Disjunkte Vereinigung - Disjoint union

In der Mathematik ist eine disjunkte Vereinigung (oder diskriminierte Vereinigung ) einer Familie von Mengen eine Menge mit einer injektiven Funktion von jeder in A , so dass die Bilder dieser Injektionen eine Partition von A bilden (dh jedes Element von A gehört zu genau eines dieser Bilder). Die disjunkte Vereinigung einer Familie von paarweise disjunkten Mengen ist ihre Vereinigung . In Bezug auf die Kategorie der Theorie ist die disjunkte Vereinigung der coproduct der Kategorie von Sätzen . Die disjunkte Vereinigung ist damit bis auf eine Bijektion definiert. ${\displaystyle (A_{i}\colon i\in I)}$${\displaystyle A=\bigsqcup_{i\in I}A_{i},}$${\displaystyle A_{i}}$

Eine Standardmethode zur Bildung der disjunkten Vereinigung besteht darin, A als die Menge geordneter Paare ( x , i ) zu definieren , so dass und die injektiven Funktionen durch${\displaystyle x\in A_{i},}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Beispiel

Betrachten Sie die Sätze und . Wir können die Mengenelemente nach Mengenursprung indizieren, indem wir die zugehörigen Mengen bilden ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*} &=\{(5,1),(6,1)\},\end{ausgerichtet}}}$

wobei das zweite Element in jedem Paar mit dem tiefgestellten Index des Ursprungssatzes übereinstimmt (z. B. das in mit dem tiefgestellten in usw. übereinstimmt ). Die disjunkte Vereinigung kann dann wie folgt berechnet werden: ${\displaystyle 0}$${\displaystyle (5,0)}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$

${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7, 0),(5,1),(6,1)\}.}$

Definition der Mengenlehre

Sei formal eine Familie von Mengen, indiziert durch Die disjunkte Vereinigung dieser Familie ist die Menge ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle I.}$

${\displaystyle \bigsqcup_{i\in I}A_{i}=\bigcup_{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$

Die Elemente der disjunkten Vereinigung sind geordnete Paare. Hier dient ein Hilfsindex, der angibt, woher das Element stammt. ${\displaystyle (x,i).}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle x}$

Jede der Mengen ist kanonisch isomorph zur Menge ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$

Durch diesen Isomorphismus kann man davon ausgehen, dass dieser kanonisch in die disjunkte Vereinigung eingebettet ist. Denn die Mengen und sind disjunkt, auch wenn die Mengen und nicht sind. ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\neq j,}$${\displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{j}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$

Im Extremfall, in dem jeder gleich einer festen Menge für jeden ist, ist die disjunkte Vereinigung das kartesische Produkt von und : ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \bigsqcup_{i\in I}A_{i}=A\times I.}$

Manchmal sieht man die Notation

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

für die disjunkte Vereinigung einer Familie von Mengen oder die Notation für die disjunkte Vereinigung zweier Mengen. Diese Notation soll darauf hinweisen, dass die Kardinalität der disjunkten Vereinigung die Summe der Kardinalitäten der Begriffe in der Familie ist. Vergleichen Sie dies mit der Notation für das kartesische Produkt einer Familie von Mengen. ${\displaystyle A+B}$

Disjunkte Vereinigungen werden manchmal auch geschrieben oder${\displaystyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \ \cdot \!\!\!\!\!\bigcup _{i\in I}A_{i}.}$

In der Sprache der Kategorientheorie ist die disjunkte Vereinigung das Koprodukt in der Kategorie der Mengen . Es erfüllt daher die damit verbundene universelle Eigenschaft . Dies bedeutet auch, dass die disjunkte Vereinigung das kategorische Dual der kartesischen Produktkonstruktion ist . Siehe coproduct für weitere Details.

Für viele Zwecke ist die besondere Wahl des Hilfsindex unwichtig, und in einem vereinfachenden Missbrauch der Notation kann die indizierte Familie einfach als eine Sammlung von Mengen behandelt werden. In diesem Fall wird als Kopie von bezeichnet und manchmal wird die Notation verwendet. ${\displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup\nolimits ^{*}\!}}A}$

Sicht der Kategorietheorie

In der Kategorientheorie wird die disjunkte Vereinigung als Koprodukt in der Kategorie der Mengen definiert.

Als solche ist die disjunkte Vereinigung bis auf einen Isomorphismus definiert, und die obige Definition ist unter anderem nur eine Realisierung des Kuppelprodukts. Wenn die Mengen paarweise disjunkt sind, ist die übliche Vereinigung eine weitere Realisierung des Koprodukts. Dies rechtfertigt die zweite Definition in der Führung.

Dieser kategorische Aspekt der disjunkten Vereinigung erklärt, warum häufig anstelle von verwendet wird, um Koprodukt zu bezeichnen . ${\displaystyle\coprod}$${\displaystyle \bigsqcup}$

Siehe auch

• Kuppelprodukt  – Kategorietheoretische Konstruktion
• Direktes Limit
• Disjunkte Vereinigung (Topologie)
• Disjunkte Vereinigung von Graphen
• Aufteilung einer Menge  – Mathematische Möglichkeiten, Elemente einer Menge zu gruppieren
• Summentyp
• Tagged union  – Datenstruktur, die einen Wert enthält, der mehrere verschiedene, aber feste Typen annehmen kann
• Gewerkschaft (Informatik)

Verweise

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Korrigierte vierte Auflage, überarbeitete dritte Aufl.), New York: Springer-Verlag, S. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Disjunkte Union" . MathWorld .