Dedekind-unendliche Menge - Dedekind-infinite set

In der Mathematik ist ein Satz A ist Dedekind-unendlich (benannt nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind ) , wenn einige richtige Teilmenge B von A ist gleichmächtig zu A . Explizit bedeutet dies, dass es eine bijektive Funktion von A auf eine echte Teilmenge B von A gibt . Eine Menge ist Dedekind-endlich, wenn sie nicht Dedekind-unendlich ist (dh keine solche Bijektion existiert). Die Dedekind-Unendlichkeit wurde 1888 von Dedekind vorgeschlagen und war die erste Definition von "unendlich", die sich nicht auf die Definition der natürlichen Zahlen stützte .

Ein einfaches Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen . Aus Galileis Paradoxon gibt es eine Bijektion, die jede natürliche Zahl n auf ihr Quadrat n 2 abbildet . Da die Menge der Quadrate eine echte Teilmenge von ist , ist Dedekind-unendlich.

Bis die grundlegende Krise der Mathematik die Notwendigkeit einer sorgfältigeren Behandlung der Mengenlehre zeigte, nahmen die meisten Mathematiker an, dass eine Menge genau dann unendlich ist, wenn sie Dedekind-unendlich ist. Im frühen zwanzigsten Jahrhundert wurde die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie , heute die am häufigsten verwendete Form der axiomatischen Mengenlehre , als axiomatisches System vorgeschlagen , um eine Theorie der Mengen zu formulieren , die frei von Paradoxien wie dem Russellschen Paradoxon ist . Unter Verwendung der Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem ursprünglich sehr umstrittenen Auswahlaxiom ( ZFC ) kann man zeigen, dass eine Menge genau dann Dedekind-endlich ist, wenn sie im üblichen Sinne endlich ist . Es gibt jedoch ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ohne das Auswahlaxiom ( ZF ), in dem es eine unendliche, Dedekind-endliche Menge gibt, die zeigt, dass die Axiome von ZF nicht stark genug sind, um zu beweisen, dass jede Menge, die Dedekind . ist, -endlich ist endlich. Es gibt neben der von Dedekind gegebenen Definition der Endlichkeit und Unendlichkeit von Mengen , die nicht vom Auswahlaxiom abhängen.

Ein vage verwandter Begriff ist der eines Dedekind-endlichen Rings . Ein Ring wird gesagt , ein Dedekind-Ring endlichen, wenn AB = 1 impliziert ba = 1 für beliebige zwei Ringelemente a und b . Diese Ringe wurden auch direkt endliche Ringe genannt.

Vergleich mit der üblichen Definition der unendlichen Menge

Diese Definition der " unendlichen Menge " ist mit der üblichen Definition zu vergleichen: Eine Menge A ist unendlich, wenn sie nicht mit einer endlichen Ordinalzahl in Bijektion gesetzt werden kann , nämlich eine Menge der Form {0, 1, 2, ..., n −1} für eine natürliche Zahl n – eine unendliche Menge ist eine, die buchstäblich "nicht endlich" im Sinne der Bijektion ist.

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts nahmen die meisten Mathematiker einfach an, dass eine Menge genau dann unendlich ist, wenn sie Dedekind-unendlich ist. Diese Äquivalenz kann jedoch nicht mit den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom (AC) (meist als „ ZF “ bezeichnet) bewiesen werden . Die volle Stärke von AC wird nicht benötigt, um die Äquivalenz zu beweisen; tatsächlich ist die Äquivalenz der beiden Definitionen strikt schwächer als das Axiom der abzählbaren Wahl (CC). (Siehe die Referenzen unten.)

Dedekind-unendliche Mengen in ZF

Eine Menge A ist Dedekind-unendlich, wenn sie eine und dann alle der folgenden äquivalenten (über ZF ) Bedingungen erfüllt:

es ist dual Dedekind-unendlich, wenn:

  • es gibt eine Funktion f  : A → A , die surjektiv, aber nicht injektiv ist;

es ist schwach Dedekind-unendlich, wenn es eine und dann alle der folgenden äquivalenten (über ZF ) Bedingungen erfüllt:

  • es existiert eine surjektive Abbildung von A auf eine abzählbar unendliche Menge;
  • die Potenz von A ist Dedekind-unendlich;

und es ist unendlich, wenn:

  • für jede natürliche Zahl n gibt es keine Bijektion von {0, 1, 2, ..., n−1} nach A .

Dann beweist ZF die folgenden Implikationen: Dedekind-unendlich ⇒ dual Dedekind-unendlich ⇒ schwach Dedekind-unendlich ⇒ unendlich.

Es gibt Modelle von ZF mit unendlicher Dedekind-endlicher Menge. Sei A eine solche Menge und sei B die Menge endlicher injektiver Folgen aus A . Da A unendlich ist, ist die Funktion "das letzte Element von B auf sich selbst fallen lassen" surjektiv, aber nicht injektiv, also ist B dual Dedekind-unendlich. Da A jedoch Dedekind-endlich ist, ist es auch B (wenn B eine abzählbar unendliche Teilmenge hätte, dann könnte man unter Verwendung der Tatsache, dass die Elemente von B injektive Folgen sind, eine abzählbar unendliche Teilmenge von A aufweisen ).

Wenn Mengen zusätzliche Strukturen haben, können beide Arten von Unendlichkeit manchmal über ZF äquivalent bewiesen werden . ZF beweist zum Beispiel, dass eine wohlgeordnete Menge genau dann Dedekind-unendlich ist, wenn sie unendlich ist.

Geschichte

Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind benannt , der die Definition zuerst explizit einführte. Es ist bemerkenswert, dass diese Definition die erste Definition von "unendlich" war, die sich nicht auf die Definition der natürlichen Zahlen stützte (es sei denn, man folgt Poincaré und betrachtet den Begriff der Zahl sogar als den Begriff der Menge). Obwohl Bernard Bolzano eine solche Definition bekannt war, wurde er durch die Bedingungen seines politischen Exils von der Universität Prag im Jahr 1819 daran gehindert, seine Arbeit in irgendwelchen außer den obskuren Zeitschriften zu veröffentlichen zwischen zwei unendlichen Mengen, anstatt eine Definition einer unendlichen Menge an sich .

Lange Zeit hatten viele Mathematiker nicht einmal daran gedacht, dass es einen Unterschied zwischen den Begriffen der unendlichen Menge und der Dedekind-unendlichen Menge geben könnte. Tatsächlich wurde die Unterscheidung erst richtig erkannt, als Ernst Zermelo das AC explizit formulierte. Die Existenz unendlicher, Dedekind-endlicher Mengen wurde 1912 von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead untersucht ; diese Sets wurden zunächst Mediate-Kardinäle oder Dedekind-Kardinäle genannt .

Mit der allgemeinen Akzeptanz des Auswahlaxioms in der mathematischen Gemeinschaft sind diese Fragen in Bezug auf unendliche und Dedekind-unendliche Mengen für die meisten Mathematiker weniger zentral geworden. Das Studium der Dedekind-Unendlichen Mengen spielte jedoch eine wichtige Rolle bei dem Versuch, die Grenze zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen zu klären, und spielte auch eine wichtige Rolle in der Geschichte des AC.

Beziehung zum Auswahlaxiom

Da jeder unendliche wohlgeordnete Menge Dedekind-unendlich ist, und da der AC auf den äquivalent ist gut Ordnungssatz besagt , dass jeder Satz gut bestellt werden kann, eindeutig der allgemeine AC impliziert , dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist. Die Äquivalenz der beiden Definitionen ist jedoch viel schwächer als die volle Stärke von AC.

Insbesondere existiert ein ZF- Modell, in dem es eine unendliche Menge ohne abzählbar unendliche Teilmenge gibt. Daher existiert in diesem Modell eine unendliche, Dedekind-endliche Menge. Nach dem oben Gesagten kann ein solches Set in diesem Modell nicht gut geordnet werden.

