Krümmung - Curvature

Eine wandernde Dictyostelium discoideum - Wildtypzelle , deren Grenze durch Krümmung gefärbt ist. Maßstabsbalken: 5 µm.

In der Mathematik ist Krümmung eines von mehreren eng miteinander verbundenen Konzepten in der Geometrie . Intuitiv ist die Krümmung der Betrag, um den eine Kurve von einer geraden Linie oder eine Fläche von einer Ebene abweicht .

Für Kurven ist das kanonische Beispiel das eines Kreises , dessen Krümmung gleich dem Kehrwert seines Radius ist . Kleinere Kreise biegen sich stärker und haben daher eine höhere Krümmung. Die Krümmung an einem Punkt einer differenzierbaren Kurve ist die Krümmung ihres Schmiegkreises , also des Kreises, der die Kurve in der Nähe dieses Punktes am besten annähert . Die Krümmung einer Geraden ist Null. Im Gegensatz zur Tangente , die eine Vektorgröße ist, ist die Krümmung an einem Punkt typischerweise eine skalare Größe, dh sie wird durch eine einzige reelle Zahl ausgedrückt .

Für Flächen (und allgemeiner für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten ), die in einen euklidischen Raum eingebettet sind , ist der Begriff der Krümmung komplexer, da er von der Wahl einer Richtung auf der Fläche oder Mannigfaltigkeit abhängt. Dies führt zu den Konzepten der maximalen Krümmung , der minimalen Krümmung und der mittleren Krümmung .

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten (mindestens zwei Dimensionen), die nicht unbedingt in einen euklidischen Raum eingebettet sind, kann man die Krümmung intrinsisch , also ohne Bezug auf einen äußeren Raum, definieren. Siehe Krümmung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten für die Definition, die in Bezug auf die Länge von Kurven erfolgt, die auf der Mannigfaltigkeit verfolgt und unter Verwendung der linearen Algebra durch den Riemannschen Krümmungstensor ausgedrückt werden .

Geschichte

In Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum führt die Philosophin und Mathematikerin Nicole Oresme aus dem 14. Jahrhundert das Konzept der Krümmung als Maß für die Abweichung von der Geradheit ein; für Kreise hat er die Krümmung umgekehrt proportional zum Radius; und er versucht, diese Idee auf andere Kurven als eine sich ständig ändernde Größe auszudehnen.

Die Krümmung einer differenzierbaren Kurve wurde ursprünglich durch Schmiegkreise definiert . In dieser Einstellung zeigte Augustin-Louis Cauchy , dass der Krümmungsmittelpunkt der Schnittpunkt zweier unendlich naher Normalen zur Kurve ist.

Ebene Kurven

Intuitiv beschreibt die Krümmung für jeden Teil einer Kurve , wie viel sich die Krümmungsrichtung ändert über einem kleinen zurückgelegten Strecke (zB Winkel in rad / m ), so dass es ein Maß für die ist momentane Änderungsrate der Richtung eines Punktes, der sich bewegt on die Kurve: Je größer die Krümmung, desto größer diese Änderungsrate. Mit anderen Worten, die Krümmung misst, wie schnell sich der Einheitstangensvektor an die Kurve dreht (schnell in Bezug auf die Kurvenposition). Tatsächlich kann bewiesen werden, dass diese momentane Änderungsrate genau die Krümmung ist. Angenommen, der Punkt bewegt sich auf der Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit von einer Einheit, d. h. die Position des Punktes P ( s ) ist eine Funktion des Parameters s , den man sich als Zeit oder als Bogenlänge von einem gegebenen Ursprung. Sei T ( s ) ein Einheitstangensvektor der Kurve bei P ( s ) , der auch die Ableitung von P ( s ) nach s ist . Dann ist die Ableitung von T ( s ) nach s ein Vektor, der senkrecht zur Kurve steht und dessen Länge die Krümmung ist.

Um sinnvoll zu sein, erfordern die Definition der Krümmung und ihre unterschiedlichen Charakterisierungen, dass die Kurve in der Nähe von P kontinuierlich differenzierbar ist , um eine Tangente zu haben, die sich kontinuierlich ändert; es erfordert auch, dass die Kurve bei P zweimal differenzierbar ist , um die Existenz der beteiligten Grenzwerte und der Ableitung von T ( s ) sicherzustellen .

Die Charakterisierung der Krümmung durch die Ableitung des Einheitstangentenvektors ist wahrscheinlich weniger intuitiv als die Definition durch den Schmiegkreis, aber Formeln zur Berechnung der Krümmung sind einfacher herzuleiten. Daher und auch wegen ihrer Verwendung in der Kinematik wird diese Charakterisierung oft als Definition der Krümmung angegeben.

Schwingkreis

Historisch wurde die Krümmung einer differenzierbaren Kurve durch den Schmiegkreis definiert , der die Kurve an einem Punkt am besten annähert . Genauer angegeben, wird ein Punkt P jeder andere Punkt auf einer Kurve, Q definiert der Kurve einen Kreis (oder manchmal eine Linie) , die durch Q und Tangente an die Kurve an P . Der Schmiegkreis ist , falls vorhanden, die Grenze dieses Kreises, wenn Q gegen P strebt . Dann sind Mittelpunkt und Krümmungsradius der Kurve bei P der Mittelpunkt und der Radius des Schmiegkreises. Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius. Das heißt, die Krümmung ist

wobei R der Krümmungsradius ist (der ganze Kreis hat diese Krümmung, es kann als Windung über die Länge R gelesen werden ).

Diese Definition ist schwer zu manipulieren und in Formeln auszudrücken. Daher wurden andere äquivalente Definitionen eingeführt.

In Bezug auf die Parametrierung der Bogenlänge

Jede differenzierbare Kurve kann bezüglich der Bogenlänge parametrisiert werden . Im Fall einer ebenen Kurve bedeutet dies die Existenz einer Parametrisierung γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , wobei x und y reellwertige differenzierbare Funktionen sind, deren Ableitungen

Dies bedeutet, dass der Tangentenvektor

hat eine Norm gleich eins und ist somit ein Einheitstangensvektor .

Wenn die Kurve zweimal differenzierbar ist, dh wenn die zweiten Ableitungen von x und y existieren, dann existiert die Ableitung von T ( s ) . Dieser Vektor steht normal zur Kurve, seine Norm ist die Krümmung κ ( s ) und er ist zum Krümmungsmittelpunkt orientiert. Das ist,

Da der Krümmungsradius

und der Krümmungsmittelpunkt liegt auf der Normalen zur Kurve, der Krümmungsmittelpunkt ist der Punkt

Wenn N ( s ) der Einheitsnormalenvektor ist , der aus T ( s ) durch eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn vonπ/2, dann

mit k ( s ) = ± κ ( s ) . Die reelle Zahl k ( s ) wird orientierte oder vorzeichenbehaftete Krümmung genannt . Sie hängt sowohl von der Orientierung der Ebene (Definition gegen den Uhrzeigersinn) als auch von der durch die Parametrierung bereitgestellten Orientierung der Kurve ab. Tatsächlich liefert die Änderung der Variablen s → – s eine weitere Bogenlängenparametrisierung und ändert das Vorzeichen von k ( s ) .

Im Sinne einer allgemeinen Parametrisierung

Sei γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) eine echte parametrische Darstellung einer zweimal differenzierbaren ebenen Kurve. Hier geeignete Mittel , die auf der Domäne der Definition der Parametrisierung, die Ableitungd γ/dt definiert, differenzierbar und nirgends gleich dem Nullvektor.

Bei einer solchen Parametrisierung ist die Krümmung mit Vorzeichen

wobei sich Primzahlen auf Ableitungen nach t beziehen . Die Krümmung κ ist somit

Diese können koordinatenfrei ausgedrückt werden als

Diese Formeln lassen sich aus dem Spezialfall der Bogenlängenparametrisierung wie folgt ableiten. Die obige Bedingung der Parametrisierung impliziert, dass die Bogenlänge s eine differenzierbare monotone Funktion des Parameters t ist , und umgekehrt, dass t eine monotone Funktion von s ist . Darüber hinaus kann man annehmen, dass diese Funktionen steigen und eine positive Ableitung haben , wenn man bei Bedarf s in s ändert . Unter Verwendung der Notation des vorherigen Abschnitts und der Kettenregel hat man

und somit, indem man die Norm beider Seiten nimmt

wobei die Primzahl die Ableitung nach t bezeichnet .

Die Krümmung ist die Norm der Ableitung von T nach s . Durch die Verwendung dieser mit der obigen Formel und der Kettenregel - Derivat und seine Norm kann ausgedrückt werden als γ ' und γ " nur mit dem Lichtbogenlängenparameter s vollständig eliminiert, die obigen Formeln für die Krümmung zu geben.

Graph einer Funktion

Der Graph einer Funktion y = f ( x ) ist ein Spezialfall einer parametrisierten Kurve der Form

Da die erste und zweite Ableitung von x 1 und 0 sind, vereinfachen sich die vorherigen Formeln zu

für die Krümmung und zu

für die vorzeichenbehaftete Krümmung.

Im allgemeinen Fall einer Kurve ist das Vorzeichen der Krümmung mit Vorzeichen irgendwie willkürlich, da es von einer Orientierung der Kurve abhängt. Beim Graphen einer Funktion liegt eine natürliche Orientierung durch steigende Werte von x vor . Dies macht das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung bedeutsam.

Das Vorzeichen der Krümmung mit Vorzeichen ist das gleiche wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung von f . Wenn er positiv ist, weist der Graph eine nach oben gerichtete Konkavität auf, und wenn er negativ ist, weist der Graph eine nach unten gerichtete Konkavität auf. Ist er Null, dann hat man einen Wendepunkt oder einen Welligkeitspunkt .

Wenn die Steigung des Graphen (d. h. die Ableitung der Funktion) klein ist, wird die Krümmung mit Vorzeichen durch die zweite Ableitung gut angenähert. Genauer gesagt, mit großer O-Notation hat man

In der Physik und im Ingenieurwesen ist es üblich , die Krümmung mit der zweiten Ableitung anzunähern, zum Beispiel in der Balkentheorie oder zum Ableiten der Wellengleichung einer gespannten Saite und anderen Anwendungen, bei denen kleine Steigungen beteiligt sind. Dies ermöglicht es oft, Systeme, die ansonsten nichtlinear sind , als linear zu betrachten.

Polar Koordinaten

Wenn eine Kurve in Polarkoordinaten durch den als Funktion des Polarwinkels ausgedrückten Radius definiert ist , d. h. r ist eine Funktion von θ , dann ist ihre Krümmung

wobei die prime bezieht sich auf die Differenzierung in Bezug auf θ .

Dies ergibt sich aus der Formel für allgemeine Parametrisierungen unter Berücksichtigung der Parametrisierung

Implizite Kurve

Für eine Kurve durch eine definierte implizite Gleichung F ( x , y ) = 0 mit partiellen Ableitungen bezeichnet F x , F y , F xx , F xy , F yy wird die Krümmung gegeben ist durch

Die Krümmung mit Vorzeichen ist nicht definiert, da sie von einer Orientierung der Kurve abhängt, die nicht durch die implizite Gleichung bereitgestellt wird. Auch das Ändern von F in F ändert nicht die Kurve, ändert jedoch das Vorzeichen des Zählers, wenn der Absolutwert in der vorherigen Formel weggelassen wird.

Ein Punkt der Kurve mit F x = F y = 0 ist ein singulärer Punkt , was bedeutet, dass die Kurve an diesem Punkt nicht differenzierbar ist und somit die Krümmung nicht definiert ist (meistens ist der Punkt entweder ein Kreuzungspunkt oder eine Spitze ).

Obige Formel für die Krümmung kann aus dem Ausdruck der Krümmung des Graphen einer Funktion abgeleitet werden, indem man den Satz der impliziten Funktionen verwendet und die Tatsache, dass auf einer solchen Kurve gilt:

Beispiele

Es kann nützlich sein, an einfachen Beispielen zu überprüfen, dass die verschiedenen Formeln in den vorherigen Abschnitten das gleiche Ergebnis liefern.

Kreis

Eine gemeinsame Parametrisierung eines Kreises mit dem Radius r ist , γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . Die Formel für die Krümmung ergibt

Daraus folgt erwartungsgemäß, dass der Krümmungsradius der Kreisradius und der Krümmungsmittelpunkt der Kreismittelpunkt ist.

Der Kreis ist ein seltener Fall, in dem die Parametrisierung der Bogenlänge leicht zu berechnen ist, da sie

Es handelt sich um eine Bogenlängenparametrisierung, da die Norm von

ist gleich eins. Diese Parametrisierung ergibt den gleichen Wert für die Krümmung, da sie in der vorhergehenden Formel sowohl im Zähler als auch im Nenner einer Division durch r 3 entspricht .

Der gleiche Kreis kann auch durch die implizite Gleichung F ( x , y ) = 0 mit F ( x , y ) = x 2 + y 2r 2 definiert werden . Dann ergibt die Formel für die Krümmung in diesem Fall

Parabel

Betrachten Sie die Parabel y = ax 2 + bx + c .

Es ist der Graph einer Funktion mit der Ableitung 2 ax + b und der zweiten Ableitung 2 a . Die vorzeichenbehaftete Krümmung ist also

Es hat das Vorzeichen von a für alle Werte von x . Dies bedeutet, dass, wenn a > 0 ist , die Konkavität überall nach oben gerichtet ist; wenn a < 0 ist , ist die Konkavität nach unten gerichtet; für a = 0 ist die Krümmung überall Null, was bestätigt, dass die Parabel in diesem Fall zu einer Linie entartet.

Die (vorzeichenlose) Krümmung ist maximal für x = –B/2 a, also im stationären Punkt (Nullableitung) der Funktion, der der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Betrachten Sie die Parametrisierung γ ( t ) = ( t , bei 2 + bt + c ) = ( x , y ) . Die erste Ableitung von x ist 1 und die zweite Ableitung ist null. Das Einsetzen in die Formel für allgemeine Parametrisierungen ergibt genau das gleiche Ergebnis wie oben, wobei x durch t ersetzt wird . Wenn wir Primzahlen für Ableitungen bezüglich des Parameters t verwenden .

Dieselbe Parabel kann auch durch die implizite Gleichung F ( x , y ) = 0 mit F ( x , y ) = ax 2 + bx + cy definiert werden . Da F y = –1 , und F yy = F xy = 0 ist , erhält man genau den gleichen Wert für die (vorzeichenlose) Krümmung. Die Krümmung mit Vorzeichen ist hier jedoch bedeutungslos, da F ( x , y ) = 0 eine gültige implizite Gleichung für dieselbe Parabel ist, die das entgegengesetzte Vorzeichen für die Krümmung ergibt.

Frenet-Serret-Formeln für ebene Kurven

Die Vektoren T und N an zwei Punkten auf einer ebenen Kurve, eine übersetzte Version des zweiten Rahmens (gepunktet) und δ T die Änderung in T . Dabei ist δs der Abstand zwischen den Punkten. Im Limitd T/dswird in Richtung N sein . Die Krümmung beschreibt die Drehgeschwindigkeit des Rahmens.

Der Ausdruck der Krümmung In Bezug auf die Bogenlängenparametrisierung ist im Wesentlichen die erste Frenet-Serret-Formel

wobei sich die Primzahlen auf die Ableitungen nach der Bogenlänge s beziehen und N ( s ) der normale Einheitsvektor in Richtung von T ′(s) ist .

Da planare Kurven keine Torsion haben , liefert die zweite Frenet-Serret-Formel die Beziehung

Für eine allgemeine Parametrisierung durch einen Parameter t benötigt man Ausdrücke mit Ableitungen nach t . Da diese durch Multiplikation mit erhalten werdends/dtdie Ableitungen nach s hat man für jede richtige Parametrisierung

Raumkurven

Animation der Krümmung und des Beschleunigungsvektors T ′( s )

Wie bei Kurven in zwei Dimensionen ist die Krümmung einer regulären Raumkurve C in drei Dimensionen (und höher) der Betrag der Beschleunigung eines Teilchens, das sich mit Einheitsgeschwindigkeit entlang einer Kurve bewegt. Wenn also γ ( s ) die Bogenlängenparametrisierung von C ist, dann ist der Einheitstangensvektor T ( s ) gegeben durch

und die Krümmung ist der Betrag der Beschleunigung:

Die Richtung der Beschleunigung ist der Einheitsnormalenvektor N ( s ) , der definiert ist durch

