Diskontinuierliche lineare Karte - Discontinuous linear map

In der Mathematik bilden lineare Abbildungen eine wichtige Klasse von "einfachen" Funktionen, die die algebraische Struktur von linearen Räumen bewahren und oft als Näherung für allgemeinere Funktionen verwendet werden (siehe lineare Näherung ). Handelt es sich bei den beteiligten Räumen auch um topologische Räume (also topologische Vektorräume ), dann ist es sinnvoll zu fragen, ob alle linearen Abbildungen stetig sind . Es stellt sich heraus , dass für die Karten auf unendlichdimensionalen definierten dimensionale topologischen Vektorräume (zB unendlichdimensionale normierter Räume ), ist die Antwort im Allgemeinen nicht ist: Es existiert diskontinuierliche lineare Abbildungen . Wenn der Definitionsbereich vollständig ist , ist es schwieriger; die Existenz solcher Abbildungen kann bewiesen werden, aber der Beweis beruht auf dem Auswahlaxiom und liefert kein explizites Beispiel.

Eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Raum ist immer stetig

Seien X und Y zwei normierte Räume und f eine lineare Abbildung von X nach Y . Wenn X ist endlich-dimensionaler , wählen Sie eine Basis ( e ₁ , e ₂ , ..., e _n ) in X die Einheitsvektoren sein können getroffen werden. Dann,

${\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$

und so durch die Dreiecksungleichung ,

${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i =1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$

Vermietung

${\displaystyle M=\sup_{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$

und die Tatsache nutzen, dass

${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$

für ein C >0, das daraus folgt, dass zwei beliebige Normen auf einem endlichdimensionalen Raum äquivalent sind , findet man

${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$

Somit ist ein beschränkter linearer Operator und somit stetig. Um dies zu sehen, beachten Sie einfach, dass f linear ist und daher für eine universelle Konstante K gilt . Somit können wir für jedes so wählen , dass ( und sind die normierten Kugeln um und ), was Kontinuität ergibt. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(x-x')\|\leq K\|x-x'\|}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$${\displaystyle f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle B(x,\delta)}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Wenn X unendlichdimensional ist, wird dieser Beweis scheitern, da es keine Garantie dafür gibt, dass das Supremum M existiert. Wenn Y der Nullraum {0} ist, ist die einzige Abbildung zwischen X und Y die Nullabbildung, die trivial stetig ist. In allen anderen Fällen, wenn X unendlichdimensional ist und Y nicht der Nullraum ist, kann man eine unstetige Abbildung von X nach Y finden .

Ein konkretes Beispiel

Beispiele für diskontinuierliche lineare Abbildungen lassen sich leicht in Räumen konstruieren, die nicht vollständig sind; auf jeder Cauchy-Folge von linear unabhängigen Vektoren, die keinen Grenzwert hat, gibt es einen linearen Operator, so dass die Größen unbegrenzt wachsen. In gewisser Weise sind die linearen Operatoren nicht stetig, weil der Raum "Löcher" hat. ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$

Betrachten wir zum Beispiel den Raum X reellwertiger glatter Funktionen auf dem Intervall [0, 1] mit der einheitlichen Norm , d. h.

${\displaystyle \|f\|=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|.}$

Die abgeleitete -an-ein-Punkt- Karte, gegeben durch

${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$

auf X und mit reellen Werten definiert, ist linear, aber nicht stetig. Betrachten Sie in der Tat die Folge

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$

für n ≥1. Diese Folge konvergiert gleichmäßig gegen die konstant Nullfunktion, aber

${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to ​​\infty}$

da n →∞ statt dessen für eine stetige Abbildung gelten würde. Beachten Sie, dass T reellwertig ist und somit tatsächlich ein lineares Funktional auf X ist (ein Element des algebraischen Dualraums X ^* ). Die lineare Abbildung X → X, die jeder Funktion ihre Ableitung zuordnet, ist ähnlich unstetig. Beachten Sie, dass der Ableitungsoperator zwar nicht stetig, aber abgeschlossen ist . ${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$

Wichtig ist, dass die Domäne hier nicht vollständig ist. Diskontinuierliche Operatoren auf kompletten Räumen erfordern etwas mehr Arbeit.

Ein nicht-konstruktives Beispiel

Eine algebraische Basis für die reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen ist als Hamel-Basis bekannt (man beachte, dass einige Autoren diesen Begriff im weiteren Sinne verwenden, um eine algebraische Basis eines beliebigen Vektorraums zu bezeichnen). Beachten Sie, dass zwei beliebige nichtkommensurable Zahlen, sagen wir 1 und π, linear unabhängig sind. Man kann eine Hamel-Basis finden, die sie enthält, und eine Abbildung f von R nach R definieren, so dass f (π) = 0, f als Identität auf dem Rest der Hamel-Basis wirkt und sich durch Linearität auf alle von R ausdehnen . Sei { r _n } _n eine beliebige Folge von rationalen Zahlen, die gegen π konvergiert. Dann ist lim _n f ( r _n ) = π, aber f (π) = 0. Nach Konstruktion ist f linear über Q (nicht über R ), aber nicht stetig. Beachten Sie, dass f auch nicht messbar ist ; eine additive reelle Funktion ist genau dann linear, wenn sie messbar ist, also gibt es für jede solche Funktion eine Vitali-Menge . Die Konstruktion von f beruht auf dem Auswahlaxiom.

