Ägyptische Fraktion - Egyptian fraction

Ein ägyptischer Bruch ist eine endliche Summe verschiedener Einheitsbrüche , wie z

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$

Das heißt, jeder Bruch im Ausdruck hat einen Zähler gleich 1 und einen Nenner , der eine positive ganze Zahl ist , und alle Nenner unterscheiden sich voneinander. Der Wert eines solchen Ausdrucks ist eine positive rationale Zahl ein/B; zum Beispiel summiert sich der obige ägyptische Bruch zu43/48. Jede positive rationale Zahl kann durch einen ägyptischen Bruch dargestellt werden. Summen dieser Art und ähnliche Summen einschließlich2/3 und 3/4als Summanden , wurden von den alten Ägyptern als ernsthafte Notation für rationale Zahlen verwendet und wurden bis ins Mittelalter von anderen Zivilisationen verwendet. In der modernen mathematischen Notation wurden ägyptische Brüche durch vulgäre Brüche und Dezimalschreibweise ersetzt . Ägyptische Brüche sind jedoch weiterhin Gegenstand des Studiums in der modernen Zahlentheorie und der Freizeitmathematik sowie in den modernen historischen Studien der antiken Mathematik .

Anwendungen

Abgesehen von ihrer historischen Verwendung haben ägyptische Brüche einige praktische Vorteile gegenüber anderen Darstellungen von Bruchzahlen. Ägyptische Fraktionen können beispielsweise dabei helfen, Lebensmittel oder andere Gegenstände zu gleichen Teilen zu teilen. Wenn man zum Beispiel 5 Pizzen gleichmäßig auf 8 Gäste aufteilen möchte, ist die ägyptische Fraktion

${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$

bedeutet, dass jeder Gast eine halbe Pizza plus ein weiteres Achtel einer Pizza bekommt, zum Beispiel indem 4 Pizzen in 8 Hälften geteilt werden und die restliche Pizza in 8 Achtel.

Auch wenn man 13 Pizzen auf 12 Gäste aufteilen könnte, indem man jedem Diner eine Pizza gibt und die verbleibende Pizza in 12 Teile aufteilt (vielleicht zerstört sie), könnte man dies feststellen

${\displaystyle {\frac {13}{12}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}$

und teilen Sie 6 Pizzen in Hälften, 4 in Drittel und die restlichen 3 in Viertel und geben Sie dann jedem Diner eine Hälfte, ein Drittel und ein Viertel.

Ägyptische Fraktionen können eine Lösung für Seilbrennrätsel bieten , bei denen eine bestimmte Dauer durch das Zünden ungleichmäßiger Seile gemessen werden soll, die nach einer Zeiteinheit durchbrennen. Jeder rationale Bruchteil einer Zeiteinheit kann gemessen werden, indem man den Bruchteil zu einer Summe von Einheitsbruchteilen erweitert und dann für jeden Einheitsbruchteil ein Seil so verbrennt, dass es immer gleichzeitig brennende Punkte hat, an denen es brennt. Für diese Anwendung ist es nicht erforderlich, dass die Einheitsbrüche voneinander unterschieden werden. Diese Lösung kann jedoch eine unendliche Anzahl von Wiederbeleuchtungsschritten erfordern. ${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x}$

Frühe Geschichte

Die ägyptische Bruchnotation wurde im Mittleren Reich Ägyptens entwickelt . Fünf frühe Texte, in denen ägyptische Fraktionen vorkommen, waren die Ägyptische Mathematische Lederrolle , der Moskauer Mathematische Papyrus , der Reisner Papyrus , der Kahun Papyrus und die Akhmim Holztafel . Ein späterer Text, der Rhind Mathematical Papyrus , führte verbesserte Schreibweisen für ägyptische Brüche ein. Der Papyrus Rhind wurde von Ahmes geschrieben und stammt aus der zweiten Zwischenzeit ; es enthält eine Tabelle mit ägyptischen Bruchentwicklungen für rationale Zahlen2/nsowie 84 Wortaufgaben . Die Lösungen für jedes Problem wurden in Kurzschrift ausgeschrieben, wobei die endgültigen Antworten aller 84 Probleme in ägyptischer Bruchnotation ausgedrückt wurden.2/nTabellen ähnlich der auf dem Papyrus Rhind erscheinen auch in einigen anderen Texten. Wie der Papyrus Kahun zeigt, wurden jedoch auch vulgäre Fraktionen von Schreibern in ihren Berechnungen verwendet.

