Grad einer Felderweiterung - Degree of a field extension

In der Mathematik , genauer gesagt in der Feldtheorie , ist der Grad einer Felderweiterung ein grobes Maß für die "Größe" der Felderweiterung . Das Konzept spielt in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle, einschließlich der Algebra und der Zahlentheorie – und zwar in jedem Bereich, in dem Felder im Vordergrund stehen.

Definition und Notation

Angenommen, E / F ist eine Felderweiterung . Dann kann E als Vektorraum über F (dem Feld der Skalare) betrachtet werden. Die Dimension dieses Vektorraums wird als Grad der Körpererweiterung bezeichnet und mit [E:F] bezeichnet.

Der Grad kann endlich oder unendlich sein, der Körper wird dementsprechend als endliche Erweiterung oder unendliche Erweiterung bezeichnet . Eine Erweiterung E / F wird manchmal auch als einfach endlich bezeichnet, wenn sie eine endliche Erweiterung ist; dies sollte nicht damit verwechselt werden, dass die Felder selbst endliche Felder sind (Felder mit endlich vielen Elementen).

Der Grad darf nicht mit dem Transzendenzgrad eines Feldes verwechselt werden ; zum Beispiel hat der Körper Q ( X ) rationaler Funktionen unendlichen Grad über Q , aber Transzendenzgrad nur gleich 1.

Die Multiplikativitätsformel für Grade

Bei drei in einem Turm angeordneten Körpern , sagen wir K ein Unterkörper von L , der wiederum ein Unterkörper von M ist , gibt es eine einfache Beziehung zwischen den Graden der drei Erweiterungen L / K , M / L und M / K :

Mit anderen Worten, der Grad, der von "unten" nach "oben" geht, ist nur das Produkt der Grade, die von "unten" nach "Mitte" und dann von "Mitte" nach "oben" gehen. Es ist ziemlich analog zum Satz von Lagrange in der Gruppentheorie , der die Ordnung einer Gruppe mit der Ordnung und dem Index einer Untergruppe in Beziehung setzt – tatsächlich zeigt die Galois-Theorie , dass diese Analogie mehr als nur ein Zufall ist.

Die Formel gilt sowohl für endliche als auch für unendliche Erweiterungen. Im unendlichen Fall wird das Produkt im Sinne von Kardinalzahlenprodukten interpretiert . Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn M / K endlich ist, sowohl M / L als auch L / K endlich sind.

Wenn M / K endlich ist, dann erlegt die Formel den Arten von Feldern, die zwischen M und K auftreten können , durch einfache arithmetische Überlegungen starke Beschränkungen auf . Wenn zum Beispiel der Grad [ M : K ] eine Primzahl p ist , dann kann für jeden Zwischenkörper L eines von zwei Dingen passieren: entweder [ M : L ] = p und [ L : K ] = 1, wobei Fall L gleich K ist oder [ M : L ] = 1 und [ L : K ] = p , in welchem ​​Fall L gleich M ist . Daher gibt es keine Zwischenfelder (außer M und K selbst).

Beweis der Multiplikativitätsformel im endlichen Fall

Angenommen, K , L und M bilden einen Turm von Feldern wie in der obigen Gradformel, und sowohl d = [ L : K ] als auch e = [ M : L ] seien endlich. Dies bedeutet, dass wir eine Basis { u 1 , ..., u d } für L über K und eine Basis { w 1 , ..., w e } für M über L auswählen können . Wir werden zeigen, dass die Elemente u m w n , für m bis 1, 2, ..., d und n bis 1, 2, ..., e , eine Basis für M / K bilden ; da es genau ist , de von ihnen, beweist dies , dass die Dimension der M / K ist de , die das gewünschte Ergebnis ist.

Zuerst prüfen wir, ob sie M / K aufspannen . Wenn x irgendein Element von M ist , dann können wir , da die w n eine Basis für M über L bilden , Elemente a n in L finden, so dass

Dann wird , da die U m eine Grundlage für die Bildung von L über K wir Elemente finden B m , n in K , so dass für jedes n ,

Dann mit dem Distributivgesetzes und Assoziativität der Multiplikation in M haben wir

was zeigt, dass x eine Linearkombination von u m w n mit Koeffizienten von K ist ; mit anderen Worten, sie spannen M über K auf .

