Metrisch (Mathematik) - Metric (mathematics)

Eine Abbildung zum Vergleich der Taxi-Metrik mit der euklidischen Metrik in der Ebene: Gemäß der Taxi-Metrik haben die roten, gelben und blauen Pfade die gleiche Länge (12). Gemäß der euklidischen Metrik hat der grüne Pfad die Länge und ist der eindeutig kürzeste Pfad.

In der Mathematik ist eine Metrik- oder Distanzfunktion eine Funktion , die einen Abstand zwischen jedem Paar von Punktelementen einer Menge angibt . Eine Menge mit einer Metrik heißt metrischer Raum . Eine Metrik induziert eine Topologie auf einer Menge, aber nicht alle Topologien können durch eine Metrik generiert werden. Ein topologischer Raum, dessen Topologie durch eine Metrik beschrieben werden kann, heißt metrisierbar .

Eine wichtige Quelle von Metriken in der Differentialgeometrie sind metrische Tensoren , bilineare Formen , die aus den Tangentenvektoren einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit auf einen Skalar definiert werden können. Ein metrischer Tensor ermöglicht die Bestimmung von Abständen entlang von Kurven durch Integration und bestimmt damit eine Metrik.

Definition

Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Funktion (genannt Distanzfunktion oder einfach Distanz )

wobei die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen ist und für alle die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

1. Identität der Ununterscheidbaren
2. Symmetrie
3. Dreiecksungleichung

Eine Metrik (wie definiert) ist eine nicht-negative reellwertige Funktion. Dies liefert zusammen mit Axiom 1 eine Trennungsbedingung , wobei verschiedene oder getrennte Punkte genau diejenigen sind, die einen positiven Abstand zwischen ihnen haben.

Die Anforderung, die einen Bereich von hat, ist eine klärende (aber unnötige) Einschränkung in der Definition, denn wenn wir eine Funktion hätten , die dieselben drei Axiome erfüllt, könnte die Funktion wie folgt als nicht negativ bewiesen werden (unter Verwendung von Axiomen 1, 3 und 2 in dieser Reihenfolge):

was impliziert .

Eine Metrik wird als ultrametrisch bezeichnet, wenn sie die folgende stärkere Version der Dreiecksungleichung erfüllt, bei der Punkte niemals „zwischen“ anderen Punkten liegen können:

für alle

Eine Metrik d auf X heißt intrinsisch, wenn zwei beliebige Punkte x und y in X durch eine Kurve mit beliebiger Länge nahe d ( x , y ) verbunden werden können .

Eine Metrik d auf einer Gruppe G (multiplikativ geschrieben) heißt linksinvariant (bzw. rechtsinvariant ), wenn

[bzw. ]

für alle x , y und z in G .

Eine Metrik auf einer kommutativen additiven Gruppe heißt translationsinvariant, wenn für alle oder äquivalent, wenn für alle Jeder Vektorraum ist auch eine kommutative additive Gruppe und eine durch eine Norm induzierte Metrik auf einem reellen oder komplexen Vektorraum ist immer translation unveränderlich. Eine Metrik auf einem reellen oder komplexen Vektorraum wird durch eine Norm genau dann induziert, wenn sie translationsinvariant und absolut homogen ist , wobei letzteres bedeutet, dass für alle Skalare und alle in diesem Fall die Funktion eine Norm auf definiert und die kanonische Metrik induziert nach ist gleich

Anmerkungen

Diese Bedingungen drücken intuitive Vorstellungen über das Konzept der Distanz aus . Zum Beispiel, dass der Abstand zwischen verschiedenen Punkten positiv ist und der Abstand von x zu y gleich dem Abstand von y zu x ist . Die Dreiecksungleichung bedeutet, dass der Abstand von x nach z über y mindestens so groß ist wie von x nach z direkt. Euklid stellte in seiner Arbeit fest, dass die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine Linie ist; das war die Dreiecksungleichung für seine Geometrie.

Beispiele

  • Die diskrete Metrik : wenn x = y, dann d ( x , y ) = 0. Andernfalls ist d ( x , y ) = 1.
  • Die euklidische Metrik ist translations- und rotationsinvariant.
  • Die Taximetrik ist translationsinvariant.
  • Allgemeiner gesagt ist jede durch eine Norm induzierte Metrik translationsinvariant.
  • Wenn eine Folge von Seminormen ist , die einen ( lokal konvexen ) topologischen Vektorraum E definiert , dann
    ist eine Metrik, die dieselbe Topologie definiert . (Man kann durch jede
    summierbare Folge streng positiver Zahlen ersetzen .)
  • Der normierter Raum a Banachraumes , wo der absolute Wert ist eine Norm auf der realen Linie daß induziert die übliche euklidische Topologie auf eine Metrik definiert auf durch für alle Wie  s induzierte Metrik, die Metrik induziert auch die übliche euklidische Topologie auf R . Jedoch ist keine vollständige Metrik , da die Sequenz definiert durch a -Cauchy Sequenz aber es konvergieren nicht zu einem beliebigen Punkt von R . Als Folge der Nichtkonvergenz kann diese -Cauchy- Folge keine Cauchy-Folge in sein (dh sie ist keine Cauchy-Folge in Bezug auf die Norm ), denn wenn sie -Cauchy wäre, dann würde die Tatsache, dass es sich um einen Banach-Raum handelt, implizieren, dass es konvergiert (ein Widerspruch).
  • Diagrammmetrik , eine Metrik, die in Bezug auf Entfernungen in einem bestimmten Diagramm definiert ist.
  • Die Hamming-Distanz in der Codierungstheorie.
  • Riemannsche Metrik , eine Art metrischer Funktion, die geeignet ist, jede differenzierbare Mannigfaltigkeit aufzuerlegen . Für jede solche Mannigfaltigkeit wählt man an jedem Punkt p eine symmetrische, positiv bestimmte, bilineare Form L : T p × T pR auf dem Tangentenraum T p an p , und zwar auf glatte Weise. Diese Form bestimmt die Länge eines beliebigen Tangentenvektors v auf der Mannigfaltigkeit über die Definition . Dann wird für jeden differenzierbaren Pfad auf der Mannigfaltigkeit seine Länge als das Integral der Länge des Tangentenvektors an den Pfad an einem beliebigen Punkt definiert, an dem die Integration in Bezug auf den Pfadparameter durchgeführt wird. Um schließlich eine Metrik zu erhalten, die für ein beliebiges Paar { x , y } von Punkten der Mannigfaltigkeit definiert ist, nimmt man über alle Pfade von x nach y das Infimum der Menge von Pfadlängen. Eine glatte Mannigfaltigkeit, die mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet ist, heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit .
  • Die Fubini-Studienmetrik über den komplexen projektiven Raum . Dies ist ein Beispiel für eine Riemannsche Metrik.
  • Stringmetriken wie Levenshtein-Distanz und andere String-Editierdistanzen definieren eine Metrik über Strings .
  • Graph Edit Distance definiert eine Abstandsfunktion zwischen Graphen .
  • Die Wasserstein-Metrik ist eine Distanzfunktion, die zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert ist .
  • Die Finsler-Metrik ist eine stetige nichtnegative Funktion F: TM → [0,+∞) definiert auf dem Tangentenbündel.

Gleichwertigkeit von Metriken

Für eine gegebene Menge X heißen zwei Metriken d 1 und d 2 topologisch äquivalent ( gleichmäßig äquivalent ), wenn die Identitätsabbildung

id: ( X , d 1 ) → ( X , d 2 )

ist ein Homöomorphismus ( einheitlicher Isomorphismus ).

Wenn beispielsweise eine Metrik ist, dann sind und Metriken äquivalent zu

Norminduzierte Metrik

Normen auf Vektorräumen entsprechen bestimmten Metriken, nämlich homogenen, translationsinvarianten. Mit anderen Worten, jede Norm bestimmt eine Metrik, und einige Metriken bestimmen eine Norm.

Bei einem gegebenen Raum normierter wir eine Metrik definieren können auf die angerufene Metrik induziert durch oder einfach die Norm induzierte Metrik , durch

Die Metrik soll durch die Norm induziert werden

Umgekehrt erfüllt eine Metrik in einem Vektorraum die Eigenschaften

  • Übersetzungsinvarianz: ;
  • Absolute Homogenität : ;

dann kann eine Norm auf definiert werden durch

wobei die durch diese Norm induzierte Metrik die ursprünglich gegebene Metrik ist

In ähnlicher Weise induziert eine Seminorm eine Pseudometrik (siehe unten), und eine homogene, translationsinvariante Pseudometrie induziert eine Seminorm.

