Kontinuumsmechanik - Continuum mechanics

Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik , das sich mit dem mechanischen Verhalten von Materialien befasst, die als kontinuierliche Masse und nicht als diskrete Teilchen modelliert werden . Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy hat im 19. Jahrhundert als erster solche Modelle formuliert.

Erläuterung

Die Modellierung eines Objekts als Kontinuum geht davon aus, dass die Substanz des Objekts den von ihm eingenommenen Raum vollständig ausfüllt. Bei der Modellierung von Objekten auf diese Weise wird die Tatsache ignoriert, dass Materie aus Atomen besteht und daher nicht kontinuierlich ist; auf Längenskalen, die viel größer sind als die der interatomaren Abstände, sind solche Modelle jedoch sehr genau. Grundlegende physikalische Gesetze wie die Massenerhaltung , die Impulserhaltung und die Energieerhaltung können auf solche Modelle angewendet werden, um Differentialgleichungen abzuleiten , die das Verhalten solcher Objekte beschreiben, und einige Informationen über das untersuchte Material werden durch konstitutive Beziehungen hinzugefügt .

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit physikalischen Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten, die unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem sind, in dem sie beobachtet werden. Diese physikalischen Eigenschaften werden dann durch Tensoren dargestellt , die mathematische Objekte sind, die die erforderliche Eigenschaft haben, unabhängig vom Koordinatensystem zu sein. Diese Tensoren können zur Vereinfachung der Berechnung in Koordinatensystemen ausgedrückt werden.

Konzept eines Kontinuums

Materialien wie Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase bestehen aus Molekülen, die durch den Raum getrennt sind. Im mikroskopischen Maßstab weisen Materialien Risse und Diskontinuitäten auf. Bestimmte physikalische Phänomene können jedoch unter der Annahme modelliert werden, dass die Materialien als Kontinuum existieren, was bedeutet, dass die Materie im Körper kontinuierlich verteilt wird und den gesamten Raumbereich ausfüllt, den sie einnimmt . Ein Kontinuum ist ein Körper, der kontinuierlich in infinitesimale Elemente unterteilt werden kann, deren Eigenschaften denen des Schüttguts entsprechen.

Die Gültigkeit der Kontinuumsannahme kann durch eine theoretische Analyse verifiziert werden, bei der entweder eine eindeutige Periodizität festgestellt wird oder eine statistische Homogenität und Ergodizität der Mikrostruktur vorliegt. Genauer gesagt hängt die Kontinuumshypothese/Annahme von den Konzepten eines repräsentativen Elementarvolumens und einer Trennung der Skalen auf der Grundlage der Hill-Mandel-Bedingung ab . Diese Bedingung stellt eine Verbindung zwischen dem Standpunkt eines Experimentators und eines Theoretikers zu konstitutiven Gleichungen (lineare und nichtlineare elastische/unelastische oder gekoppelte Felder) sowie eine Möglichkeit zur räumlichen und statistischen Mittelung der Mikrostruktur her.

Wenn die Skalentrennung nicht gilt, oder wenn man ein Kontinuum mit einer feineren Auflösung als die Größe des repräsentativen Volumenelements (RVE) herstellen möchte, verwendet man ein statistisches Volumenelement (SVE), was wiederum zu zufällige Kontinuumsfelder. Letztere liefern dann eine mikromechanische Grundlage für stochastische Finite Elemente (SFE). Die Stufen von SVE und RVE verbinden die Kontinuumsmechanik mit der statistischen Mechanik . Der RVE kann nur bedingt durch experimentelle Tests beurteilt werden: wenn die konstitutive Reaktion räumlich homogen wird.

Speziell für Flüssigkeiten wird die Knudsen-Zahl verwendet, um zu beurteilen, inwieweit eine Annäherung an die Kontinuität erfolgen kann.

Autoverkehr als Einführungsbeispiel

Betrachten Sie den Autoverkehr auf einer Autobahn mit nur einer Spur der Einfachheit halber. Etwas überraschend und als Hommage an ihre Wirksamkeit modelliert die Kontinuumsmechanik effektiv die Bewegung von Autos über eine partielle Differentialgleichung (PDE) für die Dichte von Autos. Die Vertrautheit dieser Situation befähigt uns, ein wenig von der kontinuumsdiskreten Dichotomie zu verstehen, die der Kontinuumsmodellierung im Allgemeinen zugrunde liegt.

Um mit der Modellierung zu beginnen, definieren Sie Folgendes: misst die Entfernung (in km) entlang der Autobahn; ist die Zeit (in Minuten); ist die Pkw-Dichte auf der Autobahn (in Pkw/km auf der Fahrspur); und ist die Strömungsgeschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) dieser Autos 'an' Position .

Erhaltung leitet eine PDE ( partielle Differentialgleichung ) ab

Autos erscheinen nicht und verschwinden. Betrachten Sie eine beliebige Gruppe von Autos: von dem bestimmten Auto hinten in der Gruppe bis zu dem bestimmten Auto vorne bei . Die Gesamtzahl der Autos in dieser Gruppe . Da Autos geschont werden (wenn überholt wird, kann das 'Auto vorne / hinten' ein anderes Auto werden) . Aber über die Leibniz-Integralregel

Dieses Integral, das Null ist, gilt für alle Gruppen, das heißt für alle Intervalle . Ein Integral kann nur für alle Intervalle null sein, wenn der Integrand für alle null ist . Folglich leitet die Erhaltung die nichtlineare Erhaltung erster Ordnung PDE

für alle Positionen auf der Autobahn.

Diese Naturschutz-PDE gilt nicht nur für den Autoverkehr, sondern auch für Flüssigkeiten, Feststoffe, Menschenmengen, Tiere, Pflanzen, Buschfeuer, Finanzhändler und so weiter.

Beobachtung schließt das Problem

Die vorherige PDE ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, daher wird eine andere Gleichung benötigt, um ein gut gestelltes Problem zu bilden . Eine solche zusätzliche Gleichung wird typischerweise in der Kontinuumsmechanik benötigt und stammt typischerweise aus Experimenten. Für den Autoverkehr ist bekannt, dass Autos typischerweise mit einer von der Dichte abhängigen Geschwindigkeit fahren, für eine experimentell bestimmte Funktion , die eine abnehmende Funktion der Dichte ist. Experimente im Lincoln-Tunnel ergaben beispielsweise, dass eine gute Anpassung (außer bei geringer Dichte) durch (km/h für die Dichte in Autos/km) erreicht wird.

Das grundlegende Kontinuumsmodell für den Autoverkehr ist somit die PDE

für die Autodichte auf der Autobahn.

Hauptbereiche

Kontinuumsmechanik
Das Studium der Physik kontinuierlicher Materialien
Festkörpermechanik
Studium der Physik kontinuierlicher Materialien mit definierter Ruheform.
Elastizität
Beschreibt Materialien, die nach Beseitigung der aufgebrachten Spannungen in ihre Ruheform zurückkehren .
Plastizität
Beschreibt Materialien, die sich nach ausreichender Belastung dauerhaft verformen.
Rheologie
Die Untersuchung von Materialien mit festen und flüssigen Eigenschaften.
Strömungsmechanik
Das Studium der Physik von kontinuierlichen Materialien, die sich unter Krafteinwirkung verformen.
Nicht-Newtonsche Flüssigkeit
Keine Dehnungsraten proportional zur angelegten Schubspannung.
Newtonsche Flüssigkeiten unterliegen Dehnungsraten proportional zur angelegten Scherspannung.

Ein weiterer Bereich der Kontinuumsmechanik sind elastomere Schäume, die eine merkwürdige hyperbolische Spannungs-Dehnungs-Beziehung aufweisen. Das Elastomer ist ein echtes Kontinuum, aber eine homogene Hohlraumverteilung verleiht ihm ungewöhnliche Eigenschaften.

Formulierung von Modellen

Abbildung 1. Konfiguration eines Kontinuumskörpers

Kontinuumsmechanische Modelle beginnen damit, dem zu modellierenden materiellen Körper eine Region im dreidimensionalen euklidischen Raum zuzuweisen. Die Punkte innerhalb dieser Region werden Partikel oder Materialpunkte genannt. Verschiedene Konfigurationen oder Zustände des Körpers entsprechen verschiedenen Regionen im euklidischen Raum. Die Region, die der Konfiguration des Körpers zu diesem Zeitpunkt entspricht, ist mit gekennzeichnet .

