Einstein-Feldgleichungen - Einstein field equations

Generelle Relativität
${\displaystyle G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}={8\pi G\over c^{4}}T_{\mu\nu}}$
Einführung Geschichte Mathematische Formulierung Tests
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In der Allgemeinen Relativitätstheorie beziehen die Einstein-Feldgleichungen ( EFE ; auch bekannt als Einstein-Gleichungen ) die Geometrie der Raumzeit auf die Verteilung der Materie darin.

Die Gleichungen wurden erstmals 1915 von Einstein in Form einer Tensorgleichung veröffentlicht, die das lokale Raum - Zeit - Krümmung (durch den ausgedrücktEinsteinTensor) mit der lokalen Energie,Schwungund Spannung in dieser RaumZeit (durch den ausgedrücktEnergie-Impuls-Tensor).

Analog wie elektromagnetische Felder über die Maxwell-Gleichungen mit der Verteilung von Ladungen und Strömen in Beziehung gesetzt werden , beziehen die EFE die Raumzeitgeometrie auf die Verteilung von Masse-Energie, Impuls und Spannung, dh sie bestimmen den metrischen Tensor der Raumzeit für a gegebene Anordnung von Spannung-Energie-Impuls in der Raumzeit. Die Beziehung zwischen dem metrischen Tensor und dem Einstein-Tensor ermöglicht es, das EFE bei dieser Verwendung als Satz nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zu schreiben . Die Lösungen des EFE sind die Komponenten des metrischen Tensors. Die Trägheitsbahnen von Partikeln und Strahlung ( Geodäten ) in der resultierenden Geometrie werden dann mit der geodätischen Gleichung berechnet .

Die EFE implizieren nicht nur die lokale Energie-Impuls-Erhaltung, sondern reduzieren sich auch auf das Newtonsche Gravitationsgesetz im Grenzbereich eines schwachen Gravitationsfeldes und Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind .

Exakte Lösungen für das EFE können nur unter vereinfachenden Annahmen wie Symmetrie gefunden werden . Spezielle Klassen exakter Lösungen werden am häufigsten untersucht, da sie viele Gravitationsphänomene wie rotierende Schwarze Löcher und das expandierende Universum modellieren . Eine weitere Vereinfachung wird erreicht , indem die Raumzeit so angenähert wird , dass sie nur geringe Abweichungen von der flachen Raumzeit aufweist , was zu dem linearisierten EFE führt . Diese Gleichungen werden verwendet, um Phänomene wie Gravitationswellen zu untersuchen .

Mathematische Form

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Die Einstein-Feldgleichungen (EFE) können in der Form geschrieben werden:

wobei G _μν der Einstein-Tensor ist , g _μν der metrische Tensor ist , T _μν der Spannungs-Energie-Tensor ist , Λ die kosmologische Konstante und κ die Einstein-Gravitationskonstante ist.

Der Einstein-Tensor ist definiert als

${\displaystyle G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu\nu},}$

wobei R _μν der Ricci-Krümmungstensor und R die skalare Krümmung ist . Dies ist ein symmetrischer Tensor zweiten Grades, der nur vom metrischen Tensor und seinen ersten und zweiten Ableitungen abhängt.

Die Einstein-Gravitationskonstante ist definiert als

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2,077\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$

wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Das EFE kann somit auch geschrieben werden als

${\displaystyle R_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}.}$

In Standardeinheiten hat jeder Term auf der linken Seite Einheiten von 1/Länge ² .

Der Ausdruck auf der linken Seite repräsentiert die Krümmung der Raumzeit, wie sie durch die Metrik bestimmt wird; der Ausdruck auf der rechten Seite repräsentiert den Spannungs-Energie-Impuls-Gehalt der Raumzeit. Das EFE kann dann als eine Reihe von Gleichungen interpretiert werden, die vorschreiben, wie Spannung-Energie-Impuls die Krümmung der Raumzeit bestimmt.

Diese Gleichungen bilden zusammen mit der geodätischen Gleichung , die bestimmt, wie sich frei fallende Materie durch die Raumzeit bewegt, den Kern der mathematischen Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie .

Der EFE ist eine Tensorgleichung, die sich auf einen Satz symmetrischer 4 × 4 Tensoren bezieht . Jeder Tensor hat 10 unabhängige Komponenten. Die vier Bianchi-Identitäten reduzieren die Anzahl der unabhängigen Gleichungen von 10 auf 6, so dass die Metrik mit vier maßfixierenden Freiheitsgraden verbleibt , die der Freiheit bei der Wahl eines Koordinatensystems entsprechen.

Obwohl die Einsteinschen Feldgleichungen ursprünglich im Kontext einer vierdimensionalen Theorie formuliert wurden, haben einige Theoretiker ihre Konsequenzen in n Dimensionen untersucht. Die Gleichungen in Kontexten außerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie werden immer noch als Einstein-Feldgleichungen bezeichnet. Die Vakuumfeldgleichungen (erhalten, wenn T _μν überall Null ist) definieren Einstein-Mannigfaltigkeiten .

Die Gleichungen sind komplexer als sie erscheinen. Bei einer vorgegebenen Verteilung von Materie und Energie in Form eines Spannungs-Energie-Tensors werden die EFE als Gleichungen für den metrischen Tensor g _{μν verstanden} , da sowohl der Ricci-Tensor als auch die skalare Krümmung auf komplizierte nichtlineare Weise von der Metrik abhängen. Wenn sie vollständig ausgeschrieben sind, sind die EFE ein System von zehn gekoppelten, nichtlinearen, hyperbolisch-elliptischen partiellen Differentialgleichungen .

Unterzeichnungskonvention

Die obige Form des EFE ist der von Misner, Thorne und Wheeler (MTW) festgelegte Standard . Die Autoren analysierten bestehende Konventionen und klassifizierten diese nach drei Zeichen ([S1] [S2] [S3]):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu\nu}&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{ \mu}}_{\alpha\beta\gamma}&=[S2]\times \left(\Gamma_{\alpha\gamma,\beta}^{\mu}-\Gamma_{\alpha\beta , \gamma}^{\mu}+\Gamma_{\sigma\beta}^{\mu}\Gamma_{\gamma\alpha}^{\sigma}-\Gamma_{\sigma\gamma}^{\ mu}\Gamma_{\beta\alpha}^{\sigma}\right)\\[6pt]G_{\mu\nu}&=[S3]\times \kappa T_{\mu\nu}\end{ ausgerichtet}}}$

Das dritte Zeichen oben hängt mit der Wahl der Konvention für den Ricci-Tensor zusammen:

${\displaystyle R_{\mu\nu}=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha}}_{\mu\alpha\nu}}$

Mit diesen Definitionen klassifizieren sich Misner, Thorne und Wheeler als (+ + +) , während Weinberg (1972) (+ − −) ist , Peebles (1980) und Efstathiou et al. (1990) sind (− + +) , Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) und Peacock (1999) sind (− + −) .

Autoren einschließlich Einstein haben in ihrer Definition für den Ricci-Tensor ein anderes Vorzeichen verwendet, was dazu führt, dass das Vorzeichen der Konstanten auf der rechten Seite negativ ist:

${\displaystyle R_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}. }$

Das Vorzeichen des kosmologischen Begriff würde beide ändern in diesen Versionen , wenn die (+ - - -) metrische Zeichenkonvention verwendet wird statt der MTW (- + + +) metric Vorzeichenkonvention hier angenommen.

Äquivalente Formulierungen

Wenn man die Spur in Bezug auf die Metrik beider Seiten des EFE nimmt, erhält man

${\displaystyle R-{\frac{D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$

wobei D die Raumzeitdimension ist. Wenn man nach R auflöst und dieses im ursprünglichen EFE einsetzt, erhält man die folgende äquivalente "trace-reversed" Form:

${\displaystyle R_{\mu\nu}-{\frac{2}{D-2}}\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa\left(T_{\mu\nu}-{\frac { 1}{D-2}}Tg_{\mu\nu}\right).}$

In D = 4 Dimensionen reduziert sich dies auf

${\displaystyle R_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa\left(T_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}T\,g_{\ mu \nu }\right).}$

Eine erneute Umkehrung des Trace würde das ursprüngliche EFE wiederherstellen. Die spurumgekehrte Form kann in einigen Fällen bequemer sein (z. B. wenn man an der Schwachfeldgrenze interessiert ist und g _μν im rechten Ausdruck ohne signifikanten Genauigkeitsverlust durch die Minkowski-Metrik ersetzen kann ).

Die kosmologische Konstante

In den Einsteinschen Feldgleichungen

${\displaystyle G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\,,}$

der Begriff des enthält kosmologische Konstante Λ war aus der Fassung fehlt , in dem er sich ursprünglich veröffentlicht. Einstein fügte den Begriff dann in die kosmologische Konstante ein, um ein Universum zu berücksichtigen, das sich nicht ausdehnt oder zusammenzieht . Dieser Versuch war erfolglos, weil:

• jede gewünschte stationäre Lösung, die durch diese Gleichung beschrieben wird, ist instabil, und
• Beobachtungen von Edwin Hubble zeigten, dass sich unser Universum ausdehnt .

Einstein gab dann Λ auf und bemerkte gegenüber George Gamow, "dass die Einführung des kosmologischen Begriffs der größte Fehler seines Lebens war".

Die Aufnahme dieses Begriffs schafft keine Inkonsistenzen. Viele Jahre lang wurde die kosmologische Konstante fast allgemein als Null angenommen. Neuere astronomische Beobachtungen haben eine beschleunigte Expansion des Universums gezeigt , und um dies zu erklären, wird ein positiver Wert von Λ benötigt. Die kosmologische Konstante ist im Maßstab einer Galaxie oder kleiner vernachlässigbar.

Einstein stellte sich die kosmologische Konstante als unabhängigen Parameter vor, ihr Term in der Feldgleichung kann aber auch algebraisch auf die andere Seite verschoben und als Teil des Spannungs-Energie-Tensors aufgenommen werden:

${\displaystyle T_{\mu\nu}^{\mathrm {(vac)}}=-{\frac {\Lambda }{\kappa}}g_{\mu\nu}\,.}$

Dieser Tensor beschreibt einen Vakuumzustand mit einer Energiedichte ρ _vac und einem isotropen Druck p _vac , die feste Konstanten sind und gegeben sind durch

${\displaystyle \rho_{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa}},}$

wobei angenommen wird, dass Λ die SI-Einheit m ^{−2 hat} und κ wie oben definiert ist.

Die Existenz einer kosmologischen Konstante ist somit gleichbedeutend mit der Existenz einer Vakuumenergie und eines Drucks mit entgegengesetztem Vorzeichen. Dies hat dazu geführt, dass die Begriffe "kosmologische Konstante" und "Vakuumenergie" in der Allgemeinen Relativitätstheorie austauschbar verwendet werden.

Merkmale

Erhaltung von Energie und Impuls

Die allgemeine Relativitätstheorie steht im Einklang mit der lokalen Energie- und Impulserhaltung, ausgedrückt als

${\displaystyle \nabla_{\beta}T^{\alpha\beta}={T^{\alpha\beta}}_{;\beta}=0}$.

Herleitung der lokalen Energie-Impulserhaltung

Kontrahieren der differentiellen Bianchi-Identität ${\displaystyle R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\varepsilon]}=0}$ mit g αβ ergibt unter Verwendung der Tatsache, dass der metrische Tensor kovariant konstant ist, dh g αβ ;γ = 0 , ${\displaystyle {R^{\gamma}}_{\beta\gamma\delta ;\varepsilon}+{R^{\gamma}}_{\beta\varepsilon\gamma;\delta }+{R^{\ gamma}}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}=\,0}$ Die Antisymmetrie des Riemann-Tensors erlaubt es, den zweiten Term im obigen Ausdruck umzuschreiben: ${\displaystyle {R^{\gamma}}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon}-{R^{\gamma}}_{\beta\gamma\varepsilon;\delta }+{R^{\ gamma}}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}=0}$ was äquivalent zu ist ${\displaystyle R_{\beta\delta;\varepsilon}-R_{\beta\varepsilon;\delta}+{R^{\gamma}}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}=0}$ unter Verwendung der Definition des Ricci-Tensors . Als nächstes kontrahieren Sie erneut mit der Metrik ${\displaystyle g^{\beta\delta}\left(R_{\beta\delta;\varepsilon}-R_{\beta\varepsilon;\delta}+{R^{\gamma}}_{\beta\delta \varepsilon ;\gamma}\right)=0}$ bekommen ${\displaystyle {R^{\delta}}_{\delta;\varepsilon}-{R^{\delta}}_{\varepsilon;\delta}+{R^{\gamma\delta}}_{\ Delta \varepsilon ;\gamma}=0}$ Die Definitionen des Ricci-Krümmungstensors und der skalaren Krümmung zeigen dann, dass ${\displaystyle R_{;\varepsilon}-2{R^{\gamma}}_{\varepsilon;\gamma}=0}$ was umgeschrieben werden kann als ${\displaystyle \left({R^{\gamma}}_{\varepsilon}-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma}}_{\varepsilon}R\right)_{; \gamma}=0}$ Eine abschließende Kontraktion mit g εδ ergibt ${\displaystyle \left(R^{\gamma\delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma\delta }R\right)_{;\gamma}=0}$ was durch die Symmetrie des eingeklammerten Termes und die Definition des Einstein-Tensors nach Umbenennung der Indizes ergibt, ${\displaystyle {G^{\alpha\beta}}_{;\beta}=0}$ Unter Verwendung des EFE ergibt dies sofort, ${\displaystyle \nabla_{\beta}T^{\alpha\beta}={T^{\alpha\beta}}_{;\beta}=0}$

was die lokale Erhaltung der Stress-Energie ausdrückt. Dieses Erhaltungsgesetz ist eine physikalische Voraussetzung. Einstein stellte mit seinen Feldgleichungen sicher, dass die Allgemeine Relativitätstheorie mit dieser Erhaltungsbedingung vereinbar ist.

Nichtlinearität

Die Nichtlinearität des EFE unterscheidet die Allgemeine Relativitätstheorie von vielen anderen fundamentalen physikalischen Theorien. Zum Beispiel sind die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus in den elektrischen und magnetischen Feldern sowie in den Ladungs- und Stromverteilungen linear (dh die Summe zweier Lösungen ist auch eine Lösung); ein weiteres Beispiel ist die Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik , die in der Wellenfunktion linear ist .

Das Korrespondenzprinzip

Die EFE reduzieren sich auf das Newtonsche Gravitationsgesetz, indem sowohl die Schwachfeldnäherung als auch die Zeitlupennäherung verwendet wird . Tatsächlich wird die im EFE auftretende Konstante G durch diese beiden Näherungen bestimmt.

Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetzes

Newtonsche Gravitation kann als die Theorie eines skalaren Feldes geschrieben werden, Φ , die in Joule pro Kilogramm des Gravitationsfeldes das Gravitationspotential ist g = -∇Φ , siehe Schwere Gaußschen Gesetz ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$ wobei ρ die Massendichte ist. Die Umlaufbahn eines frei fallenden Teilchens erfüllt ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla\Phi\left({\vec{x}}(t),t\right)\ ,.}$ In Tensornotation werden diese zu ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Phi_{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}& =-\Phi_{,i}\,.\end{ausgerichtet}}}$ In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden diese Gleichungen durch die Einstein-Feldgleichungen in der spurumgekehrten Form ersetzt ${\displaystyle R_{\mu\nu}=K\left(T_{\mu\nu}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu\nu}\right)}$ für eine Konstante K und die geodätische Gleichung ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha}}{d\tau^{2}}}=-\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}{\frac {dx ^{\beta}}{d\tau}}{\frac{dx^{\gamma}}{d\tau}}\,.}$ Um zu sehen, wie sich letzteres auf ersteres reduziert, nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit des Testteilchens ungefähr null ist ${\displaystyle {\frac {dx^{\beta}}{d\tau}}\approx \left({\frac {dt}{d\tau}},0,0,0\right)}$ und somit ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau}}\right)\approx 0}$ und dass die Metrik und ihre Ableitungen näherungsweise statisch sind und dass die Quadrate der Abweichungen von der Minkowski-Metrik vernachlässigbar sind. Die Anwendung dieser vereinfachenden Annahmen auf die räumlichen Komponenten der geodätischen Gleichung ergibt ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma_{00}^{i}}$ wobei zwei Faktoren von dt/dτwurden ausgeteilt. Dies wird auf sein Newtonsches Gegenstück reduziert, vorausgesetzt ${\displaystyle \Phi_{,i}\approx \Gamma_{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha}\left(g_{\alpha 0,0 }+g_{0\alpha,0}-g_{00,\alpha}\rechts)\,.}$ Unsere Annahmen zwingen α = i und die Zeit (0) Ableitungen zu Null. Das vereinfacht sich also zu ${\displaystyle 2\Phi_{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$ was durch das Vermieten befriedigt wird ${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi\,.}$ Wenden wir uns den Einstein-Gleichungen zu, wir brauchen nur die Zeit-Zeit-Komponente ${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$ die Annahmen für niedrige Geschwindigkeit und statisches Feld implizieren, dass ${\displaystyle T_{\mu\nu}\approx \mathrm {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \mathrm {diag} \left(\rho c^{4} ,0,0,0\rechts)\,.}$ So ${\displaystyle T=g^{\alpha\beta}T_{\alpha\beta}\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$ und somit ${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{ 2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4 }\,.}$ Aus der Definition des Ricci-Tensors ${\displaystyle R_{00}=\Gamma_{00,\rho}^{\rho}-\Gamma_{\rho 0,0}^{\rho}+\Gamma_{\rho\lambda}^{ \rho}\Gamma_{00}^{\lambda}-\Gamma_{0\lambda}^{\rho}\Gamma_{\rho 0}^{\lambda}.}$ Unsere vereinfachenden Annahmen lassen die Quadrate von Γ zusammen mit den Zeitableitungen . verschwinden ${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma_{00,i}^{i}\,.}$ Kombinieren der obigen Gleichungen zusammen ${\displaystyle \Phi_{,ii}\approx \Gamma_{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}} Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$ die sich auf die bereitgestellte Newtonsche Feldgleichung reduziert ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho\,}$ was passiert, wenn ${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$

Vakuumfeldgleichungen

Ist der Energie-Impuls-Tensor T _μν im betrachteten Bereich Null, so werden die Feldgleichungen auch als Vakuumfeldgleichungen bezeichnet . Durch die Einstellung T _μν = 0 in der Spur umgekehrten Feldgleichungen können die Vakuumgleichungen geschrieben werden als

${\displaystyle R_{\mu\nu}=0\,.}$

Im Fall einer kosmologischen Konstante ungleich Null sind die Gleichungen

${\displaystyle R_{\mu\nu}={\frac {\Lambda }{{\frac{D}{2}}-1}}g_{\mu\nu}\,.}$

Die Lösungen der Vakuumfeldgleichungen werden Vakuumlösungen genannt . Der flache Minkowski-Raum ist das einfachste Beispiel für eine Vakuumlösung. Nichttriviale Beispiele sind die Schwarzschild-Lösung und die Kerr-Lösung .

Mannigfaltigkeiten mit verschwindendem Ricci-Tensor , R _μν = 0 , werden als Ricci-flache Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit einem Ricci-Tensor proportional zur Metrik als Einstein-Mannigfaltigkeiten bezeichnet .

Einstein-Maxwell-Gleichungen

Ist der Energie-Impuls-Tensor T _μν der eines elektromagnetischen Feldes im freien Raum , dh ist der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor

${\displaystyle T^{\alpha\beta}=\,-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left({F^{\alpha}}^{\psi }{F_{\ psi }}^{\beta}+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau}\right)}$

verwendet wird, heißen die Einstein-Feldgleichungen Einstein-Maxwell-Gleichungen (mit der kosmologischen Konstante Λ , die in der konventionellen Relativitätstheorie als Null angenommen wird):

${\displaystyle G^{\alpha\beta}+\Lambda g^{\alpha\beta}={\frac {\kappa}{\mu_{0}}}\left({F^{\alpha}} ^{\psi }{F_{\psi}}^{\beta}+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau }\rechts).}$

Darüber hinaus sind die kovarianten Maxwell-Gleichungen auch im freien Raum anwendbar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha\beta}}_{;\beta}&=0\\F_{[\alpha\beta;\gamma]}&={\tfrac {1} {3}}\left(F_{\alpha\beta;\gamma}+F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)={\tfrac {1}{ 3}}\left(F_{\alpha\beta,\gamma}+F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)=0.\end{ausgerichtet}} }$

wo steht das Semikolon eine kovariante Ableitung , und die Klammern bezeichnen anti-Symmetrisierung . Die erste Gleichung besagt, dass die 4- Divergenz der 2-Form F null ist und die zweite, dass ihre äußere Ableitung null ist. Aus letzterem folgt nach dem Poincaré-Lemma, dass es möglich ist, in ein Koordinatendiagramm ein elektromagnetisches Feldpotential A _α einzuführen, so dass

${\displaystyle F_{\alpha\beta}=A_{\alpha;\beta}-A_{\beta;\alpha}=A_{\alpha,\beta}-A_{\beta,\alpha}}$

wobei das Komma eine partielle Ableitung bezeichnet. Dies wird oft als Äquivalent zur kovarianten Maxwell-Gleichung angesehen, aus der sie abgeleitet wird. Es gibt jedoch globale Lösungen der Gleichung, denen möglicherweise ein global definiertes Potenzial fehlt.

Lösungen

Die Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen sind Metriken der Raumzeit . Diese Metriken beschreiben die Struktur der Raumzeit einschließlich der Trägheitsbewegung von Objekten in der Raumzeit. Da die Feldgleichungen nichtlinear sind, können sie nicht immer vollständig (dh ohne Näherungen) gelöst werden. Zum Beispiel gibt es keine bekannte vollständige Lösung für eine Raumzeit mit zwei massereichen Körpern (die zum Beispiel ein theoretisches Modell eines Doppelsternsystems ist). In diesen Fällen werden jedoch in der Regel Näherungen vorgenommen. Diese werden allgemein als post-newtonsche Näherungen bezeichnet . Trotzdem gibt es mehrere Fälle, in denen die Feldgleichungen vollständig gelöst wurden, und diese werden als exakte Lösungen bezeichnet .

Das Studium der exakten Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen gehört zu den Aktivitäten der Kosmologie . Sie führt zur Vorhersage von Schwarzen Löchern und zu verschiedenen Modellen der Evolution des Universums .

Neue Lösungen der Einstein-Feldgleichungen kann man auch über die Methode der Orthonormal-Frames, wie sie von Ellis und MacCallum entwickelt wurde, entdecken. Bei diesem Ansatz werden die Einstein-Feldgleichungen auf einen Satz gekoppelter, nichtlinearer, gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert. Wie von Hsu und Wainwright diskutiert, sind selbstähnliche Lösungen der Einstein-Feldgleichungen Fixpunkte des resultierenden dynamischen Systems . Mit diesen Methoden wurden von LeBlanc und Kohli und Haslam neue Lösungen entdeckt.

Das linearisierte EFE

Die Nichtlinearität des EFE macht es schwierig, exakte Lösungen zu finden. Eine Möglichkeit, die Feldgleichungen zu lösen, besteht darin, eine Näherung vorzunehmen, nämlich dass das Gravitationsfeld weit entfernt von der (den) Quelle(n) der gravitierenden Materie sehr schwach ist und die Raumzeit sich der des Minkowski-Raums annähert . Die Metrik wird dann als Summe der Minkowski-Metrik und eines Termes geschrieben, der die Abweichung der wahren Metrik von der Minkowski-Metrik darstellt , wobei Terme mit höherer Potenz ignoriert werden. Mit diesem Linearisierungsverfahren lassen sich die Phänomene der Gravitationsstrahlung untersuchen .

Polynomform

Obwohl die EFE in der geschriebenen Form die Inverse des metrischen Tensors enthält, können sie in einer Form angeordnet werden, die den metrischen Tensor in polynomialer Form und ohne seine Inverse enthält. Zuerst kann die Determinante der Metrik in 4 Dimensionen geschrieben werden

${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}g_{\alpha\ kappa }g_{\beta\lambda}g_{\gamma\mu}g_{\delta\nu}}$

Verwendung des Levi-Civita-Symbols ; und die Umkehrung der Metrik in 4 Dimensionen kann wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle g^{\alpha\kappa}={\frac{{\tfrac{1}{6}}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\ nu}g_{\beta\lambda}g_{\gamma\mu}g_{\delta\nu}}{\det(g)}}\,.}$

Setzt man diese Definition der Inversen der Metrik in die Gleichungen ein und multipliziert dann beide Seiten mit einer geeigneten Potenz von det( g ) , um sie aus dem Nenner zu eliminieren, erhält man Polynomgleichungen im Metriktensor und seine ersten und zweiten Ableitungen. Die Aktion, aus der die Gleichungen abgeleitet werden, kann durch geeignete Umdefinitionen der Felder auch in polynomischer Form geschrieben werden.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Siehe Allgemeine Relativitätstheorie-Ressourcen .

• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Weinberg, Steven (1972). Gravitation und Kosmologie . John Wiley & Söhne. ISBN 0-471-92567-5.
• Pfau, John A. (1999). Kosmologische Physik . Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.

Externe Links

• "Einstein-Gleichungen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Caltech Tutorial zur Relativität — Eine einfache Einführung in Einsteins Feldgleichungen.
• Die Bedeutung der Einsteinschen Gleichung — Eine Erklärung der Einsteinschen Feldgleichung, ihrer Herleitung und einiger ihrer Konsequenzen
• Videovortrag über Einsteins Feldgleichungen von MIT- Physikprofessor Edmund Bertschinger.
• Bogen und Gerüst: Wie Einstein seine Feldgleichungen fand Physics Today November 2015, Geschichte der Entwicklung der Feldgleichungen
• Die Einstein-Feldgleichung an der Wand des Museum Boerhaave in der Innenstadt von Leiden