Freiheitsgrade (Mechanik) - Degrees of freedom (mechanics)

In der Physik sind die Freiheitsgrade ( DOF ) eines mechanischen Systems die Anzahl unabhängiger Parameter , die seine Konfiguration oder seinen Zustand definieren. Es ist wichtig bei der Analyse von Körpersystemen im Maschinenbau , der Bautechnik , der Luft- und Raumfahrttechnik , der Robotik und anderen Bereichen.

Die Position eines einzelnen Triebwagens (Lok), der sich entlang eines Gleises bewegt, hat einen Freiheitsgrad, da die Position des Wagens durch die Entfernung entlang des Gleises definiert wird. Ein Zug von starren Waggons, die durch Scharniere mit einer Lokomotive verbunden sind, hat immer noch nur einen Freiheitsgrad, da die Positionen der Waggons hinter der Lokomotive durch die Form des Gleises eingeschränkt sind.

Ein Automobil mit hochsteifer Federung kann als starrer Körper in einer Ebene (einem flachen, zweidimensionalen Raum) betrachtet werden. Dieser Körper hat drei unabhängige Freiheitsgrade, die aus zwei Translationskomponenten und einem Rotationswinkel bestehen. Schleudern oder Driften ist ein gutes Beispiel für die drei unabhängigen Freiheitsgrade eines Automobils.

Die Position und Orientierung eines starren Körpers im Raum wird durch drei Translations- und drei Rotationskomponenten definiert , was bedeutet, dass er sechs Freiheitsgrade hat.

Die mechanische Konstruktionsmethode mit genauen Beschränkungen verwaltet die Freiheitsgrade, um ein Gerät weder zu unter- noch zu überfordern.

Bewegungen und Abmessungen

Die Position eines n- dimensionalen starren Körpers wird durch die starre Transformation [ T ] = [ Ad ] definiert, wobei d eine n- dimensionale Translation und A eine n  ×  n- Rotationsmatrix mit n Translationsgraden von ist Freiheit und n ( n  − 1)/2 Rotationsfreiheitsgrade. Die Anzahl der Rotationsfreiheitsgrade ergibt sich aus der Dimension der Rotationsgruppe  SO(n) .

Ein nicht starrer oder verformbarer Körper kann man sich als eine Ansammlung vieler winziger Partikel (unendliche Anzahl von DOFs) vorstellen, dies wird oft durch ein endliches DOF-System angenähert. Wenn Bewegungen mit großen Verschiebungen das Hauptziel der Untersuchung sind (zB zur Analyse der Bewegung von Satelliten), kann ein verformbarer Körper als starrer Körper (oder sogar als Partikel) angenähert werden, um die Analyse zu vereinfachen.

Der Freiheitsgrad eines Systems kann als die minimale Anzahl von Koordinaten angesehen werden, die erforderlich ist, um eine Konfiguration zu spezifizieren. Wenden wir diese Definition an, haben wir:

  1. Für ein einzelnes Teilchen in einer Ebene definieren zwei Koordinaten seine Position, sodass es zwei Freiheitsgrade hat;
  2. Ein einzelnes Teilchen im Raum benötigt drei Koordinaten, also hat es drei Freiheitsgrade;
  3. Zwei Teilchen im Raum haben zusammen sechs Freiheitsgrade;
  4. Wenn zwei Teilchen im Raum darauf beschränkt sind, einen konstanten Abstand voneinander einzuhalten, wie im Fall eines zweiatomigen Moleküls, müssen die sechs Koordinaten eine einzige durch die Abstandsformel definierte Beschränkungsgleichung erfüllen. Dies reduziert den Freiheitsgrad des Systems auf fünf, da die Entfernungsformel verwendet werden kann, um nach der restlichen Koordinate aufzulösen, sobald die anderen fünf angegeben sind.

Starre Körper

Die sechs Bewegungsfreiheitsgrade eines Schiffes
Einstellungsfreiheitsgrade für ein Flugzeug
Mnemonik zum Merken von Winkelnamen

Ein einzelner starrer Körper hat höchstens sechs Freiheitsgrade (6 DOF) 3T3R bestehend aus drei Translationen 3T und drei Rotationen 3R .

Siehe auch Eulerwinkel .

Zum Beispiel hat die Bewegung eines Schiffes auf See die sechs Freiheitsgrade eines starren Körpers und wird wie folgt beschrieben:

    Übersetzung und Drehung:
  1. Auf und ab bewegen (Heben/Heben);
  2. Nach links und rechts bewegen (Swinging/Swinging);
  3. Vorwärts- und Rückwärtsbewegung (Gehen/Wogen);
  4. Schwenkt nach links und rechts ( Gieren );
  5. Neigt sich nach vorne und hinten ( Pitching );
  6. Schwenkt von Seite zu Seite ( rollend ).

Zum Beispiel hat die Flugbahn eines Flugzeugs im Flug drei Freiheitsgrade und seine Fluglage entlang der Flugbahn hat drei Freiheitsgrade, also insgesamt sechs Freiheitsgrade.

Geringere Mobilität

Siehe auch: Parallel-Manipulator

Physikalische Beschränkungen können die Anzahl der Freiheitsgrade eines einzelnen starren Körpers begrenzen. Zum Beispiel hat ein Block, der auf einem flachen Tisch herumrutscht , 3 DOF 2T1R, bestehend aus zwei Translationen 2T und 1 Rotation 1R . Ein XYZ-Positionierungsroboter wie SCARA hat eine um 3 DOF 3T geringere Mobilität.

Mobilitätsformel

Die Mobilitätsformel zählt die Anzahl der Parameter, die die Konfiguration eines Satzes von starren Körpern definieren, die durch Gelenke, die diese Körper verbinden, eingeschränkt sind.

Angenommen, ein System von n starren Körpern, die sich im Raum bewegen, hat 6 n Freiheitsgrade, die relativ zu einem festen Rahmen gemessen werden. Um die Freiheitsgrade dieses Systems zu zählen, wird der feststehende Körper in die Körperzählung aufgenommen, so dass die Beweglichkeit unabhängig von der Wahl des Körpers ist, der den feststehenden Rahmen bildet. Dann ist der Freiheitsgrad des unbeschränkten Systems von N  =  n  + 1

weil der feste Körper relativ zu sich selbst null Freiheitsgrade hat.

Gelenke, die Körper in diesem System verbinden, entfernen Freiheitsgrade und reduzieren die Beweglichkeit. Insbesondere erlegen Scharniere und Schieber jeweils fünf Beschränkungen auf und entfernen daher fünf Freiheitsgrade. Es ist zweckmäßig, die Anzahl der Beschränkungen c zu definieren, die ein Gelenk in Bezug auf die Gelenkfreiheit f auferlegt , wobei c  = 6 −  f ist . Im Fall eines Scharniers oder Schiebers, die Gelenke mit einem Freiheitsgrad sind, haben f  = 1 und daher c  = 6 − 1 = 5.

Das Ergebnis ist, dass die Beweglichkeit eines Systems aus n beweglichen Gliedern und j Gelenken jeweils mit Freiheit f i , i  = 1, ..., j, gegeben ist durch

Denken Sie daran, dass N die feste Verbindung enthält.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle: (i) eine einfache offene Kette und (ii) eine einfache geschlossene Kette. Eine einzelne offene Kette besteht aus n beweglichen Gliedern, die durch n Gelenke Ende an Ende verbunden sind, wobei ein Ende mit einem Masseglied verbunden ist. Somit ist in diesem Fall N  =  j  + 1 und die Beweglichkeit der Kette ist

Bei einer einfachen geschlossenen Kette sind n bewegliche Glieder durch n  + 1 Gelenke Ende an Ende verbunden, so dass die beiden Enden mit dem Masseglied verbunden sind und eine Schleife bilden. In diesem Fall gilt N  =  j und die Beweglichkeit der Kette ist

Ein Beispiel für eine einfache offene Kette ist ein serieller Robotermanipulator. Diese Robotersysteme bestehen aus einer Reihe von Verbindungen, die durch sechs Rotations- oder Prismengelenke mit einem Freiheitsgrad verbunden sind, sodass das System sechs Freiheitsgrade hat.

Ein Beispiel für eine einfache geschlossene Kette ist die räumliche Viergelenkverbindung RSSR. Die Summe der Freiheitsgrade dieser Gelenke beträgt acht, so dass die Beweglichkeit des Gestänges zwei ist, wobei einer der Freiheitsgrade die Drehung des Kopplers um die Verbindungslinie der beiden S-Gelenke ist.

Planare und sphärische Bewegung

Es ist gängige Praxis, das Gestängesystem so zu gestalten, dass die Bewegung aller Körper auf parallele Ebenen beschränkt ist, um ein sogenanntes ebenes Gestänge zu bilden . Es ist auch möglich, das Gestängesystem so zu konstruieren, dass sich alle Körper auf konzentrischen Kugeln bewegen und ein kugelförmiges Gestänge bilden . In beiden Fällen sind die Freiheitsgrade der Verbindungen in jedem System jetzt drei statt sechs, und die durch Gelenke auferlegten Beschränkungen sind jetzt c  = 3 −  f .

In diesem Fall ist die Mobilitätsformel gegeben durch

und die Sonderfälle werden

  • ebene oder kugelförmige einfache offene Kette,
  • planare oder kugelförmige einfache geschlossene Kette,

Ein Beispiel für eine ebene einfache geschlossene Kette ist das ebene Viergelenk , das eine Viergelenkschlinge mit vier Gelenken mit einem Freiheitsgrad ist und daher die Beweglichkeit  M  = 1 hat.

Körpersysteme

Ein Knickarmroboter mit sechs DOF ​​in einer kinematischen Kette.

Ein System mit mehreren Körpern hätte einen kombinierten DOF, der die Summe der DOFs der Körper ist, abzüglich der internen Beschränkungen, die sie für die Relativbewegung haben können. Ein Mechanismus oder ein Gestänge mit mehreren verbundenen starren Körpern kann mehr als die Freiheitsgrade für einen einzelnen starren Körper haben. Hier wird der Begriff Freiheitsgrade verwendet, um die Anzahl der Parameter zu beschreiben, die benötigt werden, um die räumliche Pose einer Verbindung zu spezifizieren. Es wird auch im Kontext des Konfigurationsraums, Aufgabenraums und Arbeitsbereichs eines Roboters definiert.

Eine spezielle Art der Verbindung ist die offene kinematische Kette , bei der eine Reihe von starren Gliedern an Gelenken verbunden sind ; ein Gelenk kann einen DOF (Scharnier/Schieben) oder zwei (zylindrisch) bereitstellen. Solche Ketten treten häufig in der Robotik , Biomechanik und für Satelliten und andere Weltraumstrukturen auf. Es wird angenommen, dass ein menschlicher Arm sieben DOFs hat. Eine Schulter ermöglicht Nicken, Gieren und Rollen, ein Ellbogen ermöglicht Nicken und ein Handgelenk ermöglicht Nicken, Gieren und Rollen. Nur 3 dieser Bewegungen wären notwendig, um die Hand an einen beliebigen Punkt im Raum zu bewegen, aber den Menschen würde die Fähigkeit fehlen, Dinge aus verschiedenen Winkeln oder Richtungen zu erfassen. Ein Roboter (oder Objekt), der über Mechanismen verfügt, um alle 6 physischen DOF zu kontrollieren, wird als holonom bezeichnet . Ein Objekt mit weniger kontrollierbaren DOFs als Gesamt-DOFs wird als nichtholonom bezeichnet, und ein Objekt mit mehr kontrollierbaren DOFs als Gesamt-DOFs (wie der menschliche Arm) wird als redundant bezeichnet. Beachten Sie jedoch, dass es im menschlichen Arm nicht überflüssig ist, da die beiden DOFs; Handgelenk und Schulter, die dieselbe Bewegung darstellen; rollen, versorgen sich gegenseitig, da sie nicht volle 360 ​​machen können. Die Freiheitsgrade sind wie verschiedene Bewegungen, die gemacht werden können.

In der mobilen Robotik kann ein autoähnlicher Roboter jede Position und Ausrichtung im 2D-Raum erreichen, daher benötigt er 3 DOFs, um seine Pose zu beschreiben, aber zu jedem Zeitpunkt können Sie ihn nur durch eine Vorwärtsbewegung und einen Lenkwinkel bewegen. Es hat also zwei Kontroll-DOFs und drei repräsentative DOFs; dh es ist nichtholonom. Ein Starrflügler mit 3–4 Kontroll-DOFs (Forward Motion, Roll, Pitch und in begrenztem Maße Gieren) in einem 3D-Raum ist ebenfalls nicht holonom, da es sich nicht direkt nach oben/unten bewegen kann oder links rechts.

Eine Zusammenfassung von Formeln und Methoden zur Berechnung der Freiheitsgrade in mechanischen Systemen wurde von Pennestri, Cavacece und Vita gegeben.

Elektrotechnik

In der Elektrotechnik werden Freiheitsgrade häufig verwendet, um die Anzahl der Richtungen zu beschreiben, in die eine Phased-Array- Antenne entweder Strahlen oder Nullen bilden kann . Sie ist gleich eins weniger als die Anzahl der in der Anordnung enthaltenen Elemente, da ein Element als Referenz verwendet wird, gegen das entweder konstruktive oder destruktive Interferenz unter Verwendung jedes der verbleibenden Antennenelemente angewendet werden kann. Radarpraxis und Kommunikationsverbindungspraxis, wobei Beam Steering für Radaranwendungen häufiger vorherrscht und Nullsteuerung für die Interferenzunterdrückung in Kommunikationsverbindungen weiter verbreitet ist.

Siehe auch

Verweise