Metriken für Multisets

Wir können den Begriff einer Metrik von einem Abstand zwischen zwei Elementen auf einen Abstand zwischen zwei nichtleeren endlichen Mengen von Elementen verallgemeinern. Eine Multimenge ist eine Verallgemeinerung des Begriffs einer Menge, so dass ein Element mehr als einmal vorkommen kann. Definiere if ist das Multiset bestehend aus den Elementen der Multisets und , dh wenn es einmal in und einmal vorkommt, dann kommt es zweimal in vor . Eine Distanzfunktion auf der Menge nichtleerer endlicher Multimengen ist eine Metrik, wenn

  1. wenn alle Elemente von gleich sind und sonst ( positive Bestimmtheit ), d. h. ( Nicht-Negativität plus Identität von Ununterscheidbarem )
  2. ist invariant unter allen Permutationen von ( Symmetrie )
  3. ( Dreiecksungleichung )

Beachten Sie, dass sich die bekannte Metrik zwischen zwei Elementen ergibt, wenn die Multimenge zwei Elemente in 1 und 2 hat und die Multimengen jeweils ein Element in 3 haben. Wenn zum Beispiel aus zwei Vorkommen von besteht , dann gemäß 1.

Ein einfaches Beispiel ist die Menge aller nichtleeren endlichen Vielfachmengen von ganzen Zahlen mit . Komplexere Beispiele sind Informationsdistanz in Multisets; und normalisierte Kompressionsdistanz (NCD) in Multisets.

Verallgemeinerte Metriken

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, die Axiome von Metriken zu lockern, was zu verschiedenen Begriffen von verallgemeinerten metrischen Räumen führt. Diese Verallgemeinerungen können auch kombiniert werden. Die zu ihrer Beschreibung verwendete Terminologie ist nicht vollständig standardisiert. Vor allem stammen Pseudometriken in der funktionalen Analyse oft aus Seminormen auf Vektorräumen, und daher ist es naheliegend, sie "Semimetrien" zu nennen. Dies steht im Widerspruch zur Verwendung des Begriffs in der Topologie .

Erweiterte Messwerte

Einige Autoren lassen zu, dass die Distanzfunktion d den Wert ∞ erreicht, dh Distanzen sind nicht-negative Zahlen auf der erweiterten reellen Zahlengerade . Eine solche Funktion wird als erweiterte Metrik oder "∞-Metrik" bezeichnet. Jede erweiterte Metrik kann in eine endliche Metrik transformiert werden, so dass die metrischen Räume hinsichtlich Topologiebegriffen (wie Kontinuität oder Konvergenz ) äquivalent sind. Dies kann mit einer subadditiven monoton wachsenden beschränkten Funktion erfolgen, die bei Null null ist, zB d ′( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) oder d ″( x , y ) = min(1, d ( x , y )).

Die Anforderung, dass die Metrik Werte in [0,∞) annehmen muss , kann sogar gelockert werden, um Metriken mit Werten in anderen gerichteten Mengen zu berücksichtigen . Die Neuformulierung der Axiome führt in diesem Fall zur Konstruktion einheitlicher Räume : topologische Räume mit einer abstrakten Struktur, die es ermöglicht, die lokalen Topologien verschiedener Punkte zu vergleichen.

Pseudometrik

Eine Pseudometrik auf X ist eine Funktion, die die Axiome einer Metrik erfüllt, außer dass statt des zweiten (Identität der Ununterscheidbaren) nur d ( x , x ) = 0 für alle x benötigt wird. Mit anderen Worten, die Axiome für eine Pseudometrik lauten:

  1. d ( x , y ) 0
  2. d ( x , x ) = 0 (aber möglicherweise d ( x , y ) = 0 für einige unterschiedliche Werte xy .)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z ).

In einigen Kontexten werden Pseudometriken aufgrund ihrer Beziehung zu Seminormen als Semimetrik bezeichnet .

Quasimetrie

Gelegentlich wird eine Quasimetrie als Funktion definiert, die alle Axiome einer Metrik mit Ausnahme der Symmetrie erfüllt. Der Name dieser Verallgemeinerung ist nicht ganz standardisiert.

