Differentialrechnung - Differential calculus

Der Graph einer Funktion, schwarz gezeichnet, und eine Tangente zu dieser Funktion, rot gezeichnet. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion am markierten Punkt.

In der Mathematik ist die Differentialrechnung ein Teilgebiet der Infinitesimalrechnung , das die Geschwindigkeiten untersucht, mit denen sich Mengen ändern. Es ist eine der beiden traditionellen Abteilungen der Infinitesimalrechnung, die andere ist die Integralrechnung – das Studium der Fläche unter einer Kurve.

Die primären Studienobjekte in der Differentialrechnung sind die Ableitung einer Funktion , verwandte Begriffe wie das Differential und ihre Anwendungen. Die Ableitung einer Funktion bei einem gewählten Eingabewert beschreibt die Änderungsrate der Funktion nahe diesem Eingabewert. Das Auffinden einer Ableitung wird als Differenzierung bezeichnet . Geometrisch ist die Ableitung an einem Punkt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt, vorausgesetzt, die Ableitung existiert und ist an diesem Punkt definiert. Für eine reellwertige Funktion einer einzelnen reellen Variablen bestimmt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt im Allgemeinen die beste lineare Annäherung an die Funktion an diesem Punkt.

Differentialrechnung und Integralrechnung sind durch den fundamentalen Satz der Infinitesimalrechnung verbunden , der besagt, dass die Differenzierung der umgekehrte Vorgang zur Integration ist .

Die Differenzierung findet in fast allen quantitativen Disziplinen Anwendung. In der Physik ist die Ableitung der Verschiebung eines sich bewegenden Körpers nach der Zeit die Geschwindigkeit des Körpers, und die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung . Die Ableitung des Impulses eines Körpers nach der Zeit ist gleich der auf den Körper ausgeübten Kraft; eine Neuordnung dieser Ableitungsaussage führt zu der berühmten F = m eine Gleichung, die mit dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz verbunden ist . Die Reaktionsgeschwindigkeit einer chemischen Reaktion ist ein Derivat. Im Operations Research bestimmen Derivate die effizientesten Wege zum Materialtransport und zur Gestaltung von Fabriken.

Ableitungen werden häufig verwendet, um die Maxima und Minima einer Funktion zu finden. Gleichungen mit Ableitungen werden Differentialgleichungen genannt und sind grundlegend für die Beschreibung natürlicher Phänomene . Ableitungen und ihre Verallgemeinerungen tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf, wie beispielsweise in der komplexen Analysis , der Funktionalanalysis , der Differentialgeometrie , der Maßtheorie und der abstrakten Algebra .

Derivat

Der Graph einer beliebigen Funktion . Die orangefarbene Linie ist tangential zu , d. h. an genau diesem Punkt sind die Steigung der Kurve und die Gerade gleich.
Die Ableitung an verschiedenen Punkten einer differenzierbaren Funktion

Die Ableitung von am Punkt ist die Steigung der Tangente an . Um eine Intuition dafür zu gewinnen, muss man sich zunächst mit der Ermittlung der Steigung einer linearen Gleichung in der Form vertraut machen . Die Steigung einer Gleichung ist ihre Steilheit. Es kann gefunden werden, indem zwei beliebige Punkte ausgewählt und die Änderung in durch die Änderung in geteilt wird , was bedeutet, dass . Denn der Graph von hat eine Steigung von , wie im folgenden Diagramm gezeigt:

Der Graph von

Der Kürze halber wird es oft als geschrieben , wobei es sich um den griechischen Buchstaben Delta handelt, was "Wechsel in" bedeutet. Die Steigung einer linearen Gleichung ist konstant, was bedeutet, dass die Steilheit überall gleich ist. Viele Graphen, zum Beispiel , variieren jedoch in ihrer Steilheit. Das bedeutet, dass Sie keine zwei beliebigen Punkte mehr auswählen und die Steigung berechnen können. Stattdessen kann die Steigung des Graphen berechnet werden, indem die Tangente berücksichtigt wird – eine Linie, die einen bestimmten Punkt „gerade berührt“. Die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an diesen Punkt. Hat beispielsweise eine Steigung von at, weil die Steigung der Tangente zu diesem Punkt gleich ist :

Der Graph von , mit einer geraden Linie, die tangential zu ist . Die Steigung der Tangente ist gleich . (Beachten Sie, dass die Achsen des Diagramms keine 1:1-Skala verwenden.)

Die Ableitung einer Funktion ist dann einfach die Steigung dieser Tangente. Obwohl die Tangentiallinie im Tangentialpunkt nur einen einzigen Punkt berührt, kann sie durch eine Linie angenähert werden, die durch zwei Punkte geht. Dies wird als Sekantenlinie bezeichnet . Wenn die beiden Punkte, die die Sekantenlinie durchquert, nahe beieinander liegen, ähnelt die Sekantenlinie der Tangente sehr und ihre Steigung ist daher auch sehr ähnlich:

Die gestrichelte Linie geht durch die Punkte und , die beide auf der Kurve liegen . Da diese beiden Punkte ziemlich nahe beieinander liegen, haben die gestrichelte Linie und die Tangente eine ähnliche Neigung. Wenn die beiden Punkte näher zusammenrücken, wird der durch die Sekantenlinie erzeugte Fehler verschwindend klein.

Die Verwendung einer Sekantenlinie hat den Vorteil, dass ihre Steigung direkt berechnet werden kann. Betrachten Sie die beiden Punkte im Diagramm und , wobei eine kleine Zahl ist. Die Steigung der durch diese beiden Punkte verlaufenden Geraden lässt sich nach wie vor mit der Formel berechnen . Das gibt

Mit zunehmender Annäherung an wird die Steigung der Sekantenlinie der Steigung der Tangente immer näher. Dies ist formal geschrieben als

Der obige Ausdruck bedeutet , dass die Steigung der Sekantenlinie immer näher an 0 herankommt und einem bestimmten Wert immer näher kommt. Der angenäherte Wert ist die Ableitung von ; dies kann geschrieben werden als . Wenn , kann die Ableitung auch als geschrieben werden , wobei eine infinitesimale Änderung dargestellt wird. Stellt beispielsweise eine infinitesimale Änderung von x dar. Zusammenfassend : Wenn , dann die Ableitung von IS

sofern eine solche Grenze besteht. Damit ist es uns gelungen, die Ableitung einer Funktion richtig zu definieren, was bedeutet, dass die "Steigung der Tangente" jetzt eine genaue mathematische Bedeutung hat. Die Differenzierung einer Funktion unter Verwendung der obigen Definition ist als Differenzierung von den ersten Prinzipien bekannt. Hier ist ein Beweis unter Verwendung der Ableitung von ersten Prinzipien, dass die Ableitung von ist :

Als Ansätze , Ansätze . Daher . Dieser Nachweis kann verallgemeinert werden, um zu zeigen , ob und sind Konstanten . Dies wird als Potenzregel bezeichnet . Zum Beispiel . Viele andere Funktionen lassen sich jedoch nicht so einfach wie polynomielle Funktionen differenzieren , sodass manchmal weitere Techniken erforderlich sind, um die Ableitung einer Funktion zu finden. Zu diesen Techniken gehören die Kettenregel , die Produktregel und die Quotientenregel . Andere Funktionen lassen sich überhaupt nicht differenzieren, sodass der Begriff der Differenzierbarkeit entsteht .

Ein eng verwandtes Konzept zur Ableitung einer Funktion ist ihr Differential . Wenn x und y reelle Variablen sind, ist die Ableitung von f bei x die Steigung der Tangente an den Graphen von f bei x . Da Quelle und Ziel von f eindimensional sind, ist die Ableitung von f eine reelle Zahl. Wenn x und y Vektoren sind, hängt die beste lineare Annäherung an den Graphen von f davon ab, wie sich f gleichzeitig in mehrere Richtungen ändert. Wenn man die beste lineare Näherung in einer einzigen Richtung wählt , erhält man eine partielle Ableitung , die normalerweise als bezeichnet wird y/x. Die Linearisierung von f in alle Richtungen gleichzeitig wird als totale Ableitung bezeichnet .

