diese Annahme ist. Formal wird angenommen, dass P ( A | B ) ungefähr gleich P ( B | A ) ist.

Beispiele

Beispiel 1

Relative Größe	Maligne	Gutartig	Gesamt
Test positiv Test	0,8 (richtig positiv)	9,9 (falsch positiv)	10.7
Test negativ	0,2 (falsch negativ)	89,1 (richtig negativ)	89,3
Gesamt	1	99	100

In einer Studie wurden Ärzte gebeten, die Wahrscheinlichkeit von Malignomen mit einer vorherigen Eintrittswahrscheinlichkeit von 1 % anzugeben . Ein Test kann 80 % der Malignome erkennen und hat eine Falsch-Positiv-Rate von 10 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer Malignität bei einem positiven Testergebnis? Ungefähr 95 von 100 Ärzten antworteten, dass die Wahrscheinlichkeit einer Malignität bei ungefähr 75 % liegen würde, offensichtlich weil die Ärzte glaubten, dass die Wahrscheinlichkeit einer Malignität bei einem positiven Testergebnis ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses bei einer Malignität war.

Die korrekte Malignitätswahrscheinlichkeit bei einem positiven Testergebnis wie oben angegeben beträgt 7,5%, abgeleitet nach dem Bayes-Theorem :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{}\qquad P({\text{bösartig}}|{\text{positiv}})\\[8pt]&={\frac {P({\text{positiv }}|{\text{bösartig}})P({\text{bösartig}})}{P({\text{positiv}}|{\text{bösartig}})P({\text{bösartig}} )+P({\text{positiv}}|{\text{gutartig}})P({\text{gutartig}})}}\\[8pt]&={\frac {(0,80\cdot 0,01)} {(0,80\cdot 0,01)+(0,10\cdot 0,99)}}=0,075\end{ausgerichtet}}}$

Andere Beispiele für Verwirrung sind:

• Konsumenten von harten Drogen neigen dazu, Marihuana zu konsumieren ; Daher neigen Marihuana-Konsumenten dazu, harte Drogen zu konsumieren (die erste Wahrscheinlichkeit ist der Konsum von Marihuana bei hartem Drogenkonsum, die zweite ist der Konsum harter Drogen bei Marihuanakonsum).
• Die meisten Unfälle ereignen sich innerhalb von 25 Meilen von zu Hause entfernt; Daher sind Sie am sichersten, wenn Sie weit weg von zu Hause sind.
• Terroristen haben in der Regel einen technischen Hintergrund; Ingenieure neigen also zum Terrorismus.

Für andere Fehler bei der bedingten Wahrscheinlichkeit siehe das Monty-Hall-Problem und den Basisraten-Trugschluss . Vergleichen Sie mit illegaler Konvertierung .

Beispiel 2

Relative Größe (%)	Krank	Gut	Gesamt
Test positiv Test	0,99 (richtig positiv)	0,99 (falsch positiv)	1,98
Test negativ	0,01 (falsch negativ)	98,01 (richtig negativ)	98.02
Gesamt	1	99	100

Um Personen mit einer schweren Krankheit in einer frühen heilbaren Form zu identifizieren, kann man erwägen, eine große Gruppe von Personen zu untersuchen. Die Vorteile liegen auf der Hand, gegen solche Screenings spricht jedoch die Störung durch falsch positive Screening-Ergebnisse: Wenn eine Person, die nicht an der Krankheit leidet, beim Ersttest fälschlicherweise festgestellt wird, dass sie die Krankheit hat, wird sie höchstwahrscheinlich belastet sein, und selbst wenn sie anschließend einen genaueren Test machen und erfahren, dass es ihnen gut geht, ihr Leben kann immer noch negativ beeinflusst werden. Wenn sie eine unnötige Behandlung der Krankheit durchführen, können sie durch die Nebenwirkungen und Kosten der Behandlung geschädigt werden.

Das Ausmaß dieses Problems lässt sich am besten anhand von bedingten Wahrscheinlichkeiten verstehen.