Ein bestimmtes Teilchen innerhalb des Körpers in einer bestimmten Konfiguration wird durch einen Ortsvektor charakterisiert

Wo sind die Koordinatenvektoren in einem für das Problem ausgewählten Bezugssystem (siehe Abbildung 1). Dieser Vektor kann als Funktion der Partikelposition in einer Referenzkonfiguration ausgedrückt werden , beispielsweise der Konfiguration zum Anfangszeitpunkt, so dass

Diese Funktion muss verschiedene Eigenschaften haben, damit das Modell physikalisch Sinn macht. muss sein:

  • zeitkontinuierlich , so dass sich der Körper realistisch verändert,
  • jederzeit global invertierbar , so dass sich der Körper nicht kreuzen kann,
  • orientierungserhaltend , da Transformationen, die Spiegelreflexionen erzeugen, in der Natur nicht möglich sind.

Für die mathematische Formulierung des Modells wird auch zweimal stetig differenzierbar angenommen , so dass Differentialgleichungen formuliert werden können, die die Bewegung beschreiben.

Kräfte in einem Kontinuum

Die Kontinuumsmechanik beschäftigt sich mit verformbaren Körpern im Gegensatz zu starren Körpern . Ein Festkörper ist ein verformbarer Körper, der eine Scherfestigkeit sc besitzt. ein Festkörper kann Scherkräfte (Kräfte parallel zur Materialoberfläche, auf die sie wirken) aufnehmen. Flüssigkeiten hingegen halten keine Scherkräfte aus. Für die Untersuchung des mechanischen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten werden diese als kontinuierliche Körper angenommen, was bedeutet, dass die Materie den gesamten Raum ausfüllt, den sie einnimmt, obwohl Materie aus Atomen besteht, Hohlräume hat und diskret ist. Wenn sich die Kontinuumsmechanik daher auf einen Punkt oder ein Teilchen in einem kontinuierlichen Körper bezieht, beschreibt sie keinen Punkt im interatomaren Raum oder ein atomares Teilchen, sondern einen idealisierten Teil des Körpers, der diesen Punkt einnimmt.

In Anlehnung an die klassische Dynamik von Newton und Euler wird die Bewegung eines materiellen Körpers durch die Wirkung von von außen einwirkenden Kräften erzeugt, von denen angenommen wird, dass es sich um zwei Arten handelt: Oberflächenkräfte und Körperkräfte . Somit kann die auf einen Körper oder einen Teil des Körpers ausgeübte Gesamtkraft wie folgt ausgedrückt werden:

Oberflächenkräfte

Oberflächenkräfte oder Kontaktkräfte , ausgedrückt als Kraft pro Flächeneinheit, können entweder auf die Begrenzungsfläche des Körpers durch mechanischen Kontakt mit anderen Körpern oder auf imaginäre Innenflächen wirken, die Teile des Körpers begrenzen, infolge von die mechanische Wechselwirkung zwischen den Körperteilen zu beiden Seiten der Oberfläche ( Euler-Cauchy-Spannungsprinzip ). Wenn auf einen Körper äußere Kontaktkräfte einwirken, werden innere Kontaktkräfte von Punkt zu Punkt innerhalb des Körpers übertragen, um ihre Wirkung auszugleichen, gemäß Newtons drittem Bewegungssatz der Erhaltung von Linearimpuls und Drehimpuls (für stetige Körper sind diese Gesetze heißen die Eulerschen Bewegungsgleichungen ). Die inneren Kontaktkräfte auf die körperbezogenen Verformung durch konstitutive Gleichungen . Die inneren Kontaktkräfte können mathematisch dadurch beschrieben werden, wie sie sich auf die Bewegung des Körpers beziehen, unabhängig von der Materialzusammensetzung des Körpers.

Die Verteilung der inneren Kontaktkräfte über das Körpervolumen wird als stetig angenommen. Daher existiert eine Kontaktkraftdichte oder ein Cauchy-Traktionsfeld , das diese Verteilung in einer bestimmten Konfiguration des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt repräsentiert . Es ist kein Vektorfeld, da es nicht nur von der Position eines bestimmten Materialpunktes abhängt , sondern auch von der lokalen Orientierung des Oberflächenelements, wie sie durch seinen Normalenvektor definiert ist .

Jede Differentialfläche mit Normalenvektor einer gegebenen inneren Oberfläche , die einen Teil des Körpers begrenzt, erfährt eine Kontaktkraft, die sich aus dem Kontakt zwischen beiden Teilen des Körpers auf jeder Seite von ergibt, und sie ist gegeben durch

wo ist die Oberflächentraktion , auch Spannungsvektor , Traktion oder Traktionsvektor genannt . Der Spannungsvektor ist ein rahmenindifferenter Vektor (siehe das Spannungsprinzip von Euler-Cauchy ).

Die Gesamtkontaktkraft an der jeweiligen Innenfläche wird dann als Summe ( Flächenintegral ) der Kontaktkräfte an allen Differenzflächen ausgedrückt :

In der Kontinuumsmechanik gilt ein Körper als spannungsfrei, wenn nur die interatomaren Kräfte ( ionische , metallische und van-der-Waals-Kräfte ) vorhanden sind, die erforderlich sind, um den Körper zusammenzuhalten und seine Form ohne äußere Einflüsse zu halten , einschließlich der Anziehungskraft. Spannungen, die während der Herstellung des Körpers zu einer bestimmten Konfiguration erzeugt werden, werden auch bei der Betrachtung von Spannungen in einem Körper ausgeschlossen. Daher werden in der Kontinuumsmechanik nur die Spannungen betrachtet, die durch die Verformung des Körpers, sc, erzeugt werden. Es werden nur relative Spannungsänderungen berücksichtigt, nicht die absoluten Spannungswerte.

Körperkräfte

Körper Kräfte sind Kräftedie aus Quellen außerhalb des Körpersdie wirken auf das Volumen (oderMasse) des Körpers. Zu sagen, dass Körperkräfte auf äußere Quellen zurückzuführen sind, impliziert, dass sich die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Körperteilen (inneren Kräften) allein durch die Kontaktkräfte manifestiert. Diese Kräfte entstehen durch die Anwesenheit des Körpers in Kraftfeldern, zB im Gravitationsfeld ( Gravitationskräfte ) oder elektromagnetischen Feld ( elektromagnetische Kräfte ), oder durch Trägheitskräfte bei bewegten Körpern. Da die Masse eines kontinuierlichen Körpers als stetig verteilt angenommen wird, ist auch jede von der Masse ausgehende Kraft stetig verteilt. Körperkräfte werden also durch Vektorfelder angegeben, die über das gesamte Volumen des Körpers als stetig angenommen werden, dh auf jeden Punkt darin wirken. Körperkräfte werden durch eine Körperkraftdichte(pro Masseneinheit)repräsentiert, die ein rahmenunabhängiges Vektorfeld ist.

Bei Gravitationskräften hängt die Stärke der Kraft von der Massendichte des Materials ab oder ist proportional dazu und wird als Kraft pro Masseneinheit ( ) oder pro Volumeneinheit ( ) angegeben. Diese beiden Spezifikationen sind über die Materialdichte durch die Gleichung verbunden . Ebenso hängt die Intensität elektromagnetischer Kräfte von der Stärke ( elektrischer Ladung ) des elektromagnetischen Feldes ab.

Die auf einen kontinuierlichen Körper ausgeübte Gesamtkörperkraft wird ausgedrückt als

Auf den Körper einwirkende Körperkräfte und Kontaktkräfte führen zu entsprechenden Kraftmomenten ( Drehmomenten ) relativ zu einem bestimmten Punkt. Somit ist das gesamte aufgebrachte Drehmoment um den Ursprung gegeben durch

In bestimmten Situationen, die bei der Analyse des mechanischen Verhaltens von Werkstoffen normalerweise nicht berücksichtigt werden, ist es notwendig, zwei andere Arten von Kräften einzubeziehen: Dies sind Kopplungsspannungen (Flächenkopplungen, Kontaktdrehmomente) und Körpermomente . Paarspannungen sind Momente pro Flächeneinheit, die auf eine Oberfläche aufgebracht werden. Körpermomente oder Körperpaare sind Momente pro Volumeneinheit oder pro Masseeinheit, die auf das Volumen des Körpers angewendet werden. Beides ist wichtig bei der Spannungsanalyse eines polarisierten dielektrischen Festkörpers unter Einwirkung eines elektrischen Feldes, Materialien, bei denen die Molekülstruktur berücksichtigt wird ( zB Knochen), Festkörpern unter Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes und der Versetzungstheorie von Metalle.

Als polare Materialien werden Materialien bezeichnet, die neben ausschließlich durch Kräfte erzeugten Momenten auch Körperpaare und Kopplungsspannungen aufweisen . Unpolare Materialien sind dann solche Materialien mit nur Kraftmomenten. In den klassischen Zweigen der Kontinuumsmechanik basiert die Entwicklung der Spannungstheorie auf unpolaren Materialien.

Damit kann die Summe aller im Körper einwirkenden Kräfte und Momente (bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems) gegeben werden durch

Kinematik: Bewegung und Verformung

Abbildung 2. Bewegung eines Kontinuumskörpers.

Eine Änderung der Konfiguration eines Kontinuumskörpers führt zu einer Verschiebung . Die Verschiebung eines Körpers besteht aus zwei Komponenten: einer Starrkörperverschiebung und einer Verformung . Eine Starrkörperverschiebung besteht aus einer gleichzeitigen Translation und Rotation des Körpers, ohne seine Form oder Größe zu ändern. Verformung impliziert die Änderung der Form und/oder Größe des Körpers von einer ursprünglichen oder unverformten Konfiguration zu einer aktuellen oder verformten Konfiguration (Abbildung 2).

Die Bewegung eines Kontinuumskörpers ist eine kontinuierliche zeitliche Folge von Verschiebungen. Somit nimmt der materielle Körper zu verschiedenen Zeiten unterschiedliche Konfigurationen ein, so dass ein Teilchen eine Reihe von Punkten im Raum einnimmt, die eine Bahnlinie beschreiben.

Es gibt Kontinuität während der Bewegung oder Deformation eines Kontinuumskörpers in dem Sinne, dass:

  • Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Kurve bilden, bilden zu jedem späteren Zeitpunkt immer eine geschlossene Kurve.
  • Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Oberfläche bilden, werden zu jedem späteren Zeitpunkt immer eine geschlossene Oberfläche bilden und die Materie innerhalb der geschlossenen Oberfläche bleibt immer darin.

Es ist zweckmäßig, eine Referenzkonfiguration oder einen Anfangszustand zu identifizieren, von dem aus alle nachfolgenden Konfigurationen referenziert werden. Die Referenzkonfiguration muss nicht eine sein, die der Körper jemals einnehmen wird. Häufig wird die Konfiguration bei als Referenzkonfiguration angesehen, . Die Komponenten des Positionsvektors eines Partikels, bezogen auf die Referenzkonfiguration, werden als Material- oder Referenzkoordinaten bezeichnet.

Bei der Analyse der Bewegung oder Verformung von Festkörpern oder der Strömung von Flüssigkeiten ist es notwendig, die Abfolge oder Entwicklung von Konfigurationen im Laufe der Zeit zu beschreiben. Eine Beschreibung der Bewegung erfolgt in Form von Material- oder Bezugskoordinaten, die als Materialbeschreibung oder Lagrange-Beschreibung bezeichnet wird.

Lagrange-Beschreibung

In der Lagrange-Beschreibung werden Position und physikalische Eigenschaften der Partikel in Bezug auf die Material- oder Bezugskoordinaten und die Zeit beschrieben. In diesem Fall ist die Referenzkonfiguration die Konfiguration unter . Ein Beobachter, der im Bezugsrahmen steht, beobachtet die Veränderungen der Position und der physikalischen Eigenschaften, während sich der materielle Körper im Laufe der Zeit im Raum bewegt. Die erhaltenen Ergebnisse sind unabhängig von der Wahl der Anfangszeit und der Referenzkonfiguration, . Diese Beschreibung wird normalerweise in der Festkörpermechanik verwendet .

In der Lagrangeschen Beschreibung wird die Bewegung eines Kontinuumskörpers durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt (Abbildung 2),

die eine Abbildung von der ersten Konfiguration auf die aktuelle Konfiguration , die eine geometrische Übereinstimmung zwischen ihnen gibt, dh die Positionsvektor zu geben , dass ein Teilchen , mit einem Positionsvektor im unverformten oder Referenzkonfiguration , in der aktuellen oder verformten Konfiguration einnehmen wird zum Zeitpunkt . Die Komponenten werden als Raumkoordinaten bezeichnet.

Physikalische und kinematische Eigenschaften , dh thermodynamische Eigenschaften und Strömungsgeschwindigkeit, die Eigenschaften des materiellen Körpers beschreiben oder charakterisieren, werden als kontinuierliche Funktionen von Ort und Zeit ausgedrückt, dh .

Die materielle Ableitung jeder Eigenschaft eines Kontinuums, die ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensor sein kann, ist die zeitliche Änderung dieser Eigenschaft für eine bestimmte Gruppe von Teilchen des sich bewegenden Kontinuumskörpers. Das materielle Derivat ist auch als wesentliches Derivat oder mitbewegendes Derivat oder konvektives Derivat bekannt . Es kann als die Geschwindigkeit angesehen werden, mit der sich die Eigenschaft ändert, wenn sie von einem Beobachter gemessen wird, der mit dieser Teilchengruppe reist.

In der Lagrangeschen Beschreibung ist die materielle Ableitung von einfach die partielle Ableitung nach der Zeit, und der Positionsvektor wird konstant gehalten, da er sich mit der Zeit nicht ändert. Somit haben wir

Die momentane Position ist eine Eigenschaft eines Partikels, und seine materielle Ableitung ist die momentane Strömungsgeschwindigkeit des Partikels. Daher ist das Strömungsgeschwindigkeitsfeld des Kontinuums gegeben durch

Ebenso ist das Beschleunigungsfeld gegeben durch

Kontinuität in der Lagrangeschen Beschreibung wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität der Abbildung von der Referenzkonfiguration zur aktuellen Konfiguration der materiellen Punkte ausgedrückt. Alle physikalischen Größen, die das Kontinuum charakterisieren, werden auf diese Weise beschrieben. In diesem Sinne sind die Funktionen und einwertig und stetig, mit stetigen Ableitungen in Bezug auf Raum und Zeit in beliebiger Reihenfolge, normalerweise in die zweite oder dritte.

Eulersche Beschreibung

Kontinuität ermöglicht die Umkehrung von rückwärts zu verfolgen, wo sich das Partikel, an dem sich gerade befindet, in der ursprünglichen oder referenzierten Konfiguration befand . In diesem Fall erfolgt die Bewegungsbeschreibung anhand der Raumkoordinaten, in diesem Fall spricht man von der Raumbeschreibung oder Eulerschen Beschreibung, dh die aktuelle Konfiguration wird als Referenzkonfiguration genommen .

Die von d'Alembert eingeführte Eulersche Beschreibung konzentriert sich auf die gegenwärtige Konfiguration und lenkt die Aufmerksamkeit auf das, was im Laufe der Zeit an einem festen Punkt im Raum passiert, anstatt auf einzelne Teilchen, die sich durch Raum und Zeit bewegen. Dieser Ansatz wird zweckmäßigerweise bei der Untersuchung von Fluidströmungen angewendet, wo die kinematische Eigenschaft von größtem Interesse die Geschwindigkeit ist, mit der eine Änderung stattfindet, und nicht die Form des Fluidkörpers zu einem Referenzzeitpunkt.

Mathematisch wird die Bewegung eines Kontinuums unter Verwendung der Eulerschen Beschreibung durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt

die eine Verfolgung des Partikels, das jetzt die Position in der aktuellen Konfiguration einnimmt, zu seiner ursprünglichen Position in der Anfangskonfiguration liefert .

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz dieser Umkehrfunktion ist, dass die Determinante der Jacobi-Matrix , die oft einfach als Jacobi-Matrix bezeichnet wird, von Null verschieden sein sollte. Daher,

In der Eulerschen Beschreibung werden die physikalischen Eigenschaften ausgedrückt als

wobei die funktionale Form von in der Lagrangeschen Beschreibung nicht mit der Form von in der Eulerschen Beschreibung übereinstimmt.

Die materielle Ableitung von nach der Kettenregel ist dann

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt die lokale Änderungsrate der Eigenschaft an, die an Position auftritt . Der zweite Term der rechten Seite ist die konvektive Änderungsrate und drückt den Beitrag der Teilchenänderung im Raum (Bewegung) aus.

Stetigkeit in der Eulerschen Beschreibung wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität und stetige Differenzierbarkeit des Fließgeschwindigkeitsfeldes ausgedrückt. Alle physikalischen Größen werden auf diese Weise zu jedem Zeitpunkt in der aktuellen Konfiguration als Funktion der Vektorposition definiert .

Verschiebungsfeld

Der Vektor, der die Positionen eines Teilchens in der unverformten Konfiguration und der verformten Konfiguration verbindet , wird in der Lagrange-Beschreibung als Verschiebungsvektor oder in der Eulerschen Beschreibung als Verschiebungsvektor bezeichnet .

Ein Verschiebungsfeld ist ein Vektorfeld aller Verschiebungsvektoren für alle Partikel im Körper, das die verformte Konfiguration mit der unverformten Konfiguration in Beziehung setzt. Es ist zweckmäßig, die Verformungs- oder Bewegungsanalyse eines Kontinuumskörpers in Bezug auf das Verschiebungsfeld durchzuführen. Im Allgemeinen wird das Verschiebungsfeld in Bezug auf die Materialkoordinaten ausgedrückt als

oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als

wobei die Richtungskosinus zwischen dem Material und der räumlichen Koordinatensysteme mit Einheitsvektoren und , respectively. Daher

und die Beziehung zwischen und ist dann gegeben durch

Wissend, dass

dann

Es ist üblich, die Koordinatensysteme für die unverformten und verformten Konfigurationen zu überlagern, was zu , und die Richtungskosinus zu Kronecker Deltas führt , dh

Somit haben wir

oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als

Regierende Gleichungen

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit dem Verhalten von Materialien, die für bestimmte Längen- und Zeitskalen als stetig angenähert werden können. Zu den Gleichungen, die die Mechanik solcher Materialien bestimmen , gehören die Gleichgewichtsgesetze für Masse , Impuls und Energie . Kinematische Beziehungen und konstitutive Gleichungen werden benötigt, um das System der maßgebenden Gleichungen zu vervollständigen. Physikalische Beschränkungen auf die Form der konstitutiven Beziehungen können angewendet werden, indem gefordert wird, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik unter allen Bedingungen erfüllt ist. In der Kontinuumsmechanik von Festkörpern ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt, wenn die Clausius-Duhem- Form der Entropieungleichung erfüllt ist.

Die Gleichgewichtsgesetze drücken die Idee aus, dass die Änderungsgeschwindigkeit einer Größe (Masse, Impuls, Energie) in einem Volumen aus drei Ursachen resultieren muss:

  1. die physikalische Größe selbst fließt durch die das Volumen begrenzende Fläche,
  2. es gibt eine Quelle der physikalischen Größe auf der Oberfläche des Volumens, oder/und,
  3. Es gibt eine Quelle der physikalischen Größe innerhalb des Volumens.

Sei der Körper (eine offene Teilmenge des euklidischen Raums) und seine Oberfläche (der Rand von ).

Beschreiben Sie die Bewegung materieller Punkte im Körper durch die Karte

Dabei ist die Position eines Punktes in der Ausgangskonfiguration und die Position desselben Punkts in der verformten Konfiguration.

Der Deformationsgradient ist gegeben durch

Gleichgewichtsgesetze

Sei eine physikalische Größe, die durch den Körper fließt. Lasst Quellen auf der Körperoberfläche sein und lasst Quellen im Körper sein. Sei die äußere Einheit senkrecht zur Oberfläche . Sei die Fließgeschwindigkeit der physikalischen Teilchen, die die fließende physikalische Größe tragen. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Begrenzungsfläche bewegt, sei auch (in Richtung ).

Dann können Gleichgewichtsgesetze in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

Die Funktionen , , und können skalar-, vektor- oder tensorbewertet sein – abhängig von der physikalischen Größe, mit der sich die Bilanzgleichung befasst. Bei inneren Begrenzungen im Körper müssen auch Sprungunstetigkeiten in den Gleichgewichtsgesetzen angegeben werden.

Wenn wir den Eulerschen Standpunkt einnehmen , kann gezeigt werden, dass die Gleichgewichtsgesetze von Masse, Impuls und Energie für einen Festkörper geschrieben werden können als (vorausgesetzt der Quellterm ist Null für die Massen- und Drehimpulsgleichungen)

In den obigen Gleichungen ist die Massendichte (Strom), ist die materielle Zeitableitung von , ist die Teilchengeschwindigkeit, ist die materielle Zeitableitung von , ist der Cauchy-Spannungstensor , ist die Körperkraftdichte, ist die innere Energie pro Masseneinheit , ist die materielle Zeitableitung von , ist der Wärmestromvektor und ist eine Energiequelle pro Masseneinheit.

In Bezug auf die Referenzkonfiguration (aus der Lagrangeschen Sicht) können die Gleichgewichtsgesetze geschrieben werden als

Oben ist der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und die Massendichte in der Referenzkonfiguration. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ist mit dem Cauchy-Spannungstensor durch

Alternativ können wir den nominalen Spannungstensor definieren, der die Transponierte des ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors ist, so dass

Dann werden die Gleichgewichtsgesetze

Die Operatoren in den obigen Gleichungen sind so definiert, dass

wobei ein Vektorfeld, ein Tensorfeld zweiter Ordnung und die Komponenten einer Orthonormalbasis in der aktuellen Konfiguration sind. Ebenfalls,

wobei ein Vektorfeld, ein Tensorfeld zweiter Ordnung und die Komponenten einer Orthonormalbasis in der Referenzkonfiguration sind.

Das innere Produkt ist definiert als

Clausius-Duhem-Ungleichung

Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann verwendet werden, um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik für elastisch-plastische Materialien auszudrücken. Diese Ungleichung ist eine Aussage über die Irreversibilität natürlicher Prozesse, insbesondere wenn es um Energiedissipation geht.

Genau wie in den Bilanzgesetzen im vorigen Abschnitt nehmen wir an, dass es einen Fluss einer Menge, eine Quelle der Menge und eine innere Dichte der Menge pro Masseneinheit gibt. Die interessierende Größe ist in diesem Fall die Entropie. Wir nehmen also an, dass es im interessierenden Bereich einen Entropiefluss, eine Entropiequelle, eine interne Massendichte und eine interne spezifische Entropie (dh Entropie pro Masseneinheit) gibt .

Sei eine solche Region und sei ihre Grenze. Dann besagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Anstiegsrate von in diesem Bereich größer oder gleich der Summe aus der zugeführten (als Fluss oder aus internen Quellen) und der Änderung der internen Entropiedichte aufgrund von einströmendem Material ist und aus der Region.

Lassen Sie sich mit einer Strömungsgeschwindigkeit bewegen und lassen Sie Partikel im Inneren Geschwindigkeiten haben . Sei die Einheit nach außen senkrecht zur Oberfläche . Sei die Dichte der Materie in der Region, der Entropiefluss an der Oberfläche und die Entropiequelle pro Masseneinheit. Dann kann die Entropieungleichung geschrieben werden als

Der skalare Entropiefluss kann mit dem Vektorfluss an der Oberfläche durch die Beziehung in Beziehung gesetzt werden . Unter der Annahme inkrementell isothermer Bedingungen gilt

Dabei ist der Wärmestromvektor, eine Energiequelle pro Masseneinheit und die absolute Temperatur eines Materialpunkts zum Zeitpunkt .

Wir haben dann die Clausius-Duhem-Ungleichung in ganzzahliger Form:

Wir können zeigen, dass die Entropieungleichung in differentieller Form geschrieben werden kann als

Hinsichtlich der Cauchy-Spannung und der inneren Energie kann die Clausius-Duhem-Ungleichung geschrieben werden als

Anwendungen

Siehe auch

Erläuternder Vermerk

Verweise

Zitate

zitierte Werke

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Allgemeine Referenzen

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Externe Links