Kubische Funktion - Cubic function

Diagramm einer kubischen Funktion mit 3 reellen Wurzeln (wobei die Kurve die horizontale Achse schneidet - wobei y = 0 ist ). Der gezeigte Fall hat zwei kritische Punkte . Hier ist die Funktion f ( x ) = ( x ³ + 3 x ² - 6 x - 8) / 4 .

In der Mathematik ist eine kubische Funktion eine Funktion der Form

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

wobei die Koeffizienten a , b , c und d sind reelle Zahlen , und die Variable x nimmt reelle Werte und a ≠ 0 . Mit anderen Worten, es ist sowohl eine Polynomfunktion vom dritten Grad als auch eine reale Funktion . Insbesondere sind die Domäne und die Codomäne die Menge der reellen Zahlen.

Das Setzen von f ( x ) = 0 erzeugt eine kubische Gleichung der Form

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

deren Lösungen werden Wurzeln der Funktion genannt.

Eine kubische Funktion hat entweder eine oder drei reelle Wurzeln (die möglicherweise nicht verschieden sind). Alle Polynome ungeraden Grades haben mindestens eine echte Wurzel.

Der Graph einer kubischen Funktion hat immer einen einzigen Wendepunkt . Es kann zwei kritische Punkte haben , ein lokales Minimum und ein lokales Maximum. Ansonsten ist eine kubische Funktion monoton . Der Graph einer kubischen Funktion ist in Bezug auf ihren Wendepunkt symmetrisch; Das heißt, es ist bei einer Drehung um eine halbe Umdrehung um diesen Punkt unveränderlich. Bis zu einer affinen Transformation gibt es nur drei mögliche Graphen für kubische Funktionen.

Kubische Funktionen sind für die kubische Interpolation von grundlegender Bedeutung .

Geschichte

Kritische Punkte und Wendepunkte

Die Wurzeln , stationären Punkte , Wendepunkte und Konkavitäten eines kubischen Polynoms x ³ - 3 x ² - 144 x + 432 (schwarze Linie) und seiner ersten und zweiten Ableitungen (rot und blau).

Die kritischen Punkte einer kubischen Funktion sind ihre stationären Punkte , dh die Punkte, an denen die Steigung der Funktion Null ist. Somit sind die kritischen Punkte einer kubischen Funktion f definiert durch

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d ,

treten bei Werten von x so auf, dass die Ableitung

${\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}$

der kubischen Funktion ist Null.

Die Lösungen dieser Gleichung sind die x- Werte der kritischen Punkte und werden unter Verwendung der quadratischen Formel durch gegeben

${\ displaystyle x _ {\ text {kritisch}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -3ac}}} {3a}}.}$

Das Vorzeichen des Ausdrucks innerhalb der Quadratwurzel bestimmt die Anzahl der kritischen Punkte. Wenn es positiv ist, gibt es zwei kritische Punkte, einer ist ein lokales Maximum und der andere ist ein lokales Minimum. Wenn b ² - 3 ac = 0 ist , gibt es nur einen kritischen Punkt, nämlich einen Wendepunkt . Wenn b ² - 3 ac <0 ist , gibt es keine (realen) kritischen Punkte. In den beiden letzteren Fällen, dh wenn b ² - 3 ac nicht positiv ist, ist die kubische Funktion streng monoton . In der Abbildung sehen Sie ein Beispiel für den Fall Δ ₀ > 0 .

Der Wendepunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem diese Funktion die Konkavität ändert . Ein Wendepunkt tritt auf, wenn die zweite Ableitung Null ist und die dritte Ableitung ungleich Null ist. Somit hat eine kubische Funktion immer einen einzigen Wendepunkt, der bei auftritt ${\ displaystyle f '' (x) = 6ax + 2b,}$

${\ displaystyle x _ {\ text {Flexion}} = - {\ frac {b} {3a}}.}$

Einstufung

Kubische Funktionen der Form Der Graph einer kubischen Funktion ähnelt einer solchen Kurve. ${\ displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Kurve , obwohl viele kubische Kurven keine Graphen von Funktionen sind.

Obwohl kubische Funktionen von vier Parametern abhängen, kann ihr Graph nur sehr wenige Formen haben. Tatsächlich ähnelt der Graph einer kubischen Funktion immer dem Graph einer Funktion der Form

${\ displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

Diese Ähnlichkeit kann als Zusammensetzung von Übersetzungen parallel zu den Koordinatenachsen, als Homothez ( gleichmäßige Skalierung ) und möglicherweise als Reflexion ( Spiegelbild ) in Bezug auf die y- Achse aufgebaut werden. Eine weitere ungleichmäßige Skalierung kann den Graphen in den Graphen einer der drei kubischen Funktionen umwandeln

${\ displaystyle {\ begin {align} y & = x ^ {3} + x \\ y & = x ^ {3} \\ y & = x ^ {3} -x. \ end {align}}}$

Dies bedeutet, dass es bis zu einer affinen Transformation nur drei Graphen kubischer Funktionen gibt .

Die obigen geometrischen Transformationen können auf folgende Weise erstellt werden, wenn von einer allgemeinen kubischen Funktion ausgegangen wird ${\ displaystyle y = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d.}$

Erstens, wenn a <0 ist , erlaubt die Änderung der Variablen x → - x die Annahme von a > 0 . Nach dieser Änderung der Variablen ist der neue Graph das Spiegelbild des vorherigen in Bezug auf die y- Achse.

Dann ist die Änderung der Variablen x = x ₁ - b /. 3 a bietet eine Funktion des Formulars

${\ displaystyle y = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1} + q.}$

Dies entspricht einer Translation parallel zur x- Achse.

Die Änderung der Variablen y = y ₁ + q entspricht einer Translation in Bezug auf die y- Achse und gibt eine Funktion der Form an

${\ displaystyle y_ {1} = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1}.}$

Die Änderung der Variablen entspricht einer einheitlichen Skalierung und ergibt nach Multiplikation mit einer Funktion der Form ${\ displaystyle \ textstyle x_ {1} = {\ frac {x_ {2}} {\ sqrt {a}}}, y_ {1} = {\ frac {y_ {2}} {\ sqrt {a}}} }}$${\ displaystyle {\ sqrt {a}},}$

${\ displaystyle y_ {2} = x_ {2} ^ {3} + px_ {2},}$

Dies ist die einfachste Form, die durch eine Ähnlichkeit erhalten werden kann.

Wenn dann p ≠ 0 ist , ergibt die ungleichmäßige Skalierung nach Division durch ${\ displaystyle \ textstyle x_ {2} = x_ {3} {\ sqrt {| p |}}, \ quad y_ {2} = y_ {3} {\ sqrt {| p | ^ {3}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {| p | ^ {3}}},}$

${\ displaystyle y_ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {3} \ operatorname {sgn} (p),}$

wo hat den Wert 1 oder –1, abhängig vom Vorzeichen von p . Wenn man die letztere Form definiert, gilt die Funktion für alle Fälle (mit und ). ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (p)}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (0) = 0,}$${\ displaystyle x_ {2} = x_ {3}}$${\ displaystyle y_ {2} = y_ {3}}$

Symmetrie

Für eine kubische Funktion der Form ist der Wendepunkt somit der Ursprung. Da eine solche Funktion eine ungerade Funktion ist , ist ihr Graph in Bezug auf den Wendepunkt symmetrisch und bei einer Drehung um eine halbe Umdrehung um den Wendepunkt unveränderlich. Da diese Eigenschaften aufgrund ihrer Ähnlichkeit unveränderlich sind , gilt Folgendes für alle kubischen Funktionen. ${\ displaystyle y = x ^ {3} + px,}$

Der Graph einer kubischen Funktion ist in Bezug auf ihren Wendepunkt symmetrisch und bei einer Drehung um eine halbe Umdrehung um den Wendepunkt unveränderlich.

Kollinearitäten

Die Punkte P ₁ , P ₂ und P ₃ (in blau) sind kollinear und gehören zum Graphen von x ³ + 3 /. 2 x ² - 5 /. 2 x + 5 /. 4 . Die Punkte T ₁ , T ₂ und T ₃ (in rot) sind die Schnittpunkte der (gepunkteten) Tangentenlinien zum Diagramm an diesen Punkten mit dem Diagramm selbst. Sie sind auch kollinear.

Die Tangenten an den Graphen einer kubischen Funktion an drei kollinearen Punkten schneiden die Kubik an kollinearen Punkten wieder ab. Dies kann wie folgt gesehen werden.

Da diese Eigenschaft bei einer starren Bewegung unveränderlich ist , kann man annehmen, dass die Funktion die Form hat

${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} + px.}$

Wenn α eine reelle Zahl ist, ist die Tangente an den Graphen von f am Punkt ( α , f ( α )) die Linie

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  '( α )): x ∈ R }.

So kann der Schnittpunkt zwischen dieser Linie und dem Graphen von f erhalten werden, indem die Gleichung f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  '( α ) gelöst wird , d. H.

${\ displaystyle x ^ {3} + px = \ alpha ^ {3} + p \ alpha + (x- \ alpha) (3 \ alpha ^ {2} + p),}$

was umgeschrieben werden kann

${\ displaystyle x ^ {3} -3 \ alpha ^ {2} x + 2 \ alpha ^ {3} = 0,}$

und faktorisiert als

${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} (x + 2 \ alpha) = 0.}$

Die Tangente fängt also die Kubik ab

${\ displaystyle (-2 \ alpha, -8 \ alpha ^ {3} -2p \ alpha) = (- 2 \ alpha, -8f (\ alpha) + 6p \ alpha).}$

Die Funktion, die einen Punkt ( x , y ) des Graphen auf den anderen Punkt abbildet , an dem die Tangente den Graphen abfängt, ist also

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (-2x, -8y + 6px).}$

Dies ist eine affine Transformation , die kollineare Punkte in kollineare Punkte umwandelt. Dies beweist das behauptete Ergebnis.

Kubische Interpolation

Angesichts der Werte einer Funktion und ihrer Ableitung an zwei Punkten gibt es genau eine kubische Funktion mit denselben vier Werten, die als kubischer Hermite-Spline bezeichnet wird .

Es gibt zwei Standardmethoden, um diese Tatsache zu nutzen. Erstens kann man, wenn man beispielsweise durch physikalische Messung die Werte einer Funktion und ihre Ableitung an einigen Abtastpunkten kennt, die Funktion mit einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion interpolieren , die eine stückweise kubische Funktion ist.

Wenn der Wert einer Funktion an mehreren Punkten bekannt ist, besteht die kubische Interpolation darin, die Funktion durch eine kontinuierlich differenzierbare Funktion zu approximieren , die stückweise kubisch ist. Für eine eindeutig definierte Interpolation müssen zwei weitere Einschränkungen hinzugefügt werden, z. B. die Werte der Ableitungen an den Endpunkten oder eine Krümmung von Null an den Endpunkten.

Referenz

Externe Links

• "Cardano-Formel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Geschichte der quadratischen, kubischen und quartischen Gleichungen im MacTutor-Archiv .