Endomorphismusring - Endomorphism ring

In der Mathematik bilden die Endomorphismen einer abelschen Gruppe X einen Ring. Dieser Ring wird Endomorphismus-Ring X genannt , bezeichnet mit End( X ); die Menge aller Homomorphismen von X in sich. Die Addition von Endomorphismen erfolgt natürlich punktweise und die Multiplikation über die Endomorphismenzusammensetzung . Mit diesen Operationen bildet die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe einen (unitalen) Ring , mit der Nullabbildung als additive Identität und der Identitätsabbildung als multiplikative Identität . ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapstox}$

Die beteiligten Funktionen beschränken sich auf das, was im Kontext als Homomorphismus definiert wird, der von der Kategorie des betrachteten Objekts abhängt . Der Endomorphismusring kodiert folglich mehrere interne Eigenschaften des Objekts. Da das resultierende Objekt oft eine Algebra über einem Ring R ist, kann dies auch als Endomorphismusalgebra bezeichnet werden .

Eine abelsche Gruppe ist dasselbe wie ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen , dem Anfangsring . In ähnlicher Weise bilden die Endomorphismus-Monoide seiner Module , wenn R ein kommutativer Ring ist , Algebren über R nach denselben Axiomen und derselben Ableitung. Insbesondere dann , wenn R a Feld F , seine Module M sind Vektorräume V und ihre Endomorphismenringe sind algebras über das Feld F .

Beschreibung

Sei ( A , +) eine abelsche Gruppe und wir betrachten die Gruppenhomomorphismen von A nach A . Dann kann die Addition zweier solcher Homomorphismen punktweise definiert werden, um einen weiteren Gruppenhomomorphismus zu erzeugen. Explizit, wenn zwei solcher Homomorphismen f und g gegeben sind , ist die Summe von f und g der Homomorphismus . Unter dieser Operation ist End( A ) eine abelsche Gruppe. Mit der zusätzlichen Operation der Zusammensetzung von Homomorphismen ist End( A ) ein Ring mit multiplikativer Identität. Diese Zusammensetzung ist ausdrücklich . Die multiplikative Identität ist der Identitätshomomorphismus auf A . ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$

Wenn die Menge A keine abelsche Gruppe bildet, dann ist die obige Konstruktion nicht notwendigerweise additiv , da dann die Summe zweier Homomorphismen kein Homomorphismus sein muss. Dieser Satz von Endomorphismen ist ein kanonisches Beispiel für einen nahen Ring , der kein Ring ist.

Eigenschaften

• Endomorphismusringe haben immer additive und multiplikative Identitäten , bzw. die Nullkarte und die Identitätskarte .
• Endomorphismusringe sind assoziativ , aber typischerweise nicht kommutativ .
• Wenn ein Modul einfach ist , dann ist sein Endomorphismusring ein Divisionsring (dies wird manchmal als Schursches Lemma bezeichnet ).
• Ein Modul ist genau dann unzerlegbar, wenn sein Endomorphismusring keine nicht-trivialen idempotenten Elemente enthält . Wenn der Modul ein injektiver Modul ist , dann ist die Unzerlegbarkeit gleichbedeutend damit, dass der Endomorphismusring ein lokaler Ring ist .
• Bei einem halbeinfachen Modul ist der Endomorphismusring ein regulärer von Neumann-Ring .
• Der Endomorphismusring eines von Null verschiedenen rechts einreihigen Moduls hat entweder ein oder zwei maximale rechte Ideale. Ist der Modul artinisch, noethersch, projektiv oder injektiv, dann hat der Endomorphismusring ein eindeutiges maximales Ideal, so dass er ein lokaler Ring ist.
• Der Endomorphismusring eines einheitlichen Artinschen Moduls ist ein lokaler Ring.
• Der Endomorphismusring eines Moduls mit endlicher Zusammensetzungslänge ist ein Halbprimärring .
• Der Endomorphismusring eines kontinuierlichen Moduls oder diskreten Moduls ist ein sauberer Ring .
• Wenn ein R- Modul endlich erzeugt und projektiv ist ( dh ein Progenerator ), dann teilen der Endomorphismusring des Moduls und R alle Morita-invarianten Eigenschaften. Ein grundlegendes Ergebnis der Morita-Theorie ist, dass alle zu R äquivalenten Ringe als Endomorphismusringe von Progeneratoren entstehen.

Beispiele

• In der Kategorie der R - Module das Endomorphismenring einer R -Modul M wird den einzigen verwenden R Modul homomorphisms , die typischerweise eine echte Teilmenge des abelian gruppenhomomorphismus sind. Wenn M ein endlich erzeugter projektiver Modul ist , ist der Endomorphismusring von zentraler Bedeutung für die Morita-Äquivalenz der Modulkategorien.
• Für jede abelsche Gruppe , da jede Matrix in eine natürliche Homomorphismusstruktur wie folgt trägt:${\displaystyle A}$${\displaystyle M_{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$${\displaystyle M_{n}(\operatorname {Ende} (A))}$${\displaystyle A^{n}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi_{11}&\cdots &\varphi_{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi_{n1}&\cdots &\varphi_{nn} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n }\varphi_{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi_{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}. }$

Man kann diesen Isomorphismus verwenden, um viele nichtkommutative Endomorphismusringe zu konstruieren. Zum Beispiel: , seit .${\displaystyle \operatorname {Ende} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong M_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Ende} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

Auch wenn ein Körper ist, gibt es einen kanonischen Isomorphismus , dh der Endomorphismusring eines a- Vektorraums wird mit dem Ring von n- mal- n- Matrizen mit Einträgen in identifiziert . Allgemeiner gesagt ist die Endomorphismusalgebra des freien Moduls natürlich -durch- Matrizen mit Einträgen im Ring .${\displaystyle R=K}$${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong M_{n}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

• Als ein besonderes Beispiel für den letzten Punkt, für jeden Ring R mit der Einheit, End ( R _R ) = R , wobei die Elemente von R wirkt auf R nach links Multiplikation.
• Im Allgemeinen können Endomorphismusringe für die Objekte jeder präadditiven Kategorie definiert werden .

Anmerkungen

Verweise

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