Zweitens müssen wir überprüfen, ob sie über K linear unabhängig sind . Also gehe davon aus

für einige Koeffizienten b m , n in K . Unter erneuter Verwendung von Distributivität und Assoziativität können wir die Terme gruppieren als

und wir sehen, dass die Terme in Klammern null sein müssen, weil sie Elemente von L sind und w n über L linear unabhängig sind . Das ist,

für jedes n . Dann wird , da die b m , n Koeffizienten sind in K , und die u m linear unabhängig über K , müssen wir diese haben b m , n = 0 für alle m und alle n . Dies zeigt , dass die Elemente u m w n linear unabhängig über K . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Beweis der Formel im unendlichen Fall

In diesem Fall beginnen wir mit den Basen u α und w β von L / K bzw. M / L , wobei α von einem Indexierungssatz A und β von einem Indexierungssatz B genommen wird . Mit einem ganz ähnlichen Argument wie oben finden wir, dass die Produkte u α w β eine Basis für M / K bilden . Diese werden durch das kartesische Produkt A × B indiziert , dessen Kardinalität per Definition gleich dem Produkt der Kardinalitäten von A und B ist .

Beispiele

  • Die komplexen Zahlen sind eine Körpererweiterung über die reellen Zahlen mit Grad [ C : R ] = 2, und somit gibt es keine nicht-trivialen Körper zwischen ihnen.
  • Die Felderweiterung Q ( 2 , 3 ), erhalten durch angrenzende 2 und 3 auf den Bereich Q von rationalen Zahlen hat Grad 4, das heißt, [ Q ( 2 , 3 ): Q ] = 4. Das Zwischenfeld Q ( 2 ) hat den Grad 2 über Q ; wir schließen aus der Multiplikativitätsformel, dass [ Q ( 2 , 3 ): Q ( 2 )] = 4/2 = 2.
  • Der endliche Körper (Galois-Feld) GF (125) = GF (5 3 ) hat den Grad 3 über seinem Unterkörper GF (5). Allgemein gesagt , wenn p eine Primzahl ist und n , m positive ganze Zahlen sind mit n Dividieren m , dann [ GF ( p m ): GF ( p n )] = m / n .
  • Die Körpererweiterung C ( T )/ C , wobei C ( T ) der Körper der rationalen Funktionen über C ist , hat unendlichen Grad (tatsächlich handelt es sich um eine rein transzendente Erweiterung). Dies kann man erkennen, indem man beobachtet, dass die Elemente 1, T , T 2 usw. über C linear unabhängig sind .
  • Die Felderweiterung C ( T 2 ) hat auch unendlich Grad über C . Wenn wir jedoch betrachten C ( T 2 ) als ein Unterfeld von C ( T ) ist , dann in der Tat [ C ( T ): C ( T 2 )] = 2. Allgemeiner gesagt , wenn X und Y sind algebraischen Kurven über ein Feld K , und F  : XY ein surjektiver Morphismus zwischen ihnen vom Grad d ist , dann sind die Funktionskörper K ( X ) und K ( Y ) beide von unendlichem Grad über K , aber der Grad [ K ( X ): K ( Y )] ist gleich d .

Verallgemeinerung

Gegeben zwei Divisionsringe E und F, wobei F in E enthalten ist und die Multiplikation und Addition von F die Einschränkung der Operationen in E ist , können wir E auf zwei Arten als Vektorraum über F betrachten : wenn die Skalare links wirken, Geben Sie eine Dimension [ E : F ] l , und lassen Sie sie nach rechts wirken, geben Sie eine Dimension [ E : F ] r . Die beiden Dimensionen müssen nicht übereinstimmen. Beide Dimensionen genügen jedoch einer Multiplikationsformel für Türme von Teilungsringen; der obige Beweis gilt unverändert für linkswirkende Skalare.

Verweise

  • Seite 215, Jacobson, N. (1985). Grund Algebra I . WH Freeman und Company. ISBN 0-7167-1480-9. Beweis der Multiplikativitätsformel.
  • Seite 465, Jacobson, N. (1989). Grundlegende Algebra II . WH Freeman und Company. ISBN 0-7167-1933-9. Behandelt kurz den unendlichdimensionalen Fall.