Notation

Um die in ihrer ägyptischen Bruchnotation verwendeten Einheitsbrüche in Hieroglyphenschrift zu schreiben, platzierten die Ägypter die Hieroglyphe

( äh , "[ein] unter" oder möglicherweise re , Mund) über einer Zahl, um den Kehrwert dieser Zahl darzustellen . Ähnlich zogen sie in hieratischer Schrift eine Linie über den Buchstaben, der die Zahl darstellte. Beispielsweise:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

Die Ägypter hatten spezielle Symbole für 1/2, 2/3, und 3/4 die verwendet wurden, um die Größe von Zahlen größer als zu reduzieren 1/2als solche Zahlen in eine ägyptische Bruchreihe umgewandelt wurden. Die verbleibende Zahl nach Subtraktion eines dieser speziellen Brüche wurde gemäß der üblichen ägyptischen Bruchnotation als Summe verschiedener Einheitsbrüche geschrieben.

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Die Ägypter verwendeten auch eine alternative Notation, die aus dem Alten Reich modifiziert wurde, um einen speziellen Satz von Brüchen der Form zu bezeichnen 1/2 ^k(für k = 1, 2, ..., 6) und Summen dieser Zahlen, die notwendigerweise dyadische rationale Zahlen sind . Diese wurden "Horus-Auge-Fraktionen" genannt, nach einer (jetzt diskreditierten) Theorie, dass sie auf den Teilen des Auges des Horus- Symbols beruhten . Sie wurden im Reich der Mitte in Verbindung mit der späteren Schreibweise für ägyptische Brüche verwendet, um ein Hekat zu unterteilen , das primäre altägyptische Volumenmaß für Getreide, Brot und andere kleine Volumenmengen, wie in der Akhmim-Holztafel beschrieben . Wenn ein Rest übrig blieb, nachdem eine Menge in Eye of Horus-Bruchteilen eines Hekat ausgedrückt wurde, wurde der Rest in der üblichen ägyptischen Bruchschreibweise als Vielfaches von a ro geschrieben , einer Einheit gleich1/320 von einem hekat.

Berechnungsmethoden

Moderne Mathematikhistoriker haben den Papyrus Rhind und andere antike Quellen studiert, um die Methoden zu entdecken, die die Ägypter bei der Berechnung mit ägyptischen Brüchen verwendeten. Insbesondere hat sich das Studium in diesem Bereich auf das Verständnis der Tabellen der Erweiterungen für Zahlen der Form konzentriert2/nim Papyrus Rhind. Obwohl diese Erweiterungen allgemein als algebraische Identitäten beschrieben werden können, entsprechen die von den Ägyptern verwendeten Methoden möglicherweise nicht direkt diesen Identitäten. Darüber hinaus stimmen die Erweiterungen in der Tabelle nicht mit einer einzelnen Identität überein; vielmehr stimmen verschiedene Identitäten mit den Erweiterungen für Primzahlen und zusammengesetzte Nenner überein , und mehr als eine Identität passt zu den Zahlen jedes Typs:

• Für kleine ungerade Primzahlen p ist die Entwicklung

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{\,{\frac {p+1}{2}}\,}}+{\frac {1}{p{\ frac {p+1}{2}}}}}$

wurde benutzt.

• Für größere Primzahlnenner ist eine Erweiterung der Form

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$

verwendet wurde, wobei A eine Zahl mit vielen Teilern (wie eine praktische Zahl ) zwischen number istP/2und p . Die Restlaufzeit2 A − p/Ap wurde durch die Darstellung der Zahl erweitert 2 A − p/Apals Summe der Teiler von A und Bildung eines BruchsD/Apfür jeden solchen Teiler d in dieser Summe. Als Beispiel die Erweiterung von Ahmes1/24 + 1/111 + 1/296 Pro 2/37passt zu diesem Muster mit A = 24 und2 A − p/Ap= 11 = 3 + 8 , als1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. Es kann viele verschiedene Erweiterungen dieser Art für ein gegebenes p geben ; Wie KS Brown bemerkte, war die von den Ägyptern gewählte Erweiterung jedoch oft diejenige, die dazu führte, dass der größte Nenner unter allen Erweiterungen, die diesem Muster entsprechen, so klein wie möglich war.

• Für zusammengesetzte Nenner, faktorisiert als p × q , kann man entwickeln2/pq mit der identität

${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{aq}}+{\frac {1}{apq}}\quad {\text{wo }}a={\frac { p+1}{2}}}$

Zum Beispiel ergibt die Anwendung dieser Methode für pq = 21 p = 3 , q = 7 und a =3 + 1/2= 2 , wodurch die Expansion2/21 = 1/14 + 1/42aus dem Papyrus Rhind. Einige Autoren haben es vorgezogen, diese Erweiterung als . zu schreiben2/EIN × EIN/pq, wobei A = p + 1 ; Ersetzen des zweiten Begriffs dieses Produkts durchP/pq + 1/pq, Anwendung des Distributivgesetzes auf das Produkt und Vereinfachung führt zu einem Ausdruck, der der hier beschriebenen ersten Entwicklung äquivalent ist. Diese Methode scheint für viele der zusammengesetzten Zahlen im Rhind-Papyrus verwendet worden zu sein, aber es gibt insbesondere Ausnahmen2/35, 2/91, und 2/95.

• Kann man auch erweitern 2/pq wie 1/pr + 1/qr, wobei r =p + q/2. Ahmes beispielsweise erweitert2/35 = 1/30 + 1/42, wobei p = 5 , q = 7 und r =5 + 7/2= 6 . Spätere Schreiber verwendeten eine allgemeinere Form dieser Erweiterung,

${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{pr}}+{\frac {1}{qr}}\quad {\text{wo }}r={\frac { p+q}{n}}}$

was funktioniert, wenn p + q ein Vielfaches von n ist .

• Für einige andere zusammengesetzte Nenner ist die Erweiterung für 2/pq hat die Form einer Erweiterung für 2/Qwobei jeder Nenner mit p multipliziert wird . Zum Beispiel 95 = 5 × 19 und2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114(wie mit der Methode für Primzahlen mit A = 12 gefunden werden kann ), also2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570. Dieser Ausdruck kann einmal vereinfacht werden1/380 + 1/570 = 1/228, aber der Rhind-Papyrus verwendet die vereinfachte Form.
• Die letzte (primäre) Expansion im Papyrus Rhind, 2/101, passt zu keiner dieser Formen, sondern verwendet stattdessen eine Erweiterung

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$

das kann unabhängig vom Wert von p angewendet werden . Das ist,2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Eine entsprechende Erweiterung wurde auch in der ägyptischen Mathematischen Lederrolle für mehrere Fälle verwendet.

Spätere Verwendung

Ägyptische Fraktion Notation weiter in griechischen Zeit und in das Mittelalter verwendet werden, trotz Beschwerden so früh wie Ptolemäus ‚s Almagest über die Ungeschicklichkeit der Notation im Vergleich zu Alternativen wie die babylonischen Basis 60 Notation . Verwandte Probleme der Zerlegung in Einheitsbrüche wurden auch im Indien des 9. Jahrhunderts vom Jain-Mathematiker Mahāvīra untersucht . Ein wichtiger Text der mittelalterlichen europäischen Mathematik, der Liber Abaci (1202) von Leonardo von Pisa (besser bekannt als Fibonacci), bietet einen Einblick in die Verwendung ägyptischer Brüche im Mittelalter und führt in Themen ein, die in der Moderne weiterhin wichtig sind mathematische Untersuchung dieser Reihen.

Das Hauptthema des Liber Abaci sind Berechnungen mit dezimaler und vulgärer Bruchnotation, die schließlich die ägyptischen Brüche ersetzten. Fibonacci selbst verwendete eine komplexe Notation für Brüche, die eine Kombination einer gemischten Radix- Notation mit Summen von Brüchen beinhaltete. Viele der Berechnungen in Fibonaccis Buch beinhalten Zahlen, die als ägyptische Brüche dargestellt werden, und ein Abschnitt dieses Buches enthält eine Liste von Methoden zur Umrechnung von vulgären Brüchen in ägyptische Brüche. Wenn die Zahl nicht bereits ein Einheitsbruch ist, besteht die erste Methode in dieser Liste darin, den Zähler in eine Summe von Teilern des Nenners aufzuteilen; dies ist immer dann möglich, wenn der Nenner eine praktische Zahl ist , und Liber Abaci enthält solche Erweiterungstabellen für die praktischen Zahlen 6, 8, 12, 20, 24, 60 und 100.

Die nächsten Methoden beinhalten algebraische Identitäten wie such

${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}}$

Fibonacci repräsentiert zum Beispiel den Bruch 8/11 indem man den Zähler in eine Summe von zwei Zahlen teilt, von denen jede eins plus den Nenner teilt: 8/11 = 6/11 + 2/11. Fibonacci wendet die obige algebraische Identität auf jeden dieser beiden Teile an und erzeugt die Erweiterung8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci beschreibt ähnliche Methoden für Nenner, die zwei oder drei weniger als eine Zahl mit vielen Faktoren sind.

Für den seltenen Fall, dass diese anderen Methoden alle versagen, schlägt Fibonacci einen "gierigen" Algorithmus zur Berechnung ägyptischer Brüche vor, bei dem man wiederholt den Einheitsbruch mit dem kleinsten Nenner wählt, der nicht größer ist als der verbleibende zu erweiternde Bruch: in modernerer Notation ersetzen wir einen Bruchx/ja durch die Erweiterung

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil\,}}+{\frac { (-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil}}}$

wobei ⌈ ⌉ repräsentiert die Ceiling - Funktion ; da (− y ) mod x < x ergibt diese Methode eine endliche Entwicklung.

Fibonacci schlägt vor, nach der ersten solchen Erweiterung zu einer anderen Methode zu wechseln, aber er gibt auch Beispiele, in denen diese gierige Erweiterung wiederholt wurde, bis eine vollständige ägyptische Bruchentwicklung konstruiert wurde: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 und 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

Im Vergleich zu altägyptischen Erweiterungen oder moderneren Methoden kann diese Methode ziemlich lange Erweiterungen mit großen Nennern erzeugen, und Fibonacci selbst bemerkte die Unbeholfenheit der durch diese Methode erzeugten Erweiterungen. Zum Beispiel erweitert die gierige Methode

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}}}$

während andere Methoden zu der kürzeren Ausdehnung führen

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}}$

Sylvesters Folge 2, 3, 7, 43, 1807, ... kann als durch eine unendliche gierige Entwicklung dieser Art für die Zahl 1 erzeugt angesehen werden, wobei wir bei jedem Schritt den Nenner ⌊ wählen.ja/x⌋ + 1 statt ⌈ja/x⌉ , und manchmal wird Fibonaccis gieriger Algorithmus James Joseph Sylvester zugeschrieben .

Nach seiner Beschreibung des gierigen Algorithmus schlägt Fibonacci noch eine andere Methode vor, die einen Bruch erweitert ein/Bindem man nach einer Zahl c mit vielen Teilern sucht , mitB/2< c < b , ersetzendein/B von ac/bc, und Erweitern von ac als Summe der Teiler von bc , ähnlich der von Hultsch und Bruins vorgeschlagenen Methode, um einige der Erweiterungen im Rhind-Papyrus zu erklären.

Moderne Zahlentheorie

Obwohl ägyptische Brüche in den meisten praktischen Anwendungen der Mathematik nicht mehr verwendet werden, haben moderne Zahlentheoretiker weiterhin viele verschiedene damit verbundene Probleme untersucht. Dazu gehören Probleme der Begrenzung der Länge oder des maximalen Nenners in ägyptischen Bruchdarstellungen, das Auffinden von Erweiterungen bestimmter Sonderformen oder bei denen die Nenner alle von einem besonderen Typ sind, die Beendigung verschiedener Methoden für die ägyptische Bruchentwicklung und das Zeigen, dass Erweiterungen für alle for existieren ausreichend dichte Menge ausreichend glatter Zahlen .

• Eine der frühesten Veröffentlichungen von Paul Erdős bewies, dass es für eine harmonische Progression nicht möglich ist , eine ägyptische Bruchdarstellung einer ganzen Zahl zu bilden . Der Grund dafür ist, dass mindestens ein Nenner der Progression notwendigerweise durch eine Primzahl teilbar ist , die keinen anderen Nenner teilt. Die neueste Veröffentlichung von Erdős, fast 20 Jahre nach seinem Tod, beweist, dass jede ganze Zahl eine Darstellung hat, in der alle Nenner Produkte von drei Primzahlen sind.
• Die Erdős-Graham-Vermutung in der kombinatorischen Zahlentheorie besagt, dass, wenn die ganzen Zahlen größer als 1 in endlich viele Teilmengen aufgeteilt werden, eine der Teilmengen eine endliche Teilmenge ihrer selbst besitzt, deren Kehrwerte sich zu eins summieren. Das heißt, für jedes r > 0 und jede r- Färbung der ganzen Zahlen größer als eins gibt es eine endliche monochromatische Teilmenge S dieser ganzen Zahlen mit

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$

Die Vermutung wurde 2003 von Ernest S. Croot, III .

• Známs Problem und primäre pseudoperfekte Zahlen stehen in engem Zusammenhang mit der Existenz ägyptischer Brüche der Form

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1}$

Zum Beispiel ist die primäre pseudoperfekte Zahl 1806 das Produkt der Primzahlen 2, 3, 7 und 43 und ergibt den ägyptischen Bruch 1 =1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.

• Ägyptische Brüche werden normalerweise so definiert, dass alle Nenner unterschiedlich sein müssen, aber diese Anforderung kann gelockert werden, um wiederholte Nenner zuzulassen. Diese entspannte Form der ägyptischen Brüche erlaubt jedoch nicht, dass jede Zahl mit weniger Brüchen dargestellt wird, da jede Erweiterung mit wiederholten Brüchen durch wiederholtes Anwenden der Ersetzung in einen ägyptischen Bruch gleicher oder kleinerer Länge umgewandelt werden kann

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1 .) )}}}$

wenn k ungerade ist, oder einfach durch Ersetzen1/k + 1/k von 2/kwenn k gerade ist. Dieses Ergebnis wurde erstmals von Takenouchi (1921) nachgewiesen .

• Graham und Jewett haben bewiesen, dass es ebenfalls möglich ist, Erweiterungen mit wiederholten Nennern über die Ersetzung in (längere) ägyptische Brüche umzuwandeln

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{ \frac{1}{k(k+1)}}.}$

Diese Methode kann zu langen Expansionen mit großen Nennern führen, wie z

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42} }+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac { 1}{992}}+{\frac{1}{1806}}+{\frac{1}{865\,830}}}$

Botts (1967) hatte diese Ersetzungstechnik ursprünglich verwendet, um zu zeigen, dass jede rationale Zahl ägyptische Bruchdarstellungen mit beliebig großen minimalen Nennern hat.

• Jeder Bruch x/ja hat eine ägyptische Bruchdarstellung, bei der der maximale Nenner begrenzt ist durch

${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log\log y\right)^{4}\left(\log\log\log y\right)^{2}\right)}$

und eine Darstellung mit höchstens

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

Bedingungen. Die Anzahl der Terme muss manchmal mindestens proportional zu log log y sein ; Dies gilt zum Beispiel für die Brüche in der Folge1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... deren Nenner die Sylvester-Folge bilden . Es wurde vermutet, dass O (log log y ) Terme immer ausreichen. Es ist auch möglich, Darstellungen zu finden, bei denen sowohl der maximale Nenner als auch die Anzahl der Terme klein sind.

• Graham (1964) charakterisierte die Zahlen, die durch ägyptische Brüche dargestellt werden können, in denen alle Nenner n- te Potenzen sind. Insbesondere kann eine rationale Zahl q genau dann als ägyptischer Bruch mit quadratischen Nennern dargestellt werden, wenn q in einem der beiden halboffenen Intervalle liegt

${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi^{2}}{6}} \Rechts)}$

• Martin (1999) zeigte, dass jede rationale Zahl sehr dichte Entwicklungen hat, indem er einen konstanten Bruchteil der Nenner bis N für jedes ausreichend große N verwendet .
• Die Engel-Expansion , manchmal auch als ägyptisches Produkt bezeichnet , ist eine Form der ägyptischen Bruchexpansion, bei der jeder Nenner ein Vielfaches des vorherigen ist:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots}$

Außerdem muss die Folge von Multiplikatoren a _i nicht abnehmend sein. Jede rationale Zahl hat eine endliche Engel-Entwicklung, während irrationale Zahlen eine unendliche Engel-Entwicklung haben.

• Anshel & Goldfeld (1991) untersuchen Zahlen, die mehrere verschiedene Darstellungen von ägyptischen Brüchen mit derselben Anzahl von Termen und demselben Produkt von Nennern aufweisen; eines der Beispiele, die sie liefern, ist zum Beispiel

${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac{1}{6}}+{\frac{1}{20}}}$

Im Gegensatz zu den alten Ägyptern erlauben sie, dass sich die Nenner in diesen Erweiterungen wiederholen. Sie gelten ihre Ergebnisse für dieses Problem auf die Charakterisierung von freien Produkten von abelschen Gruppen durch eine geringe Anzahl von numerischen Parametern: der Rang des Kommutatorgruppe , die Anzahl der Begriffe in dem freien Produkt und das Produkt der Aufträge der Faktoren.

• Die Anzahl der verschiedenen n- term ägyptischen Bruchdarstellungen der Zahl Eins ist nach oben und unten durch doppelte Exponentialfunktionen von n begrenzt .

Offene Probleme

Einige bemerkenswerte Probleme bleiben in Bezug auf die ägyptischen Fraktionen trotz erheblicher Bemühungen der Mathematiker ungelöst.

• Die Erdős-Straus-Vermutung betrifft die Länge der kürzesten Expansion für einen Bruchteil der Form4/n. Macht eine Erweiterung

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$

gibt es für jedes n ? Es ist bekannt, dass es für alle n < 10 ¹⁷ und für alle bis auf einen verschwindend kleinen Bruchteil möglicher Werte von n gilt , aber die allgemeine Wahrheit der Vermutung bleibt unbekannt.

• Es ist nicht bekannt, ob für jeden Bruch mit ungeradem Nenner eine ungerade gierige Entwicklung existiert. Wenn die Greedy-Methode von Fibonacci so modifiziert wird, dass sie immer den kleinstmöglichen ungeraden Nenner wählt , unter welchen Bedingungen erzeugt dieser modifizierte Algorithmus eine endliche Expansion? Eine offensichtlich notwendige Bedingung ist, dass der Anfangsbruchx/jaeinen ungeraden Nenner y haben , und es wird vermutet, aber nicht bekannt, dass dies auch eine hinreichende Bedingung ist. Es ist bekannt, dass jederx/jamit ungeradem y hat eine Expansion in verschiedene ungerade Einheitsbrüche, die mit einer anderen Methode als dem Greedy-Algorithmus konstruiert wurden.
• Es ist möglich, Brute-Force- Suchalgorithmen zu verwenden, um die Darstellung eines ägyptischen Bruchs einer gegebenen Zahl mit möglichst wenigen Termen zu finden oder den größten Nenner zu minimieren; jedoch können solche Algorithmen ziemlich ineffizient sein. Die Existenz von Polynomialzeitalgorithmen für diese Probleme oder allgemeiner die Rechenkomplexität solcher Probleme bleibt unbekannt.

Guy (2004) beschreibt diese Probleme genauer und listet zahlreiche weitere offene Probleme auf.

Siehe auch

• Liste der Summen der Reziproken

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• Brown, Kevin, Ägyptische Einheitsfraktionen.
• Eppstein, David , Ägyptische Fraktionen.
• Knott, Ron, Ägyptische Fraktionen.
• Weisstein, Eric W. , "Ägyptischer Bruch" , MathWorld
• Giroux, André, Ägyptische Brücheund Zeleny, Enrique, Algorithmen für ägyptische Brüche, The Wolfram Demonstrations Project , basierend auf Programmen von David Eppstein .