Dieses Beispiel kann zu einem allgemeinen Theorem über die Existenz diskontinuierlicher linearer Abbildungen auf jedem unendlich-dimensionalen normierten Raum erweitert werden (solange die Kodomäne nicht trivial ist).

Allgemeiner Existenzsatz

Die Existenz diskontinuierlicher linearer Abbildungen kann allgemeiner nachgewiesen werden, selbst wenn der Raum vollständig ist. Lassen X und Y seine normierter Raum über das Feld K , wo K = R oder K = C . Angenommen, X ist unendlichdimensional und Y ist nicht der Nullraum. Wir finden eine unstetige lineare Abbildung f von X nach K , die die Existenz einer unstetigen linearen Abbildung g von X nach Y impliziert , gegeben durch die Formel g ( x ) = f ( x ) y ₀ wobei y ₀ eine beliebige Nicht-Null ist Vektor in Y .

Wenn X unendlichdimensional ist, bedeutet die Existenz eines linearen Funktionals, das nicht stetig ist, zu zeigen, f zu konstruieren, das nicht beschränkt ist. Betrachten Sie dazu eine Folge ( e _n ) _n ( n 1) von linear unabhängigen Vektoren in X . Definieren

${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$

für jedes n = 1, 2, ... Vervollständige diese Folge von linear unabhängigen Vektoren zu einer Vektorraumbasis von X und definiere T an den anderen Vektoren in der Basis als Null. Das so definierte T erstreckt sich eindeutig auf eine lineare Abbildung auf X , und da es offensichtlich nicht beschränkt ist, ist es nicht stetig.

Beachten Sie, dass wir durch die Tatsache, dass jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis vervollständigt werden kann, implizit das Auswahlaxiom verwendet haben, das für das konkrete Beispiel im vorherigen Abschnitt aber nicht benötigt wurde.

Rolle des Auswahlaxioms

Wie oben erwähnt, wird das Auswahlaxiom (AC) im allgemeinen Existenzsatz von unstetigen linearen Abbildungen verwendet. Tatsächlich gibt es keine konstruktiven Beispiele für unstetige lineare Abbildungen mit vollständigem Definitionsbereich (zB Banach-Räume ). In der Analysis, wie sie normalerweise von arbeitenden Mathematikern praktiziert wird, wird immer das Axiom der Wahl verwendet (es ist ein Axiom der ZFC- Mengentheorie ); für den Analytiker lassen daher alle unendlichdimensionalen topologischen Vektorräume diskontinuierliche lineare Abbildungen zu.

Andererseits stellte Robert M. Solovay 1970 ein Modell der Mengenlehre vor, in dem jede Menge reeller Zahlen messbar ist. Dies impliziert, dass es keine unstetigen linearen reellen Funktionen gibt. AC hält eindeutig nicht im Modell.

Das Ergebnis von Solovay zeigt, dass es nicht notwendig ist, anzunehmen, dass alle unendlichdimensionalen Vektorräume diskontinuierliche lineare Abbildungen zulassen, und dass es Analyseschulen gibt, die einen eher konstruktivistischen Standpunkt vertreten. Zum Beispiel wurde HG Garnir bei der Suche nach sogenannten "Traumräumen" (topologische Vektorräume, auf denen jede lineare Abbildung in einen normierten Raum stetig ist) dazu gebracht, ZF + DC + BP zu verwenden (abhängige Wahl ist eine abgeschwächte Form und die Baire-Eigenschaft ist eine Negation des starken AC) als seine Axiome zum Beweis des geschlossenen Graphensatzes von Garnir-Wright , der unter anderem besagt, dass jede lineare Abbildung von einem F-Raum zu einem TVS stetig ist. Zum Extrem des Konstruktivismus gehend gibt es den Satz von Ceitin , der besagt, dass jede Funktion stetig ist (dies ist in der Terminologie des Konstruktivismus zu verstehen, nach der nur darstellbare Funktionen als Funktionen angesehen werden). Solche Positionen werden nur von einer kleinen Minderheit berufstätiger Mathematiker vertreten.

Das Ergebnis ist, dass die Existenz diskontinuierlicher linearer Abbildungen von AC abhängt; es stimmt mit der Mengenlehre ohne AC überein, dass es keine unstetigen linearen Abbildungen auf vollständigen Räumen gibt. Insbesondere kann es keiner konkreten Konstruktion wie der Ableitung gelingen, überall auf einem vollständigen Raum eine unstetige lineare Abbildung zu definieren.

Geschlossene Betreiber

Viele natürlich vorkommende lineare unstetige Operatoren sind abgeschlossen , eine Klasse von Operatoren, die einige der Merkmale stetiger Operatoren teilen. Es ist sinnvoll zu fragen, welche linearen Operatoren auf einem gegebenen Raum abgeschlossen sind. Das Theorem über geschlossene Graphen behauptet, dass ein überall definierter abgeschlossener Operator auf einem vollständigen Gebiet stetig ist. Um also einen unstetigen geschlossenen Operator zu erhalten, muss man Operatoren zulassen, die nicht überall definiert sind.

Um konkreter zu sein, sei eine Karte von bis mit domain , geschrieben . Wir verlieren nicht viel, wenn wir X durch die Schließung von ersetzen . Das heißt, wenn man Operatoren studiert, die nicht überall definiert sind, kann man seine Aufmerksamkeit ohne Verlust der Allgemeinheit auf dicht definierte Operatoren beschränken . ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (T)}$${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (T)}$

Wenn der Graph von in X × Y abgeschlossen ist , nennen wir T abgeschlossen . Betrachten Sie andernfalls seinen Abschluss in X × Y . Wenn sich eines Operators der Graph ist , heißt verschließbar , und wird die genannte Schließung von . ${\displaystyle \Gamma (T)}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T}$

Die natürliche Frage bei linearen Operatoren, die nicht überall definiert sind, ist also, ob sie abschließbar sind. Die Antwort ist "nicht unbedingt"; tatsächlich lässt jeder unendlichdimensionale normierte Raum lineare Operatoren zu, die nicht abschließbar sind. Wie bei den oben betrachteten unstetigen Operatoren erfordert der Beweis das Auswahlaxiom und ist daher im Allgemeinen nichtkonstruktiv, obwohl es wiederum konstruierbare Beispiele gibt , wenn X nicht vollständig ist.

In der Tat gibt es auch ein Beispiel für einen linearen Operator deren Graph Verschluss weist alle von X × Y . Ein solcher Operator ist nicht schließbar. Sei X der Raum der Polynomfunktionen von [0,1] bis R und Y der Raum der Polynomfunktionen von [2,3] bis R . Sie sind Unterräume von C ([0,1]) bzw. C ([2,3]) und damit normierte Räume. Definieren Sie einen Operator T, der die Polynomfunktion x ↦ p ( x ) auf [0,1] zur gleichen Funktion auf [2,3] bringt . Als Folge des Stone-Weierstrass-Theorems ist der Graph dieses Operators in X × Y dicht , so dass dies eine Art maximal unstetige lineare Abbildung liefert (verleihe nirgendwo stetige Funktion ). Beachten Sie, dass X hier nicht vollständig ist, wie es bei einer solchen konstruierbaren Karte der Fall sein muss.

Wirkung für Doppelräume

Der duale Raum eines topologischen Vektorraums ist die Sammlung stetiger linearer Abbildungen vom Raum in das zugrunde liegende Feld. Das Versagen einiger linearer Abbildungen, für unendlichdimensionale normierte Räume stetig zu sein, impliziert, dass man für diese Räume den algebraischen Dualraum vom stetigen Dualraum unterscheiden muss, der dann eine echte Teilmenge ist. Es veranschaulicht die Tatsache, dass bei der Analyse unendlichdimensionaler Räume im Vergleich zu endlichdimensionalen Räumen eine zusätzliche Portion Vorsicht geboten ist.

Jenseits normierter Räume

Das Argument für die Existenz diskontinuierlicher linearer Abbildungen auf normierten Räumen kann auf alle metrisierbaren topologischen Vektorräume, insbesondere auf alle Fréchet-Räume, verallgemeinert werden, aber es gibt unendlichdimensionale lokalkonvexe topologische Vektorräume, so dass jedes Funktional stetig ist. Andererseits garantiert der Satz von Hahn-Banach , der für alle lokalkonvexen Räume gilt, die Existenz vieler stetiger linearer Funktionale und damit eines großen Dualraums. Tatsächlich ordnet die Minkowski-Eichung jeder konvexen Menge ein stetiges lineares Funktional zu . Das Ergebnis ist, dass Räume mit weniger konvexen Mengen weniger Funktionale haben und im schlimmsten Fall ein Raum überhaupt keine anderen Funktionale als das Nullfunktional haben kann. Dies ist für die L ^p ( R , dx ) Räume mit 0 <  p  < 1 der Fall , woraus folgt, dass diese Räume nichtkonvex sind. Beachten Sie, dass hier das Lebesgue-Maß auf der reellen Linie angegeben ist. Es gibt auch andere L ^p Räume mit 0 <  p  <1 , die nicht - triviale Dualräume tun haben.

Ein weiteres solches Beispiel ist der Raum reellwertiger messbarer Funktionen auf dem Einheitsintervall mit Quasinorm gegeben durch

${\displaystyle ||f||=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$

Dieser nichtlokal konvexe Raum hat einen trivialen Dualraum.

Man kann noch allgemeinere Räume betrachten. Beispielsweise kann die Existenz eines Homomorphismus zwischen vollständigen separierbaren metrischen Gruppen auch nichtkonstruktiv gezeigt werden.

Anmerkungen

Verweise

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Übungen zur Funktionsanalyse , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .