Dimensionsanalyse - Dimensional analysis

In den Ingenieur- und Naturwissenschaften ist die Dimensionsanalyse die Analyse der Beziehungen zwischen verschiedenen physikalischen Größen durch Identifizierung ihrer Grundgrößen (wie Länge , Masse , Zeit und elektrischer Strom ) und Maßeinheiten (wie Meilen vs. Kilometer oder Pfund vs . Kilogramm) und verfolgen diese Maße, während Berechnungen oder Vergleiche durchgeführt werden. Die Umrechnung von Einheiten von einer dimensionalen Einheit in eine andere ist im metrischen oder SI- System aufgrund der regelmäßigen 10-Basis in allen Einheiten oft einfacher als in anderen. Die Dimensionsanalyse, oder genauer die Faktor-Label-Methode , auch als Einheitsfaktor-Methode bekannt , ist eine weit verbreitete Technik für solche Umrechnungen unter Verwendung der Regeln der Algebra .

Kommensurable physikalische Größen sind von gleicher Art und haben die gleiche Dimension und können direkt miteinander verglichen werden, auch wenn sie ursprünglich in unterschiedlichen Maßeinheiten ausgedrückt wurden, z. B. Yard und Meter, Pfund (Masse) und Kilogramm, Sekunden und Jahre . Inkommensurable physikalische Größen sind unterschiedlicher Art und haben unterschiedliche Dimensionen und können nicht direkt miteinander verglichen werden, egal in welchen Einheiten sie ursprünglich ausgedrückt wurden, zB Meter und Kilogramm, Sekunden und Kilogramm, Meter und Sekunden. Die Frage, ob ein Kilogramm größer als eine Stunde ist, ist beispielsweise bedeutungslos.

Jede physikalisch sinnvolle Gleichung oder Ungleichheit , müssen die gleichen Abmessungen auf der linken und der rechten Seite, eine Eigenschaft , wie bekannt dimensionale Homogenität . Die Überprüfung der Dimensionshomogenität ist eine gängige Anwendung der Dimensionsanalyse und dient als Plausibilitätsprüfung abgeleiteter Gleichungen und Berechnungen. Es dient auch als Leitfaden und Einschränkung bei der Ableitung von Gleichungen, die ein physikalisches System ohne eine strengere Ableitung beschreiben können.

Das Konzept der physikalischen Dimension und der Dimensionsanalyse wurde 1822 von Joseph Fourier eingeführt .

Konkrete Zahlen und Basiseinheiten

Viele Parameter und Messungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden als konkrete Zahl ausgedrückt – eine numerische Größe und eine entsprechende Maßeinheit. Oft wird eine Größe durch mehrere andere Größen ausgedrückt; Geschwindigkeit ist beispielsweise eine Kombination aus Länge und Zeit, zB 60 Kilometer pro Stunde oder 1,4 Kilometer pro Sekunde. Zusammengesetzte Beziehungen mit "per" werden durch Division ausgedrückt , zB 60 km/1 h. Andere Relationen können Multiplikation (oft mit einem zentrierten Punkt oder einer Nebeneinanderstellung gezeigt ), Potenzen (wie m ² für Quadratmeter) oder Kombinationen davon beinhalten.

Ein Satz von Basiseinheiten für ein Messsystem ist ein herkömmlich gewählter Satz von Einheiten, von denen keine als Kombination der anderen ausgedrückt werden kann und in Bezug auf die alle verbleibenden Einheiten des Systems ausgedrückt werden können. Beispielsweise werden normalerweise Einheiten für Länge und Zeit als Basiseinheiten gewählt. Einheiten für Volumen , kann jedoch in die Basislängeneinheiten (m faktorisiert werden ³ ), so sind sie abgeleitet oder Verbindungseinheiten betrachtet.

Manchmal verschleiern die Namen von Einheiten die Tatsache, dass es sich um abgeleitete Einheiten handelt. Zum Beispiel ist ein Newton (N) eine Krafteinheit , die die Einheiten Masse (kg) mal Beschleunigung (m⋅s ⁻² ) hat. Das Newton ist definiert als 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Prozentsätze, Ableitungen und Integrale

Prozentsätze sind dimensionslose Größen, da sie Verhältnisse von zwei Größen mit gleichen Dimensionen sind. Mit anderen Worten, das %-Zeichen kann als "Hundertstel" gelesen werden, da 1% = 1/100 .

Durch eine Ableitung nach einer Größe wird die Dimension der Variablen, nach der man differenziert, im Nenner hinzugefügt. Daher:

• Position ( x ) hat die Dimension L (Länge);
• Ableitung des Ortes nach der Zeit ( dx / dt , Geschwindigkeit ) hat die Dimension T ^–1 L – Länge vom Ort, Zeit aufgrund des Gradienten;
• die zweite Ableitung ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , Beschleunigung ) hat die Dimension T ⁻² L.

Ebenso fügt das Nehmen eines Integrals die Dimension der Variablen hinzu, zu der man integriert, aber im Zähler.

• Kraft hat die Dimension T ⁻² L M (Masse multipliziert mit Beschleunigung);
• das Kraftintegral über die Strecke ( s ) die das Objekt zurückgelegt hat ( , Arbeit ) hat die Dimension T ⁻² L ² M .${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$

In der Ökonomie unterscheidet man zwischen Aktien und Flüssen : Eine Aktie hat Einheiten von "Einheiten" (z. Jahr).

In einigen Kontexten werden dimensionale Größen als dimensionslose Größen oder Prozentsätze ausgedrückt, indem einige Dimensionen weggelassen werden. Zum Beispiel werden Schuldenquoten im Allgemeinen als Prozentsätze ausgedrückt: Gesamtverschuldung (Währungsdimension) geteilt durch das jährliche BIP (Währungsdimension) – aber man kann argumentieren, dass beim Vergleich eines Bestands mit einem Stromfluss das jährliche BIP Dimensionen von Währung/Zeit (zum Beispiel Dollar/Jahr) haben und daher sollte die Verschuldung im Verhältnis zum BIP die Einheiten von Jahren haben, was darauf hinweist, dass Verschuldung im Verhältnis zum BIP die Anzahl der Jahre ist, die ein konstantes BIP benötigt, um die Schulden zu begleichen, wenn das gesamte BIP für Schulden ausgegeben wird und die Schulden ansonsten unverändert bleiben.

Umrechnungsfaktor

In der Dimensionsanalyse wird ein Verhältnis, das eine Maßeinheit in eine andere umwandelt, ohne die Menge zu ändern, als Umrechnungsfaktor bezeichnet . Zum Beispiel sind kPa und bar beide Druckeinheiten und 100 kPa = 1 bar . Die Regeln der Algebra erlauben es, beide Seiten einer Gleichung durch denselben Ausdruck zu dividieren, also entspricht dies 100 kPa / 1 bar = 1 . Da jede Größe mit 1 multipliziert werden kann, ohne sie zu ändern, kann der Ausdruck " 100 kPa / 1 bar " verwendet werden, um von Bar in kPa umzurechnen, indem sie mit der umzurechnenden Größe einschließlich der Einheiten multipliziert wird. Beispiel: 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa, weil 5 × 100 / 1 = 500 und bar/bar aufgehoben werden, also 5 bar = 500 kPa .

Dimensionshomogenität

Die grundlegendste Regel der Dimensionsanalyse ist die der Dimensionshomogenität.

Nur vergleichbare Größen (physikalische Größen mit der gleichen Dimension) dürfen verglichen , gleichgesetzt , addiert oder subtrahiert werden .

Allerdings bilden die Dimensionen bei der Multiplikation eine abelsche Gruppe , also:

Man kann Verhältnisse von inkommensurablen Größen (Mengen mit unterschiedlichen Dimensionen) nehmen und sie multiplizieren oder dividieren .

Es macht beispielsweise keinen Sinn zu fragen, ob 1 Stunde mehr, gleich oder weniger als 1 Kilometer ist, da diese unterschiedliche Dimensionen haben, oder 1 Stunde zu 1 Kilometer zu addieren. Es ist jedoch durchaus sinnvoll zu fragen, ob 1 Meile mehr, gleich oder weniger als 1 Kilometer ist, obwohl die Einheiten unterschiedlich sind. Auf der anderen Seite, wenn ein Objekt 100 km in 2 Stunden zurücklegt, kann man diese aufteilen und schlussfolgern, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts 50 km/h betrug.

Die Regel impliziert, dass in einem physikalisch sinnvollen Ausdruck nur Größen derselben Dimension addiert, subtrahiert oder verglichen werden können. Wenn beispielsweise m _man , m _rat und L _man jeweils die Masse eines Menschen, die Masse einer Ratte und die Länge dieses Mannes bezeichnen, ist der dimensionshomogene Ausdruck m _man + m _rat sinnvoll, aber der heterogene Ausdruck m _Mann + L _Mann ist bedeutungslos. Allerdings m _Mann / L ² _Mann ist in Ordnung. Somit kann die Dimensionsanalyse zur Überprüfung der Gesundheit physikalischer Gleichungen verwendet werden: Die beiden Seiten einer Gleichung müssen kommensurabel sein oder die gleichen Dimensionen haben.

Dies hat zur Folge, dass die meisten mathematischen Funktionen, insbesondere die transzendenten Funktionen , eine dimensionslose Größe, eine reine Zahl, als Argument haben müssen und als Ergebnis eine dimensionslose Zahl zurückgeben müssen. Dies ist klar, weil viele transzendente Funktionen als unendliche Potenzreihen mit dimensionslosen Koeffizienten ausgedrückt werden können .

${\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2 }+a_{3}x^{3}+\cdots}$

Alle Potenzen von x müssen dieselbe Dimension haben, damit die Terme kommensurabel sind. Aber wenn x nicht dimensionslos ist, dann haben die verschiedenen Potenzen von x unterschiedliche, inkommensurable Dimensionen. Jedoch Potenzfunktionen einschließlich Wurzelfunktionen kann ein dimensional Argument haben und ein Ergebnis mit Dimension zurück, die die gleiche Kraft auf das Argument Dimension angewendet ist. Dies liegt daran, dass Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen, grob gesagt, nur ein Ausdruck der Multiplikation von Größen sind.

Auch wenn zwei physikalische Größen identische Dimensionen haben, kann es dennoch bedeutungslos sein, sie zu vergleichen oder zu addieren. Obwohl beispielsweise Drehmoment und Energie die Dimension T ^–2 L ² M gemeinsam haben , sind sie grundlegend unterschiedliche physikalische Größen.

Zum Vergleichen, Addieren oder Subtrahieren von Mengen mit den gleichen Abmessungen, aber in unterschiedlichen Einheiten ausgedrückt, ist das Standardverfahren, sie zunächst alle in die gleichen Einheiten umzurechnen. Um beispielsweise 32 Meter mit 35 Yards zu vergleichen, verwenden Sie 1 Yard = 0,9144 m, um 35 Yards in 32,004 m umzurechnen.

Ein verwandtes Prinzip ist, dass jedes physikalische Gesetz, das die reale Welt genau beschreibt, unabhängig von den Einheiten sein muss, die zur Messung der physikalischen Variablen verwendet werden. Zum Beispiel müssen die Newtonschen Bewegungsgesetze gelten, egal ob Entfernungen in Meilen oder Kilometern gemessen werden. Aus diesem Prinzip ergibt sich die Form, die Umrechnungsfaktoren zwischen Einheiten annehmen müssen, die dieselbe Dimension messen: Multiplikation mit einer einfachen Konstanten. Es stellt auch die Gleichwertigkeit sicher; Wenn beispielsweise zwei Gebäude die gleiche Höhe in Fuß haben, müssen sie die gleiche Höhe in Metern haben.

Die Faktor-Label-Methode zum Umrechnen von Einheiten

Die Faktor-Label-Methode ist die sequentielle Anwendung von Umrechnungsfaktoren, die als Brüche ausgedrückt und so angeordnet sind, dass jede Dimensionseinheit, die sowohl im Zähler als auch im Nenner eines der Brüche auftaucht, aufgehoben werden kann, bis nur die gewünschte Menge von Dimensionseinheiten erhalten wird. Beispielsweise können 10 Meilen pro Stunde in Meter pro Sekunde umgerechnet werden, indem eine Folge von Umrechnungsfaktoren wie unten gezeigt verwendet wird:

${\displaystyle {\frac {10\ {\cancel {\text{mile}}}}{1\ {\cancel {\text{Stunde}}}}}\times {\frac {1609.344{\text{ meter} }}{1\ {\Abbrechen {\text{Meile}}}}}\times {\frac {1\ {\Abbrechen {\text{Stunde}}}}{3600{\text{Sekunde}}}}= 4.4704\ {\frac {\text{Meter}}{\text{Sekunde}}}.}$

Jeder Umrechnungsfaktor wird basierend auf der Beziehung zwischen einer der ursprünglichen Einheiten und einer der gewünschten Einheiten (oder einer Zwischeneinheit) ausgewählt, bevor er neu angeordnet wird, um einen Faktor zu erzeugen, der die ursprüngliche Einheit aufhebt. Da beispielsweise "Meile" der Zähler im ursprünglichen Bruch ist und "Meile" der Nenner im Umrechnungsfaktor sein muss. Das Teilen beider Seiten der Gleichung durch 1 Meile ergibt , was vereinfacht das dimensionslose ergibt . Das Multiplizieren einer beliebigen Größe (physikalische Größe oder nicht) mit der dimensionslosen 1 ändert diese Größe nicht. Sobald dieser und der Umrechnungsfaktor für Sekunden pro Stunde mit dem ursprünglichen Bruchteil multipliziert wurden, um die Einheiten Meile und Stunde zu eliminieren, werden 10 Meilen pro Stunde in 4,4704 Meter pro Sekunde umgewandelt. ${\displaystyle 1\ {\text{Meile}}=1609.344\ {\text{Meter}}}$${\displaystyle {\frac {1\ {\text{Meile}}}{1\ {\text{Meile}}}}={\frac {1609.344\ {\text{Meter}}}{1\ {\text {Meile}}}}}$${\displaystyle 1={\frac {1609.344\ {\text{Meter}}}{1\ {\text{Meile}}}}}$

Als ein komplexeres Beispiel die Konzentration von Stickstoffoxiden (dh ) in dem Rauchgas aus einem Industrieofen kann zu einem überführt wird Massendurchflussrate in Gramm pro Stunde (dh g / h) , ausgedrückt durch Verwendung der folgenden Informationen als unten gezeigt: ${\displaystyle \color {Blau}{\ce {NEIN}}_{x}}$${\displaystyle {\ce {NEIN}}_{x}}$

NO _x -Konzentration

= 10 Volumenteile pro Million = 10 ppmv = 10 Volumen/10 ⁶ Volumen

NO _x Molmasse

= 46 kg/kmol = 46 g/mol

Durchflussmenge des Rauchgases

= 20 Kubikmeter pro Minute = 20 m ³ /min

Das Rauchgas verlässt den Ofen mit einer Temperatur von 0 °C und einem Absolutdruck von 101,325 kPa.

Das molare Volumen eines Gases bei 0 °C Temperatur und 101,325 kPa beträgt 22,414 m ³ / kmol .

${\displaystyle {\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\ frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO }}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}{10 ^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {Gas}}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}} }^{3}\ {\ce {Gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {Minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {Minute}} }}{1\ {\ce {Stunde}}}}=24,63\ {\frac {{\ce {g\ NEIN}}_{x}}{\ce {Stunde}}}}$

Nach Auslöschen aller Maßeinheiten, die sowohl in den Zählern als auch im Nenner der Fraktionen in der obigen Gleichung erscheinen, wandelt sich die NO _x -Konzentration von 10 ppm _v in eine Massenflussrate von 24,63 Gramm pro Stunde um.

Gleichungen mit Dimensionen prüfen

Die Faktor-Label-Methode kann auch bei jeder mathematischen Gleichung verwendet werden, um zu überprüfen, ob die Maßeinheiten auf der linken Seite der Gleichung mit den Maßeinheiten auf der rechten Seite der Gleichung übereinstimmen. Die gleichen Einheiten auf beiden Seiten einer Gleichung stellen nicht sicher, dass die Gleichung korrekt ist, aber verschiedene Einheiten auf den beiden Seiten einer Gleichung (ausgedrückt in Basiseinheiten) implizieren, dass die Gleichung falsch ist.

Überprüfen Sie beispielsweise die Gleichung des universellen Gasgesetzes von PV = nRT , wenn:

• der Druck P ist in Pascal (Pa)
• das Volumen V ist in Kubikmetern (m ³ )
• die Stoffmenge n ist in Mol (mol)
• die universelle Gasgesetzkonstante R ist 8,3145 Pa⋅m ³ /(mol⋅K)
• die Temperatur T ist in Kelvin (K)

${\displaystyle {\ce {Pa.m^3}}={\frac {\cancel {{\ce {mol}}}}}{1}}\times {\frac {{\ce {Pa.m^3 }}}{{\cancel {{\ce {mol}}}}\ {\cancel {{\ce {K}}}}}}}\times {\frac {\cancel {{\ce {K}}} }{1}}}$

Wie zu sehen ist, haben beide Seiten der Gleichung die gleichen Maßeinheiten, wenn die im Zähler und Nenner der rechten Seite der Gleichung erscheinenden Maßeinheiten aufgehoben werden. Die Dimensionsanalyse kann als Werkzeug zum Konstruieren von Gleichungen verwendet werden, die nicht-assoziierte physikalisch-chemische Eigenschaften in Beziehung setzen. Die Gleichungen können bisher unbekannte oder übersehene Eigenschaften der Materie in Form von übrig gebliebenen Dimensionen – Dimensionsreglern – offenbaren, denen dann physikalische Bedeutung zugeschrieben werden kann. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass eine solche „mathematische Manipulation“ weder ohne Präzedenzfall noch ohne erhebliche wissenschaftliche Bedeutung ist. Tatsächlich wurde die Planck-Konstante , eine fundamentale Konstante des Universums, als rein mathematische Abstraktion oder Darstellung „entdeckt“, die auf dem Rayleigh-Jeans-Gesetz zur Verhinderung der ultravioletten Katastrophe aufbaute . Es wurde entweder im Tandem oder nach der mathematischen Dimensionsanpassung zugewiesen und zu seiner quantenphysikalischen Bedeutung aufgestiegen – nicht früher.

Einschränkungen

Die Faktor-Label-Methode kann nur Einheitsgrößen umrechnen, deren Einheiten in einer linearen Beziehung stehen, die sich bei 0 schneidet. ( Verhältnisskala in der Typologie von Stevens) Die meisten Einheiten passen zu diesem Paradigma. Ein Beispiel, für das es nicht verwendet werden kann, ist die Umrechnung zwischen Grad Celsius und Kelvin (oder Grad Fahrenheit ). Zwischen Grad Celsius und Kelvin gibt es eher einen konstanten Unterschied als ein konstantes Verhältnis, während es zwischen Grad Celsius und Grad Fahrenheit weder einen konstanten Unterschied noch ein konstantes Verhältnis gibt. Es gibt jedoch eine affine Transformation ( , anstatt einer linearen Transformation ) zwischen ihnen. ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$

Zum Beispiel beträgt der Gefrierpunkt von Wasser 0 °C und 32 °F (0 °C), und eine Änderung von 5 °C entspricht einer Änderung von 9 °F (−13 °C). Um also von der Einheit Fahrenheit in die Einheit Celsius umzurechnen, subtrahiert man 32 °F (den Offset vom Bezugspunkt), dividiert durch 9 °F (−13 °C) und multipliziert mit 5 °C (skaliert mit dem Verhältnis Einheiten) und addiert 0 °C (den Offset vom Referenzpunkt). Die Umkehrung dieses Wertes ergibt die Formel zum Erhalten einer Größe in Einheiten von Celsius aus Einheiten von Fahrenheit; man hätte mit der Äquivalenz zwischen 100 °C und 212 °F (100 °C) beginnen können, obwohl dies am Ende dieselbe Formel ergeben würde.

Um den numerischen Größenwert einer Temperatur T [F] in Grad Fahrenheit in einen numerischen Größenwert T [C] in Grad Celsius umzuwandeln , kann daher diese Formel verwendet werden:

T [C] = ( T [F] − 32) × 5/9.

Um T [C] in Grad Celsius in T [F] in Grad Fahrenheit umzurechnen, kann diese Formel verwendet werden:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Anwendungen

Die Dimensionsanalyse wird am häufigsten in der Physik und Chemie – und in deren Mathematik – verwendet, findet aber auch außerhalb dieser Bereiche Anwendung.

Mathematik

Eine einfache Anwendung der Dimensionsanalyse auf die Mathematik besteht in der Berechnung der Form des Volumens einer n- Kugel (der festen Kugel in n Dimensionen) oder der Fläche ihrer Oberfläche, der n- Kugel : Da es sich um eine n- dimensionale Figur handelt, Volumen skaliert als während die Oberfläche, da sie -dimensional ist, skaliert als Somit ist das Volumen der n -Kugel in Bezug auf den Radius für eine Konstante Die Bestimmung der Konstanten erfordert mehr Mathematik, aber die Form kann durch Dimensionsanalyse abgeleitet und überprüft werden allein. ${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle x^{n-1}.}$${\displaystyle C_{n}r^{n},}$${\displaystyle C_{n}.}$

Finanzen, Wirtschaft und Rechnungswesen

Im Finanz-, Wirtschafts- und Rechnungswesen wird die Dimensionsanalyse am häufigsten als Unterscheidung zwischen Beständen und Strömen bezeichnet . Im Allgemeinen wird die Dimensionsanalyse bei der Interpretation verschiedener Finanzkennzahlen , Wirtschaftskennzahlen und Bilanzkennzahlen verwendet.

• Das KGV hat beispielsweise Zeitdimensionen (Jahreseinheiten) und kann als „Jahre des Einkommens, um den gezahlten Preis zu verdienen“ interpretiert werden.
• In der Volkswirtschaftslehre hat die Schuldenquote auch die Einheiten von Jahren (Schulden in Währungseinheiten, BIP in Währungseinheiten/Jahr).
• In der Finanzanalyse haben einige Anleihedurationstypen auch eine zeitliche Dimension (Einheit von Jahren) und können als "Jahre bis zum Ausgleichspunkt zwischen Zinszahlungen und nominaler Rückzahlung" interpretiert werden.
• Geldgeschwindigkeit hat Einheiten von 1/Jahr (BIP/Geldmenge hat Währungseinheiten/Jahr gegenüber Währungen): Wie oft zirkuliert eine Währungseinheit pro Jahr.
• Zinssätze werden oft in Prozent ausgedrückt, genauer gesagt in Prozent pro Jahr, was eine Dimension von 1/Jahr hat.

Strömungsmechanik

In der Strömungsmechanik wird eine Dimensionsanalyse durchgeführt, um dimensionslose Pi-Terme oder -Gruppen zu erhalten. Nach den Prinzipien der Dimensionsanalyse kann jeder Prototyp durch eine Reihe dieser Begriffe oder Gruppen beschrieben werden, die das Verhalten des Systems beschreiben. Unter Verwendung geeigneter Pi-Terme oder -Gruppen ist es möglich, einen ähnlichen Satz von Pi-Termen für ein Modell zu entwickeln, das die gleichen Dimensionsbeziehungen aufweist. Mit anderen Worten, Pi-Terme bieten eine Abkürzung zur Entwicklung eines Modells, das einen bestimmten Prototyp darstellt. Gängige dimensionslose Gruppen in der Strömungsmechanik sind:

• Reynolds-Zahl (Re), allgemein wichtig bei allen Arten von Flüssigkeitsproblemen:

  ${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho\,ud}{\mu}}}$.

• Froude-Zahl (Fr), Modellieren von Strömung mit freier Oberfläche:

  ${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$

• Eulersche Zahl (Eu), die bei Problemen verwendet wird, bei denen Druck von Interesse ist:

  ${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Updelta {\rho u^{2}}}.}$

• Machzahl (Ma), wichtig bei Hochgeschwindigkeitsströmungen, bei denen die Geschwindigkeit die lokale Schallgeschwindigkeit erreicht oder überschreitet:

  ${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$wobei: c die lokale Schallgeschwindigkeit ist.

Geschichte

Die Ursprünge der Dimensionsanalyse sind von Historikern umstritten.

Die erste schriftliche Anwendung der Dimensionsanalyse wurde einem Artikel von François Daviet an der Turiner Akademie der Wissenschaften zugeschrieben. Daviet hatte den Meister Lagrange als Lehrer. Seine grundlegenden Werke sind in Akten der Akademie von 1799 enthalten.

Dies führte zu der Schlussfolgerung, dass sinnvolle Gesetze homogene Gleichungen in ihren verschiedenen Maßeinheiten sein müssen, ein Ergebnis, das später im Buckingham--Theorem formalisiert wurde . Auch Simeon Poisson behandelte das gleiche Problem des Parallelogrammgesetzes von Daviet in seiner Abhandlung von 1811 und 1833 (Band I, S. 39). In der zweiten Auflage von 1833 führt Poisson explizit den Begriff Dimension anstelle der Daviet- Homogenität ein .

Im Jahr 1822 leistete der bedeutende napoleonische Wissenschaftler Joseph Fourier die ersten wichtigen Beiträge, die auf der Idee beruhten, dass physikalische Gesetze wie F = ma unabhängig von den zur Messung der physikalischen Variablen verwendeten Einheiten sein sollten.

James Clerk Maxwell spielte eine wichtige Rolle bei der Etablierung der modernen Verwendung der Dimensionsanalyse, indem er Masse, Länge und Zeit als grundlegende Einheiten unterschied, während er sich auf andere Einheiten als abgeleitete Einheiten bezog. Obwohl Maxwell Länge, Zeit und Masse als "die drei fundamentalen Einheiten" definierte, bemerkte er auch, dass die Gravitationsmasse aus Länge und Zeit abgeleitet werden kann, indem man eine Form des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation annimmt, in der die Gravitationskonstante G als Einheit angenommen wird , wodurch M = T ⁻² L ^{3 definiert wird} . Unter Annahme einer Form des Coulomb-Gesetzes, in der die Coulomb-Konstante k _e als Einheit angenommen wird, bestimmt Maxwell dann, dass die Dimensionen einer elektrostatischen Ladungseinheit Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^{1/2 sind} , die nach Substitution von his M = T ⁻² L ³ Gleichung für die Masse, führt dazu, dass die Ladung die gleichen Dimensionen wie die Masse hat, d.h. Q = T ^-2 L ³ .

Die Dimensionsanalyse wird auch verwendet, um Beziehungen zwischen den physikalischen Größen abzuleiten, die an einem bestimmten Phänomen beteiligt sind, das man verstehen und charakterisieren möchte. Es wurde zum ersten Mal ( Pesic 2005 ) auf diese Weise im Jahr 1872 von Lord Rayleigh verwendet , der versuchte zu verstehen, warum der Himmel blau ist. Rayleigh veröffentlichte die Technik erstmals 1877 in seinem Buch The Theory of Sound .

Die ursprüngliche Bedeutung des Wortes Dimension in Fouriers Theorie de la Chaleur war der Zahlenwert der Exponenten der Basiseinheiten. Als Beschleunigung wurde beispielsweise die Dimension 1 in Bezug auf die Längeneinheit und die Dimension –2 in Bezug auf die Zeiteinheit angenommen. Dies wurde von Maxwell leicht geändert, der sagte, dass die Dimensionen der Beschleunigung T ⁻² L sind, anstatt nur die Exponenten.

Mathematische Formulierung

Der Satz von Buckingham π beschreibt, wie jede physikalisch sinnvolle Gleichung mit n Variablen äquivalent in eine Gleichung von n − m dimensionslosen Parametern umgeschrieben werden kann, wobei m der Rang der Dimensionsmatrix ist . Darüber hinaus und vor allem bietet es eine Methode zur Berechnung dieser dimensionslosen Parameter aus den gegebenen Variablen.

Bei einer Dimensionsgleichung können die Dimensionen durch Nichtdimensionalisierung reduziert oder eliminiert werden , was mit der Dimensionsanalyse beginnt und die Skalierung von Größen durch charakteristische Einheiten eines Systems oder natürliche Einheiten der Natur beinhaltet. Dies gibt einen Einblick in die grundlegenden Eigenschaften des Systems, wie in den folgenden Beispielen veranschaulicht.

Definition

Die Dimension einer physikalischen Größe kann als Produkt der physikalischen Grunddimensionen Länge, Masse und Zeit ausgedrückt werden, die jeweils in eine rationale Potenz erhoben werden . Die Dimension einer physikalischen Größe ist grundlegender als eine Skaleneinheit , die verwendet wird, um die Menge dieser physikalischen Größe auszudrücken. Zum Beispiel ist Masse eine Dimension, während das Kilogramm eine bestimmte Skaleneinheit ist, die gewählt wird, um eine Massemenge auszudrücken. Abgesehen von natürlichen Einheiten ist die Wahl des Maßstabs kulturell und willkürlich.

Es gibt viele mögliche Wahlen von grundlegenden physikalischen Abmessungen. Die SI-Norm empfiehlt die Verwendung der folgenden Maße und entsprechenden Symbole: Zeit (T), Länge (L), Masse (M), elektrischer Strom (I), absolute Temperatur (Θ), Stoffmenge (N) und Lichtstärke (J). Die Symbole werden per Konvention in der Regel in römischer Sans-Serif- Schrift geschrieben. Mathematisch ist die Dimension der Größe Q gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}} ^{d}{\mathsf{\Theta}}^{e}{\mathsf{N}}^{f}{\mathsf{J}}^{g}}$

wobei a , b , c , d , e , f , g die Dimensionsexponenten sind. Andere physikalische Größen könnten als Basisgrößen definiert werden, sofern sie eine linear unabhängige Basis bilden – beispielsweise könnte man die Dimension (I) des elektrischen Stroms der SI-Basis durch eine Dimension (Q) der elektrischen Ladung ersetzen , da Q = TI.

Als Beispiele, die Dimension der physikalischen Größe Geschwindigkeit v ist

${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{Länge}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\ mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}$

und die Dimension der physikalischen Größe Kraft F ist

${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text {Zeit}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T }}^{-2}{\mathsf{L}}{\mathsf{M}}}$

Die gewählte Einheit, um eine physikalische Größe auszudrücken, und ihre Dimension sind verwandte, aber nicht identische Konzepte. Die Einheiten einer physikalischen Größe sind durch Konventionen definiert und beziehen sich auf einen bestimmten Standard; zB kann die Länge die Einheiten Meter, Fuß, Zoll, Meilen oder Mikrometer haben; aber jede Länge hat immer die Dimension L, egal welche Längeneinheiten gewählt werden, um sie auszudrücken. Zwei verschiedene Einheiten derselben physikalischen Größe haben Umrechnungsfaktoren , die sie in Beziehung setzen. Beispiel: 1 Zoll = 2,54 cm; in diesem Fall ist 2,54 cm/in der Umrechnungsfaktor, der selbst dimensionslos ist. Daher ändert die Multiplikation mit diesem Umrechnungsfaktor die Abmessungen einer physikalischen Größe nicht.

Es gibt auch Physiker, die Zweifel an der Existenz inkompatibler grundlegender Dimensionen physikalischer Größen aufkommen lassen, obwohl dies die Nützlichkeit der Dimensionsanalyse nicht entkräftet.

Mathematische Eigenschaften

Die Dimensionen, die aus einer gegebenen Sammlung von grundlegenden physikalischen Dimensionen wie T, L und M gebildet werden können, bilden eine abelsche Gruppe : Die Identität wird als 1 geschrieben; L ⁰ = 1 , und die Umkehrung von L ist 1/L oder L ⁻¹ . L zu einer beliebigen rationalen Potenz p ist ein Mitglied der Gruppe mit einer Inversen von L ^{− p} oder 1/L ^p . Die Operation der Gruppe ist Multiplikation mit den üblichen Regeln für die Behandlung von Exponenten ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Diese Gruppe kann als Vektorraum über den rationalen Zahlen beschrieben werden, wobei das Dimensionssymbol T ⁱ L ^j M ^k dem Vektor ( i , j , k ) entspricht . Bei der Multiplikation oder Division von physikalischen Messgrößen (sei es gleich- oder ungleichdimensioniert) werden deren Maßeinheiten ebenfalls multipliziert oder dividiert; dies entspricht einer Addition oder Subtraktion im Vektorraum. Wenn messbare Größen rational potenziert werden, geschieht das gleiche mit den dimensionalen Symbolen, die diesen Größen zugeordnet sind; dies entspricht einer Skalarmultiplikation im Vektorraum.

Eine Basis für einen solchen Vektorraum von dimensionalen Symbolen wird eine Menge von Basisgrößen genannt , und alle anderen Vektoren werden abgeleitete Einheiten genannt. Wie in jedem Vektorraum kann man verschiedene Basen wählen , was unterschiedliche Einheitensysteme ergibt (zB die Wahl, ob die Einheit für Ladung von der Einheit für Strom abgeleitet wird oder umgekehrt).

Die Gruppenidentität, die Dimension dimensionsloser Größen, entspricht dem Ursprung in diesem Vektorraum.

Die Menge der Einheiten der an einem Problem beteiligten physikalischen Größen entspricht einer Menge von Vektoren (oder einer Matrix). Die Nichtigkeit beschreibt eine Anzahl (zB m ) von Wegen, auf denen diese Vektoren kombiniert werden können, um einen Nullvektor zu erzeugen. Diese entsprechen der Erzeugung (aus den Messungen) einer Anzahl dimensionsloser Größen {π ₁ , ..., _m }. (Tatsächlich überspannen diese Wege vollständig den Null-Unterraum eines anderen anderen Raums, der Potenzen der Messungen.) Jede mögliche Art, die gemessenen Größen miteinander zu multiplizieren (und zu potenzieren ), um etwas mit den gleichen Einheiten wie eine abgeleitete Größe X zu erzeugen, kann ausgedrückt werden in der allgemeinen Form

${\displaystyle X=\prod_{i=1}^{m}(\pi_{i})^{k_{i}}\,.}$

Folglich lässt sich jede mögliche , der Physik des Systems entsprechende Gleichung in der Form umschreiben

${\displaystyle f(\pi_{1},\pi_{2},...,\pi_{m})=0\,.}$

Diese Einschränkung zu kennen kann ein mächtiges Werkzeug sein, um neue Einblicke in das System zu erhalten.

Mechanik

Die Dimension physikalischer Größen von Interesse in der Mechanik kann durch die Basisdimensionen T, L und M ausgedrückt werden – diese bilden einen dreidimensionalen Vektorraum. Dies ist nicht die einzige gültige Wahl der Basisabmessungen, aber sie wird am häufigsten verwendet. Zum Beispiel könnte man Kraft, Länge und Masse als Basisabmessungen wählen (wie einige es getan haben), mit den zugehörigen Abmessungen F, L, M; dies entspricht einer anderen Basis, und man kann zwischen diesen Darstellungen durch einen Basiswechsel wechseln . Die Wahl des Basissatzes von Dimensionen ist somit eine Konvention mit dem Vorteil einer erhöhten Nützlichkeit und Vertrautheit. Die Wahl der Grunddimensionen ist nicht ganz willkürlich, weil sie eine Form muss Basis : sie müssen überspannen den Raum, und seine linear unabhängig .

Zum Beispiel bilden F, L, M eine Menge fundamentaler Dimensionen, weil sie eine Basis bilden, die äquivalent zu T, L, M ist: erstere kann ausgedrückt werden als [F = LM/T ² ], L, M, während die letzteres kann ausgedrückt werden als [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

Andererseits bilden Länge, Geschwindigkeit und Zeit (T, L, V) aus zwei Gründen keine Grundmaße für die Mechanik:

• Es gibt keine Möglichkeit, Masse – oder etwas davon abgeleitetes, wie z. B. Kraft – zu erhalten, ohne eine andere Basisdimension einzuführen (sie überspannen also nicht den Raum ).
• Geschwindigkeit, die in Länge und Zeit (V = L/T) ausdrückbar ist, ist redundant (die Menge ist nicht linear unabhängig ).

Andere Bereiche der Physik und Chemie

Je nach Fachgebiet der Physik kann es von Vorteil sein, den einen oder anderen erweiterten Satz von Dimensionssymbolen zu wählen. Beim Elektromagnetismus kann es beispielsweise nützlich sein, die Dimensionen T, L, M und Q zu verwenden, wobei Q die Dimension der elektrischen Ladung darstellt . In der Thermodynamik wird der Basissatz von Dimensionen oft um eine Dimension für die Temperatur erweitert, . In der Chemie ist die Stoffmenge (die Anzahl der Moleküle dividiert durch die Avogadro-Konstante , ≈6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) ist auch als Basisdimension N definiert. Bei der Wechselwirkung von relativistischem Plasma mit starken Laserpulsen wird ein dimensionsloser relativistischer Ähnlichkeitsparameter , verbunden mit den Symmetrieeigenschaften der kollisionsfreien Vlasov-Gleichung , aus Plasma-, Elektronen- und kritische Dichten zusätzlich zum elektromagnetischen Vektorpotential. Die Wahl der Dimensionen oder sogar der Anzahl von Dimensionen, die in verschiedenen Bereichen der Physik verwendet werden sollen, ist in gewissem Maße willkürlich, aber Konsistenz in der Verwendung und einfache Kommunikation sind übliche und notwendige Merkmale.

Polynome und transzendente Funktionen

Skalare Argumente für transzendente Funktionen wie Exponential- , trigonometrische und logarithmische Funktionen oder für inhomogene Polynome müssen dimensionslose Größen sein . (Anmerkung: Diese Anforderung wird in Sianos Orientierungsanalyse, die unten beschrieben wird, etwas gelockert, in der das Quadrat bestimmter dimensionierter Größen dimensionslos ist.)

Während sich die meisten mathematischen Identitäten über dimensionslose Zahlen auf einfache Weise in dimensionale Größen übersetzen lassen, ist bei Logarithmen von Verhältnissen Vorsicht geboten: Die Identität log( a / b ) = log  a − log  b , wobei der Logarithmus in einer beliebigen Basis genommen wird, gilt für dimensionslose Zahlen a und b , aber es gilt nicht , wenn a und b dimensional sind, denn in diesem Fall ist die linke Seite wohldefiniert, die rechte nicht.

Während man Monome ( x ⁿ ) dimensionaler Größen auswerten kann, kann man in ähnlicher Weise keine Polynome gemischten Grades mit dimensionslosen Koeffizienten auf dimensionalen Größen auswerten: Für x ² ist der Ausdruck (3 m) ²  = 9 m ² sinnvoll (als Fläche ), während für x ²  +  x der Ausdruck (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m keinen Sinn ergibt.

Polynome gemischten Grades können jedoch sinnvoll sein, wenn die Koeffizienten geeignet gewählte physikalische Größen sind, die nicht dimensionslos sind. Zum Beispiel,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{Meter}}{{\text{Sekunde}}^{2}}}\right)\cdot t^{2}+\left(500\ {\frac{\text{Meter}}{\text{Sekunde}}}\right)\cdot t.}$

Dies ist die Höhe , auf die ein Objekt in der Zeit ansteigt  t , wenn die Beschleunigung der Schwerkraft beträgt 9,8 Meter pro Sekunde pro Sekunde und die anfängliche Aufwärtsgeschwindigkeit von 500 Meter pro Sekunde . Es ist nicht erforderlich, dass t in Sekunden angegeben wird . Angenommen, t  = 0,01 Minuten. Dann wäre der erste Term

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2} }}\right)\cdot (0.01{\text{ Minute}})^{2}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01 ^{2}\right)\left({\frac {\text{Minute}}{\text{Sekunde}}}\right)^{2}\cdot {\text{meter}}\\[10pt]= {}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot {\text{meter}}.\end{ ausgerichtet}}}$

Einheiten einbeziehen

Der Wert einer dimensionalen physikalischen Größe Z wird als Produkt einer Einheit [ Z ] innerhalb der Dimension und einem dimensionslosen Zahlenfaktor n geschrieben .

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Wenn gleich dimensionierte Größen addiert oder subtrahiert oder verglichen werden, ist es zweckmäßig, sie in konsistenten Einheiten auszudrücken, so dass die numerischen Werte dieser Größen direkt addiert oder subtrahiert werden können. Aber konzeptionell ist es kein Problem, Größen derselben Dimension, ausgedrückt in verschiedenen Einheiten, zu addieren. Zum Beispiel ist 1 Meter zu 1 Fuß eine Länge, aber man kann diese Länge nicht einfach durch Addieren von 1 und 1 ableiten. Es wird ein Umrechnungsfaktor benötigt , der ein Verhältnis gleich dimensionierter Größen ist und gleich der dimensionslosen Einheit ist:

${\displaystyle 1\ {\mbox{ft}}=0,3048\ {\text{m}}\ }$ ist identisch mit ${\displaystyle 1={\frac {0,3048\ {\text{m}}}{1\ {\text{ft}}}}.\ }$

Der Faktor ist identisch mit der dimensionslosen 1, daher ändert die Multiplikation mit diesem Umrechnungsfaktor nichts. Wenn dann zwei Größen gleicher Dimension, aber in unterschiedlichen Einheiten ausgedrückt, addiert werden, wird der entsprechende Umrechnungsfaktor, der im Wesentlichen die dimensionslose 1 ist, verwendet, um die Größen in identische Einheiten umzurechnen, sodass ihre Zahlenwerte addiert oder subtrahiert werden können. ${\displaystyle 0.3048\ {\frac {\text{m}}{\mbox{ft}}}}$

Nur so ist es sinnvoll, von einer Addition gleich dimensionierter Mengen unterschiedlicher Einheiten zu sprechen.

Position vs. Verschiebung

Einige Diskussionen über die Dimensionsanalyse beschreiben implizit alle Größen als mathematische Vektoren. (In der Mathematik gelten Skalare als Spezialfall von Vektoren; Vektoren können zu anderen Vektoren addiert oder von ihnen subtrahiert und unter anderem mit Skalaren multipliziert oder dividiert werden. Wird ein Vektor zur Definition einer Position verwendet, so setzt dies einen impliziten Punkt Referenz: ein Ursprung . Dies ist zwar nützlich und oft vollkommen ausreichend, da viele wichtige Fehler erkannt werden können, es kann jedoch sein, dass bestimmte Aspekte der Physik nicht modelliert werden. Ein strengerer Ansatz erfordert die Unterscheidung zwischen Position und Verschiebung oder absolute Temperatur gegenüber Temperaturänderung).

Betrachten Sie Punkte auf einer Linie, jeder mit einer Position in Bezug auf einen gegebenen Ursprung und deren Entfernungen. Positionen und Verschiebungen haben alle Längeneinheiten, aber ihre Bedeutung ist nicht austauschbar:

• Das Hinzufügen von zwei Verschiebungen sollte eine neue Verschiebung ergeben (wenn Sie zehn Schritte gehen, dann zwanzig Schritte gehen Sie dreißig Schritte vorwärts),
• Das Hinzufügen einer Verschiebung zu einer Position sollte eine neue Position ergeben (wenn Sie von einer Kreuzung einen Block die Straße hinuntergehen, gelangen Sie zur nächsten Kreuzung),
• Subtrahieren von zwei Positionen sollte eine Verschiebung ergeben,
• aber man darf nicht zwei Positionen hinzufügen.

Dies veranschaulicht den feinen Unterschied zwischen affinen Größen (von einem affinen Raum modelliert , wie Position) und Vektorgrößen (von einem Vektorraum modelliert , wie Displacement).

• Vektorgrößen können miteinander addiert werden, was eine neue Vektorgröße ergibt, und eine Vektorgröße kann zu einer geeigneten affinen Größe (ein Vektorraum wirkt auf einen affinen Raum) addiert werden , was eine neue affine Größe ergibt.
• Affine Größen können nicht addiert werden, können aber subtrahiert werden, was relative Größen ergibt, die Vektoren sind, und diese relativen Differenzen können dann zueinander oder zu einer affinen Größe addiert werden.

Korrekterweise haben Positionen die Dimension einer affinen Länge, während Verschiebungen eine Dimension der Vektorlänge haben . Um einer affinen Einheit eine Zahl zuzuordnen , muss man nicht nur eine Maßeinheit, sondern auch einen Bezugspunkt wählen , während eine Zahl einer Vektoreinheit nur eine Maßeinheit erfordert.

Daher werden einige physikalische Größen besser durch vektorielle Größen modelliert, während andere dazu neigen, eine affine Darstellung zu erfordern, und die Unterscheidung spiegelt sich in ihrer Dimensionsanalyse wider.

Diese Unterscheidung ist besonders wichtig bei der Temperatur, bei der der Zahlenwert des absoluten Nullpunkts in einigen Skalen nicht der Nullpunkt 0 ist. Für den absoluten Nullpunkt

−273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459.67 °F,

wobei das Symbol ≘ bedeutet entspricht , da diese Werte auf den jeweiligen Temperaturskalen zwar übereinstimmen, aber unterschiedliche Größen darstellen, genauso wie die Abstände von unterschiedlichen Startpunkten zu demselben Endpunkt unterschiedliche Größen sind und im Allgemeinen nicht gleichgesetzt werden können.

Bei Temperaturunterschieden,

1 K = 1 °C ≠ 1 °F (−17 °C) = 1 °R.

(Hier bezieht sich °R auf die Rankine-Skala , nicht auf die Réaumur-Skala ). Die Einheitenumrechnung für Temperaturunterschiede ist einfach eine Multiplikation mit zB 1 °F / 1 K (obwohl das Verhältnis kein konstanter Wert ist). Da jedoch einige dieser Skalen einen Ursprung haben, der nicht dem absoluten Nullpunkt entspricht, muss die Umrechnung von einer Temperaturskala in eine andere berücksichtigt werden. Daher kann eine einfache Dimensionsanalyse zu Fehlern führen, wenn nicht eindeutig ist, ob 1 K die absolute Temperatur von −272,15 °C oder die Temperaturdifferenz von 1 °C bedeutet.

Orientierung und Bezugsrahmen

Ähnlich wie beim Bezugspunkt ist die Frage der Orientierung: Eine Verschiebung in 2 oder 3 Dimensionen ist nicht nur eine Länge, sondern eine Länge zusammen mit einer Richtung . (Dieses Problem tritt nicht in einer Dimension auf, bzw. entspricht der Unterscheidung zwischen positiv und negativ.) Um also zweidimensionale Größen in einem mehrdimensionalen Raum zu vergleichen oder zu kombinieren, braucht man auch eine Orientierung: Sie müssen verglichen werden zu einem Bezugsrahmen .

Dies führt zu den unten diskutierten Erweiterungen , nämlich Huntleys gerichteten Dimensionen und Sianos Orientierungsanalyse.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel: Periode eines harmonischen Oszillators

Wie groß ist die Schwingungsdauer T einer Masse m, die an einer idealen linearen Feder befestigt ist, deren Federkonstante k der Schwerkraft g ausgesetzt ist ? Diese Periode ist die Lösung für T einer dimensionslosen Gleichung in den Variablen T , m , k und g . Die vier Größen haben folgende Dimensionen: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; und g [L/T ² ]. Aus diesen können wir nur ein dimensionsloses Produkt von Potenzen unserer gewählten Variablen bilden, = [T ² · M/T ² / M = 1] , und wenn man eine dimensionslose Konstante C setzt, erhält man die gesuchte dimensionslose Gleichung. Das dimensionslose Produkt von Potenzen von Variablen wird manchmal als dimensionslose Gruppe von Variablen bezeichnet; hier bedeutet der Begriff "Gruppe" eher "Sammlung" als mathematische Gruppe . Sie werden oft auch als dimensionslose Zahlen bezeichnet . ${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle T^{2}k/m}$ ${\displaystyle G_{1}=C}$

Beachten Sie, dass die Variable g in der Gruppe nicht vorkommt. Es ist leicht zu erkennen, dass es unmöglich ist, ein dimensionsloses Produkt von Potenzen zu bilden, das g mit k , m und T kombiniert , da g die einzige Größe ist, die die Dimension L umfasst. Dies impliziert, dass g in diesem Problem irrelevant ist. Die Dimensionsanalyse kann manchmal starke Aussagen über die Irrelevanz einiger Größen in einem Problem oder die Notwendigkeit zusätzlicher Parameter liefern . Wenn wir genügend Variablen gewählt haben, um das Problem richtig zu beschreiben, können wir aus diesem Argument schließen, dass die Periode der Masse auf der Feder unabhängig von g ist : sie ist auf der Erde oder auf dem Mond gleich. Die Gleichung, die die Existenz eines Potenzprodukts für unser Problem demonstriert, kann auf völlig äquivalente Weise geschrieben werden: , für eine dimensionslose Konstante κ (gleich der ursprünglichen dimensionslosen Gleichung). ${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Wenn die Dimensionsanalyse eine Variable ( g , hier) ablehnt , von der man intuitiv erwartet, dass sie in eine physikalische Beschreibung der Situation gehört, besteht eine andere Möglichkeit darin, dass die abgelehnte Variable tatsächlich relevant ist, aber eine andere relevante Variable wurde weggelassen, die sich mit der verworfenen Variablen zu einer dimensionslosen Größe verbinden könnten. Das ist hier jedoch nicht der Fall.

Wenn die Dimensionsanalyse nur eine dimensionslose Gruppe ergibt, wie hier, gibt es keine unbekannten Funktionen, und die Lösung wird als "vollständig" bezeichnet – obwohl sie immer noch unbekannte dimensionslose Konstanten wie κ beinhalten kann .

Ein komplexeres Beispiel: Energie eines vibrierenden Drahtes

Betrachten Sie den Fall eines schwingenden Drahtes der Länge ℓ (L), der mit einer Amplitude A (L) schwingt. Der Draht hat einen Titer ρ (M/L) und steht unter Spannung s (LM/T ² ), und wir wollen die Energie E (L ² M/T ² ) im Draht wissen . Seien π ₁ und π ₂ zwei dimensionslose Produkte von Potenzen der gewählten Variablen, gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\ Ende{ausgerichtet}}}$

Der Titer des Drahtes spielt keine Rolle. Die beiden gefundenen Gruppen lassen sich zu einer äquivalenten Form als Gleichung zusammenfassen

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell}{A}}\right)=0,}$

wobei F eine unbekannte Funktion ist, oder äquivalent wie

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell}{A}}\right),}$

wobei f eine andere unbekannte Funktion ist. Hier impliziert die unbekannte Funktion, dass unsere Lösung jetzt unvollständig ist, aber die Dimensionsanalyse hat uns etwas ergeben, das möglicherweise nicht offensichtlich war: Die Energie ist proportional zur ersten Potenz der Spannung. Ohne weitere analytische Analyse könnten wir zu Experimenten übergehen, um die Form für die unbekannte Funktion f zu entdecken . Aber unsere Experimente sind einfacher als ohne Dimensionsanalyse. Wir würden keine durchführen, um zu überprüfen, ob die Energie proportional zur Spannung ist. Oder wir könnten vermuten, dass die Energie proportional zu ℓ ist , und daraus schließen, dass E = ℓs ist . Die Kraft der Dimensionsanalyse als Experimentier- und Hypothesenbildungshilfe wird deutlich.

Die Macht der Dimensionsanalyse wird wirklich offensichtlich, wenn sie auf Situationen angewendet wird, die im Gegensatz zu den oben genannten komplizierter sind, die Menge der beteiligten Variablen nicht offensichtlich und die zugrunde liegenden Gleichungen hoffnungslos komplex sind. Stellen Sie sich zum Beispiel einen kleinen Kieselstein vor, der auf einem Flussbett sitzt. Wenn der Fluss schnell genug fließt, wird er tatsächlich den Kiesel anheben und ihn mit dem Wasser mitfließen lassen. Bei welcher kritischen Geschwindigkeit wird dies passieren? Das Aussortieren der erratenen Variablen ist nicht mehr so ​​einfach wie zuvor. Die Dimensionsanalyse kann jedoch eine starke Hilfe beim Verständnis solcher Probleme sein und ist normalerweise das allererste Werkzeug, das auf komplexe Probleme angewendet wird, bei denen die zugrunde liegenden Gleichungen und Beschränkungen schlecht verstanden werden. In solchen Fällen kann die Antwort von einer dimensionslosen Zahl wie der Reynolds-Zahl abhängen , die durch Dimensionsanalyse interpretiert werden kann.

Ein drittes Beispiel: Bedarf versus Kapazität für eine rotierende Scheibe

Betrachten wir den Fall einer dünnen massiven rotierenden Scheibe mit parallelen Seiten der axialen Dicke t (L) und des Radius R (L). Die Scheibe hat eine Dichte ρ (M/L ³ ), rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit ω (T ⁻¹ ) und dies führt zu einer Spannung S (T ⁻² L ⁻¹ M) im Material. Es gibt eine von Lame gegebene theoretische linear-elastische Lösung für dieses Problem, wenn die Scheibe relativ zu ihrem Radius dünn ist, die Flächen der Scheibe sich axial frei bewegen können und die konstitutiven Beziehungen der ebenen Spannung als gültig angenommen werden können. Wenn die Scheibe relativ zum Radius dicker wird, bricht die ebene Spannungslösung zusammen. Wenn die Scheibe an ihren freien Flächen axial eingespannt ist, tritt ein Zustand der ebenen Dehnung ein. Ist dies jedoch nicht der Fall, kann der Spannungszustand nur unter Berücksichtigung der dreidimensionalen Elastizität bestimmt werden und es gibt keine bekannte theoretische Lösung für diesen Fall. Ein Ingenieur könnte daher daran interessiert sein, eine Beziehung zwischen den fünf Variablen herzustellen. Die Dimensionsanalyse für diesen Fall führt zu den folgenden (5 − 3 = 2) dimensionslosen Gruppen:

Bedarf/Kapazität = ρR ² ω ² / S

Dicke/Radius oder Aspektverhältnis = t / R

Durch die Verwendung numerischer Experimente, die beispielsweise die Finite-Elemente-Methode verwenden , kann die Art der Beziehung zwischen den beiden dimensionslosen Gruppen erhalten werden, wie in der Abbildung gezeigt. Da es sich bei diesem Problem nur um zwei dimensionslose Gruppen handelt, wird das vollständige Bild in einem einzigen Plot bereitgestellt und kann als Bemessungs-/Bewertungstabelle für rotierende Scheiben verwendet werden

Erweiterungen

Huntleys Erweiterung: gerichtete Dimensionen und Quantität der Materie

Huntley ( Huntley 1967 ) hat darauf hingewiesen, dass eine Dimensionsanalyse mächtiger werden kann, indem neue unabhängige Dimensionen in den betrachteten Größen entdeckt werden, wodurch der Rang der Dimensionsmatrix erhöht wird. Dazu stellte er zwei Ansätze vor: ${\displaystyle m}$

• Die Beträge der Komponenten eines Vektors sind als dimensionsunabhängig anzusehen. Anstelle einer undifferenzierten Längendimension L kann beispielsweise L _x eine Dimension in der x-Richtung darstellen und so weiter. Diese Forderung ergibt sich letztlich aus der Forderung, dass jede Komponente einer physikalisch sinnvollen Gleichung (Skalar, Vektor oder Tensor) dimensionskonsistent sein muss.
• Die Masse als Maß für die Stoffmenge ist von der Masse als Maß für die Trägheit dimensionsunabhängig zu betrachten.

Als Beispiel für die Nützlichkeit des ersten Ansatzes nehmen wir an, wir möchten die Distanz berechnen, die eine Kanonenkugel zurücklegt, wenn sie mit einer vertikalen Geschwindigkeitskomponente und einer horizontalen Geschwindigkeitskomponente abgefeuert wird, vorausgesetzt, sie wird auf einer ebenen Fläche abgefeuert. Unter der Annahme, dass keine gerichteten Längen verwendet werden, sind die interessierenden Größen dann , , beide bemaßt als T ⁻¹ L, R , die zurückgelegte Strecke mit der Dimension L, und g die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung mit der Dimension T ⁻² L. ${\displaystyle V_{\mathrm {y}}}$${\displaystyle V_{\mathrm {x}}}$${\displaystyle V_{\mathrm {x}}}$${\displaystyle V_{\mathrm {y}}}$

Mit diesen vier Größen können wir schließen, dass die Gleichung für den Bereich R geschrieben werden kann:

${\displaystyle R\propto V_{\text{x}}^{a}\,V_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.\,}$

Oder maßlich

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{a+b}\left({\frac {\mathsf {L}}{{\mathsf{T}}^{2}}}\right)^{c}\,}$

woraus wir das ableiten können und , was einen Exponenten unbestimmt lässt. Dies ist zu erwarten, da wir mit einer Gleichung zwei fundamentale Dimensionen T und L und vier Parameter haben. ${\displaystyle a+b+c=1}$${\displaystyle a+b+2c=0}$

Verwenden wir jedoch gerichtete Längenmaße, dann wird als T ⁻¹ L _x , als T ⁻¹ L _y , R als L _x und g als T ⁻² L _{y bemaßt} . Die Dimensionsgleichung lautet: ${\displaystyle V_{\mathrm {x}}}$${\displaystyle V_{\mathrm {y}}}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}{\mathsf {T}}} \right)^{a}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y}}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\left({\ frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}}$

und wir können vollständig als , und lösen . Die durch die Verwendung gerichteter Längenmaße gewonnene Erhöhung der Deduktionsleistung ist offensichtlich. ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle c=-1}$

In seinem zweiten Ansatz vertritt Huntley die Ansicht, dass es manchmal nützlich ist (zB in der Strömungsmechanik und Thermodynamik), zwischen Masse als Maß für die Trägheit (träge Masse) und Masse als Maß für die Menge der Materie zu unterscheiden. Die Materiemenge wird von Huntley als eine Menge (a) proportional zur Trägheitsmasse definiert, die jedoch (b) keine Trägheitseigenschaften impliziert. Es werden keine weiteren Einschränkungen zu seiner Definition hinzugefügt.

Betrachten Sie zum Beispiel die Ableitung des Poiseuille-Gesetzes . Wir wollen den Massenstrom einer viskosen Flüssigkeit durch ein kreisförmiges Rohr ermitteln. Ohne Unterscheidung zwischen träger und substanzieller Masse können wir als relevante Variablen wählen

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$der Massenstrom mit der Dimension T ⁻¹ M
• ${\displaystyle p_{\text{x}}}$das Druckgefälle entlang der Rohrleitung mit Maß T ⁻² L ⁻² M
• ρ die Dichte mit der Dimension L ⁻³ M
• η die dynamische Flüssigkeitsviskosität mit der Dimension T ⁻¹ L ⁻¹ M
• r der Radius des Rohres mit Maß L

Es gibt drei grundlegende Variablen, so dass die obigen fünf Gleichungen zwei dimensionslose Variablen ergeben, die wir annehmen können und die Dimensionsgleichung ausdrücken können als ${\displaystyle \pi_{1}={\dot {m}}/\eta r}$${\displaystyle \pi_{2}=p_{\mathrm {x}}\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}}$

${\displaystyle C=\pi_{1}\pi_{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{\mathrm{x}}\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}}$

wobei C und a unbestimmte Konstanten sind. Wenn wir zwischen träger Masse mit Dimension und Stoffmenge mit Dimension unterscheiden , dann verwenden Massendurchfluss und Dichte die Stoffmenge als Massenparameter, während Druckgradient und Viskositätskoeffizient die träge Masse verwenden. Wir haben jetzt vier fundamentale Parameter und eine dimensionslose Konstante, sodass die Dimensionsgleichung geschrieben werden kann: ${\displaystyle M_{\text{i}}}$${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x}}\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

wobei jetzt nur C eine unbestimmte Konstante ist ( durch Methoden außerhalb der Dimensionsanalyse als gleich gefunden ). Diese Gleichung kann für den Massendurchfluss aufgelöst werden, um das Poiseuille-Gesetz zu erhalten . ${\displaystyle \pi/8}$

Huntleys Anerkennung der Quantität der Materie als unabhängige Quantitätsdimension ist offensichtlich bei den Problemen erfolgreich, wo sie anwendbar ist, aber seine Definition der Quantität der Materie ist offen für Interpretationen, da ihr über die beiden Anforderungen (a) und (b) hinaus Spezifität fehlt dafür postuliert. Für eine gegebene Substanz erfüllt die SI-Dimension Substanzmenge mit der Einheit Mol die beiden Anforderungen von Huntley als Maß für die Stoffmenge und könnte als Stoffmenge in jedem Problem der Dimensionsanalyse verwendet werden, bei dem Huntleys Konzept anwendbar ist.

Huntleys Konzept der gerichteten Längendimensionen weist jedoch einige schwerwiegende Einschränkungen auf:

• Es kommt nicht gut mit Vektorgleichungen mit dem Kreuzprodukt zurecht ,
• noch handhabt es die Verwendung von Winkeln als physikalische Variablen gut.

Oft ist es auch ziemlich schwierig , die L, L zuweisen _x , L _y , L _z , Symbole zu den physikalischen Größen in dem Problem von Interesse beteiligt. Er beruft sich auf ein Verfahren, das die "Symmetrie" des physischen Problems beinhaltet. Dies ist oft sehr schwer zuverlässig anzuwenden: Es ist unklar, auf welche Teile des Problems der Begriff der "Symmetrie" beruft wird. Ist es die Symmetrie des physischen Körpers, auf die Kräfte wirken, oder auf die Punkte, Linien oder Flächen, auf die Kräfte ausgeübt werden? Was ist, wenn mehr als ein Körper mit unterschiedlichen Symmetrien beteiligt ist?

Betrachten Sie die kugelförmige Blase, die an einem zylindrischen Rohr befestigt ist, wobei man die Strömungsgeschwindigkeit der Luft als Funktion der Druckdifferenz in den beiden Teilen haben möchte. Was sind die erweiterten Huntley-Dimensionen der Viskosität der Luft, die in den verbundenen Teilen enthalten ist? Was sind die erweiterten Abmessungen des Drucks der beiden Teile? Sind sie gleich oder verschieden? Diese Schwierigkeiten sind für die begrenzte Anwendung von Huntleys gerichteten Längendimensionen auf reale Probleme verantwortlich.

Sianos Erweiterung: Orientierungsanalyse

Winkel gelten konventionsgemäß als dimensionslose Größen. Betrachten wir als Beispiel noch einmal das Projektilproblem, bei dem eine Punktmasse vom Ursprung ( x , y ) = (0, 0) mit einer Geschwindigkeit v und einem Winkel θ über der x -Achse abgeschossen wird, wobei die Schwerkraft entlang gerichtet ist die negative y- Achse. Es ist erwünscht, den Bereich R zu finden , an dem die Masse zur x- Achse zurückkehrt. Eine konventionelle Analyse liefert die dimensionslose Variable π = R g / v ² , bietet jedoch keinen Einblick in die Beziehung zwischen R und θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) hat vorgeschlagen, dass die gerichteten Dimensionen von Huntley durch die Verwendung von Orientierungssymbolen 1 _x  1 _y  1 _z zum Bezeichnen von Vektorrichtungen und einem orientierungslosen Symbol _{10 ersetzt werden} . Somit ist L Huntley _x wird L1 _x mit L die Dimension der Länge spezifiziert, und 1 _x die Ausrichtung angibt. Siano zeigt weiter, dass die Orientierungssymbole eine eigene Algebra haben. Zusammen mit der Forderung 1 _i ⁻¹ = 1 _i ergibt sich folgende Multiplikationstabelle für die Orientierungssymbole:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{\text{x}}} &\mathbf {1_{\text{y}}} & \mathbf {1_{\text{z}}} \\\hline \mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{\text{x}}&1_{\text{y}}&1_{\text{z }}\\\mathbf {1_{\text{x}}} &1_{\text{x}}&1_{0}&1_{\text{z}}&1_{\text{y}}\\\mathbf {1_ {\text{y}}} &1_{\text{y}}&1_{\text{z}}&1_{0}&1_{\text{x}}\\\mathbf {1_{\text{z}}} &1_{\text{z}}&1_{\text{y}}&1_{\text{x}}&1_{0}\end{array}}}$

Beachten Sie, dass die Orientierungssymbole eine Gruppe bilden (die Klein- Viergruppe oder "Viergruppe"). Skalare haben in diesem System unabhängig von der "Symmetrie des Problems" immer die gleiche Orientierung wie das Identitätselement. Physikalische Größen, die Vektoren sind, haben die erwartete Orientierung: Eine Kraft oder Geschwindigkeit in z-Richtung hat die Orientierung 1 _z . Betrachten Sie für Winkel einen Winkel θ , der in der z-Ebene liegt. Bilden Sie ein rechtwinkliges Dreieck in der z-Ebene, wobei θ einer der spitzen Winkel ist. Die dem Winkel benachbarte Seite des rechtwinkligen Dreiecks hat dann eine Orientierung 1 _x und die gegenüberliegende Seite eine Orientierung 1 _y . Da (unter Verwendung von ~ zur Angabe der Orientierungsäquivalenz) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _x folgern wir, dass ein Winkel in der xy-Ebene die Orientierung 1 _y /1 _x = 1 _{z haben muss} , also nicht unvernünftig. Eine analoge Argumentation erzwingt die Schlussfolgerung, dass sin( θ ) die Orientierung 1 _{z hat,} während cos( θ ) die Orientierung 1 _{0 hat} . Diese sind unterschiedlich, so dass man (richtig) z. B. den Schluss zieht, dass es keine Lösungen physikalischer Gleichungen der Form a cos( θ ) + b sin( θ ) gibt , wobei a und b reelle Skalare sind. Beachten Sie, dass ein Ausdruck wie dimensional nicht inkonsistent ist, da er ein Sonderfall der Winkelsummenformel ist und richtig geschrieben werden sollte: ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta)}$

${\displaystyle \sin\left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin\left(a\,1_{\text{z} })\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin\left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}) }\rechts),}$

was für und ergibt . Siano unterscheidet zwischen geometrischen Winkeln, die eine Orientierung im 3-dimensionalen Raum haben, und Phasenwinkeln, die mit zeitbasierten Schwingungen verbunden sind, die keine räumliche Orientierung haben, dh die Orientierung eines Phasenwinkels ist . ${\displaystyle a=\theta}$${\displaystyle b=\pi/2}$${\displaystyle \sin(\theta\,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$${\displaystyle 1_{0}}$

Die Zuordnung von Orientierungssymbolen zu physikalischen Größen und die Forderung, dass physikalische Gleichungen orientierungshomogen sein müssen, können tatsächlich ähnlich der Dimensionsanalyse verwendet werden, um etwas mehr Informationen über akzeptable Lösungen physikalischer Probleme abzuleiten. Bei diesem Ansatz stellt man die Dimensionsgleichung auf und löst sie so weit wie möglich. Wenn die kleinste Potenz einer physikalischen Variablen gebrochen ist, werden beide Seiten der Lösung so potenziert, dass alle Potenzen ganzzahlig sind. Dies bringt es in "Normalform". Die Orientierungsgleichung wird dann gelöst, um eine restriktivere Bedingung für die unbekannten Potenzen der Orientierungssymbole zu erhalten, wodurch eine Lösung erreicht wird, die vollständiger ist als die, die die Dimensionsanalyse allein liefert. Oft ist die zusätzliche Information, dass eine der Potenzen einer bestimmten Variablen gerade oder ungerade ist.

Als Beispiel für das Projektilproblem hat die Verwendung von Orientierungssymbolen θ , die in der xy-Ebene liegen, die Dimension 1 _z und die Reichweite des Projektils R hat die Form:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta^{c}{\text{ was bedeutet }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} } \sim \left({\frac{{\mathsf{L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf{T}}^{2}}}\right)^{a}\left ({\frac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf{z}}^{c}.\,}$

Dimensionshomogenität ergibt nun korrekt a = −1 und b = 2 , und Orientierungshomogenität erfordert dies . Mit anderen Worten, dass c eine ungerade ganze Zahl sein muss. Tatsächlich ist die erforderliche Funktion von Theta sin( θ )cos( θ ), was eine Reihe von ungeraden Potenzen von θ ist . ${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$

Es ist ersichtlich , dass die Taylor - Reihe von sin ( θ ) und cos ( θ ) ist orientierungs homogen die obige Multiplikationstabelle verwenden, während Ausdrücke wie cos ( θ ) + sin ( θ ) und exp ( θ ) ist nicht, und ist (richtig ) gilt als unkörperlich.

Die Orientierungsanalyse von Siano ist mit der herkömmlichen Auffassung von Winkelgrößen als dimensionslos kompatibel, und innerhalb der Orientierungsanalyse kann das Bogenmaß immer noch als dimensionslose Einheit betrachtet werden. Die Orientierungsanalyse einer Mengengleichung wird getrennt von der gewöhnlichen Dimensionsanalyse durchgeführt und liefert Informationen, die die Dimensionsanalyse ergänzen.

Dimensionslose Konzepte

Konstanten

Die dimensionslosen Konstanten, die in den erhaltenen Ergebnissen auftreten, wie das C im Poiseuille-Gesetzproblem und die oben diskutierten in den Federproblemen , stammen aus einer detaillierteren Analyse der zugrunde liegenden Physik und entstehen oft durch die Integration einer Differentialgleichung. Die Dimensionsanalyse selbst hat wenig über diese Konstanten zu sagen, aber es ist nützlich zu wissen, dass sie sehr oft eine Größenordnung von Eins haben. Diese Beobachtung kann es einem ermöglichen, manchmal " Hinter der Hülle "-Berechnungen über das interessierende Phänomen anzustellen und daher in der Lage zu sein, Experimente effizienter zu gestalten, um es zu messen oder zu beurteilen, ob es wichtig ist usw. ${\displaystyle \kappa}$

Formalismen

Paradoxerweise kann die Dimensionsanalyse ein nützliches Werkzeug sein, selbst wenn alle Parameter der zugrunde liegenden Theorie dimensionslos sind, zB können Gittermodelle wie das Ising-Modell verwendet werden, um Phasenübergänge und kritische Phänomene zu untersuchen. Solche Modelle können rein dimensionslos formuliert werden. Je näher wir uns dem kritischen Punkt nähern, desto größer wird die Distanz, über die die Variablen im Gittermodell korreliert sind (die sogenannte Korrelationslänge, ). Nun ist die Korrelationslänge die relevante Längenskala in Bezug auf kritische Phänomene, so dass man zB aus "dimensionalen Gründen" vermuten kann, dass der nichtanalytische Teil der freien Energie pro Gitterplatz dort sein sollte, wo die Dimension des Gitters liegt. ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \sim 1/\xi^{d}}$${\displaystyle d}$

Einige Physiker, zB MJ Duff , haben argumentiert , dass die Gesetze der Physik von Natur aus dimensionslos sind. Die Tatsache, dass wir Länge, Zeit und Masse unvereinbare Dimensionen zugewiesen haben, ist aus dieser Sicht nur eine Konventionssache, die sich aus der Tatsache ergibt, dass es vor dem Aufkommen der modernen Physik keine Möglichkeit gab, Masse, Länge und Zeit zueinander. Die drei unabhängigen dimensionsbehafteten Konstanten c , ħ und G in den fundamentalen Gleichungen der Physik müssen dann als reine Umrechnungsfaktoren betrachtet werden, um Masse, Zeit und Länge ineinander umzurechnen.

Ebenso wie bei kritischen Eigenschaften von Gittermodellen kann man die Ergebnisse der Dimensionsanalyse in der entsprechenden Skalierungsgrenze wiederfinden; zB kann die Dimensionsanalyse in der Mechanik hergeleitet werden, indem man die Konstanten ħ , c und G wieder einsetzt (aber wir können sie jetzt als dimensionslos betrachten) und verlangen, dass eine nicht singuläre Beziehung zwischen Größen im Limes , und existiert . Bei Problemen mit einem Gravitationsfeld sollte die letztere Grenze so gewählt werden, dass das Feld endlich bleibt. ${\displaystyle c\rightarrow\infty}$${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$${\displaystyle G\rightarrow 0}$

Dimensionsäquivalenzen

Es folgen Tabellen mit häufig vorkommenden Ausdrücken in der Physik, die sich auf die Dimensionen Energie, Impuls und Kraft beziehen.

SI-Einheiten

Energie, E T −2 L 2 M	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\displaystyle Fd}$	F = Kraft , d = Weg
	${\displaystyle S/t\equiv Pt}$	S = Aktion , t = Zeit, P = Leistung
	${\displaystyle mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m}$	m = Masse , v = Geschwindigkeit , p = Impuls
	${\displaystyle I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I}$	L = Drehimpuls , I = Trägheitsmoment , ω = Winkelgeschwindigkeit
Ideale Gase	${\displaystyle pV\äquiv NT}$	p = Druck, Volumen , T = Temperatur N = Stoffmenge
Wellen	${\displaystyle IAt\equiv SAt}$	I = Wellenintensität , S = Poyntingvektors
Elektromagnetisch	${\displaystyle q\phi}$	q = elektrische Ladung , ϕ = elektrisches Potential (bei Änderungen ist dies Spannung )
	${\displaystyle \varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu}$	E = elektrisches Feld , B = magnetisches Feld , ε = Permittivität , μ = Permeabilität , V = 3d Volumen
	${\displaystyle pE\equiv mB\equiv IAB}$	p = elektrisches Dipolmoment , m = magnetisches Moment, A = Fläche (begrenzt durch eine Stromschleife), I = elektrischer Strom in der Schleife

Schwung, p T −1 LM	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\displaystyle mv\equiv Ft}$	m = Masse, v = Geschwindigkeit, F = Kraft, t = Zeit
	${\displaystyle S/r\equiv L/r}$	S = Wirkung, L = Drehimpuls, r = Verschiebung
Thermal	${\displaystyle m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle}}}$= quadratischer Mittelwert der Geschwindigkeit , m = Masse (eines Moleküls)
Wellen	${\displaystyle \rho Vv}$	ρ = Dichte , V = Volumen , v = Phasengeschwindigkeit
Elektromagnetisch	${\displaystyle qA}$	A = magnetisches Vektorpotential

Kraft, F T −2 LM	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\displaystyle ma\equiv p/t}$	m = Masse, a = Beschleunigung
Thermal	${\displaystyle T\delta S/\delta r}$	S Entropie =, T = Temperatur, r = Verschiebung (siehe Entropiekraft )
Elektromagnetisch	${\displaystyle Eq\equiv Bqv}$	E = elektrisches Feld, B = magnetisches Feld, v = Geschwindigkeit, q = Ladung

Natürliche Einheiten

Wenn c = ħ = 1 , wobei c die Lichtgeschwindigkeit und ħ die reduzierte Planck-Konstante ist und eine geeignete feste Energieeinheit gewählt wird, dann können alle Zeitgrößen T , Länge L und Masse M (dimensional) ausgedrückt werden. als Potenz der Energie E , weil Länge, Masse und Zeit durch Geschwindigkeit v , Aktion S und Energie E ausgedrückt werden können :

${\displaystyle t={\frac{S}{E}},\quad L={\frac{Sv}{E}},\quad M={\frac{E}{v^{2}}}}$

Geschwindigkeit und Aktion sind jedoch dimensionslos ( v = c = 1 und S = ħ = 1 ) – die einzige verbleibende Größe mit Dimension ist die Energie. In Bezug auf die Potenzen der Dimensionen:

${\displaystyle {\mathsf {E}}^{n}={\mathsf {T}}^{p}{\mathsf {L}}^{q}{\mathsf {M}}^{r}={ \mathsf{E}}^{-p-q+r}}$

Dies ist besonders in der Teilchenphysik und der Hochenergiephysik nützlich, in diesem Fall ist die Energieeinheit das Elektronenvolt (eV). Maßprüfungen und Schätzungen werden in diesem System sehr einfach.

Wenn es sich jedoch um elektrische Ladungen und Ströme handelt, ist eine andere festzulegende Einheit für die elektrische Ladung, normalerweise die Elektronenladung e, obwohl andere Optionen möglich sind.

Menge	p , q , r Energiepotenzen			n Kraft der Energie
	P	Q	R	n
Aktion, S	-1	2	1	0
Geschwindigkeit, v	-1	1	0	0
Masse, M	0	0	1	1
Länge, L	0	1	0	-1
Zeit, t	1	0	0	-1
Schwung, p	-1	1	1	1
Energie, E	-2	2	1	1

Siehe auch

• Buckingham π Satz
• Dimensionslose Zahlen in der Strömungsmechanik
• Fermi-Schätzung – wird verwendet, um die Dimensionsanalyse zu lehren
• Zahlenwertgleichung
• Rayleighs Methode der Dimensionsanalyse
• Ähnlichkeit (Modell) – eine Anwendung der Dimensionsanalyse
• Maßsystem

Verwandte Bereiche der Mathematik

• Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren
• Äußere Algebra
• Geometrische Algebra
• Mengenberechnung

Programmiersprachen

Dimensionskorrektheit als Teil der Typprüfung wird seit 1977 untersucht. Implementierungen für Ada und C++ wurden 1985 und 1988 beschrieben. Kennedys Dissertation von 1996 beschreibt eine Implementierung in Standard ML und später in F# . Es gibt Implementierungen für Haskell , OCaml und Rust , Python und einen Code-Checker für Fortran .
Griffioens Dissertation aus dem Jahr 2019 erweiterte Kennedys Hindley-Milner-Typensystem , um Harts Matrizen zu unterstützen.

Anmerkungen

Verweise

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• Kasprzak, Wacław; Lysik, Bertold; Rybaczuk, Marek (1990), Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models , World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7

Externe Links

• Liste der Abmessungen für verschiedene physikalische Größen
• Unicalc Live-Webrechner, der Einheitenumrechnung durch Dimensionsanalyse durchführt
• Eine C++-Implementierung der dimensionalen Analyse zur Kompilierzeit in den Open-Source-Bibliotheken von Boost
• Buckinghams Pi-Theorem
• Mengensystemrechner zur Einheitenumrechnung basierend auf dimensionalem Ansatz
• Einheiten, Mengen und Fundamentalkonstanten projizieren dimensionale Analysekarten
• Bowley, Roger (2009). "[ ] Dimensionsanalyse" . Sechzig Symbole . Brady Haran für die University of Nottingham .
• Dureisseix, David (2019). Eine Einführung in die Dimensionsanalyse (Vorlesung). INSA Lyon.

Einheiten umrechnen

• Unicalc Live-Webrechner, der Einheitenumrechnung durch Dimensionsanalyse durchführt
• Überprüfung der mathematischen Fähigkeiten
• US-EPA-Tutorial
• Eine Diskussion der Einheiten
• Kurzanleitung zur Einheitenumrechnung
• Unterrichtseinheit stornieren
• Kapitel 11: Verhalten der Gaschemie : Konzepte und Anwendungen , Denton Independent School District
• Umrechnungen und Formeln für die Luftverteilungsmodellierung
• www.gnu.org/software/units kostenloses Programm, sehr praktisch