Wenn wir das Axiom CC (dh AC ω ) annehmen , dann folgt, dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist. Allerdings ist die Äquivalenz dieser beiden Definitionen sogar streng genommen schwächer als die des CC. Explizit existiert ein Modell von ZF, in dem jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist, aber die CC versagt (konsistenz von ZF vorausgesetzt ).

Beweis der Äquivalenz zu Unendlich unter Annahme des Axioms der abzählbaren Wahl

Dass jede Dedekind-unendliche Menge unendlich ist, lässt sich leicht in ZF beweisen: Jede endliche Menge hat per Definition eine Bijektion mit einer endlichen Ordinalzahl n , und man kann durch Induktion über n beweisen, dass dies nicht Dedekind-unendlich ist.

Mit dem Axiom der abzählbaren Wahl (Bezeichnung: Axiom CC) kann man die Umkehrung beweisen, nämlich dass jede unendliche Menge X Dedekind-unendlich ist, wie folgt:

Zuerst definieren , eine Funktion über die natürlichen Zahlen (das heißt, über das finite ordinals) f  : N → Power (Leistung ( X )) , so dass für jede natürliche Zahl n , f ( n ) ist der Satz von finiten Teilmengen von X der Größe n (dh die eine Bijektion mit der endlichen Ordinalzahl n haben ). f ( n ) ist nie leer, sonst wäre X endlich (wie man durch Induktion über n beweisen kann ).

Das Bild von f ist die abzählbare Menge { f ( n ) | n ∈ N }, deren Mitglieder selbst unendliche (und möglicherweise überzählige) Mengen sind. Unter Verwendung des Axioms der abzählbaren Auswahl können wir aus jeder dieser Mengen ein Glied auswählen, und dieses Glied ist selbst eine endliche Teilmenge von X . Genauer gesagt existiert nach dem Axiom der abzählbaren Wahl eine (abzählbare) Menge, G = { g ( n ) | n ∈ N }, so daß für jede natürliche Zahl n , g ( n ) ist ein Mitglied von f ( n ) und ist daher eine endliche Teilmenge von X der Größe N .

Nun definieren wir U als Vereinigung der Glieder von G . U ist eine unendliche abzählbare Teilmenge von X , und eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf U , h  : N → U , kann leicht definiert werden. Wir können nun eine Bijektion B  : X → X ∖ h (0) definieren , die jedes Glied, das nicht in U ist, zu sich nimmt und h ( n ) für jede natürliche Zahl zu h ( n + 1) nimmt . Daher ist X Dedekind-unendlich, und wir sind fertig.

Verallgemeinerungen

Kategorietheoretisch ausgedrückt ist eine Menge A Dedekind-endlich, wenn in der Kategorie der Mengen jeder Monomorphismus f  : A → A ein Isomorphismus ist. Ein von Neumann regelmäßigen Ring R hat die analoge Eigenschaft in der Kategorie (links oder rechts) R -Moduln wenn und nur wenn in R , xy = 1 impliziert yx = 1 . Allgemeiner gesagt ist ein Dedekind-endlicher Ring jeder Ring, der die letztere Bedingung erfüllt. Beachten Sie, dass ein Ring Dedekind-endlich sein kann, selbst wenn seine zugrunde liegende Menge Dedekind-unendlich ist, zB die ganzen Zahlen.

Anmerkungen

Verweise

  • Glaube, Carl Clifton. Mathematische Übersichten und Monographien . Band 65. Amerikanische Mathematische Gesellschaft. 2. Aufl. AMS Buchhandlung, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice , Springer-Verlag, 1982 (vergriffen), ISBN  0-387-90670-3 , insbesondere S. 22-30 und Tabellen 1 und 2 auf S. 28. 322-323
  • Jech, Thomas J. , Das Axiom der Wahl , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen . Band 131 Graduiertentexte in Mathematik . 2. Aufl. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN Druckausgabe 0075–8434, ISSN elektronische Ausgabe: 1617–9692, insbesondere Abschnitt 4.1.