Gleiches Temperament - Equal temperament

Ein Vergleich einiger gleicher Temperamente. Der Graph erstreckt sich horizontal über eine Oktave (öffnen Sie das Bild, um die volle Breite anzuzeigen), und jedes schattierte Rechteck entspricht der Breite eines Schritts in einer Skala. Die geraden Intervallverhältnisse sind in Reihen durch ihre Primgrenzen getrennt .
12-Ton gleichschwebende chromatische Tonleiter auf C, eine volle Oktave aufsteigend, nur mit Kreuzen notiert. Auf- und abspielenÜber diesen Ton 

Ein gleichschwebendes Temperament ist ein musikalisches Temperament oder ein Stimmungssystem , das nur Intervalle annähert, indem eine Oktave (oder ein anderes Intervall) in gleiche Schritte unterteilt wird. Dies bedeutet, dass das Verhältnis der Frequenzen jedes benachbarten Notenpaars gleich ist, was eine gleiche wahrgenommene Schrittweite ergibt, da die Tonhöhe grob als der Logarithmus der Frequenz wahrgenommen wird.

In der klassischen Musik und westliche Musik im Allgemeinen, die am häufigsten Tuning - System seit dem 18. Jahrhundert war Zwölftonmusik gleich Temperament (auch bekannt als 12 gleiches Temperament , 12-TET oder 12-ET ; informell abgekürzt zwölf gleich ), die dividieren die Oktave in 12 Teile, die alle auf einer gleichen sind logarithmisch gleich sind , mit einem Verhältnis zu dem 12. Wurzel von 2 ( 122 ≈ 1,05946). Das resultierende kleinste Intervall, 112 der Breite einer Oktave, wird Halbton- oder Halbtonschritt genannt . In westlichen Ländern bedeutet der Begriff gleichschwebend , ohne Einschränkung, im Allgemeinen 12-TET.

In der heutigen Zeit wird 12-TET normalerweise relativ zu einer Standardtonhöhe von 440 Hz gestimmt , die als A440 bezeichnet wird , was bedeutet, dass eine Note, A , auf 440 Hertz gestimmt ist und alle anderen Noten als ein Vielfaches von Halbtönen davon entfernt definiert sind, entweder höher oder niedriger in der Frequenz . Die Standardtonhöhe war nicht immer 440 Hz. Sie hat sich in den letzten hundert Jahren stark verändert und ist im Allgemeinen gestiegen.

Andere gleichtemperierte Stimmungen teilen die Oktave anders auf. Zum Beispiel wurde einige Musik in 19-TET und 31-TET geschrieben , während das arabische Tonsystem 24-TET verwendet.

Anstatt eine Oktave zu teilen, kann eine gleichtemperierte Stimmung auch ein anderes Intervall teilen, wie die gleichtemperierte Version der Bohlen-Pierce-Skala , die das gerechte Intervall einer Oktave und einer Quinte (Verhältnis 3:1) teilt, die als " tritave“oder eine‚ pseudo-Oktave ‘in diesem System in 13 gleiche Teile.

Für Stimmsysteme, die die Oktave gleichmäßig aufteilen, aber keine Annäherungen an nur Intervalle sind, kann der Begriff gleichmäßige Aufteilung der Oktave oder EDO verwendet werden.

Bundfrei Streicherensembles , die die Abstimmung aller Noten mit Ausnahme einstellen offene Saiten und Gesangsgruppen, die keine mechanische Abstimmung mit Einschränkungen verbunden , verwenden manchmal eine Abstimmung viel näher an nur Intonation aus akustischen Gründen. Andere Instrumente, wie einige Blas- , Tasten- und Bundinstrumente , sind oft nur annähernd gleich temperiert, wo technische Einschränkungen eine genaue Stimmung verhindern. Einige Blasinstrumente, die ihren Ton leicht und spontan biegen können, insbesondere Posaunen , verwenden eine ähnliche Stimmung wie Streicherensembles und Gesangsgruppen.

Ein Vergleich gleicher Temperamente zwischen 10-TET und 60-TET auf jedem Hauptintervall kleiner Primgrenzen (Rot: 3/2, Grün: 5/4, Indigo: 7/4, Gelb: 11/8, Cyan: 13/ 8). Jedes farbige Diagramm zeigt an, wie viel Fehler (in Cent) bei der nächsten Annäherung des entsprechenden geraden Intervalls (der schwarzen Linie in der Mitte) auftritt. Zwei schwarze Kurven, die den Graphen auf beiden Seiten umgeben, stellen den maximal möglichen Fehler dar, während die grauen darin die Hälfte anzeigen.

Allgemeine Eigenschaften

Bei einer gleichtemperierten Stimmung ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Stufen der Skala das gleiche Intervall . Da die wahrgenommene Identität eines Intervalls von seinem Verhältnis abhängt , ist diese Skala in geraden Schritten eine geometrische Folge von Multiplikationen. (Eine arithmetische Folge von Intervallen würde nicht gleichmäßig beabstandet klingen und würde keine Transponierung in verschiedene Tonarten erlauben.) Genauer gesagt ist das kleinste Intervall in einer gleichtemperierten Tonleiter das Verhältnis:

wobei das Verhältnis r das Verhältnis p (typischerweise die Oktave , die 2:1) in n gleiche Teile teilt . ( Siehe Zwölfton gleichschwebend temperamentvoll unten. )

Tonleitern werden oft in Cents gemessen , die die Oktave in 1200 gleiche Intervalle (jeweils Cent genannt) unterteilen. Diese logarithmische Skala macht den Vergleich verschiedener Stimmsysteme einfacher als den Vergleich von Verhältnissen und hat in der Ethnomusikologie beträchtlichen Nutzen . Den Grundschritt in Cent für jede gleichschwebende Stimmung kann man finden, indem man die Breite von p oben in Cent (normalerweise die Oktave, die 1200 Cent breit ist), unten w genannt , in n Teile teilt :

In der Musikanalyse wird Material, das zu einer gleichtemperierten Stimmung gehört, oft eine ganzzahlige Notation gegeben , was bedeutet, dass eine einzelne ganze Zahl verwendet wird, um jede Tonhöhe darzustellen. Dies vereinfacht und verallgemeinert die Diskussion des Tonhöhenmaterials innerhalb des Temperaments auf die gleiche Weise, wie der Logarithmus einer Multiplikation sie auf eine Addition reduziert. Darüber hinaus können diese ganzen Zahlen durch Anwendung der modularen Arithmetik, bei der der Modul die Anzahl der Oktavteilungen ist (normalerweise 12), auf Tonhöhenklassen reduziert werden , was den Unterschied (oder die Ähnlichkeit) zwischen Tonhöhen desselben Namens aufhebt, z c ist 0, unabhängig vom Oktavregister. Der MIDI- Kodierungsstandard verwendet ganzzahlige Notenbezeichnungen.

Allgemeine Formeln für das temperierte Intervall

Zwölfton gleich temperiert

12-Ton-Equal Temperament, das die Oktave in zwölf gleich große Intervalle unterteilt, ist das heute am häufigsten verwendete Musiksystem, insbesondere in der westlichen Musik.

Geschichte

Die beiden Figuren, denen die exakte Berechnung der Temperamentgleichheit häufig zugeschrieben wird, sind Zhu Zaiyu (auch romanisiert als Chu-Tsaiyu. Chinesisch:朱載堉) im Jahr 1584 und Simon Stevin im Jahr 1585. Laut Fritz A. Kuttner, einem Kritiker der Theorie ist bekannt, dass "Chu-Tsaiyu 1584 eine hochpräzise, ​​einfache und geniale Methode zur arithmetischen Berechnung gleichschwebender Monochords präsentierte" und dass "Simon Stevin eine mathematische Definition von gleichschwebender Temperatur plus eine etwas ungenauere Berechnung von die entsprechenden Zahlenwerte im Jahr 1585 oder später." Die Entwicklungen erfolgten unabhängig voneinander.

Kenneth Robinson schreibt Zhu Zaiyu die Erfindung der Temperamentsgleichheit zu und liefert Textzitate als Beweise. Zhu Zaiyu wird mit den Worten zitiert, dass ich in einem Text aus dem Jahr 1584 ein neues System gegründet habe finden Sie die genauen Zahlen für die Pitchpipers in zwölf Operationen." Kuttner widerspricht und bemerkt, dass seine Behauptung "ohne wesentliche Einschränkungen nicht als richtig angesehen werden kann". Kuttner schlägt vor, dass weder Zhu Zaiyu noch Simon Stevin das gleiche Temperament erreichten und keiner von beiden als Erfinder behandelt werden sollte.