Geschichte der Differenzierung

Das Konzept eines Derivats im Sinne einer Tangente ist ein sehr alter, vertraut griechische Geometer wie Euklid (300 v. Chr), Archimedes (c. 287-212 BC) und Apollonius von Perga (c. 262- 190 v. Chr.). Archimedes verwendete auch Unteilbare , obwohl diese hauptsächlich zum Studium von Flächen und Volumina und nicht von Ableitungen und Tangenten verwendet wurden (siehe The Method of Mechanical Theorems ).

Die Verwendung von Infinitesimalen zur Untersuchung von Änderungsraten findet sich in der indischen Mathematik , vielleicht schon um 500 n. Chr., als der Astronom und Mathematiker Aryabhata (476–550) Infinitesimale verwendete, um die Umlaufbahn des Mondes zu studieren . Die Verwendung von Infinitesimalen zur Berechnung von Änderungsraten wurde von Bhāskara II (1114–1185) maßgeblich entwickelt; tatsächlich wurde argumentiert, dass viele der Schlüsselbegriffe der Differentialrechnung in seinem Werk zu finden sind, wie zum Beispiel „ Theorem von Rolle “.

Der islamische Mathematiker , Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213), in seiner Abhandlung über die Gleichungen , festgelegte Bedingungen für einige kubischen Gleichungen Lösungen haben, durch die Maxima der entsprechenden kubischer Polynome zu finden. Er bewies beispielsweise, dass das Maximum der kubischen ax 2x 3 bei x = 2 a / 3 auftritt und schloss daraus, dass die Gleichung ax 2x 3 = c genau eine positive Lösung hat, wenn c = 4 a 3 /27 und zwei positive Lösungen, wenn 0 < c < 4 a 3 /27 . Der Wissenschaftshistoriker Roshdi Rashed hat argumentiert, dass al-Tūsī die Ableitung des Kubischen verwendet haben muss, um dieses Ergebnis zu erhalten. Rasheds Schlussfolgerung wurde jedoch von anderen Wissenschaftlern angefochten, die argumentieren, dass er das Ergebnis mit anderen Methoden hätte erhalten können, die keine Kenntnis der Ableitung der Funktion erfordern.

Die moderne Entwicklung der Infinitesimalrechnung wird normalerweise Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) zugeschrieben, die unabhängige und einheitliche Ansätze zur Differenzierung und Ableitung lieferten. Die wichtigste Erkenntnis, die ihnen diese Anerkennung verschaffte, war jedoch das grundlegende Theorem der Infinitesimalrechnung über Differenzierung und Integration: Dies machte die meisten bisherigen Methoden zur Berechnung von Flächen und Volumina obsolet, die seit der Zeit von Ibn al-Haytham nicht wesentlich erweitert worden waren ( Alhazen). Sowohl Newton als auch Leibniz bauten für ihre Ideen zu Derivaten auf bedeutende frühere Arbeiten von Mathematikern wie Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695) auf ), Blaise Pascal (1623–1662) und John Wallis (1616–1703). In Bezug auf Fermats Einfluss schrieb Newton einmal in einem Brief: „ Ich hatte den Hinweis auf diese Methode [der Fluxionen] von Fermats Art, Tangenten zu zeichnen, und indem ich sie direkt und umgekehrt auf abstrakte Gleichungen anwendete, machte ich sie allgemein. “ Isaac Barrow wird in der Regel die frühe Entwicklung des Derivats gutgeschrieben. Dennoch bleiben Newton und Leibniz Schlüsselfiguren in der Geschichte der Differenzierung, nicht zuletzt, weil Newton als erster die Differenzierung auf die theoretische Physik anwandte , während Leibniz einen Großteil der noch heute verwendeten Notation systematisch weiterentwickelte.

Seit dem 17. Jahrhundert haben viele Mathematiker zur Differenzierungstheorie beigetragen. Im 19. Jahrhundert wurde die Infinitesimalrechnung von Mathematikern wie Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866) und Karl Weierstrass (1815–1897) auf eine viel strengere Grundlage gestellt . In dieser Zeit wurde die Differenzierung auch auf den euklidischen Raum und die komplexe Ebene verallgemeinert .

Anwendungen von Derivaten

Optimierung

Wenn f eine differenzierbare Funktion auf (oder ein offenes Intervall ) ist und x ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von f ist , dann ist die Ableitung von f bei x null. Punkte mit f' ( x ) = 0 werden kritische Punkte oder stationäre Punkte genannt (und der Wert von f bei x wird kritischer Wert genannt ). Wird f nicht als überall differenzierbar angenommen, so werden auch Punkte, an denen es nicht differenzierbar ist, als kritische Punkte bezeichnet.

Wenn f zweimal differenzierbar ist, dann kann umgekehrt ein kritischer Punkt x von f analysiert werden, indem man die zweite Ableitung von f an x betrachtet  :

  • wenn es positiv ist, ist x ein lokales Minimum;
  • wenn es negativ ist, ist x ein lokales Maximum;
  • wenn es null ist, dann könnte x ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder keines von beiden sein. (Zum Beispiel hat f ( x ) = x 3 einen kritischen Punkt bei x = 0 , dort aber weder ein Maximum noch ein Minimum, während f ( x ) = ± x 4 einen kritischen Punkt bei x = 0 hat und a dort ein Minimum und ein Maximum.)

Dies wird als Test der zweiten Ableitung bezeichnet . Ein alternativer Ansatz, der als Test der ersten Ableitung bezeichnet wird , beinhaltet die Betrachtung des Vorzeichens von f' auf jeder Seite des kritischen Punktes.

Das Ableiten von Ableitungen und das Auflösen nach kritischen Punkten ist daher oft ein einfacher Weg, um lokale Minima oder Maxima zu finden, was bei der Optimierung nützlich sein kann . Nach dem Extremwertsatz muss eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall mindestens einmal ihren Minimal- und Maximalwert erreichen. Wenn die Funktion differenzierbar ist, können die Minima und Maxima nur an kritischen Punkten oder Endpunkten auftreten.

Dies hat auch Anwendungen beim Skizzieren von Graphen: Sobald die lokalen Minima und Maxima einer differenzierbaren Funktion gefunden wurden, kann eine grobe Darstellung des Graphen aus der Beobachtung erhalten werden, dass er zwischen kritischen Punkten entweder zu- oder abnimmt.

In höheren Dimensionen ist ein kritischer Punkt einer skalarwertigen Funktion ein Punkt, an dem der Gradient null ist. Der Test der zweiten Ableitung kann weiterhin verwendet werden, um kritische Punkte zu analysieren, indem die Eigenwerte der Hesse-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion am kritischen Punkt betrachtet werden. Wenn alle Eigenwerte positiv sind, ist der Punkt ein lokales Minimum; wenn alle negativ sind, handelt es sich um ein lokales Maximum. Wenn es einige positive und einige negative Eigenwerte gibt, dann wird der kritische Punkt " Sattelpunkt " genannt, und wenn keiner dieser Fälle zutrifft (dh einige der Eigenwerte sind Null), dann wird der Test als nicht schlüssig angesehen.

Variationsrechnung

Ein Beispiel für ein Optimierungsproblem ist: Finden Sie die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten auf einer Fläche unter der Annahme, dass die Kurve auch auf der Fläche liegen muss. Wenn die Fläche eine Ebene ist, ist die kürzeste Kurve eine Linie. Ist die Oberfläche aber beispielsweise eiförmig, dann ist der kürzeste Weg nicht sofort klar. Diese Pfade werden Geodäten genannt , und eines der grundlegendsten Probleme in der Variationsrechnung ist das Auffinden von Geodäten. Ein weiteres Beispiel ist: Finden Sie die kleinste Flächenfüllung einer geschlossenen Kurve im Raum. Diese Fläche wird als Minimalfläche bezeichnet und kann ebenfalls mit der Variationsrechnung ermittelt werden.

Physik

In der Physik ist die Infinitesimalrechnung von entscheidender Bedeutung: Viele physikalische Prozesse werden durch Gleichungen mit Ableitungen, sogenannten Differentialgleichungen, beschrieben . Die Physik beschäftigt sich insbesondere mit der Art und Weise, wie sich Größen im Laufe der Zeit ändern und entwickeln, und das Konzept der „ Zeitableitung “ – der Änderungsrate über die Zeit – ist für die genaue Definition mehrerer wichtiger Begriffe unerlässlich. Insbesondere die zeitlichen Ableitungen der Position eines Objekts sind in der Newtonschen Physik von Bedeutung :

  • Geschwindigkeit ist die Ableitung (nach der Zeit) der Verschiebung eines Objekts (Abstand von der ursprünglichen Position)
  • Beschleunigung ist die Ableitung (nach der Zeit) der Geschwindigkeit eines Objekts, dh die zweite Ableitung (nach der Zeit) der Position eines Objekts.

Zum Beispiel, wenn die Position eines Objekts auf einer Linie gegeben ist durch

dann ist die Geschwindigkeit des Objekts

und die Beschleunigung des Objekts ist

was konstant ist.

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine Beziehung zwischen einer Sammlung von Funktionen und ihren Ableitungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die Funktionen einer Variablen mit ihren Ableitungen in Bezug auf diese Variable in Beziehung setzt. Eine partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die Funktionen von mehr als einer Variablen mit ihren partiellen Ableitungen in Beziehung setzt . Differentialgleichungen entstehen auf natürliche Weise in den physikalischen Wissenschaften, in der mathematischen Modellierung und innerhalb der Mathematik selbst. Zum Beispiel kann das zweite Newtonsche Gesetz , das den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft beschreibt, als gewöhnliche Differentialgleichung angegeben werden

Die Wärmegleichung in einer Raumvariablen, die beschreibt, wie Wärme durch einen geraden Stab diffundiert, ist die partielle Differentialgleichung

Dabei ist u ( x , t ) die Temperatur des Stabes am Ort x und zum Zeitpunkt t und α ist eine Konstante, die davon abhängt, wie schnell Wärme durch den Stab diffundiert. (2-3¡)-(3+2)

Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz: Zu jeder differenzierbaren Funktion mit gibt es ein mit .

Der Mittelwertsatz gibt eine Beziehung zwischen Werten der Ableitung und Werten der ursprünglichen Funktion an. Wenn f ( x ) eine reellwertige Funktion ist und a und b Zahlen mit a < b sind , dann sagt der Mittelwertsatz, dass unter milden Hypothesen die Steigung zwischen den beiden Punkten ( a , f ( a )) und ( b , f ( b )) ist gleich der Steigung der Tangente an f an einem Punkt c zwischen a und b . Mit anderen Worten,

In der Praxis kontrolliert der Mittelwertsatz eine Funktion anhand ihrer Ableitung. Angenommen, f hat an jedem Punkt eine Ableitung gleich Null. Dies bedeutet, dass seine Tangente an jedem Punkt horizontal ist, daher sollte die Funktion auch horizontal sein. Dass dies stimmen muss, beweist der Mittelwertsatz: Die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen von f muss gleich der Steigung einer der Tangenten von f sein . Alle diese Steigungen sind Null, so dass jede Linie von einem Punkt im Diagramm zu einem anderen Punkt auch eine Steigung von Null hat. Das besagt aber, dass sich die Funktion nicht nach oben oder unten bewegt, also muss es sich um eine horizontale Linie handeln. Kompliziertere Bedingungen an der Ableitung führen zu weniger genauen, aber immer noch sehr nützlichen Informationen über die ursprüngliche Funktion.

