Kohärenzgrad - Degree of coherence

In der Quantenoptik werden Korrelationsfunktionen verwendet, um die statistischen und Kohärenzeigenschaften eines elektromagnetischen Feldes zu charakterisieren . Der Kohärenzgrad ist die normierte Korrelation elektrischer Felder; in seiner einfachsten Form, genannt . Es ist nützlich, um die Kohärenz zwischen zwei elektrischen Feldern zu quantifizieren, wie sie in einem Michelson- oder einem anderen linearen optischen Interferometer gemessen wird . Die Korrelation zwischen Feldpaaren, , wird typischerweise verwendet, um den statistischen Charakter von Intensitätsschwankungen zu finden. Die Korrelation erster Ordnung ist eigentlich die Amplituden-Amplituden-Korrelation und die Korrelation zweiter Ordnung ist die Intensitäts-Intensitäts-Korrelation. Es wird auch verwendet, um zwischen Lichtzuständen zu unterscheiden, die einer quantenmechanischen Beschreibung bedürfen, und solchen, für die klassische Felder ausreichend sind. Analoge Überlegungen gelten für jedes Bose-Feld der subatomaren Physik, insbesondere für Mesonen (vgl. Bose-Einstein-Korrelationen ). ${\displaystyle g^{(1)}}$${\displaystyle g^{(2)}}$

Grad der Kohärenz erster Ordnung

Abbildung 1: Dies ist eine Auftragung des Absolutwerts von g ⁽¹⁾ als Funktion der auf die Kohärenzlänge τ/τ _c normierten Verzögerung . Die blaue Kurve steht für einen kohärenten Zustand (ein idealer Laser oder eine einzelne Frequenz). Die rote Kurve ist für Lorentzsches chaotisches Licht (zB Kollision verbreitert). Die grüne Kurve steht für Gaußsches chaotisches Licht (zB Doppler-verbreitet).

Die normalisierte Korrelationsfunktion erster Ordnung wird geschrieben als:

${\displaystyle g^{(1)}(\mathbf {r}_{1},t_{1};\mathbf {r}_{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf{r}_{1},t_{1})E(\mathbf{r}_{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\ langle \left|E(\mathbf{r}_{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle\left\langle\left|E(\mathbf{r}_{2} ,t_{2})\right|^{2}\right\rangle\right]^{\frac {1}{2}}}},}$

wobei bezeichnet einen Ensemble-(statistischen) Durchschnitt. Bei instationären Zuständen, wie beispielsweise Pulsen, besteht das Ensemble aus vielen Pulsen. Bei stationären Zuständen, bei denen sich die statistischen Eigenschaften mit der Zeit nicht ändern, kann man den Gesamtmittelwert durch einen Zeitmittelwert ersetzen. Wenn wir uns auf parallel zueinander liegende Wellen beschränken, dann . ${\displaystyle\langle\cdots\rangle}$${\displaystyle \mathbf{r} =z}$

In diesem Fall hängt das Ergebnis für stationäre Zustände nicht von , sondern von der Zeitverzögerung (oder if ) ab. ${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}={\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$

Dies ermöglicht es uns, eine vereinfachte Form zu schreiben

${\displaystyle g^{(1)}(\tau)={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau)\right\rangle }{\left\langle\left| E(t)\right|^{2}\right\rangle}},}$

wobei wir nun über t gemittelt haben .

Anwendungen

Bei optischen Interferometern wie dem Michelson-Interferometer , Mach-Zehnder-Interferometer oder Sagnac-Interferometer teilt man ein elektrisches Feld in zwei Komponenten auf, führt eine Zeitverzögerung in eine der Komponenten ein und kombiniert sie dann wieder. Die Intensität des resultierenden Feldes wird als Funktion der Zeitverzögerung gemessen. In diesem speziellen Fall mit zwei gleichen Eingangsintensitäten ist die Sichtbarkeit des resultierenden Interferenzmusters gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\nu &=\left|g^{(1)}(\tau)\right|\\\nu &=\left|g^{(1)}(\mathbf { r} _{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2})\right|\end{ausgerichtet}}}$

wobei der zweite Ausdruck die Kombination zweier Raum-Zeit-Punkte aus einem Körper beinhaltet. Die Sichtbarkeit reicht von null für inkohärente elektrische Felder bis eins für kohärente elektrische Felder. Alles dazwischen wird als teilweise kohärent beschrieben.

Generell und . ${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$${\displaystyle g^{(1)}(\tau)=g^{(1)}(-\tau)^{*}}$

Beispiele für g ⁽¹⁾

Für Licht einer einzigen Frequenz (zB Laserlicht):

${\displaystyle g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega _{0}\tau}}$

Für Lorentzsches chaotisches Licht (zB Kollision erweitert):

${\displaystyle g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega_{0}\tau -{\frac {|\tau |}{\tau_{c}}}}}$

Für Gaußsches chaotisches Licht (zB Doppler-verbreitet):

${\displaystyle g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi}{2}}\left({\frac {\tau} {\tau_{c}}}\right)^{2}}}$

Hier ist die Zentralfrequenz des Lichts und die Kohärenzzeit des Lichts. ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \tau_{c}}$

Grad der Kohärenz zweiter Ordnung

Die normalisierte Korrelationsfunktion zweiter Ordnung wird geschrieben als:

Abbildung 2: Dies ist eine Auftragung von g ⁽²⁾ als Funktion der auf die Kohärenzlänge τ/τ _c normierten Verzögerung . Die blaue Kurve steht für einen kohärenten Zustand (ein idealer Laser oder eine einzelne Frequenz). Die rote Kurve ist für Lorentzsches chaotisches Licht (zB Kollision verbreitert). Die grüne Kurve steht für Gaußsches chaotisches Licht (zB Doppler-verbreitet). Das chaotische Licht ist super-poissonisch und gebündelt.

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf{r}_{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf{r}_{1},t_{1})E^{*}(\mathbf{r}_{2},t_{2})E(\mathbf{r}_ {1},t_{1})E(\mathbf{r}_{2},t_{2})\right\rangle }{\left\langle\left|E(\mathbf{r}_{1} ,t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle\left|E(\mathbf{r}_{2},t_{2})\right|^{2}\right \rangle}}}$

Beachten Sie, dass dies keine Verallgemeinerung der Kohärenz erster Ordnung ist

Wenn man die elektrischen Felder als klassisch betrachtet, können wir sie neu anordnen, um sie in Intensitäten auszudrücken . Eine planparallele Welle im stationären Zustand hat ${\displaystyle g^{(2)}}$

${\displaystyle g^{(2)}(\tau)={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau)\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\ ring ^{2}}}}$

Der obige Ausdruck ist gerade, . Für klassische Körper kann man die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Intensitäten im obigen Ausdruck anwenden (da es sich um reelle Zahlen handelt), um zu zeigen, dass . Das zeigt die Ungleichung . Unter der Annahme, dass die Intensitäten unabhängig sind, wenn zu . Nichtsdestotrotz beträgt die Kohärenz zweiter Ordnung für einen Mittelwert über Streifen von komplementären Interferometerausgaben eines kohärenten Zustands nur 0,5 (obwohl für jede Ausgabe). Und (aus Mittelwerten berechnet) kann mit einem geeigneten diskriminierenden Triggerpegel , der auf das Signal angewendet wird (innerhalb des Kohärenzbereichs) , auf Null reduziert werden . ${\displaystyle g^{(2)}(\tau)=g^{(2)}(-\tau)}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau)\leq g^{(2)}(0)}$${\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle}^{2}=\left\langle {\left[I(t )-\left\langle I(t)\right\rangle\right]}^{2}\right\rangle\geq 0}$${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty}$${\displaystyle \tau \to +\infty}$${\displaystyle g^{(2)}(+\infty)=1}$${\displaystyle g^{(2)}=1}$${\displaystyle g^{(2)}}$

Beispiele für g ⁽²⁾

• Chaotisches Licht aller Art: .${\displaystyle g^{(2)}(\tau)=1+\left|g^{(1)}(\tau)\right|^{2}}$

Beachten Sie, dass der Hanbury-Brown- und Twiss-Effekt diese Tatsache verwendet, um aus einer Messung von zu finden . ${\displaystyle \left|g^{(1)}(\tau)\right|}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau)}$

• Licht einer einzigen Frequenz: .${\displaystyle g^{(2)}(\tau)=1}$

• Im Fall von Photonen-Antibunching haben wir für eine einzelne Photonenquelle, weil ${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle g^{(2)}(0)=0}$

  ${\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}}, }$

  wo ist die beobachtbare Photonenzahl.${\displaystyle n}$

Grad n - ter Ordnung Kohärenz

Eine Verallgemeinerung der Kohärenz erster Ordnung

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf{r}_{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2};\dots;\mathbf{r}_ {2n},t_{2n})={\frac{\left\langle E^{*}(\mathbf{r}_{1},t_{1})E^{*}(\mathbf{r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf{r}_{n},t_{n})E(\mathbf{r}_{n+1},t_{n +1})E(\mathbf{r}_{n+2},t_{n+2})\dots E(\mathbf{r}_{2n},t_{2n})\right\rangle }{ \left[\left\langle \left|E(\mathbf {r}_{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf { r}_{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle\cdots\left\langle\left|E(\mathbf{r}_{2n},t_{2n})\ rechts|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}}}$