  1. d ( x , y ) ≥ 0 ( Positivität )
  2. d ( x , y ) = 0 genau dann wenn   x = y ( positive Bestimmtheit )
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )( Symmetrie , fallengelassen)
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( Dreiecksungleichung )

Quasimetrien sind im wirklichen Leben üblich. Bei einem gegebenen Satz X von Bergdörfern bilden die typischen Gehzeiten zwischen den Elementen von X beispielsweise eine Quasimetrie, da das Bergauffahren länger dauert als das Bergabfahren. Ein weiteres Beispiel ist eine Manhattan-Metrik - Topologie Einbahnstraßen, wo ein Weg von Punkt A zu Punkt B eine andere Gruppe von Straßen als ein Pfad von umfasst B zu A .

Eine Quasimetrie auf den reellen Zahlen kann definiert werden durch die Einstellung

d ( x , y ) = xy falls xy , und
d ( x , y ) = 1 sonst. Die 1 kann durch unendlich oder durch ersetzt werden .

Der diesem quasimetrischen Raum zugrunde liegende topologische Raum ist die Sorgenfrey-Linie . Dieser Raum beschreibt den Vorgang des Ablegens eines Metallstabs: Es ist leicht, seine Größe zu verringern, aber es ist schwierig oder unmöglich, ihn zu vergrößern.

Wenn d eine Quasimetrie auf X ist , kann eine Metrik d' auf X gebildet werden, indem man

d' ( x , y ) = 1/2( d ( x , y ) + d ( y , x )).

Metametrie

In einer Metametrie sind alle Axiome einer Metrik erfüllt, außer dass der Abstand zwischen identischen Punkten nicht notwendigerweise Null ist. Mit anderen Worten, die Axiome für eine Metametrik sind:

  1. d ( x , y ) 0
  2. d ( x , y ) = 0 impliziert x = y (aber nicht umgekehrt.)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z ).

Metametrien erscheinen beim Studium der hyperbolischen metrischen Räume von Gromov und ihrer Grenzen. Die visuelle Metametrie auf einem solchen Raum erfüllt d ( x , x ) = 0 für Punkte x auf der Grenze, aber ansonsten ist d ( x , x ) ungefähr der Abstand von x zur Grenze. Metametrien wurden zuerst von Jussi Väisälä definiert.

Semimetrik

Eine Semimetrik auf X ist eine Funktion , die die ersten drei Axiome erfüllt, aber nicht unbedingt die Dreiecksungleichung:

  1. d ( x , y ) 0
  2. d ( x , y ) = 0 genau dann, wenn   x = y
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Einige Autoren arbeiten mit einer schwächeren Form der Dreiecksungleichung, wie zum Beispiel:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z ))  (ρ-entspannte Dreiecksungleichung)
d ( x , z ) max( d ( x , y ), d ( y , z ))  (ρ-inframetrische Ungleichung).

Die ρ-inframetrische Ungleichung impliziert die ρ-relaxierte Dreiecksungleichung (unter Annahme des ersten Axioms) und die ρ-relaxierte Dreiecksungleichung impliziert die 2ρ-inframetrische Ungleichung. Semimetrische, die diese äquivalenten Bedingungen erfüllen, wurden manchmal als "Quasimetrie", "Nearmetrics" oder Inframetrics bezeichnet .

Die ρ-inframetric Ungleichungen wurden eingeführt, um Round-Trip-Verzögerungszeiten im Internet zu modellieren . Die Dreiecksungleichung impliziert die 2-inframetrische Ungleichung, und die ultrametrische Ungleichung ist genau die 1-inframetric Ungleichung.

Vorwerte

Die Lockerung der letzten drei Axiome führt zum Begriff einer Prämetrik , dh einer Funktion, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. d ( x , y ) 0
  2. d ( x , x ) = 0

Dies ist kein Standardbegriff. Manchmal wird es verwendet, um auf andere Verallgemeinerungen von Metriken wie Pseudosemimetrie oder Pseudometrik zu verweisen; in Übersetzungen russischer Bücher erscheint es manchmal als "prametrisch". Eine symmetrieerfüllende Prämetrik, also eine Pseudosemimetrie, wird auch Distanz genannt.

Jede Prämetrik führt zu einer Topologie wie folgt. Für ein positives reelles r ist die r- Kugel, die in einem Punkt p zentriert ist, definiert als

B r ( p ) = { x | d ( x , p ) < r}.

