Gegensatz - Contraposition

In Logik und Mathematik , Kontraposition bezieht sich auf die Schlußfolgerung von Fort bedingte Anweisung in seine logisch äquivalent contra und ein zugehöriges Verfahren zum Nachweis Nachweis bekannte Kontra. Das Kontrapositiv einer Aussage hat seinen Vorläufer und seine Folge invertiert und umgedreht .

Bedingte Anweisung . In Formeln : das Kontrapositiv vonist. ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Wenn P , dann Q . - Wenn nicht Q , dann nicht P . " Wenn es regnet, dann trage ich meinen Mantel" - "Wenn ich meinen Mantel nicht trage, dann regnet es nicht."

Das Gesetz der Kontraposition besagt, dass eine bedingte Aussage genau dann wahr ist, wenn ihr Kontrapositiv wahr ist.

Das Kontrapositiv ( ) kann mit drei anderen Aussagen verglichen werden: ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Inversion (das inverse ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

"Wenn es nicht regnet, dann trage ich meinen Mantel nicht ." Im Gegensatz zum Kontrapositiv hängt der Wahrheitswert der Umkehrung überhaupt nicht davon ab, ob die ursprüngliche Aussage wahr war oder nicht, wie hier gezeigt wird.

Bekehrung (das Gegenteil ),${\displaystyle Q\rightarrow P}$

"Wenn ich meinen Mantel trage, dann regnet es ." Die Umkehrung ist eigentlich das Kontrapositiv der Umkehrung und hat daher immer denselben Wahrheitswert wie die Umkehrung (die, wie bereits erwähnt, nicht immer denselben Wahrheitswert wie der ursprüngliche Satz hat).

Negation (das logische Komplement ),${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

„ Es ist nicht der Fall , dass , wenn es regnet , dann ich meinen Mantel tragen. “, Oder äquivalent „ Manchmal, wenn es regnet, trage ich nicht meinen Mantel .“ Wenn die Negation wahr ist, dann der ursprüngliche Vorschlag ( und damit das Kontrapositiv) ist falsch.

Beachten Sie, dass wenn wahr ist und einer gegeben ist, der falsch ist (dh ), dann kann logisch geschlossen werden, dass auch falsch sein muss (dh ). Dies wird oft das Gesetz des Kontrapositivs oder der Modus tollens Regel der Schlußfolgerung genannt . ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$

Intuitive Erklärung

Im Euler Diagramm dargestellt, wenn etwas in A ist, muss es auch in B sein. Wir können also "alles von A ist in B" interpretieren als:

${\displaystyle A\nach B}$

Es ist auch klar, dass alles, was nicht innerhalb von B (der blauen Region) liegt, auch nicht innerhalb von A liegen kann. Diese Aussage, die ausgedrückt werden kann als:

${\displaystyle \neg B\nach \neg A}$

ist das Kontrapositiv der obigen Aussage. Daher kann man das sagen

${\displaystyle (A\nach B)\leftrightarrow (\neg B\nach \neg A)}$.

In der Praxis kann diese Äquivalenz verwendet werden, um den Nachweis einer Aussage zu erleichtern. Wenn man zum Beispiel beweisen möchte, dass jedes Mädchen in den Vereinigten Staaten (A) braune Haare (B) hat, kann man entweder versuchen, direkt zu beweisen , dass alle Mädchen in den Vereinigten Staaten tatsächlich braune Haare haben, oder es versuchen Beweisen Sie, indem Sie überprüfen, dass alle Mädchen ohne braune Haare tatsächlich alle außerhalb der USA sind. Insbesondere wenn man in den USA mindestens ein Mädchen ohne braune Haare finden würde, dann hätte man das widerlegt , und zwar entsprechend . ${\displaystyle A\nach B}$${\displaystyle \neg B\nach \neg A}$${\displaystyle \neg B\nach \neg A}$${\displaystyle A\nach B}$

Im Allgemeinen impliziert für jede Aussage, bei der A B impliziert , nicht B immer nicht A . Infolgedessen beweist oder widerlegt das Beweisen oder Widerlegen einer dieser Aussagen automatisch die andere, da sie logisch äquivalent zueinander sind.

Formale Definition

Ein Satz Q wird von einem Satz P impliziert, wenn die folgende Beziehung gilt:

${\displaystyle (P\to Q)}$

Diese besagt, dass „wenn , dann “ oder „wenn Sokrates ein Mensch ist , dann ist Sokrates ein Mensch “. In einer Bedingung wie dieser ist das Antezedens und das Konsequente . Eine Aussage ist nur dann das Kontrapositiv der anderen, wenn ihr Antezedens die negierte Folge der anderen ist und umgekehrt. Ein Kontrapositiv hat also im Allgemeinen die Form: ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$.

Das heißt: "Wenn nicht- , dann nicht- " oder klarer: "Wenn nicht der Fall ist, dann ist P nicht der Fall." In unserem Beispiel wird dies als "Wenn Sokrates kein Mensch ist , dann ist Sokrates kein Mensch " wiedergegeben. Diese Aussage steht im Gegensatz zum Original und ist logisch äquivalent dazu. Aufgrund ihrer logischen Äquivalenz sagt die Angabe des einen effektiv das andere aus; wenn einer wahr ist , ist der andere auch wahr, und wenn einer falsch ist, ist der andere auch falsch. ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Streng genommen kann eine Kontraposition nur in zwei einfachen Konditionalen existieren. Eine Kontraposition kann jedoch auch in zwei komplexen, universellen Konditionalen bestehen, wenn sie ähnlich sind. So steht , oder "Alle s sind s" im Gegensatz zu , oder "Alle Nicht- s sind Nicht- s". ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Einfacher Beweis durch Definition einer Bedingung

In der Logik erster Ordnung ist die Bedingung definiert als:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow\,\neg A\lor B}$

die wie folgt ihrem Kontrapositiv äquivalent gemacht werden kann:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\bis \neg A\end{ausgerichtet} }}$

Einfacher Beweis durch Widerspruch

Lassen:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

Es ist gegeben, dass, wenn A wahr ist, B wahr ist, und es ist auch gegeben, dass B nicht wahr ist. Wir können dann durch Widerspruch zeigen, dass A nicht wahr sein darf. Denn wenn A wahr wäre, dann müsste auch B wahr sein (nach Modus Ponens ). Es ist jedoch gegeben, dass B nicht wahr ist, also haben wir einen Widerspruch. Daher ist A nicht wahr (vorausgesetzt, wir haben es mit bivalenten Aussagen zu tun , die entweder wahr oder falsch sind):

${\displaystyle (A\nach B)\nach (\neg B\nach \neg A)}$

Wir können den gleichen Prozess auch umgekehrt anwenden, beginnend mit den Annahmen, dass:

${\displaystyle (\neg B\nach \neg A)\land A}$

Hier wissen wir auch, dass B entweder wahr oder nicht wahr ist. Wenn B nicht wahr ist, dann ist auch A nicht wahr. Es ist jedoch gegeben, dass A wahr ist, sodass die Annahme, dass B nicht wahr ist, zu einem Widerspruch führt, was bedeutet, dass B nicht wahr ist. Daher muss B wahr sein:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Kombiniert man die beiden bewiesenen Aussagen miteinander, erhält man die gesuchte logische Äquivalenz zwischen einem Konditional und seinem Kontrapositiv:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

Strengerer Beweis der Äquivalenz von Kontrapositiven

Logische Äquivalenz zwischen zwei Aussagen bedeutet, dass sie zusammen wahr oder zusammen falsch sind. Um zu beweisen, dass Kontrapositive logisch äquivalent sind , müssen wir verstehen, wann die materielle Implikation wahr oder falsch ist.

${\displaystyle P\to Q}$

Dies ist nur dann falsch, wenn wahr und falsch ist. Daher können wir diesen Satz auf die Aussage „Falsch, wenn und nicht- “ (dh „Wahr, wenn es nicht der Fall ist und nicht- “) reduzieren : ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Die Elemente einer Konjunktion können ohne Wirkung vertauscht werden (durch Kommutativität ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Wir definieren als gleich " ", und als gleich (daher ist gleich , was gleich gerade ist ): ${\displaystyle R}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle \neg S}$${\displaystyle \neg \neg P}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Dies lautet "Es ist nicht der Fall, dass ( R ist wahr und S ist falsch)", was die Definition einer materiellen Bedingung ist. Wir können dann diese Ersetzung vornehmen:

${\displaystyle R\to S}$

Indem wir R und S wieder in und zurückverwandeln , erhalten wir dann das gewünschte Kontrapositiv: ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

Vergleiche

Beispiele

Nehmen Sie die Aussage " Alle roten Objekte haben Farbe. " Dies kann äquivalent ausgedrückt werden als " Wenn ein Objekt rot ist, dann hat es Farbe. "

• Das Kontrapositiv ist „ Wenn ein Gegenstand keine Farbe hat, dann ist er nicht rot. “ Dies folgt logisch aus unserer Ausgangsaussage und ist ebenso wie diese offensichtlich wahr.
• Die Umkehrung lautet: " Wenn ein Objekt nicht rot ist, hat es keine Farbe. " Ein Objekt, das blau ist, ist nicht rot und hat immer noch Farbe. Daher ist in diesem Fall die Umkehrung falsch.
• Die Umkehrung lautet: " Wenn ein Objekt Farbe hat, dann ist es rot. " Objekte können andere Farben haben, daher ist die Umkehrung unserer Aussage falsch.
• Die Negation lautet: " Es existiert ein rotes Objekt, das keine Farbe hat. " Diese Aussage ist falsch, weil die ursprüngliche Aussage, die sie negiert, wahr ist.

Mit anderen Worten, das Kontrapositiv ist logisch äquivalent zu einer gegebenen bedingten Aussage, wenn auch nicht ausreichend für eine bikonditionale .

Nehmen Sie in ähnlicher Weise die Aussage „ Alle Vierecke haben vier Seiten “ oder äquivalent ausgedrückt: „ Wenn ein Vieleck ein Viereck ist, dann hat es vier Seiten. “

• Das Kontrapositiv ist " Wenn ein Polygon keine vier Seiten hat, dann ist es kein Viereck. " Dies folgt logisch, und in der Regel teilen Kontrapositive den Wahrheitswert ihres Konditionals.
• Die Umkehrung lautet: " Wenn ein Polygon kein Viereck ist, hat es keine vier Seiten. " In diesem Fall ist im Gegensatz zum letzten Beispiel die Umkehrung der Aussage wahr.
• Die Umkehrung lautet: " Wenn ein Polygon vier Seiten hat, dann ist es ein Viereck. " Auch hier gilt, anders als im letzten Beispiel, die Umkehrung der Aussage.
• Die Verneinung lautet: „ Es gibt mindestens ein Viereck, das keine vier Seiten hat. “ Diese Aussage ist eindeutig falsch.

Da sowohl die Aussage als auch die Umkehrung wahr sind, wird sie als bikonditional bezeichnet und kann wie folgt ausgedrückt werden: " Ein Polygon ist genau dann ein Viereck , wenn es vier Seiten hat. " (der Ausdruck if and only if wird manchmal abgekürzt als iff .) Das heißt, vier Seiten zu haben ist sowohl notwendig, um ein Viereck zu sein, als auch allein ausreichend, um es als Viereck zu betrachten.

Wahrheit

• Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihr Kontrapositiv wahr (und umgekehrt).
• Wenn eine Aussage falsch ist, dann ist ihr Kontrapositiv falsch (und umgekehrt).
• Wenn die Umkehrung einer Aussage wahr ist, dann ist ihre Umkehrung wahr (und umgekehrt).
• Wenn die Umkehrung einer Aussage falsch ist, dann ist ihre Umkehrung falsch (und umgekehrt).
• Wenn die Negation einer Aussage falsch ist, ist die Aussage wahr (und umgekehrt).
• Wenn eine Aussage (oder ihr Kontrapositiv) und die Umkehrung (oder die Umkehrung) beide wahr oder beide falsch sind, wird dies als logisches B-Bedingung bezeichnet .

Anwendung

Da das Kontrapositiv einer Aussage immer denselben Wahrheitswert (Wahrheit oder Falschheit) wie die Aussage selbst hat, kann es ein mächtiges Werkzeug zum Beweis mathematischer Theoreme sein (insbesondere wenn die Wahrheit des Kontrapositivs leichter zu bestimmen ist als die Wahrheit der Aussage selbst). Ein Beweis durch Kontraposition (Kontrapositiv) ist ein direkter Beweis für das Kontrapositiv einer Aussage. Aber auch indirekte Methoden wie der Widerspruchsbeweis können mit Kontraposition verwendet werden, wie zum Beispiel beim Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel von 2 . Durch die Definition einer rationalen Zahl kann die Aussage gemacht werden, dass " Wenn rational ist, dann kann sie als irreduzibler Bruch ausgedrückt werden${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Diese Aussage ist wahr, weil sie eine Neuformulierung einer Definition ist. Das Kontrapositiv dieser Aussage ist „ Wenn es nicht als irreduzibler Bruch ausgedrückt werden kann, dann ist es nicht rational${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ “. Dieses Kontrapositiv ist ebenso wie die ursprüngliche Aussage richtig. Wenn also bewiesen werden kann, dass sich nicht als irreduzibler Bruch ausdrücken lässt, dann muss es der Fall sein, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt. Letzteres kann durch Widerspruch bewiesen werden. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Im vorherigen Beispiel wurde das Kontrapositiv einer Definition verwendet, um einen Satz zu beweisen. Man kann einen Satz auch beweisen, indem man das Kontrapositiv der Aussage des Satzes beweist. Um zu beweisen, dass, wenn eine positive ganze Zahl N eine nicht-quadratische Zahl ist , ihre Quadratwurzel irrational ist , können wir äquivalent beweisen, dass eine positive ganze Zahl N eine rationale Quadratwurzel hat, dann ist N eine Quadratzahl. Dies kann gezeigt werden, indem √ N gleich dem rationalen Ausdruck a/b gesetzt wird, wobei a und b positive ganze Zahlen ohne gemeinsamen Primfaktor sind, und Quadrieren, um N = a ² / b ^{2 zu erhalten,} und beachten, dass, da N eine positive ganze Zahl ist, b =1, so dass N = a ² , eine Quadratzahl.

Korrespondenz mit anderen mathematischen Frameworks

Intuitionistische Logik

In der intuitionistischen Logik kann die Aussage nicht als äquivalent bewiesen werden . Wir können beweisen, dass impliziert wird , aber die umgekehrte Implikation, from to , erfordert das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte oder ein äquivalentes Axiom. ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle P\to Q}$

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Kontraposition stellt eine Instanz des Bayes-Theorems dar, die in einer bestimmten Form wie folgt ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle \Pr(\not P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}}$.

In der obigen Gleichung verallgemeinert die bedingte Wahrscheinlichkeit die logische Aussage , dh wir können der Aussage neben WAHR oder FALSCH auch eine beliebige Wahrscheinlichkeit zuweisen. Der Begriff bezeichnet die Basisrate (auch bekannt als die vorherige Wahrscheinlichkeit ) von . Angenommen, das entspricht WAHR und das entspricht FALSCH. Es ist dann leicht zu erkennen, dass wann, dh wann WAHR ist. Dies liegt daran , dass der Bruch auf der rechten Seite der obigen Gleichung gleich 1 ist und daher äquivalent ist, WAHR zu sein. Daher stellt der Satz von Bayes eine Verallgemeinerung der Kontraposition dar . ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$${\displaystyle P\to\lnot Q}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to\lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$${\displaystyle P\to\lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Subjektive Logik

Die Kontraposition stellt ein Beispiel des subjektiven Bayes-Theorems in der subjektiven Logik dar, ausgedrückt als:

${\displaystyle (\omega_{P{\tilde{|}}Q}^{A},\omega_{P{\tilde{|}}\lnot Q}^{A})=(\omega_{ Q|P}^{A},\omega_{Q|\nicht P}^{A})\,{\widetilde {\phi\,}}\,a_{P}\,}$,

wobei bezeichnet ein Paar von binomialen bedingten Meinungen, die von der Quelle gegeben werden . Der Parameter bezeichnet die Basisrate (auch bekannt als die vorherige Wahrscheinlichkeit ) von . Das Paar invertierter bedingter Meinungen wird mit bezeichnet . Die bedingte Meinung verallgemeinert die logische Aussage , dh die Quelle kann der Aussage neben der Zuweisung von WAHR oder FALSCH jede beliebige subjektive Meinung zuordnen. Der Fall, in dem eine absolute WAHR-Meinung ist, entspricht der Aussage der Quelle , dass dies WAHR ist, und der Fall, in der eine absolute FALSCH-Meinung ist, entspricht der Aussage der Quelle , dass dies FALSCH ist. In dem Fall, in dem die bedingte Meinung absolut WAHR ist, erzeugt der subjektive Bayes-Theoremoperator der subjektiven Logik eine absolute FALSCH-bedingte Meinung und damit eine absolute WAHR-bedingte Meinung, die äquivalent dazu ist, WAHR zu sein. Daher stellt der subjektive Satz von Bayes eine Verallgemeinerung sowohl der Kontraposition als auch des Satzes von Bayes dar . ${\displaystyle (\omega_{Q|P}^{A},\omega_{Q|\lnot P}^{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (\omega_{P{\tilde{|}}Q}^{A},\omega_{P{\tilde{|}}\lnot Q}^{A})}$${\displaystyle \omega_{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega_{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega_{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega_{Q|P}^{A}}$${\displaystyle {\widetilde {\phi\,}}}$${\displaystyle \omega_{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \omega_{\not P{\widetilde {|}}\not Q}^{A}}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Siehe auch

• Reduction ad absurdum

Verweise

Quellen

• Audun Jøsang, 2016, Subjektive Logik; Ein Formalismus für das Denken unter Unsicherheit Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit Kontraposition bei Wikimedia Commons