Angenommen, 1 % der Gruppe leidet an der Krankheit und dem Rest geht es gut. Eine Person zufällig auswählen,

${\displaystyle P({\text{krank}})=1\%=0.01{\text{ und }}P({\text{well}})=99\%=0.99.}$

Angenommen, wenn der Screening-Test bei einer Person durchgeführt wird, die nicht an der Krankheit leidet, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1 %, ein falsch positives Ergebnis zu erhalten (und damit eine Wahrscheinlichkeit von 99 %, ein wirklich negatives Ergebnis zu erhalten, eine Zahl, die als Spezifität des Tests bekannt ist). ), dh

${\displaystyle P({\text{positiv}}|{\text{well}})=1\%,{\text{ und }}P({\text{negative}}|{\text{well}} )=99\%.}$

Nehmen wir schließlich an, dass, wenn der Test an einer erkrankten Person durchgeführt wird, die Wahrscheinlichkeit eines falsch negativen Ergebnisses von 1 % besteht (und eine Wahrscheinlichkeit von 99 %, ein richtig positives Ergebnis zu erhalten, bekannt als die Sensitivität des Tests), d

${\displaystyle P({\text{negativ}}|{\text{krank}})=1\%{\text{ und }}P({\text{positiv}}|{\text{krank}}) =99\%.}$

Berechnungen

Der Anteil der Personen in der Gesamtgruppe, die gesund sind und negativ getestet wurden (richtig negativ):

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{negative}})=P({\text{well}})\times P({\text{negative}}|{\text{well }})=99\%\mal 99\%=98,01\%.}$

Der Anteil der erkrankten und positiv getesteten Personen in der Gesamtgruppe (richtig positiv):

${\displaystyle P({\text{krank}}\cap {\text{positiv}})=P({\text{krank}})\times P({\text{positiv}}|{\text{krank }})=1\%\mal 99\%=0,99\%.}$

Der Anteil der Personen in der Gesamtgruppe, die falsch positive Ergebnisse haben:

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{positiv}})=P({\text{well}})\times P({\text{positiv}}|{\text{well }})=99\%\mal 1\%=0,99\%.}$

Der Anteil der Personen in der Gesamtgruppe, die falsch negative Ergebnisse haben:

${\displaystyle P({\text{krank}}\cap {\text{negativ}})=P({\text{krank}})\times P({\text{negativ}}|{\text{ill }})=1\%\times 1\%=0.01\%.}$

Darüber hinaus ist der Anteil der Personen in der Gesamtgruppe, die positiv getestet wurden:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}P({\text{positiv}})&{}=P({\text{well}}\cap {\text{positiv}})+P({\text{ill }}\cap {\text{positiv}})\\&{}=0,99\%+0,99\%=1,98\%.\end{ausgerichtet}}}$

Schließlich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich an der Krankheit leidet, vorausgesetzt, das Testergebnis ist positiv:

${\displaystyle P({\text{krank}}|{\text{positiv}})={\frac {P({\text{krank}}\cap {\text{positiv}})}{P({ \text{positiv}})}}={\frac {0,99\%}{1,98\%}}=50\%.}$

Fazit

In diesem Beispiel sollte es leicht sein, die Differenz zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P (positiv | krank), die mit den angenommenen Wahrscheinlichkeiten 99% beträgt, und P (kranken | positiv), die 50% beträgt: die erste ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Krankheit positiv getestet wurde; die zweite ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die positiv getestet wurde, tatsächlich an der Krankheit leidet. Mit den in diesem Beispiel ausgewählten Wahrscheinlichkeiten erhält also ungefähr die gleiche Anzahl von Personen die Vorteile einer frühzeitigen Behandlung, wie sie durch falsch positive Ergebnisse in Bedrängnis geraten; diese positiven und negativen Effekte können dann bei der Entscheidung berücksichtigt werden, ob das Screening durchgeführt wird oder ob die Testkriterien, wenn möglich, angepasst werden sollten, um die Anzahl der falsch-positiven Ergebnisse zu verringern (möglicherweise auf Kosten von mehr falsch-negativen Ergebnissen).

Siehe auch

• Umgekehrt (Logik)
• Irrtum der Staatsanwaltschaft

Anmerkungen

Verweise

• Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). „Der inverse Irrtum: Ein Konto von Abweichungen vom Bayes-Theorem und dem Additivitätsprinzip“ . Gedächtnis & Kognition . 30 (5): 171–178. doi : 10.3758/BF03195278 . PMID  12035879 .
• Eddy, David M. (1982). Probabilistisches Denken in der klinischen Medizin: Probleme und Chancen. In D. Kahneman , P. Slovic und A. Tversky (Hrsg.) Urteil unter Unsicherheit: Heuristiken und Verzerrungen (S. 249–267). New York: Cambridge University Press.
• Hast, Reid ; Robyn Dawes (2001). Rationale Entscheidungen in einer unsicheren Welt . ISBN 978-0-7619-2275-9.
• Plous, Scott (1993). Die Psychologie der Urteils- und Entscheidungsfindung . ISBN 978-0-07-050477-6.