Cours d'Analyse -Cours d'Analyse

Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique; Ich bin Partie. Analyze algébrique ist ein wegweisendes Lehrbuch in Infinitesimalrechnung, das1821von Augustin-Louis Cauchy veröffentlicht wurde. Der Artikel folgt der Übersetzung von Bradley und Sandifer bei der Beschreibung seines Inhalts.

Einführung

Auf Seite 1 der Einleitung schreibt Cauchy: "Wenn ich von der Kontinuität der Funktionen spreche, konnte ich nicht auf eine Behandlung der Haupteigenschaften unendlich kleiner Mengen verzichten, Eigenschaften, die als Grundlage für die Infinitesimalrechnung dienen." Die Übersetzer kommentieren in einer Fußnote: "Es ist interessant, dass Cauchy hier auch keine Grenzen erwähnt ."

Cauchy fährt fort: "Was die Methoden betrifft, habe ich versucht, ihnen die Genauigkeit zu geben, die man von der Geometrie verlangt , so dass man sich niemals auf Argumente verlassen muss, die aus der Allgemeinheit der Algebra stammen ."

Vorbereitungen

Auf Seite 6 erörtert Cauchy zunächst variable Größen und führt dann den Grenzwertbegriff folgendermaßen ein: "Wenn sich die einer bestimmten Variablen nacheinander zugewiesenen Werte auf unbestimmte Zeit einem festen Wert annähern, so dass sie sich letztendlich nur geringfügig von diesem unterscheiden." Wie wir wünschen, wird dieser feste Wert die Grenze aller anderen Werte genannt. "

Auf Seite 7 definiert Cauchy ein Infinitesimal wie folgt: "Wenn die aufeinanderfolgenden numerischen Werte einer solchen Variablen auf unbestimmte Zeit abnehmen, so dass sie unter eine bestimmte Zahl fallen, wird diese Variable zu dem, was wir als infinitesimal oder eine unendlich kleine Menge bezeichnen ." "" Cauchy fügt hinzu: "Eine Variable dieser Art hat Null als Grenze."

Auf Seite 10 verwechseln Bradley und Sandifer den versierten Kosinus mit dem bedeckten Sinus . Cauchy definierte ursprünglich den Sinus versus ( versine ) als siv ( θ ) = 1  - cos ( θ ) und den cosinus versus (was jetzt auch als Coversine bekannt ist ) als cosiv ( θ ) = 1  - sin ( θ ). In der Übersetzung werden jedoch der Cosinus versus (und cosiv) fälschlicherweise eher mit dem versierten Cosinus (was jetzt auch als Vercosin bekannt ist ) als mit dem bedeckten Sinus assoziiert .

Die Notation

lim

wird auf Seite 12 vorgestellt. Die Übersetzer bemerken in einer Fußnote: "Die Notation" Lim. " for limit wurde erstmals von Simon Antoine Jean L'Huilier (1750–1840) in [L'Huilier 1787, S. 31] verwendet. Cauchy schrieb dies als „lim“. in [Cauchy 1821, S. 13]. Die Periode war durch [Cauchy 1897, S. 26] verschwunden. "

Kapitel 2

Dieses Kapitel trägt den langen Titel "Über unendlich kleine und unendlich große Mengen und über die Kontinuität von Funktionen. Singuläre Werte von Funktionen in verschiedenen besonderen Fällen." Auf Seite 21 schreibt Cauchy: "Wir sagen, dass eine variable Größe unendlich klein wird, wenn ihr numerischer Wert unbegrenzt abnimmt, so dass er gegen den Grenzwert Null konvergiert." Auf derselben Seite finden wir das einzige explizite Beispiel für eine solche Variable, das in Cauchy zu finden ist, nämlich

${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {6}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {8}}, {\ frac {1} {7}}, \ ldots}$

Auf Seite 22 beginnt Cauchy die Diskussion der Größenordnungen von Infinitesimalen wie folgt: "Sei eine unendlich kleine Größe, dh eine Variable, deren numerischer Wert auf unbestimmte Zeit abnimmt. Wenn die verschiedenen ganzzahligen Potenzen von , nämlich ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha, \ alpha ^ {2}, \ alpha ^ {3}, \ ldots}$

Wenn Sie dieselbe Berechnung durchführen, werden diese verschiedenen Potenzen jeweils als unendlich klein der ersten , zweiten , dritten Ordnung usw. bezeichnet. Cauchy stellt fest, dass "die allgemeine Form unendlich kleiner Mengen der Ordnung n (wobei n eine ganze Zahl darstellt) ) wird sein

${\ displaystyle k \ alpha ^ {n} \ quad {}}$ oder zumindest .${\ displaystyle {} \ quad k \ alpha ^ {n} (1 \ pm \ varepsilon)}$

Auf den Seiten 23-25 ​​präsentiert Cauchy acht Sätze über Eigenschaften von Infinitesimalen verschiedener Ordnungen.

Abschnitt 2.2

Dieser Abschnitt trägt den Titel "Kontinuität der Funktionen". Cauchy schreibt: "Wenn wir , beginnend mit einem Wert von x , der zwischen diesen Grenzen enthalten ist, der Variablen x ein unendlich kleines Inkrement hinzufügen , wird die Funktion selbst um die Differenz erhöht ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle f (x + \ alpha) -f (x)}$""

und stellt fest, dass

"Die Funktion f ( x ) ist eine stetige Funktion von x zwischen den zugewiesenen Grenzen, wenn für jeden Wert von x zwischen diesen Grenzen der numerische Wert der Differenz unbegrenzt mit dem numerischen Wert von abnimmt ."${\ displaystyle f (x + \ alpha) -f (x)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Cauchy liefert eine kursive Definition der Kontinuität in den folgenden Begriffen:

" Die Funktion f ( x ) ist in Bezug auf x zwischen den gegebenen Grenzen stetig, wenn zwischen diesen Grenzen ein unendlich kleines Inkrement in der Variablen immer ein unendlich kleines Inkrement in der Funktion selbst erzeugt. "

Auf Seite 32 gibt Cauchy den Zwischenwertsatz an .

Summensatz

In Satz I in Abschnitt 6.1 (Seite 90 in der Übersetzung von Bradley und Sandifer) präsentiert Cauchy den Summensatz in den folgenden Begriffen.

Wenn die verschiedenen Terme der Reihe (1) Funktionen derselben Variablen x sind, die in Bezug auf diese Variable in der Nähe eines bestimmten Wertes, für den die Reihe konvergiert, stetig sind, ist die Summe s der Reihe auch eine stetige Funktion von x in die Nachbarschaft dieses besonderen Wertes.

Hier erscheint die Reihe (1) auf Seite 86: (1) ${\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n}, u_ {n + 1}, \ ldots}$

Literaturverzeichnis

• Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Algébrique analysieren" . Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique . 1 . L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi und die Bibliothèque du Roi . Abgerufen am 07.11.2015 .* Kostenlose Version bei archive.org
• Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (2010-01-14) [2009]. Buchwald, JZ (Hrsg.). Cauchys Cours d'analyse: Eine kommentierte Übersetzung . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik und Physik . Cauchy, Augustin-Louis . Springer Science + Business Media, LLC . S. 10, 285. doi : 10.1007 / 978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254 . 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Abgerufen am 09.11.2015 .
• Grabiner, Judith V. (1981). Die Ursprünge von Cauchys rigorosem Kalkül . Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.