Taylor-Polynome und Taylor-Reihen

Die Ableitung liefert die bestmögliche lineare Approximation einer Funktion an einem gegebenen Punkt, die jedoch stark von der ursprünglichen Funktion abweichen kann. Eine Möglichkeit, die Näherung zu verbessern, besteht darin, eine quadratische Näherung vorzunehmen. Das heißt, die Linearisierung einer reellwertigen Funktion f ( x ) am Punkt x 0 ist ein lineares Polynom a + b ( xx 0 ) , und es kann möglich sein, eine bessere Näherung zu erhalten, indem man ein quadratisches Polynom a + b ( xx 0 ) + c ( xx 0 ) 2 . Noch besser wäre ein kubisches Polynom a + b ( xx 0 ) + c ( xx 0 ) 2 + d ( xx 0 ) 3 , und diese Idee kann auf beliebig hochgradige Polynome erweitert werden. Für jedes dieser Polynome sollte es eine bestmögliche Wahl der Koeffizienten a , b , c und d geben , die die Approximation so gut wie möglich macht.

In der Umgebung von x 0 ist für a die bestmögliche Wahl immer f ( x 0 ) und für b ist die bestmögliche Wahl immer f' ( x 0 ) . Für c , d und Koeffizienten höheren Grades werden diese Koeffizienten durch höhere Ableitungen von f bestimmt . c sollte immer seinf'' ( x 0 )/2, und d sollte immer seinf''' ( x 0 )/3!. Die Verwendung dieser Koeffizienten ergibt das Taylor-Polynom von f . Das Taylor-Polynom vom Grad d ist das Polynom vom Grad d, das f am besten annähert , und seine Koeffizienten können durch eine Verallgemeinerung der obigen Formeln gefunden werden. Der Satz von Taylor gibt eine genaue Schranke an, wie gut die Näherung ist. Wenn f ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich d ist , dann ist das Taylor-Polynom vom Grad d gleich f .

Der Grenzwert der Taylor-Polynome ist eine unendliche Reihe, die Taylor-Reihe genannt wird . Die Taylor-Reihe ist häufig eine sehr gute Annäherung an die ursprüngliche Funktion. Funktionen, die gleich ihrer Taylor-Reihe sind, werden analytische Funktionen genannt . Funktionen mit Diskontinuitäten oder scharfen Ecken können nicht analytisch sein; außerdem gibt es glatte Funktionen, die ebenfalls nicht analytisch sind.

Satz über implizite Funktionen

Einige natürliche geometrische Formen wie Kreise können nicht als Graph einer Funktion gezeichnet werden . Zum Beispiel, wenn f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 1 , dann wird der Kreis ist die Menge aller Paare ( x , y ) derart , dass f ( x , y ) = 0 . Diese Menge wird Nullmenge von f genannt und ist nicht dasselbe wie der Graph von f , der ein Paraboloid ist . Der Satz über implizite Funktionen wandelt Beziehungen wie f ( x , y ) = 0 in Funktionen um. Darin heißt es , dass , wenn f ist stetig differenzierbar , dann um die meisten Punkte, die Null - Satz von f sieht aus wie Graphen von Funktionen zusammengeklebt. Die Punkte, an denen dies nicht zutrifft, werden durch eine Bedingung für die Ableitung von f bestimmt . Der Kreis kann zum Beispiel aus den Graphen der beiden Funktionen ± 1 - x 2 zusammengefügt werden . In einer Umgebung jedes Punktes auf dem Kreis außer (−1, 0) und (1, 0) hat eine dieser beiden Funktionen einen Graphen, der wie der Kreis aussieht. (Diese beiden Funktionen treffen zufällig auch (−1, 0) und (1, 0) , aber dies wird durch den impliziten Funktionssatz nicht garantiert.)

Der implizite Funktionssatz ist eng mit dem Umkehrfunktionssatz verwandt , der angibt, wann eine Funktion wie Graphen von zusammengefügten invertierbaren Funktionen aussieht .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise