Deltaeder - Deltahedron

Das größte streng konvexe Deltaeder ist das regelmäßige Ikosaeder

Dies ist ein abgestumpfter Tetraeder mit Sechsecken, die in Dreiecke unterteilt sind. Diese Figur ist kein streng konvexes Deltaeder, da koplanare Flächen innerhalb der Definition nicht zulässig sind.

In der Geometrie ist ein Deltaeder ( Plural Deltaeder ) ein Polyeder, dessen Gesichter alle gleichseitige Dreiecke sind . Der Name leitet sich vom griechischen Großbuchstaben Delta (Δ) ab, das die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat. Es gibt unendlich viele Deltaeder, die alle eine gerade Anzahl von Gesichtern nach dem Handshake-Lemma haben . Von diesen sind nur acht konvex mit 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 und 20 Flächen. Die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte ist unten für jedes der acht konvexen Deltaeder aufgeführt.

Die acht konvexen Deltaeder

Es gibt nur acht streng konvexe Deltaeder: drei sind reguläre Polyeder und fünf sind Johnson-Körper .

Regelmäßige Deltaeder
Bild	Name	Gesichter	Kanten	Scheitelpunkte	Vertex-Konfigurationen	Symmetriegruppe
	Tetraeder	4	6	4	4 × 3 ³	T _d , [3,3]
	Oktaeder	8	12	6	6 × 3 ⁴	O _h , [4,3]
	Ikosaeder	20	30	12	12 × 3 ⁵	ich _h , [5,3]
Johnson-Deltaeder
Bild	Name	Gesichter	Kanten	Scheitelpunkte	Vertex-Konfigurationen	Symmetriegruppe
	dreieckige Bipyramide	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴	D _3h , [3,2]
	fünfeckige Bipyramide	10	fünfzehn	7	5 × 3 ⁴ 2 × 3 ⁵	D _5h , [5,2]
	stumpfes Disphenoid	12	18	8	4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵	D _2d , [2,2]
	triaugmentiertes dreieckiges Prisma	14	21	9	3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵	D _3h , [3,2]
	kreiselgestreckte quadratische Bipyramide	16	24	10	2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵	D _4d , [4,2]

Im 6-seitigen Deltaeder haben einige Ecken den Grad 3 und einige den Grad 4. In den 10-, 12-, 14- und 16-seitigen Deltaedern haben einige Ecken den Grad 4 und einige den Grad 5. Diese fünf unregelmäßigen Deltaeder gehören zu die Klasse der Johnson-Körper : konvexe Polyeder mit regelmäßigen Polygonen für Flächen.

Deltaeder behalten ihre Form auch dann bei, wenn sich die Kanten frei um ihre Scheitelpunkte drehen können, sodass die Winkel zwischen den Kanten fließend sind. Nicht alle Polyeder haben diese Eigenschaft: Wenn Sie beispielsweise einige der Winkel eines Würfels entspannen , kann der Würfel in ein nicht rechtwinkliges quadratisches Prisma verformt werden .

Es gibt kein 18-seitiges konvexes Deltaeder. Das kantenkontrahierte Ikosaeder gibt jedoch ein Beispiel für ein Oktadekaeder , das entweder mit 18 unregelmäßigen Dreiecksflächen konvex oder mit gleichseitigen Dreiecken hergestellt werden kann, die zwei koplanare Sätze von drei Dreiecken umfassen.

Nicht streng konvexe Fälle

Es gibt unendlich viele Fälle mit koplanaren Dreiecken, die Abschnitte der unendlichen dreieckigen Kacheln zulassen . Wenn die Sätze koplanarer Dreiecke als eine einzelne Fläche betrachtet werden, kann eine kleinere Gruppe von Flächen, Kanten und Scheitelpunkten gezählt werden. Die koplanaren Dreiecksflächen können zu rhombischen, trapezförmigen, sechseckigen oder anderen gleichseitigen Polygonflächen verschmolzen werden. Jede Fläche muss ein konvexer Polyiamond sein, wie , , , , , , und , ...

Einige kleinere Beispiele sind:

Koplanare Deltaeder
Name	Gesichter	Kanten	Scheitelpunkte	Vertex-Konfigurationen	Symmetriegruppe
Augmentiertes Oktaeder Augmentation 1 Tet + 1 Okt	10	fünfzehn	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Augmentiertes Oktaeder Augmentation 1 Tet + 1 Okt	4 3	12	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trigonale Trapezoeder- Augmentation 2 Tets + 1 Okt	12	18	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trigonale Trapezoeder- Augmentation 2 Tets + 1 Okt	6	12	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Erweiterung 2 Tets + 1 Okt	12	18	8	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Erweiterung 2 Tets + 1 Okt	2 2 2	11	7	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Dreiecksstumpf Augmentation 3 Tets + 1 Okt	14	21	9	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Dreiecksstumpf Augmentation 3 Tets + 1 Okt	1 3 1	9	6	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Verlängertes Oktaeder Augmentation 2 Tets + 2 Okts	16	24	10	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Verlängertes Oktaeder Augmentation 2 Tets + 2 Okts	4 4	12	6	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Tetraeder- Augmentation 4 Tets + 1 Okt	16	24	10	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Tetraeder- Augmentation 4 Tets + 1 Okt	4	6	4	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Augmentation 3 Tets + 2 Okts	18	27	11	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Augmentation 3 Tets + 2 Okts	2 1 2 2	14	9	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Kantenkontrahiertes Ikosaeder	18	27	11	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Kantenkontrahiertes Ikosaeder	12 2	22	10	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Dreieckiges Bifrustum Augmentation 6 Tets + 2 Okts	20	30	12	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
Dreieckiges Bifrustum Augmentation 6 Tets + 2 Okts	2 6	fünfzehn	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
dreieckige Kuppel Augmentation 4 Tets + 3 Okts	22	33	13	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
dreieckige Kuppel Augmentation 4 Tets + 3 Okts	3 3 1 1	fünfzehn	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Dreieckige Bipyramide Augmentation 8 Tets + 2 Okts	24	36	14	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3h , [3]
Dreieckige Bipyramide Augmentation 8 Tets + 2 Okts	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3h , [3]
Sechseckiges Antiprisma	24	36	14	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Sechseckiges Antiprisma	12 2	24	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Abgeschnittenes Tetraeder Augmentation 6 Tets + 4 Okts	28	42	16	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Abgeschnittenes Tetraeder Augmentation 6 Tets + 4 Okts	4 4	18	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Tetrakis Kuboktaeder Oktaeder Augmentation 8 Tets + 6 Okts	32	48	18	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _h , [4,3]
Tetrakis Kuboktaeder Oktaeder Augmentation 8 Tets + 6 Okts	8	12	6	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _h , [4,3]

Nicht konvexe Formen

Es gibt unendlich viele nichtkonvexe Formen.

Einige Beispiele für sich kreuzende Deltaeder:

Großes Ikosaeder - ein Kepler-Poinsot-Körper mit 20 sich schneidenden Dreiecken

Andere nichtkonvexe Deltaeder können erzeugt werden, indem man den Flächen aller 5 regulären Polyeder gleichseitige Pyramiden hinzufügt:

Triakis-Tetraeder	Tetrakis-Hexaeder	Triakis-Oktaeder ( Stella Octangula )	Pentakis-Dodekaeder	Triakis Ikosaeder

12 Dreiecke	24 Dreiecke		60 Dreiecke

Andere Erweiterungen des Tetraeders sind:

Beispiele: Augmentierte Tetraeder
8 Dreiecke	10 Dreiecke	12 Dreiecke

Auch durch Hinzufügen von umgekehrten Pyramiden zu Gesichtern:

Ausgegrabener Dodekaeder

60 Dreiecke	48 Dreiecke
Ausgegrabener Dodekaeder	Ein ringförmiges Deltaeder

Siehe auch

Simpliziale Polytop - polytopes mit allen simplex Facetten

Verweise

Weiterlesen

Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135–142.
Cundy, H. Martyn (Dezember 1952), "Deltaedra", Mathematical Gazette , 36 : 263–266, doi : 10.2307/3608204 , JSTOR 3608204.
Cundy, H.Martyn ; Rollett, A. (1989), "3.11. Deltahedra", Mathematical Models (3. Aufl.), Stradbroke, England: Tarquin Pub., S. 142–144.
Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American , New York: WH Freeman, S. 40, 53 und 58-60.
Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: Ein visueller Ansatz , Kalifornien: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 S. 35–36

Externe Links

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