China

Zhu Zaiyu's gleichtemperierte Stimmpfeifen

Während China zuvor Näherungen für 12-TET entwickelt hatte, war Zhu Zaiyu der erste Mensch, der die gleichschwebende Zwölfton- Temperatur mathematisch löste, die er in seiner Fusion von Musik und Kalender 1580 und dem vollständigen Kompendium von Musik und Tonhöhe beschrieb ( Yuelü quan shu樂律全書) im Jahr 1584. Eine ausführliche Darstellung gibt auch Joseph Needham. Zhu erhalten sein Ergebnis mathematisch durch die Länge der Kettenteilungs und Rohres nacheinander von 122 ≈ 1,059463, und für die Rohrlänge von 242 , so dass nach zwölf Unterteilungen (eine Oktave) die Länge um einen Faktor von 2 geteilt wurde.

Zhu Zaiyu schuf mehrere auf sein System abgestimmte Instrumente, darunter Bambuspfeifen.

Europa

Einige der ersten Europäer, die sich für gleichschwebendes Temperament einsetzten, waren die Lautenisten Vincenzo Galilei , Giacomo Gorzanis und Francesco Spinacino , die alle darin Musik schrieben.

Simon Stevin war der erste, der 12-TET basierend auf der zwölften Wurzel von zwei entwickelte , die er in Van De Spiegheling der singconst (ca. 1605) beschrieb, das fast drei Jahrhunderte später im Jahr 1884 posthum veröffentlicht wurde.

Seit mehreren Jahrhunderten verwendet Europa eine Vielzahl von Tuning - Systeme, darunter 12 gleich Temperament sowie meantone Temperament und gut Temperament , von denen jede als eine Annäherung der ehemaligen betrachtet werden können. Zupfinstrumentenspieler (Lautenisten und Gitarristen) bevorzugten im Allgemeinen eine gleichschwebende Stimmung, während andere eher gespalten waren. Am Ende setzte sich die zwölftönige gleichschwebende Stimmung durch. Dies ermöglichte es, neue Stile der symmetrischen Tonalität und Polytonalität , atonale Musik, wie sie mit der Zwölftontechnik oder dem Serialismus geschrieben wurde , und Jazz (zumindest seine Klavierkomponente) zu entwickeln und zu florieren.

Mathematik

Eine Oktave von 12-Tett auf einem Monochord

Bei der gleichtemperierten Zwölftonstimmung, die die Oktave in 12 gleiche Teile teilt, ist die Breite eines Halbtons , also das Frequenzverhältnis des Intervalls zwischen zwei benachbarten Tönen, die Zwölftelwurzel von zwei :

Dies ist äquivalent zu:

Dieses Intervall ist in 100 Cent unterteilt .

Berechnung absoluter Häufigkeiten

Um die Frequenz P n einer Note in 12-TET zu finden, kann die folgende Definition verwendet werden:

In dieser Formel bezieht sich P n auf die Tonhöhe oder Frequenz (normalerweise in Hertz ), die Sie versuchen zu finden. P a bezieht sich auf die Frequenz einer Referenztonhöhe. n und a beziehen sich auf Zahlen, die der gewünschten Tonhöhe bzw. der Referenztonhöhe zugeordnet sind. Diese beiden Zahlen stammen aus einer Liste von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, die aufeinanderfolgenden Halbtönen zugeordnet sind. Zum Beispiel ist A 4 (die Referenztonhöhe) die 49. Taste vom linken Ende eines Klaviers (auf 440 Hz gestimmt ), und C 4 ( mittleres C ) und F# 4 sind die 40. bzw. 46. Taste. Diese Zahlen können verwendet werden, um die Häufigkeit von C 4 und F# 4 zu finden  :

Konvertieren von Frequenzen in ihre gleichtemperierten Gegenstücke

Um eine Frequenz (in Hz) in ihr gleiches 12-TET-Gegenstück umzuwandeln, kann die folgende Formel verwendet werden:

Wobei sich E n auf die Frequenz einer Tonhöhe in gleichschwebender Stimmung bezieht und a auf die Frequenz einer Referenztonhöhe bezieht. Zum Beispiel (wenn wir die Referenztonhöhe gleich 440 Hz lassen) können wir sehen, dass E 5 und C# 5 jeweils den folgenden Frequenzen entsprechen:

Vergleich mit reiner Intonation

Die Intervalle von 12-TET kommen einigen Intervallen in reiner Intonation sehr nahe . Die Quinten und Quarten sind fast ununterscheidbar nah an geraden Intervallen, während Terzen und Sexten weiter entfernt sind.

In der folgenden Tabelle werden die Größen verschiedener gerechter Intervalle mit ihren gleichmütigen Gegenstücken verglichen, sowohl als Verhältnis als auch in Cent angegeben .

Intervallname Genauer Wert in 12-TET Dezimalwert in 12-TET Cent Nur Intonationsintervall Cent in nur Intonation Unterschied
Unisono ( C ) 2 012 = 1 1 0 11 = 1 0 0
Augmented Unisono/Kleine Sekunde ( C / D ) 2 112 = 122 1.059463 100 1615 = 1,066... 111,73 -11.73
Große Sekunde ( D ) 2 212 = 62 1.122462 200 98 = 1,125 203,91 -3,91
Augmentierte Sekunde/Kleine Terz ( D / E ) 2 3 / 12 = 42 1.189207 300 65 = 1,2 315,64 -15,64
Große Terz ( E ) 2 4 / 12 = 32 1.259921 400 54 = 1,25 386.31 +13,69
Perfekte vierte ( F ) 2 5 / 12 = 1232 1.33484 500 43 = 1,33333… 498.04 +1,96
Tritonus ( F / G ) 2 612 = 2 1.414214 600 6445 = 1,422... 609.78 -9,78
Perfekte Quinte ( G ) 2 7 / 12 = 12128 1.498307 700 32 = 1,5 701.96 -1,96
Erweiterte Quinte/Kleine Sexte ( G / A ) 2 8 / 12 = 34 1.587401 800 85 = 1,6 813,69 -13,69
Große Sexte ( A ) 2 912 = 48 1.681793 900 53 = 1.66666… 884.36 +15,64
Augmentierte Sexte/Kleine Septime ( A / B ) 2 1012 = 632 1.781797 1000 169 = 1,77777… 996.09 +3,91
Große Septime ( B ) 2 1112 = 122048 1.887749 1100 158 = 1,875 1088.270 +11.73
Oktave ( C ) 2 1212 = 2 2 1200 21 = 2 1200,00 0

Siebentönige Gleichteilung der Quinte

Violinen, Bratschen und Celli sind in perfekten Quinten gestimmt (G – D – A – E, für Violinen und C – G – D – A, für Bratschen und Celli), was darauf hindeutet, dass ihr Halbtonverhältnis etwas höher ist als in die konventionelle zwölftönige gleichschwebende Stimmung. Da eine vollkommene Quinte in einem 3:2-Verhältnis zu ihrem Grundton steht und dieses Intervall in 7 Schritten abgedeckt wird, steht jeder Ton im Verhältnis 732 zum nächsten (100,28 Cent), was eine perfekte Quinte ergibt mit einem Verhältnis von 3:2, aber einer leicht verbreiterten Oktave mit einem Verhältnis von 517:258 bzw. Während des Spiels wählt der Geiger jedoch die Tonhöhen nach Gehör, und nur die vier unstopped Tonhöhen der Saiten weisen garantiert dieses 3:2-Verhältnis auf.

Andere gleiche Temperamente

5- und 7-Ton-Temperamente in der Ethnomusikologie

Näherung von 7-tet

Fünf- und siebentönige gleichschwebende Stimmung ( 5-TET Play und 7-TET Play ) mit 240 Play bzw. 171 Play Cent-Schritten gemeinsames. Über diesen Ton Über diesen Ton Über diesen Ton Über diesen Ton 

5-TET und 7-TET markieren die Endpunkte des gültigen Stimmbereichs der syntonischen Temperatur , wie in Abbildung 1 gezeigt .

  • In 5-TET ist die temperierte perfekte Quinte 720 Cent breit (an der Spitze des Stimmkontinuums) und markiert den Endpunkt auf dem Stimmkontinuum, an dem die Breite der kleinen Sekunde auf eine Breite von 0 Cent schrumpft.
  • In 7-TET ist die temperierte perfekte Quinte 686 Cent breit (am unteren Rand des Stimmkontinuums) und markiert den Endpunkt auf dem Stimmkontinuum, an dem sich die kleine Sekunde auf die Breite der großen Sekunde ausdehnt (bei jeweils 171 Cent .). ).

5-Ton gleichtemperiert

Indonesische Gamelans sind nach Kunst (1949) auf 5-TET gestimmt , aber nach Hood (1966) und McPhee (1966) variiert ihre Stimmung stark, und nach Tenzer (2000) enthalten sie gestreckte Oktaven . Es ist jetzt allgemein anerkannt, dass von den beiden primären Stimmungssystemen in der Gamelan-Musik, slendro und pelog , nur slendro der fünftönigen gleichschwebenden Stimmung ähnelt, während Pelog sehr ungleich ist; Surjodiningrat et al. (1972) hat pelog als siebentönige Teilmenge der neuntönigen gleichschwebenden Stimmung (133-Cent-Schritte Play ) analysiert . Über diesen Ton 

7-tönige gleichschwebende Stimmung

Ein von Morton (1974) gemessenes thailändisches Xylophon "variierte nur um plus oder minus 5 Cent" von 7-TET. Laut Morton sind "thailändische Instrumente mit fester Tonhöhe auf ein äquidistantes System von sieben Tonhöhen pro Oktave gestimmt ... Wie in der traditionellen westlichen Musik werden jedoch nicht alle Tonhöhen des Stimmsystems in einem Modus verwendet (oft als ' Tonleiter'); im thailändischen System werden fünf der sieben in jeder Tonart in Haupttonhöhen verwendet, wodurch ein Muster von nicht äquidistanten Intervallen für die Tonart geschaffen wird. SpielenÜber diesen Ton 

Eine südamerikanische Indianer-Tonleiter aus einer präinstrumentalen Kultur, die von Boiles (1969) gemessen wurde, enthielt 175-Cent-Siebentöne mit gleichschwebender Temperatur, die die Oktave wie bei instrumentaler Gamelan-Musik leicht dehnt.

Chinesische Musik verwendet traditionell 7-TET.

Verschiedene gleichtemperierte Temperamente

Easley Blackwoods Notationssystem für 16 gleichtemperierte Stimmungen: Intervalle werden ähnlich notiert, wie sie sich annähern, und es gibt weniger enharmonische Äquivalente. SpielenÜber diesen Ton 
Vergleich gleichschwebender Temperamente von 9 bis 25 (nach Sethares (2005), S. 58).

24 EDO , die Vierteltonskala (oder 24-TET), war im 20. Da 24 EDO alle Tonhöhen von 12 EDO enthält, plus neue Tonhöhen auf halbem Weg zwischen jedem benachbarten Paar von 12 EDO-Tonhöhen, könnten sie die zusätzlichen Farben verwenden, ohne irgendwelche Taktiken zu verlieren, die in der 12-Ton-Harmonie verfügbar sind. Die Tatsache, dass 24 ein Vielfaches von 12 ist, machte 24 EDO auch instrumental leicht zu erreichen, indem zwei traditionelle 12 EDO-Instrumente verwendet wurden, die absichtlich einen Viertelton auseinander gestimmt waren, wie z mit jeder Hand), um die bekannte 12-Ton-Notation zu lesen. Verschiedene Komponisten, darunter Charles Ives, experimentierten mit Musik für Vierteltonklaviere. 24 EDO nähert sich der 11. Harmonischen sehr gut an, im Gegensatz zu 12 EDO.

19 EDO ist berühmt und einige Instrumente sind in 19 EDO gestimmt. Es hat eine etwas flachere perfekte Quinte (bei 695 Cent), aber ihre große Sexte ist weniger als einen Cent von der großen Sexte der Intonation (bei 884 Cent) entfernt. Seine kleine Terz ist auch weniger als einen Cent von der Intonation entfernt. (Der niedrigste EDO, der eine bessere kleine Terz und große Sexte als 19 EDO erzeugt, ist 232 EDO.) Seine perfekte Quarte (bei 505 Cent) ist nur 5 Cent scharf als nur die Intonation und 3 Cent scharf von 12-Tet.

23 EDO ist der größte EDO, der die 3., 5., 7. und 11. Harmonische (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) nicht innerhalb von 20 Cent annähert, was ihn für Mikrotonalisten attraktiv macht, die nach ungewöhnlichen Mikrotonaltönen suchen harmonisches Territorium.

26 EDO ist der kleinste EDO zum fast reinen Stimmen der 7. Harmonischen (7:4). Es ist auch eine sehr flache mitteltönige Temperatur, das heißt, nach 4 Quinten erzeugt es eher eine neutrale Terz als eine Dur. 26 EDO hat zwei kleine Terzen und zwei kleine Sexten. Es könnte auf den ersten Blick etwas verwirrend sein, denn wenn Sie die neutrale Terz spielen, klingt sie wie eine sehr flache Dur. 26EDO könnte ein alternatives Temperament der Barbershop-Harmonie sein.

27 EDO ist der kleinste EDO, der alle Intervalle mit den ersten acht Harmonischen eindeutig repräsentiert. Es mildert das aus septimal Komma aber nicht das syntonic Komma .

29 EDO ist die niedrigste Anzahl gleicher Oktavteilungen, die eine bessere Quinte als 12 EDO ergibt. Seine große Terz ist ungefähr so ​​ungenau wie 12-TET; es ist jedoch 14 Cent flach und nicht 14 Cent scharf gestimmt. Es stimmt auch die 7., 11. und 13. Harmonische flach, um ungefähr den gleichen Betrag. Dies bedeutet, dass Intervalle wie 7:5, 11:7, 13:11 usw. beim 29-TET alle sehr gut aufeinander abgestimmt sind.

31 EDO wurde von Christiaan Huygens und Adriaan Fokker befürwortet . 31 EDO hat eine etwas weniger genaue Quinte als 12 EDO, bietet aber fast nur große Terzen und bietet gute Übereinstimmungen für Obertöne bis mindestens 13, von denen die siebte Oberwelle besonders genau ist.

34 EDO ergibt etwas weniger kombinierte Gesamt-Approximationsfehler für die 5-Limit-Just-Verhältnisse 3:2, 5:4, 6:5 und ihre Inversionen als 31 EDO, obwohl die Approximation von 5:4 schlechter ist. 34 EDO nähert Verhältnisse mit Primzahl 7 nicht gut an. Es enthält einen 600-Cent-Tritonus, da es sich um einen geradzahligen EDO handelt.

41 EDO ist die zweitniedrigste Anzahl gleicher Divisionen, die eine bessere perfekte Quinte als 12 EDO ergibt. Seine große Terz ist genauer als 12 EDO und 29 EDO, ungefähr 6 Cent flach. Es ist kein Mittelton, also unterscheidet es 10:9 und 9:8, im Gegensatz zu 31edo. Es ist genauer in 13-Limit als 31edo.

46 EDO bietet leicht scharfe große Terzen und perfekte Quinten, die den Dreiklängen einen charakteristischen hellen Klang verleihen. Die Obertöne bis 11 werden mit einer Genauigkeit von 5 Cent angenähert, wobei 10:9 und 9:5 ein Fünftel Cent von rein entfernt sind. Da es kein Mitteltonsystem ist, unterscheidet es 10:9 und 9:8.

53 EDO nähert sich den traditionellen gerechten Konsonanzen besser an als 12, 19 oder 31 EDO, wurde aber nur gelegentlich verwendet. Seine extrem guten perfekten Quinten machen es austauschbar mit einer erweiterten pythagoräischen Stimmung , aber es kommt auch dem schismatischen Temperament entgegen und wird manchmal in der türkischen Musiktheorie verwendet. Sie entspricht jedoch nicht den Anforderungen mitteltöniger Temperamente, die über den Quintenzyklus gute Terzen in Reichweite bringen. In 53 EDO würden die sehr konsonanten Terzen stattdessen durch die Verwendung einer pythagoräischen verminderten Quarte (CF ) erreicht, da sie ein Beispiel für schismatisches Temperament ist , genau wie 41 EDO.

72 EDO nähert sich vielen geraden Intonationsintervallen gut an, sogar bis in die 7-Grenze und 11-Grenze, wie 7:4, 9:7, 11:5, 11:6 und 11:7. 72 EDO wurde von Joe Maneri und seinen Schülern (deren atonale Neigungen normalerweise jeglichen Bezug zu reiner Intonation vermeiden) gelehrt, geschrieben und in der Praxis aufgeführt . Es kann als Erweiterung von 12 EDO angesehen werden, da 72 ein Vielfaches von 12 ist. 72 EDO hat ein kleinstes Intervall, das sechsmal kleiner ist als das kleinste Intervall von 12 EDO und enthält daher sechs Kopien von 12 EDO, die auf verschiedenen Tonhöhen beginnen. Es enthält auch drei Kopien von 24 EDO und zwei Kopien von 36 EDO, die ihrerseits ein Vielfaches von 12 EDO sind. 72 EDO wurde auch für seine Redundanz kritisiert, da die schlechten Näherungen in 12 EDO beibehalten wurden, obwohl sie für keine Untergrenzen der gerechten Intonation (zB 5-Limit) benötigt wurden.

96 EDO nähert sich allen Intervallen innerhalb von 6,25 Cent an, was kaum unterscheidbar ist. Als achtfaches Vielfaches von 12 kann es wie das übliche 12 EDO voll genutzt werden. Es wurde von mehreren Komponisten befürwortet, insbesondere von Julián Carrillo von 1924 bis in die 1940er Jahre.

Andere gleiche Unterteilungen der Oktave, die gelegentlich Verwendung gefunden haben, sind 15 EDO , 17 EDO und 22 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 und 15601 sind Nenner der ersten Konvergenten von log 2 (3), also 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 und 15601 Zwölftel (und Fünftel), also in entsprechenden gleichtemperierten gleich einer ganzen Zahl von Oktaven, sind eine bessere Annäherung von 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 und 15601 nur Zwölftel/Fünftel als für alle gleichtemperierten mit weniger Tönen.

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200... (Sequenz A060528 im OEIS ) ist die Sequenz von Oktavteilungen, die immer bessere Annäherungen an die Quinte liefern. Zugehörige Sequenzen enthalten Divisionen, die andere gerade Intervalle annähern.

Diese Anwendung: [1] berechnet die Frequenzen, ungefähren Cents und MIDI- Pitchbend- Werte für alle Systeme mit gleicher Oktavteilung. Beachten Sie, dass 'rounded' und 'floored' denselben MIDI-Pitchbend-Wert erzeugen.

Gleichtemperierte Nicht-Oktaven-Intervalle

Die gleichtemperierte Version der Bohlen-Pierce-Skala besteht aus dem Verhältnis 3:1, 1902 Cent, konventionell einer perfekten Quinte plus einer Oktave (also einer perfekten Zwölftel), in dieser Theorie Tritave genannt ( spielen ) und in dreizehn gleiche Teile aufteilen. Dies liefert eine sehr gute Übereinstimmung mit richtig abgestimmten Verhältnissen, die nur aus ungeraden Zahlen bestehen. Jeder Schritt kostet 146,3 Cent ( play ) oder 133 . Über diesen Ton Über diesen Ton 

Wendy Carlos schuf nach eingehender Untersuchung der Eigenschaften möglicher Temperamente mit einer Schrittweite zwischen 30 und 120 Cent drei ungewöhnliche gleichschwebende Temperamente. Diese wurden Alpha , Beta und Gamma genannt . Sie können als gleiche Teilungen der perfekten Quinte betrachtet werden. Jeder von ihnen liefert eine sehr gute Annäherung mehrerer gerader Intervalle. Ihre Schrittweiten:

Alpha und Beta sind auf dem Titeltrack ihres 1986er Albums Beauty in the Beast zu hören .

Proportionen zwischen Halbton und Ganzton

In diesem Abschnitt haben Halbton und Ganzton möglicherweise nicht ihre üblichen 12-EDO-Bedeutungen, da erörtert wird, wie sie anders als ihre reinen Versionen temperiert werden können, um die gewünschten Beziehungen zu erzeugen. Die Anzahl der Schritte in einem Halbton sei s und die Anzahl der Schritte in einem Ton sei t .

Es gibt genau eine Familie gleich temperierter Stimmungen, die den Halbton auf jeden richtigen Bruchteil eines Ganztons festlegt, während die Noten in der richtigen Reihenfolge gehalten werden (was bedeutet, dass zum Beispiel C, D, E, F und F aufsteigend sind Ordnung, wenn sie ihre üblichen Beziehungen zu C) beibehalten. Das heißt, die Fixierung von q auf einen echten Bruch in der Beziehung qt = s definiert auch eine eindeutige Familie einer gleichen Temperamentsart und ihrer Vielfachen, die diese Beziehung erfüllen.

Zum Beispiel, wo k eine ganze Zahl, 12 k -EDO Sätze q = 1 / 2 , und 19 k -EDO Sätze q = 1 / 3 . Die kleinsten Vielfachen in diesen Familien (zB 12 und 19 oben) haben die zusätzliche Eigenschaft, dass sie keine Noten außerhalb des Quintenzirkels haben . (Dies trifft im Allgemeinen nicht zu; bei 24-EDO liegen die Halbtöne und Halbtöne nicht im Quintenzirkel, der ausgehend von C erzeugt wird.) Die Extremfälle sind 5 k -EDO, wobei q = 0 und der Halbton wird ein Unisono, und 7 k -EDO, wobei q = 1 und Halbton und Ton das gleiche Intervall sind.

Wenn man weiß, wie viele Schritte ein Halbton und ein Ton in dieser gleichtemperierten Stimmung haben, kann man die Anzahl der Schritte in der Oktave ermitteln. Eine gleichtemperierte Stimmung, die die oben genannten Eigenschaften erfüllt (einschließlich keine Noten außerhalb des Quintenzirkels), unterteilt die Oktave in 7 t − 2 s- Schritte und die perfekte Quinte in 4 ts- Schritte. Wenn Noten außerhalb des Quintenzirkels vorhanden sind, muss man diese Ergebnisse dann mit n multiplizieren , das ist die Anzahl der nicht überlappenden Quintenzirkel, die erforderlich sind, um alle Noten zu erzeugen (zB zwei in 24-EDO, sechs in 72-EDO). (Zu diesem Zweck muss man den kleinen Halbton nehmen: 19-EDO hat zwei Halbtöne, einer ist 13 Ton und der andere ist 23 .)

Die kleinste dieser Familien ist 12 k -EDO, und insbesondere ist 12-EDO die kleinste gleichschwebende Stimmung mit den oben genannten Eigenschaften. Außerdem macht es den Halbton auch genau zu einem halben Ganzton, die einfachste mögliche Beziehung. Dies sind einige der Gründe, warum 12-EDO das am häufigsten verwendete gleichschwebende Temperament geworden ist. (Ein weiterer Grund ist, dass 12-EDO die kleinste gleichschwebende Stimmung ist, die sich der 5-Grenzen-Harmonie nähert, wobei die nächstkleinere 19-EDO ist.)

Jede Wahl des Bruchs q für die Beziehung führt zu genau einer Familie der gleichen Temperamente, aber das Umgekehrte gilt nicht: 47-EDO hat zwei verschiedene Halbtöne, wobei einer 17 Ton und der andere 89 ist , die keine Komplemente sind voneinander wie in 19-EDO ( 13 und 23 ). Wenn jeder Halbton genommen wird, ergibt sich eine andere Wahl der perfekten Quinte.

Verwandte Tuning-Systeme

Regelmäßige diatonische Stimmungen

Abbildung 1: Das regelmäßige diatonische Stimmungskontinuum , das viele bemerkenswerte "gleichschwebende" Stimmungen enthält (Milne 2007).

Die diatonische Stimmung in zwölf gleich kann auf jede reguläre diatonische Stimmung verallgemeinert werden, die die Oktave als Folge von Schritten TTSTTTS (oder eine Drehung davon) teilt, wobei alle Ts und alle S die gleiche Größe haben und die S kleiner als die Ts sind. In zwölf gleich ist das S der Halbton und ist genau halb so groß wie der Ton T. Wenn die S auf Null reduziert werden, ist das Ergebnis TTTTT oder eine fünftönige gleichschwebende Stimmung. Wenn die Halbtöne größer werden, sind die Schritte schließlich alle gleich Größe, und das Ergebnis ist eine siebentönige gleichtemperierte Stimmung. Diese beiden Endpunkte sind nicht als reguläre diatonische Stimmungen enthalten.

Die Töne in einer regelmäßigen diatonischen Stimmung werden durch einen Zyklus von sieben temperierten Quinten miteinander verbunden. Das Zwölftonsystem verallgemeinert sich in ähnlicher Weise zu einer Sequenz CDCDDCDCDCDD (oder einer Drehung davon) von chromatischen und diatonischen Halbtönen, die in einem Zyklus von zwölf Quinten miteinander verbunden sind. In diesem Fall erhält man sieben gleich in der Grenze, da die Größe von C gegen null geht und fünf gleich ist die Grenze, wenn D gegen null geht, während zwölf gleich natürlich der Fall C = D ist.

Einige der Zwischengrößen von Tönen und Halbtönen können auch in gleichtemperierten Systemen erzeugt werden. Wenn zum Beispiel der diatonische Halbton doppelt so groß ist wie der chromatische Halbton, dh D = 2*C, ist das Ergebnis neunzehn gleich mit einem Schritt für den chromatischen Halbton, zwei Schritten für den diatonischen Halbton und drei Schritten für den Ton und die Gesamtzahl der Schritte 5*T + 2*S = 15 + 4 = 19 Schritte. Das resultierende Zwölftonsystem kommt dem historisch wichtigen 1/3 Komma Mittelton sehr nahe.

Wenn der chromatische Halbton zwei Drittel der Größe des diatonischen Halbtons beträgt, dh C = (2/3)*D, ist das Ergebnis einunddreißig gleich, mit zwei Schritten für den chromatischen Halbton, drei Schritten für den diatonischen Halbton und fünf Schritte für den Ton mit 5*T + 2*S = 25 + 6 = 31 Schritte. Das resultierende Zwölftonsystem kommt dem historisch wichtigen 1/4-Komma-Mittelton sehr nahe.

Siehe auch

Verweise

Zitate

Quellen

Weiterlesen

  • Tonempfindungen ein Grundlagenwerk über Akustik und Klangwahrnehmung von Hermann von Helmholtz. Insbesondere Anhang XX: Ergänzungen des Übersetzers, Seiten 430-556, (pdf Seiten 451-577)]

Externe Links