Eine Verallgemeinerung der Kohärenz zweiter Ordnung

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf{r}_{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2};\dots;\mathbf{r}_ {n},t_{n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf{r}_{n},t_{n})E(\mathbf{r}_{1},t_{1}) E(\mathbf{r}_{2},t_{2})\cdots E(\mathbf{r}_{n},t_{n})\right\rangle }{\left\langle\left|E (\mathbf{r}_{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle\left\langle\left|E(\mathbf{r}_{2},t_{2} )\right|^{2}\right\rangle\cdots\left\langle\left|E(\mathbf{r}_{n},t_{n})\right|^{2}\right\rangle} }}$

oder in Intensitäten

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf{r}_{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2};\dots;\mathbf{r}_ {n},t_{n})={\frac {\langle I(\mathbf{r}_{1},t_{1})I(\mathbf{r}_{2},t_{2}) \cdots I(\mathbf{r}_{n},t_{n})\rangle }{\langle I(\mathbf{r}_{1},t_{1})\rangle\langle I(\mathbf {r}_{2},t_{2})\rangle\cdots\langle I(\mathbf{r}_{n},t_{n})\rangle}}}$

Beispiele für g ^{( n )}

Licht einer einzigen Frequenz:

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf{r}_{1},t_{1};\mathbf{r}_{2},t_{2};\dots;\mathbf{r}_ {n},t_{n})=1}$

Mit der ersten Definition: Chaotisches Licht aller Art: ${\displaystyle g^{(n)}(\infty)=0}$

Mit der zweiten Definition: Chaotisches Licht aller Art: Chaotisches Licht aller Art:${\displaystyle g^{(n)}(\infty)=1}$${\displaystyle g^{(n)}(0)=n!}$

Verallgemeinerung auf Quantenfelder

Abbildung 3: Dies ist eine Auftragung von g ⁽²⁾ als Funktion der auf die Kohärenzlänge τ/τ _c normierten Verzögerung . Ein Wert von g ⁽²⁾ unterhalb der gestrichelten schwarzen Linie kann nur in einem quantenmechanischen Lichtmodell vorkommen. Die rote Kurve zeigt das g ⁽²⁾ des Antibündelungs- und Sub-Poisson-Lichts, das von einem einzelnen, von einem Laserstrahl angetriebenen Atom emittiert wird.

Die Vorhersagen von für n > 1 ändern sich, wenn die klassischen Felder ( komplexe Zahlen oder c-Zahlen ) durch Quantenfelder (Operatoren oder q-Zahlen ) ersetzt werden. Im Allgemeinen kommutieren Quantenfelder nicht unbedingt, mit der Folge, dass ihre Reihenfolge in den obigen Ausdrücken nicht einfach vertauscht werden kann. ${\displaystyle g^{(n)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{*}&\rightarrow {\hat {E}}^{-}\\E&\rightarrow {\hat {E}}^{+}.\end{aligned} }}$

Mit

${\displaystyle {\hat {E}}^{-}=-i\left({\frac {\hbar\omega }{2\epsilon_{0}V}}\right)^{\frac {1} {2}}{\hat{a}}^{\dagger}e^{-i(kz-\omega t)}}$

erhalten wir bei stehendem Licht:

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\left\langle {\hat{a}}^{\dagger}(t){\hat{a}}^{\dagger}(t+\tau ){\hat{a}}(t+\tau){\hat{a}}(t)\right\rangle }{\left\langle {\hat{a}}^{\dagger}(t){\ Hut {a}}(t)\right\rangle ^{2}}}}$

Photonenbündelung

Abbildung 4: Dies ist eine Auftragung von g ⁽²⁾ als Funktion der auf die Kohärenzlänge τ/τ _c normierten Verzögerung . Dies ist ein Beispiel für ag ⁽²⁾ , das Antibündelungslicht anzeigt, aber kein unter-Poissonsches Licht .

Abbildung 5: Photonendetektionen als Funktion der Zeit für a) Antibunching (zB von einem einzelnen Atom emittiertes Licht), b) zufällig (zB ein kohärenter Zustand, Laserstrahl) und c) Bunching (chaotisches Licht). τ _c ist die Kohärenzzeit (die Zeitskala von Photonen- oder Intensitätsfluktuationen).

Licht wird als gebündelt bezeichnet, wenn und antigebündelt, wenn . ${\displaystyle g^{(2)}(\tau)<g^{(2)}(0)}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau)>g^{(2)}(0)}$

Siehe auch

• Bose-Einstein-Korrelationen
• Kohärenztheorie
• Korrelation und Abhängigkeit
• Fourier-Transformationsspektroskopie
• Normalverteilt und unkorreliert bedeutet nicht unabhängig
• Optische Autokorrelation
• Satz von Van Cittert-Zernike

Verweise

Vorgeschlagene Literatur

• Loudon, Rodney, Die Quantentheorie des Lichts (Oxford University Press, 2000), ISBN  0-19-850177-3