Eine Menge heißt offen, wenn es für jeden Punkt p der Menge eine r- Kugel mit Mittelpunkt p gibt, die in der Menge enthalten ist. Jeder prämetrische Raum ist ein topologischer Raum, und zwar ein sequentieller Raum . Im Allgemeinen müssen die r- Kugeln selbst keine offenen Mengen in Bezug auf diese Topologie sein. Bei Metriken ist der Abstand zwischen zwei Mengen A und B definiert als

d ( A , B ) = inf x ε A , y ε B d ( x , y ).

Dies definiert eine Prämetrik auf der Potenzmenge eines prämetrischen Raums. Wenn wir von einem (pseudosemi-)metrischen Raum ausgehen, erhalten wir eine pseudosemimetrische, dh eine symmetrische Prämetrik. Jede Prämetrik führt zu einem Präabschlussoperator cl wie folgt:

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Pseudoquasimetrie

Die Präfixe pseudo- , quasi- und semi- können auch kombiniert werden, zB eine Pseudoquasimetrie (manchmal hemimetrisch genannt ) lockert sowohl das Ununterscheidbarkeitsaxiom als auch das Symmetrieaxiom und ist einfach eine Prämetrik, die die Dreiecksungleichung erfüllt. Für pseudoquasimetrische Räume bilden die offenen r- Kugeln eine Basis offener Mengen. Ein sehr einfaches Beispiel für einen pseudoquasimetrischen Raum ist die Menge {0,1} mit der Prämetrik gegeben durch d (0,1) = 1 und d (1,0) = 0. Der zugehörige topologische Raum ist der Sierpiński-Raum .

Mit einer erweiterten Pseudoquasimetrie ausgestattete Mengen wurden von William Lawvere als "verallgemeinerte metrische Räume" untersucht. Aus kategorialer Sicht verhalten sich die erweiterten pseudometrischen Räume und die erweiterten pseudoquasimetrischen Räume zusammen mit ihren entsprechenden nicht-expansiven Abbildungen am besten unter den metrischen Raumkategorien. Man kann beliebige Produkte und Kuppelprodukte nehmen und Quotientenobjekte innerhalb der gegebenen Kategorie bilden. Wenn man "erweitert" absenkt, kann man nur endliche Produkte und Kuppelprodukte nehmen. Wenn man "Pseudo" fallen lässt, kann man keine Quotienten nehmen. Annäherungsräume sind eine Verallgemeinerung metrischer Räume, die diese guten kategorialen Eigenschaften beibehält.

ukaszyk-Karmowski-Distanz

Der Łukaszyk-Karmowski-Abstand ist eine Funktion , die einen Abstand zwischen zwei Zufallsvariablen oder zwei Zufallsvektoren definiert . Die Axiome dieser Funktion lauten:

  1. d ( x , y ) > 0
  2. d ( x , y ) = d ( y , x )
  3. d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z ).

Diese Abstandsfunktion erfüllt die Identität der Ununterscheidbaren Zustand , wenn und nur wenn beide Argumente von idealisierten beschrieben Dirac Delta Dichte Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen .

Wichtige Fälle von generalisierten Metriken

In der Differentialgeometrie betrachtet man einen metrischen Tensor , den man sich als "unendliche" quadratische metrische Funktion vorstellen kann. Dies ist definiert als eine nicht entartete symmetrische Bilinearform auf dem Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit mit einer entsprechenden Differenzierbarkeitsanforderung . Obwohl dies keine metrischen Funktionen im Sinne dieses Artikels sind, induzieren sie eine sogenannte pseudosemimetrische Funktion durch Integration ihrer Quadratwurzel entlang eines Pfads durch die Mannigfaltigkeit. Stellt man dem metrischen Tensor die positive Bestimmtheitsforderung eines inneren Produkts auf, so beschränkt sich dies auf den Fall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und die Pfadintegration liefert eine Metrik.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist das verwandte Konzept ein metrischer Tensor (allgemeine Relativitätstheorie), der die Struktur einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ausdrückt . Obwohl der Begriff "metrisch" verwendet wird, ist die Grundidee anders, da es im Tangentialraum dieser Mannigfaltigkeiten von Null verschiedene Nullvektoren gibt und Vektoren negative Quadratnormen haben können. Diese verallgemeinerte Ansicht „Metriken“, in dem Null - Abstand ist nicht Identität bedeuten, hat schlich in eine mathematische Schrift zu:

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise