Konstruktivismus (Philosophie der Mathematik) - Constructivism (philosophy of mathematics)

In der Philosophie der Mathematik , Konstruktivismus behauptet , dass es notwendig ist (oder „Konstrukt“) ein spezifisches Beispiel eines mathematischen Objekts zu finden , um zu beweisen , dass ein Beispiel existiert. Im Gegensatz dazu kann man in der klassischen Mathematik die Existenz eines mathematischen Objekts beweisen, ohne dieses Objekt explizit zu "finden", indem man seine Nichtexistenz annimmt und dann einen Widerspruch aus dieser Annahme herleitet. Ein solcher Widerspruchsbeweis könnte als nicht-konstruktiv bezeichnet werden, und ein Konstruktivist könnte ihn ablehnen. Der konstruktive Standpunkt beinhaltet eine verifizierende Interpretation des existenziellen Quantors , die im Widerspruch zu seiner klassischen Interpretation steht.

Es gibt viele Formen des Konstruktivismus. Dazu gehören das von Brouwer begründete Programm des Intuitionismus , der Finitismus von Hilbert und Bernays , die konstruktive rekursive Mathematik von Shanin und Markov und Bishops Programm der konstruktiven Analyse . Der Konstruktivismus umfasst auch das Studium konstruktiver Mengentheorien wie CZF und das Studium der Topostheorie .

Konstruktivismus wird oft mit Intuitionismus gleichgesetzt, obwohl Intuitionismus nur ein konstruktivistisches Programm ist. Der Intuitionismus behauptet, dass die Grundlagen der Mathematik in der Intuition des einzelnen Mathematikers liegen, wodurch die Mathematik zu einer intrinsisch subjektiven Tätigkeit wird. Andere Formen des Konstruktivismus basieren nicht auf diesem Standpunkt der Intuition und sind mit einem objektiven Standpunkt der Mathematik vereinbar.

Konstruktive Mathematik

Viele konstruktive Mathematik verwendet intuitionistische Logik , die im Wesentlichen klassische Logik ohne das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ist . Dieses Gesetz besagt, dass für jeden Satz entweder dieser Satz wahr ist oder seine Negation. Das soll nicht heißen, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte gänzlich geleugnet wird; Sonderfälle des Rechts sind nachweisbar. Nur wird das allgemeine Gesetz nicht als Axiom vorausgesetzt . Das Gesetz der Widerspruchsfreiheit (das besagt, dass widersprüchliche Aussagen nicht gleichzeitig wahr sein können) gilt weiterhin.

Zum Beispiel kann man in der Heyting-Arithmetik beweisen, dass für jede Aussage p , die keine Quantoren enthält , ein Satz ist (wobei x , y , z ... die freien Variablen in der Aussage p sind ). In diesem Sinne werden auf das Endliche beschränkte Aussagen immer noch als wahr oder falsch betrachtet, wie es in der klassischen Mathematik der Fall ist , aber diese Bivalenz erstreckt sich nicht auf Aussagen, die sich auf unendliche Sammlungen beziehen .

Tatsächlich betrachtete LEJ Brouwer , der Begründer der intuitionistischen Schule, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als von der endlichen Erfahrung abstrahiert und dann ohne Rechtfertigung auf das Unendliche angewendet . Zum Beispiel ist die Vermutung von Goldbach die Behauptung, dass jede gerade Zahl (größer als 2) die Summe zweier Primzahlen ist . Es ist möglich, für eine bestimmte gerade Zahl zu testen, ob sie die Summe zweier Primzahlen ist oder nicht (zum Beispiel durch erschöpfende Suche), sodass jede von ihnen entweder die Summe zweier Primzahlen ist oder nicht. Und bisher war jede so getestete tatsächlich die Summe zweier Primzahlen.

Aber es gibt keinen bekannten Beweis dafür, dass sie alle so sind, noch irgendeinen bekannten Beweis, dass nicht alle von ihnen so sind. Daher sind wir für Brouwer nicht berechtigt zu behaupten, "entweder die Vermutung von Goldbach ist wahr oder nicht." Und während die Vermutung eines Tages gelöst werden kann, gilt das Argument für ähnliche ungelöste Probleme; Für Brouwer war das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte gleichbedeutend mit der Annahme, dass jedes mathematische Problem eine Lösung hat.

Mit dem Weglassen des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte als Axiom hat das verbleibende logische System eine Existenzeigenschaft , die die klassische Logik nicht hat: wann immer konstruktiv bewiesen, dann tatsächlich konstruktiv bewiesen für (mindestens) ein bestimmtes , oft genannt ein Zeuge. Somit ist der Beweis der Existenz eines mathematischen Objekts an die Möglichkeit seiner Konstruktion gebunden.

Beispiel aus realer Analyse

In der klassischen realer Analyse , ein Weg , um eine reelle Zahl zu definieren ist als Äquivalenzklasse von Cauchy - Sequenzen von rationalen Zahlen .

In der konstruktiven Mathematik kann eine reelle Zahl als Funktion ƒ konstruiert werden , die eine positive ganze Zahl nimmt und ein rationales ƒ ( n ) ausgibt , zusammen mit einer Funktion g , die eine positive ganze Zahl n nimmt und eine positive ganze Zahl g ( n ) ausgibt. so dass

so dass mit zunehmendem n die Werte von ƒ ( n ) immer näher zusammenrücken. Wir können ƒ und g zusammen verwenden, um eine rationale Annäherung an die reelle Zahl zu berechnen, die sie repräsentieren.

Nach dieser Definition ist eine einfache Darstellung der reellen Zahl e :

Diese Definition entspricht der klassischen Definition mit Cauchy-Folgen, nur mit einer konstruktiven Wendung: Für eine klassische Cauchy-Folge ist es erforderlich, dass für jeden gegebenen Abstand (im klassischen Sinne) ein Glied in der Folge existiert, nach dem alle Glieder sind näher beieinander als dieser Abstand. In der konstruktiven Version ist es erforderlich, dass es für jeden gegebenen Abstand möglich ist, tatsächlich einen Punkt in der Sequenz anzugeben, an dem dies geschieht (diese erforderliche Spezifikation wird oft als Konvergenzmodul bezeichnet ). Tatsächlich ist die konstruktive Standardinterpretation der mathematischen Aussage

ist genau die Existenz der Funktion, die den Konvergenzmodul berechnet. Somit kann man sich den Unterschied zwischen den beiden Definitionen der reellen Zahlen als den Unterschied in der Interpretation der Aussage "für alle... existiert..." vorstellen.

Dies wirft dann die Frage auf, welche Art von Funktion von einer abzählbaren Menge zu einer abzählbaren Menge, wie f und g oben, tatsächlich konstruiert werden kann. In diesem Punkt gehen verschiedene Versionen des Konstruktivismus auseinander. Konstruktionen können so weit gefasst als Sequenzen der freien Wahl definiert werden , was der intuitiven Sicht entspricht, oder so eng wie Algorithmen (oder technisch berechenbarer Funktionen ) oder sogar unspezifiziert gelassen werden. Nimmt man zum Beispiel die algorithmische Sichtweise, dann sind die hier konstruierten reellen Zahlen im Wesentlichen das, was man klassisch als berechenbare Zahlen bezeichnen würde .

Kardinalität

Die obige algorithmische Interpretation würde im Widerspruch zu den klassischen Vorstellungen von Kardinalität stehen . Durch Aufzählen von Algorithmen können wir klassisch zeigen, dass die berechenbaren Zahlen abzählbar sind. Und doch zeigt Cantors Diagonalargument , dass reelle Zahlen eine höhere Kardinalität haben. Darüber hinaus erscheint das diagonale Argument vollkommen konstruktiv. Die reellen Zahlen mit den berechenbaren Zahlen zu identifizieren, wäre dann ein Widerspruch.

Und in der Tat, Cantors Diagonalargument ist konstruktiv, in dem Sinne , dass eine gegebene Bijektion zwischen den reellen Zahlen und natürlichen Zahlen, konstruiert man eine reelle Zahl , das nicht paßt, und beweist damit einen Widerspruch. Wir können tatsächlich Algorithmen aufzählen, um eine Funktion T zu konstruieren , von der wir zunächst annehmen, dass es sich um eine Funktion von den natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen handelt . Aber jedem Algorithmus kann eine reelle Zahl entsprechen oder nicht, da der Algorithmus die Beschränkungen möglicherweise nicht erfüllt oder sogar nicht terminiert ( T ist eine Teilfunktion ), so dass dies die erforderliche Bijektion nicht erzeugt. Kurz gesagt, jemand, der die Ansicht vertritt, dass reelle Zahlen (individuell) effektiv berechenbar sind, interpretiert Cantors Ergebnis so, dass er zeigt, dass die reellen Zahlen (kollektiv) nicht rekursiv aufzählbar sind .

Man könnte noch erwarten , dass , da T eine Teilfunktion aus den natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen ist, dass also die reellen Zahlen sind nicht mehr als abzählbar. Und da sich jede natürliche Zahl trivialerweise als reelle Zahl darstellen lässt, sind die reellen Zahlen also nicht weniger als abzählbar. Sie sind daher exakt zählbar. Diese Argumentation ist jedoch nicht konstruktiv, da sie immer noch nicht die erforderliche Bijektion konstruiert. Der klassische Satz, der die Existenz einer Bijektion unter solchen Umständen beweist, nämlich der Satz von Cantor-Bernstein-Schroeder , ist nicht-konstruktiv. Es wurde kürzlich gezeigt, dass der Satz von Cantor-Bernstein-Schroeder das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte impliziert , daher kann es keinen konstruktiven Beweis für den Satz geben.

Axiom der Wahl

Der Status des Auswahlaxioms in der konstruktiven Mathematik wird durch die unterschiedlichen Ansätze verschiedener konstruktivistischer Programme erschwert. Eine triviale Bedeutung von "konstruktiv", die von Mathematikern informell verwendet wird, ist "in der ZF-Mengentheorie ohne das Axiom der Wahl beweisbar ". Befürworter von eingeschränkteren Formen konstruktiver Mathematik würden jedoch behaupten, dass ZF selbst kein konstruktives System ist.

In intuitionistischen Theorien der Typentheorie (insbesondere der Arithmetik höherer Typen) sind viele Formen des Auswahlaxioms zulässig. Zum Beispiel kann das Axiom AC 11 so umschrieben werden, dass für jede Relation R auf der Menge der reellen Zahlen bewiesen ist, dass es für jede reelle Zahl x eine reelle Zahl y gibt, so dass R ( x , y ) gilt: dann gibt es tatsächlich eine Funktion F, so dass R ( x , F ( x )) für alle reellen Zahlen gilt. Ähnliche Auswahlprinzipien werden für alle endlichen Typen akzeptiert. Die Motivation für die Annahme dieser scheinbar nichtkonstruktiven Prinzipien ist das intuitionistische Verständnis des Beweises, dass "für jede reelle Zahl x eine reelle Zahl y existiert, so dass R ( x , y ) gilt". Nach der BHK-Interpretation ist dieser Beweis selbst im Wesentlichen die gewünschte Funktion F. Die Wahlprinzipien, die Intuitionisten akzeptieren, implizieren nicht das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte .

In bestimmten Axiomensystemen der konstruktiven Mengenlehre impliziert das Auswahlaxiom jedoch das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (in Gegenwart anderer Axiome), wie durch das Diaconescu-Goodman-Myhill-Theorem gezeigt . Einige konstruktive Mengentheorien beinhalten schwächere Formen des Auswahlaxioms, wie das Axiom der abhängigen Auswahl in Myhills Mengentheorie.

Theorie messen

Die klassische Maßtheorie ist grundsätzlich nicht-konstruktiv, da die klassische Definition des Lebesgue-Maßes keine Möglichkeit beschreibt, das Maß einer Menge oder das Integral einer Funktion zu berechnen. In der Tat, wenn man sich eine Funktion nur als Regel vorstellt, die "eine reelle Zahl eingibt und eine reelle Zahl ausgibt", dann kann es keinen Algorithmus geben, um das Integral einer Funktion zu berechnen, da jeder Algorithmus nur endlich viele aufrufen könnte Werte der Funktion auf einmal, und endlich viele Werte reichen nicht aus, um das Integral mit nichttrivialer Genauigkeit zu berechnen. Die Lösung dieses Rätsels, die zuerst in Bishops Buch von 1967 durchgeführt wurde, besteht darin, nur Funktionen zu betrachten, die als punktweiser Grenzwert stetiger Funktionen (mit bekanntem Stetigkeitsmodul) mit Informationen über die Konvergenzrate geschrieben sind. Ein Vorteil der konstruktivisierenden Maßtheorie besteht darin, dass es einen Algorithmus gibt, um einen Punkt in dieser Menge zu finden, wenn man beweisen kann, dass eine Menge konstruktiv von vollem Maß ist (siehe wiederum Bishops Buch). Dieser Ansatz kann beispielsweise verwendet werden, um eine reelle Zahl zu konstruieren, die zu jeder Basis normal ist .

Der Platz des Konstruktivismus in der Mathematik

Traditionell standen einige Mathematiker dem mathematischen Konstruktivismus misstrauisch, wenn nicht sogar ablehnend gegenüber, hauptsächlich wegen der Beschränkungen, die sie für die konstruktive Analyse glaubten. Diese Ansichten wurden von David Hilbert 1928 nachdrücklich ausgedrückt , als er in den Grundlagen der Mathematik schrieb: "Das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte vom Mathematiker zu nehmen, wäre dasselbe, als würde man dem Astronomen oder dem Boxer die Verwendung des Teleskops verbieten seine Fäuste".

Errett Bishop arbeitete in seinem 1967 erschienenen Werk Foundations of Constructive Analysis daran, diese Ängste zu zerstreuen, indem er viel traditionelle Analyse in einem konstruktiven Rahmen entwickelte.

Auch wenn die meisten Mathematiker die These des Konstruktivisten nicht akzeptieren, dass nur eine auf konstruktiven Methoden basierende Mathematik stichhaltig ist, sind konstruktive Methoden zunehmend auch aus nicht-ideologischen Gründen interessant. Zum Beispiel konstruktive Beweise in der Analyse können sicherstellen , Zeugen Extraktion , in einer Weise , dass innerhalb der Grenzen der konstruktiven Methoden arbeiten machen kann Zeugen Theorien einfacher als mit klassischen Methoden zu finden. Anwendungen für konstruktive Mathematik wurden auch in typisierten Lambda-Kalkülen , der Topos-Theorie und der kategorialen Logik gefunden , die bemerkenswerte Fächer in der Grundlagenmathematik und Informatik sind . In der Algebra unterstützt die Struktur für solche Entitäten wie Topoi- und Hopf-Algebren eine interne Sprache , die eine konstruktive Theorie ist; Die Arbeit innerhalb der Beschränkungen dieser Sprache ist oft intuitiver und flexibler als die Arbeit von außen, etwa durch das Nachdenken über die Menge möglicher konkreter Algebren und deren Homomorphismen .

Der Physiker Lee Smolin schreibt in Three Roads to Quantum Gravity, dass die Topos-Theorie "die richtige Logik für die Kosmologie" ist (Seite 30) und "In ihren ersten Formen wurde sie 'intuitionistische Logik' genannt" (Seite 31). „Bei dieser Art von Logik werden die Aussagen, die ein Beobachter über das Universum machen kann, in mindestens drei Gruppen eingeteilt: solche, die wir für wahr halten können, solche, die wir für falsch halten können, und solche, über deren Wahrheit wir uns nicht entscheiden können die Gegenwart" (Seite 28).

Mathematiker, die wichtige Beiträge zum Konstruktivismus geleistet haben

  • Leopold Kronecker (alter Konstruktivismus, Halbintuitionismus)
  • LEJ Brouwer (Begründer des Intuitionismus)
  • AA Markov (Urvater der russischen Schule des Konstruktivismus)
  • Arend Heyting (formalisierte intuitionistische Logik und Theorien)
  • Per Martin-Löf (Begründer der konstruktiven Typentheorien)
  • Errett Bishop (befürwortete eine Version des Konstruktivismus, die behauptete, mit der klassischen Mathematik vereinbar zu sein)
  • Paul Lorenzen (entwickelte konstruktive Analyse)

Geäst

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links