Einstein-Cartan-Theorie - Einstein–Cartan theory

In der theoretischen Physik ist die Einstein-Cartan-Theorie , auch bekannt als Einstein-Cartan-Sciama-Kibble-Theorie , eine klassische Gravitationstheorie ähnlich der Allgemeinen Relativitätstheorie . Die Theorie wurde erstmals 1922 von Élie Cartan vorgeschlagen . Die Einstein-Cartan-Theorie ist die einfachste Poincaré-Eichtheorie .

Überblick

Die Einstein-Cartan-Theorie unterscheidet sich in zweierlei Hinsicht von der Allgemeinen Relativitätstheorie: (1) Sie wird im Rahmen der Riemann-Cartan-Geometrie formuliert, die eine lokal gemessene Lorentz-Symmetrie besitzt, während die Allgemeine Relativitätstheorie im Rahmen der Riemannschen Geometrie formuliert wird, die nicht ; (2) Es wird ein zusätzlicher Satz von Gleichungen aufgestellt, die Torsion mit Spin in Beziehung setzen. Dieser Unterschied kann berücksichtigt werden

Allgemeine Relativitätstheorie (Einstein–Hilbert) → Allgemeine Relativitätstheorie (Palatini) → Einstein–Cartan

indem man zunächst die Allgemeine Relativitätstheorie auf eine Riemann-Cartan-Geometrie umformuliert und die Einstein-Hilbert-Aktion über die Riemannsche Geometrie durch die Palatini-Aktion über die Riemann-Cartan-Geometrie ersetzt; und zweitens das Entfernen der Null-Torsions-Beschränkung aus der Palatini-Aktion, was zu dem zusätzlichen Satz von Gleichungen für Spin und Torsion sowie zum Hinzufügen zusätzlicher spinbezogener Terme in den Einstein-Feldgleichungen selbst führt.

Die Allgemeine Relativitätstheorie wurde ursprünglich im Rahmen der Riemannschen Geometrie durch die Einstein-Hilbert-Wirkung formuliert , aus der die Einstein-Feldgleichungen hervorgehen . Zum Zeitpunkt ihrer ursprünglichen Formulierung gab es kein Konzept der Riemann-Cartan-Geometrie. Es war auch kein ausreichendes Bewusstsein für das Konzept der Eichsymmetrie vorhanden, um zu verstehen, dass Riemannsche Geometrien nicht die erforderliche Struktur besitzen, um eine lokal geeichte Lorentz-Symmetrie zu verkörpern , wie sie erforderlich wäre, um Kontinuitätsgleichungen und Erhaltungssätze für Rotation und Boost . ausdrücken zu können Symmetrien oder um Spinoren in gekrümmten Raumzeitgeometrien zu beschreiben . Das Ergebnis des Hinzufügens dieser Infrastruktur ist eine Riemann-Cartan-Geometrie. Um Spinoren beschreiben zu können, ist insbesondere die Aufnahme einer Spinstruktur erforderlich , die ausreicht, um eine solche Geometrie zu erzeugen.

Der Hauptunterschied zwischen einer Riemann-Cartan-Geometrie und der Riemannschen Geometrie besteht darin, dass bei ersterer die affine Verbindung unabhängig von der Metrik ist, während sie bei letzterer als Levi-Civita-Verbindung von der Metrik abgeleitet wird , wobei der Unterschied zwischen den beiden ist als Verrenkung bezeichnet . Insbesondere ist der antisymmetrische Teil der Verbindung (als Torsion bezeichnet ) bei Levi-Civita-Verbindungen Null, als eine der definierenden Bedingungen für solche Verbindungen.

Da die Verrenkung durch die Torsion linear ausgedrückt werden kann, ist es auch möglich, die Einstein-Hilbert-Aktion direkt in eine Riemann-Cartan-Geometrie zu übersetzen, wodurch die Palatini-Aktion entsteht (siehe auch Palatini-Variation ). Sie wird abgeleitet, indem die Einstein-Hilbert-Aktion in Bezug auf die affine Verbindung umgeschrieben wird und dann separat eine Nebenbedingung aufgestellt wird, die sowohl die Torsion als auch die Verdrehung auf Null zwingt, wodurch die affine Verbindung gezwungen wird, der Levi-Civita-Verbindung gleich zu sein. Da es sich um eine direkte Übersetzung der Aktions- und Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie handelt, ausgedrückt durch die Levi-Civita-Verbindung, kann dies als die Allgemeine Relativitätstheorie selbst betrachtet werden, übertragen in den Rahmen der Riemann-Cartan-Geometrie.

Die Einstein-Cartan-Theorie lockert diese Bedingung und entsprechend die Annahme der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass die affine Verbindung einen verschwindenden antisymmetrischen Anteil ( Torsionstensor ) hat. Die verwendete Aktion ist die gleiche wie die Palatini-Aktion, außer dass die Beschränkung der Torsion aufgehoben wird. Dies führt zu zwei Unterschieden zur Allgemeinen Relativitätstheorie: (1) Die Feldgleichungen werden jetzt in Form einer affinen Verbindung anstelle der Levi-Civita-Verbindung ausgedrückt und haben daher zusätzliche Terme in Einsteins Feldgleichungen, die die Contorsion beinhalten, die in der . nicht vorhanden sind Feldgleichungen, abgeleitet von der Palatini-Formulierung; (2) Es gibt nun einen zusätzlichen Satz von Gleichungen, die die Torsion an den Eigendrehimpuls ( Spin ) der Materie koppeln, ähnlich wie die affine Verbindung an die Energie und den Impuls der Materie gekoppelt ist. In der Einstein-Cartan-Theorie ist die Torsion nun eine Variable im Prinzip der stationären Wirkung , die an eine gekrümmte Raumzeitformulierung des Spins (der Spintensor ) gekoppelt ist . Diese zusätzlichen Gleichungen drücken die Torsion linear in Bezug auf den Spintensor aus, der mit der Materiequelle verbunden ist, was bedeutet, dass die Torsion in der Materie im Allgemeinen von Null verschieden ist.

Eine Folge der Linearität ist, dass es außerhalb der Materie keine Torsion gibt, so dass die äußere Geometrie die gleiche bleibt, wie sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben würde. Die Unterschiede zwischen der Einstein-Cartan-Theorie und der allgemeinen Relativitätstheorie (entweder formuliert als Einstein-Hilbert-Wirkung auf die Riemannsche Geometrie oder die Palatini-Wirkung auf die Riemann-Cartan-Geometrie) beruhen ausschließlich darauf, was mit der Geometrie innerhalb von Materiequellen geschieht. Das heißt: "Torsion breitet sich nicht aus". Es wurden Verallgemeinerungen der Einstein-Cartan-Wirkung in Betracht gezogen, die eine sich ausbreitende Torsion ermöglichen.

Da Riemann-Cartan-Geometrien Lorentz-Symmetrie als lokale Eichsymmetrie aufweisen, ist es möglich, die zugehörigen Erhaltungssätze zu formulieren. Insbesondere die Betrachtung der metrischen und Torsions-Tensoren als unabhängige Variablen ergibt die korrekte Verallgemeinerung des Erhaltungssatzes für den Gesamtdrehimpuls (Bahn plus Eigendrehimpuls) auf das Vorhandensein des Gravitationsfeldes.

Geschichte

Die Theorie wurde erstmals 1922 von Élie Cartan vorgeschlagen und in den folgenden Jahren erläutert. Albert Einstein wurde 1928 bei seinem erfolglosen Versuch, die Torsion dem elektromagnetischen Feldtensor als Teil einer einheitlichen Feldtheorie anzupassen, mit der Theorie verbunden. Dieser Gedankengang führte ihn zu der verwandten, aber anderen Theorie des Teleparallelismus .

Dennis Sciama und Tom Kibble haben die Theorie in den 1960er Jahren unabhängig voneinander überarbeitet, und 1976 wurde eine wichtige Übersicht veröffentlicht.

Die Einstein-Cartan-Theorie wurde historisch von ihrem torsionsfreien Gegenstück und anderen Alternativen wie der Brans-Dicke-Theorie überschattet , da die Torsion auf Kosten der Handhabbarkeit ihrer Gleichungen wenig prädiktiven Nutzen zu bringen schien. Da die Einstein-Cartan-Theorie rein klassisch ist, befasst sie sich auch nicht vollständig mit der Quantengravitation . In der Einstein-Cartan-Theorie wird die Dirac-Gleichung nichtlinear und daher würde das in üblichen Quantisierungstechniken verwendete Superpositionsprinzip nicht funktionieren. In letzter Zeit wurde das Interesse an der Einstein-Cartan-Theorie auf kosmologische Implikationen gelenkt, vor allem auf die Vermeidung einer gravitativen Singularität am Anfang des Universums. Die Theorie gilt als tragfähig und bleibt ein aktives Thema in der Physik-Community.

Feldgleichungen

Die Einstein-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie können abgeleitet werden, indem man die Einstein-Hilbert-Wirkung als die wahre Wirkung der Raumzeit postuliert und diese Wirkung dann in Bezug auf den metrischen Tensor variiert. Die Feldgleichungen der Einstein-Cartan-Theorie stammen aus genau dem gleichen Ansatz, außer dass eine allgemeine asymmetrische affine Verbindung und nicht die symmetrische Levi-Civita-Verbindung angenommen wird (dh Raumzeit wird neben der Krümmung auch Torsion angenommen ) und dann die metrisch und Torsion werden unabhängig voneinander variiert.

Stellen Sie die Lagrange-Dichte der Materie und die Lagrange-Dichte des Gravitationsfeldes dar. Die Lagrangedichte für das Gravitationsfeld in der Einstein-Cartan-Theorie ist proportional zum Ricci-Skalar :

wo ist die Determinante des metrischen Tensors und eine physikalische Konstante, die die Gravitationskonstante und die Lichtgeschwindigkeit umfasst . Nach dem Hamiltonschen Prinzip verschwindet die Variation der Gesamtwirkung für Gravitationsfeld und Materie:

Die Variation bezüglich des metrischen Tensors liefert die Einstein-Gleichungen:

wo ist der Ricci-Tensor und ist der kanonische Spannungs-Energie-Impuls-Tensor . Der Ricci-Tensor ist nicht mehr symmetrisch, da die Verbindung einen Torsionstensor ungleich null enthält; daher kann auch die rechte Seite der Gleichung nicht symmetrisch sein, was bedeutet, dass sie einen asymmetrischen Beitrag enthalten muss, von dem gezeigt werden kann, dass er mit dem Spintensor in Beziehung steht . Dieser kanonische Energie-Impuls-Tensor ist mit dem bekannteren symmetrischen Energie-Impuls-Tensor durch das Belinfante-Rosenfeld-Verfahren verwandt .

Die Variation bezüglich des Torsionstensor ergibt die Cartansche Spinverbindungsgleichungen

wo ist der spinntensor . Da die Torsionsgleichung eher eine algebraische Einschränkung als eine partielle Differentialgleichung ist , breitet sich das Torsionsfeld nicht als Welle aus und verschwindet außerhalb der Materie. Daher kann im Prinzip die Torsion algebraisch aus der Theorie zugunsten des Spintensors eliminiert werden, der eine effektive nichtlineare "Spin-Spin"-Selbstwechselwirkung innerhalb der Materie erzeugt.

Vermeidung von Singularitäten

Singularitätssätze, die auf der Grundlage der Riemannschen Geometrie (z. B. Penrose-Hawking-Singularitätssätze ) im Rahmen der Riemannschen Geometrie vorausgesetzt und formuliert werden, müssen in der Riemann-Cartan-Geometrie nicht gelten. Folglich kann die Einstein-Cartan-Theorie das allgemein-relativistische Problem der Singularität beim Urknall vermeiden . Die minimale Kopplung zwischen Torsions- und Dirac-Spinoren erzeugt eine effektive nichtlineare Spin-Spin-Selbstwechselwirkung, die in fermionischer Materie bei extrem hohen Dichten signifikant wird . Eine derartige Wechselwirkung ist gemutmaßt die Einzahl Big Bang mit einer höckerartigen ersetzen Big Bounce auf einem Minimum , aber endliche Skalierfaktor , vor dem das beobachtbare Universum Auftraggeber war. Dieses Szenario erklärt auch, warum das gegenwärtige Universum auf den größten Skalen räumlich flach, homogen und isotrop erscheint und eine physikalische Alternative zur kosmischen Inflation darstellt . Durch Torsion können Fermionen räumlich statt "punktförmig" ausgedehnt werden , was dazu beiträgt, die Bildung von Singularitäten wie Schwarzen Löchern zu vermeiden und die ultraviolette Divergenz in der Quantenfeldtheorie zu beseitigen . Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie bildet der Gravitationskollaps einer ausreichend kompakten Masse ein singuläres Schwarzes Loch. In der Einstein-Cartan-Theorie erreicht der Kollaps stattdessen einen Sprung und bildet eine regelmäßige Einstein-Rosen-Brücke ( Wurmloch ) zu einem neuen, wachsenden Universum auf der anderen Seite des Ereignishorizonts .

Siehe auch

Verweise

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