Die Ebene , welche die zwei Vektoren T ( s ) und N ( s ) ist die Schmiegebene auf die Kurve bei γ ( s ) . Die Krümmung hat die folgende geometrische Interpretation. Es existiert ein Kreis in der Schmiegebene tangiert γ ( s ) , deren Taylorreihe zweiter Ordnung an dem Punkt des Kontakts mit der übereinstimmt γ ( s ) . Dies ist der Schmiegkreis zur Kurve. Der Radius des Kreises R ( s ) wird Krümmungsradius genannt , und die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius:

Tangente, Krümmung und Normalenvektor beschreiben zusammen das Verhalten zweiter Ordnung einer Kurve in der Nähe eines Punktes. In drei Dimensionen wird das Verhalten einer Kurve dritter Ordnung durch einen verwandten Begriff der Torsion beschrieben , der das Ausmaß misst, in dem sich eine Kurve als spiralförmige Bahn im Raum bewegt. Die Torsion und Krümmung sind durch die Frenet-Serret-Formeln (in drei Dimensionen) und deren Verallgemeinerung (in höheren Dimensionen) verbunden.

Allgemeine Ausdrücke

Für eine parametrisch definierte Raumkurve in drei Dimensionen in kartesischen Koordinaten gegeben durch γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , ist die Krümmung

wobei die Primzahl die Differentiation bezüglich des Parameters t bezeichnet . Dies lässt sich unabhängig vom Koordinatensystem ausdrücken durch die Formel

wobei × das Vektorkreuzprodukt bezeichnet . Äquivalent,

Hier bezeichnet das T die Matrixtransponierte des Vektors. Diese letzte Formel (ohne Kreuzprodukt) gilt auch für die Krümmung von Kurven in einem euklidischen Raum beliebiger Dimension.

Krümmung aus Bogen- und Sehnenlänge

Gegeben seien zwei Punkte P und Q auf C , lassen s ( P , Q ) sein , die Bogenlänge des Teils der Kurve zwischen P und Q und lassen d ( P , Q ) bezeichnen die Länge des Liniensegments von P bis Q . Die Krümmung von C bei P ist gegeben durch den Grenzwert

wobei der Grenzwert genommen wird, wenn sich der Punkt Q P auf C nähert . Der Nenner kann ebenso gut als d ( P , Q ) 3 angenommen werden . Die Formel ist in jeder Dimension gültig. Weiterhin wird durch die Grenze unabhängig voneinander auf beiden Seiten der Berücksichtigung P , Diese Definition der Krümmung kann manchmal eine Singularität bei aufnehmen P . Die Formel folgt, indem sie für den Schmiegkreis überprüft wird.

Oberflächen

Die Krümmung von auf einer Fläche gezeichneten Kurven ist das Hauptwerkzeug zum Definieren und Untersuchen der Krümmung der Fläche.

Kurven auf Oberflächen

Für eine Kurve auf einer Oberfläche gezeichnet (in dreidimensionalem eingebettet euklidischen Raum ), werden mehrere Krümmungen definiert ist , die die Richtung der Krümmung der Geräteoberfläche bezieht Normalvektor , einschließlich der:

Bei jeder nicht singulären Kurve auf einer glatten Oberfläche ist der Tangentenvektor T in der Tangentialebene der Oberfläche enthalten. Die normale Krümmung , k n , ist die Krümmung der Kurve auf die Ebene projiziert , die Kurve der Tangente enthaltenden T und die Oberflächennormale u ; die geodätische Krümmung , k g ist die Krümmung der Kurve auf die Tangentialebene projizierten Oberfläche; und die geodätische Torsion (oder relative Verdrehung ) τ r , misst die Änderungsrate der Oberflächennormalen um die Kurve der Tangente.

Die Kurve sei bogenlängenparametrisiert und sei t = u × T, so dass T , t , u eine Orthonormalbasis bilden , die als Darboux-Rahmen bezeichnet wird . Die oben genannten Mengen stehen im Zusammenhang mit:

Hauptkrümmung

Sattelfläche mit Normalebenen in Richtungen der Hauptkrümmungen

Alle Kurven auf der Fläche mit demselben Tangentenvektor an einem gegebenen Punkt haben dieselbe normale Krümmung, die der Krümmung der Kurve entspricht, die durch Schneiden der Fläche mit der Ebene erhalten wird, die T und u enthält . Unter allen möglichen Tangentenvektoren werden die Maximal- und Minimalwerte der normalen Krümmung an einem Punkt der genannten Hauptkrümmungen , k 1 und k 2 , und die Richtungen der entsprechenden Tangentenvektoren werden als Hauptnormalenrichtungen .

Normale Abschnitte

Die Krümmung kann entlang von Flächennormalenabschnitten ausgewertet werden , ähnlich wie bei § Kurven auf Flächen oben (siehe zB den Erdkrümmungsradius ).

Gaußsche Krümmung

Im Gegensatz zu Kurven, die keine intrinsische Krümmung, aber eine extrinsische Krümmung aufweisen (sie haben nur eine Krümmung bei einer Einbettung), können Oberflächen unabhängig von einer Einbettung eine intrinsische Krümmung aufweisen. Die Gaußsche Krümmung , benannt nach Carl Friedrich Gauß , ist gleich dem Produkt der Hauptkrümmungen k 1 k 2 . Sie hat eine Längendimension von −2 und ist positiv für Kugeln , negativ für einschichtige Hyperboloide und null für Ebenen und Zylinder . Sie bestimmt, ob eine Fläche lokal konvex (wenn sie positiv ist) oder lokal sattelförmig (wenn sie negativ ist) ist.

Die Gaußsche Krümmung ist eine intrinsische Eigenschaft der Oberfläche, dh sie hängt nicht von der speziellen Einbettung der Oberfläche ab; intuitiv bedeutet dies, dass auf der Oberfläche lebende Ameisen die Gaußsche Krümmung bestimmen könnten. Zum Beispiel könnte eine Ameise, die auf einer Kugel lebt, die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks messen und feststellen, dass sie größer als 180 Grad ist, was bedeutet, dass der Raum, den sie bewohnt, eine positive Krümmung aufweist. Andererseits würde eine auf einem Zylinder lebende Ameise eine solche Abweichung von der euklidischen Geometrie nicht feststellen ; insbesondere konnte die Ameise nicht erkennen, dass die beiden Oberflächen unterschiedliche mittlere Krümmungen aufweisen (siehe unten), was eine rein extrinsische Krümmung ist.

Formal hängt die Gaußsche Krümmung nur von der Riemannschen Metrik der Oberfläche ab. Dies ist das berühmte Theorema Egregium von Gauß , das er gefunden hat, als er sich mit geografischen Vermessungen und Kartenerstellung beschäftigte.

Eine intrinsische Definition der Gaußschen Krümmung an einem Punkt P ist die folgende: Stellen Sie sich eine Ameise vor, die mit einem kurzen Faden der Länge r an P gebunden ist . Es läuft um P während der Faden vollständig gestreckt wird und misst die Länge C ( r ) eines kompletten Reise um P . Wenn die Oberfläche flach wäre, würde die Ameise C ( r ) = 2π r finden . Auf gekrümmten Oberflächen ist die Formel für C ( r ) eine andere, und die Gaußsche Krümmung K am Punkt P kann mit dem Satz von Bertrand-Diguet-Puiseux als . berechnet werden

Das Integral der Gaußschen Krümmung über die gesamte Fläche hängt eng mit der Euler-Charakteristik der Fläche zusammen ; siehe den Satz von Gauss-Bonnet .

Das diskrete Analogon der Krümmung, das einer punktuell konzentrierten Krümmung entspricht und für Polyeder besonders nützlich ist , ist der (Winkel-)Defekt ; das analoge für den Satz von Gauß-Bonnet IS Satz von Descartes auf Gesamtwinkelfehler .

Da eine (Gaußsche) Krümmung ohne Bezug auf einen Einbettungsraum definiert werden kann, ist es nicht erforderlich, dass eine Fläche in einen höherdimensionalen Raum eingebettet wird, um gekrümmt zu werden. Eine solche intrinsisch gekrümmte zweidimensionale Fläche ist ein einfaches Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit .

Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist ein extrinsisches Maß für die Krümmung gleich der Hälfte der Summe der Hauptkrümmungen ,k 1 + k 2/2. Es hat die Dimension der Länge -1 . Die mittlere Krümmung hängt eng mit der ersten Variation des Oberflächenbereichs zusammen . Insbesondere hat eine minimale Oberfläche wie ein Seifenfilm eine mittlere Krümmung von Null und eine Seifenblase hat eine konstante mittlere Krümmung. Im Gegensatz zur Gauss-Krümmung ist die mittlere Krümmung extrinsisch und hängt von der Einbettung ab, zum Beispiel sind ein Zylinder und eine Ebene lokal isometrisch, aber die mittlere Krümmung einer Ebene ist null, während die eines Zylinders nicht null ist.

Zweite Grundform

Die intrinsische und die extrinsische Krümmung einer Fläche lassen sich in der zweiten Grundform zusammenfassen. Dies ist eine quadratische Form in der Tangentialebene an die Fläche an einem Punkt, dessen Wert bei einem bestimmten Tangentenvektor X an die Fläche die Normalkomponente der Beschleunigung einer Kurve entlang der Flächentangente an X ist ; das heißt, es ist die normale Krümmung zu einer Kurve tangential zu X (siehe oben ). Symbolisch,

wobei N die Einheit senkrecht zur Oberfläche ist. Für Einheitstangensvektoren X nimmt die zweite Grundform den Maximalwert k 1 und den Minimalwert k 2 an , die in den Hauptrichtungen u 1 bzw. u 2 auftreten . Somit ist nach dem Hauptachsensatz die zweite Fundamentalform

Somit kodiert die zweite Grundform sowohl die intrinsischen als auch die extrinsischen Krümmungen.

Formoperator

Eine Kapselung der Oberflächenkrümmung kann im Formoperator S gefunden werden , der ein selbstadjungierter linearer Operator von der Tangentialebene an sich selbst ist (insbesondere das Differential der Gauß-Abbildung ).

Für eine Fläche mit Tangentenvektoren X und Normale N kann der Formoperator kompakt in der Indexsummenschreibweise ausgedrückt werden als

(Vergleichen Sie den alternativen Krümmungsausdruck für eine ebene Kurve.)

Die Weingarten-Gleichungen geben den Wert von S in Bezug auf die Koeffizienten der ersten und zweiten Fundamentalform als

Die Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte des Formoperators, die Hauptkrümmungsrichtungen sind seine Eigenvektoren , die Gauss-Krümmung ist seine Determinante und die mittlere Krümmung ist die halbe Spur .

Raumkrümmung

In Erweiterung des ersten Arguments kann ein Raum von drei oder mehr Dimensionen intrinsisch gekrümmt sein. Die Krümmung ist in dem Sinne intrinsisch, dass sie eine Eigenschaft ist, die an jedem Punkt im Raum definiert ist, und nicht eine Eigenschaft, die in Bezug auf einen größeren Raum definiert ist, der sie enthält. Im Allgemeinen kann ein gekrümmter Raum als in einen höherdimensionalen Umgebungsraum eingebettet betrachtet werden oder nicht ; wenn nicht, dann kann seine Krümmung nur intrinsisch definiert werden.

Nach der Entdeckung der intrinsischen Definition der Krümmung, die eng mit der nichteuklidischen Geometrie verbunden ist , stellten viele Mathematiker und Wissenschaftler die Frage, ob der gewöhnliche physikalische Raum gekrümmt sein könnte, obwohl der Erfolg der euklidischen Geometrie bis zu dieser Zeit bedeutete, dass der Krümmungsradius astronomisch groß sein. In der Allgemeinen Relativitätstheorie , die Gravitation und Kosmologie beschreibt , wird die Idee leicht auf die "Krümmung der Raumzeit " verallgemeinert ; In der Relativitätstheorie ist die Raumzeit eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit . Sobald eine Zeitkoordinate definiert ist, ist der einer bestimmten Zeit entsprechende dreidimensionale Raum im Allgemeinen eine gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeit; Da die Wahl der Zeitkoordinaten jedoch weitgehend willkürlich ist, ist die zugrunde liegende Raumzeitkrümmung physikalisch bedeutsam.

Obwohl ein beliebig gekrümmter Raum sehr komplex zu beschreiben ist, wird die Krümmung eines lokal isotropen und homogenen Raums durch eine einzige Gaußsche Krümmung wie bei einer Fläche beschrieben; mathematisch sind dies starke Bedingungen, aber sie entsprechen vernünftigen physikalischen Annahmen (alle Punkte und alle Richtungen sind nicht unterscheidbar). Eine positive Krümmung entspricht dem inversen quadratischen Krümmungsradius; ein Beispiel ist eine Kugel oder Hypersphäre . Ein Beispiel für einen negativ gekrümmten Raum ist die hyperbolische Geometrie . Ein Raum oder eine Raumzeit ohne Krümmung heißt flach . Zum Beispiel ist der euklidische Raum ein Beispiel für einen flachen Raum und der Minkowski-Raum ist ein Beispiel für eine flache Raumzeit. Es gibt jedoch auch andere Beispiele für flache Geometrien in beiden Einstellungen. Ein Torus oder ein Zylinder können beide flache Metriken erhalten, unterscheiden sich jedoch in ihrer Topologie . Für gekrümmte Räume sind auch andere Topologien möglich. Siehe auch Form des Universums .

Verallgemeinerungen

Der parallele Transport eines Vektors von ANBA ergibt einen anderen Vektor. Dieses Versäumnis, zum Anfangsvektor zurückzukehren, wird durch die Holonomie der Oberfläche gemessen.

Der mathematische Begriff der Krümmung wird auch in viel allgemeineren Zusammenhängen definiert. Viele dieser Verallgemeinerungen betonen verschiedene Aspekte der Krümmung, wie sie in niedrigeren Dimensionen verstanden wird.

Eine solche Verallgemeinerung ist kinematisch. Die Krümmung einer Kurve kann natürlich als kinematische Größe betrachtet werden, die die Kraft repräsentiert, die ein bestimmter Beobachter, der sich entlang der Kurve bewegt, fühlt; analog kann die Krümmung in höheren Dimensionen als eine Art Gezeitenkraft angesehen werden (dies ist eine Denkweise der Schnittkrümmung ). Diese Verallgemeinerung der Krümmung hängt davon ab, wie nahe Testteilchen divergieren oder konvergieren, wenn sie sich frei im Raum bewegen dürfen; siehe Jacobi-Feld .

Eine weitere allgemeine Verallgemeinerung der Krümmung stammt aus der Untersuchung des Paralleltransports auf einer Oberfläche. Wenn beispielsweise ein Vektor um eine Schleife auf der Oberfläche einer Kugel bewegt wird, die während der gesamten Bewegung parallel bleibt, dann ist die Endposition des Vektors möglicherweise nicht dieselbe wie die Anfangsposition des Vektors. Dieses Phänomen wird als Holonomie bezeichnet . Verschiedene Verallgemeinerungen erfassen in abstrakter Form diese Idee der Krümmung als Maß der Holonomie; siehe Krümmungsform . Ein eng verwandter Begriff der Krümmung stammt aus der Eichtheorie in der Physik, wo die Krümmung ein Feld darstellt und ein Vektorpotential für das Feld eine im Allgemeinen wegabhängige Größe ist: Es kann sich ändern, wenn sich ein Beobachter um eine Schleife bewegt.

Zwei weitere Verallgemeinerungen der Krümmung sind die skalare Krümmung und die Ricci-Krümmung . Bei einer gekrümmten Oberfläche wie der Kugel unterscheidet sich die Fläche einer Scheibe auf der Oberfläche von der Fläche einer Scheibe mit gleichem Radius im flachen Raum. Diese Differenz (in einem geeigneten Grenzwert) wird durch die skalare Krümmung gemessen. Der Flächenunterschied eines Sektors der Scheibe wird durch die Ricci-Krümmung gemessen. Sowohl die Skalarkrümmung als auch die Ricci-Krümmung werden auf analoge Weise in drei und höheren Dimensionen definiert. Sie sind besonders wichtig in der Relativitätstheorie, wo sie beide auf der Seite von Einsteins Feldgleichungen erscheinen , die die Geometrie der Raumzeit darstellt (deren andere Seite das Vorhandensein von Materie und Energie darstellt). Diese Verallgemeinerungen der Krümmung liegen zum Beispiel der Vorstellung zugrunde, dass Krümmung eine Eigenschaft eines Maßes sein kann ; siehe Krümmung eines Maßes .

Eine weitere Verallgemeinerung der Krümmung beruht auf der Fähigkeit zu vergleichen einen gekrümmten Raum mit einem anderen Raum, der hat konstante Krümmung. Oft geschieht dies mit Dreiecken in den Zwischenräumen. Der Begriff eines Dreiecks macht in metrischen Räumen Sinn , und dies führt zu CAT( k ) -Räumen .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links