Gleichwertigkeit der Kategorien - Equivalence of categories

In der Kategorientheorie , einem Zweig der abstrakten Mathematik , ist eine Äquivalenz von Kategorien eine Beziehung zwischen zwei Kategorien , die festlegt, dass diese Kategorien "im Wesentlichen gleich" sind. Es gibt zahlreiche Beispiele für kategoriale Äquivalenzen aus vielen Bereichen der Mathematik. Um eine Äquivalenz herzustellen, müssen starke Ähnlichkeiten zwischen den betreffenden mathematischen Strukturen nachgewiesen werden. In einigen Fällen scheinen diese Strukturen auf einer oberflächlichen oder intuitiven Ebene ohne Bezug zu sein, was den Begriff ziemlich mächtig macht: Er schafft die Möglichkeit, Theoreme zwischen verschiedenen Arten mathematischer Strukturen zu "übersetzen", in dem Wissen, dass die wesentliche Bedeutung dieser Theoreme erhalten bleibt unter der Übersetzung.

Wenn eine Kategorie dem Gegenteil (oder Dual) einer anderen Kategorie äquivalent ist, dann spricht man von einer Dualität von Kategorien und sagt, dass die beiden Kategorien dual äquivalent sind .

Eine Äquivalenz von Kategorien besteht aus einem Funktor zwischen den beteiligten Kategorien, der einen "inversen" Funktor haben muss. Im Gegensatz zu der für Isomorphismen in einer algebraischen Umgebung üblichen Situation ist die Zusammensetzung des Funktors und seiner "Inversen" jedoch nicht unbedingt die Identitätsabbildung. Stattdessen reicht es aus, dass jedes Objekt in dieser Komposition natürlicherweise zu seinem Bild isomorph ist . Somit kann man die Funktoren als "invers bis zum Isomorphismus" bezeichnen. Es gibt zwar ein Konzept der Isomorphie von Kategorien, bei dem eine strenge Form des inversen Funktors erforderlich ist, aber dieses ist von weit weniger praktischem Nutzen als das Äquivalenzkonzept .

Definition

Formal besteht eine Äquivalenz von Kategorien bei zwei Kategorien C und D aus einem Funktor F  : CD , einem Funktor G  : DC und zwei natürlichen Isomorphismen : FGI D und η : I CGF . Dabei bezeichnen FG : DD und GF : CC die jeweiligen Zusammensetzungen von F und G , und I C : CC und I D : DD bezeichnen die Identitätsfunktoren auf C und D , wobei jedes Objekt und jeder Morphismus selbst. Sind F und G kontravariante Funktoren, spricht man stattdessen von einer Dualität der Kategorien .

Oft werden nicht alle oben genannten Daten angegeben. Zum Beispiel, sagen wir , dass die Kategorien C und D sind äquivalent (jeweils dually äquivalent ) , wenn es eine Äquivalenz ist (bzw. Dualität) zwischen ihnen. Außerdem sagen wir, dass F eine Äquivalenz von Kategorien "ist", wenn ein inverser Funktor G und natürliche Isomorphismen wie oben existieren. Beachten Sie jedoch, dass die Kenntnis von F normalerweise nicht ausreicht, um G und die natürlichen Isomorphismen zu rekonstruieren : Es kann viele Möglichkeiten geben (siehe Beispiel unten).

Alternative Charakterisierungen

Ein Funktor F  : CD liefert genau dann eine Äquivalenz von Kategorien, wenn er gleichzeitig gilt:

  • voll , das heißt für zwei beliebige Objekte c 1 und c 2 von C , der Karte Hom C ( c 1 , c 2 ) → Hom D ( Fc 1 , Fc 2 ) , induziert durch F ist surjektiv ;
  • treu , dh für zwei beliebige Objekte c 1 und c 2 von C , der Karte Hom C ( c 1 , c 2 ) → Hom D ( Fc 1 , Fc 2 ) , induziert durch F ist injektiv ; und
  • im Wesentlichen surjektiv (dicht) , dh jedes Objekt d in D ist isomorph zu einem Objekt der Form Fc , für c in C .

Dies ist ein sehr nützliches und häufig angewendetes Kriterium, da man das "inverse" G und die natürlichen Isomorphismen zwischen FG , GF und den Identitätsfunktoren nicht explizit konstruieren muss . Andererseits garantieren die obigen Eigenschaften zwar die Existenz einer kategorialen Äquivalenz (bei einer ausreichend starken Version des Auswahlaxioms in der zugrunde liegenden Mengentheorie), die fehlenden Daten sind jedoch nicht vollständig spezifiziert, und oft gibt es viele Auswahlmöglichkeiten. Es empfiehlt sich, die fehlenden Konstruktionen nach Möglichkeit explizit anzugeben. Aus diesem Grund wird ein Funktor mit diesen Eigenschaften manchmal als schwache Äquivalenz von Kategorien bezeichnet . (Leider widerspricht dies der Terminologie aus der Homotopietypentheorie .)

Es gibt auch eine enge Beziehung zu dem Konzept der Adjunktion , wo wir sagen , dass die linke adjoint von oder ebenfalls, G ist die richtige adjoint von F . Dann C und D äquivalent sind (wie oben definiert, dass es natürliche Isomorphien von FG zu I D und I C auf GF ) , wenn und nur wenn und beiden F und G sind voll und treu.

Wenn adjungierte Funktoren nicht sowohl vollständig als auch treu sind, können wir ihre Adjungheitsrelation als Ausdruck einer "schwächeren Form der Äquivalenz" von Kategorien ansehen. Unter der Annahme, dass die natürlichen Transformationen für die Adjunktionen gegeben sind, erlauben alle diese Formulierungen eine explizite Konstruktion der notwendigen Daten, und es werden keine Auswahlprinzipien benötigt. Die Schlüsseleigenschaft, die hier zu beweisen ist, ist, dass die Anzahl einer Adjunktion genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die rechte Adjunktion ein vollständiger und zuverlässiger Funktor ist.

Beispiele

  • Betrachten Sie die Kategorie ein einzelnes Objekt mit und einen einzigen morphism und die Kategorie mit zwei Objekten , und vier morphisms: zwei Identität morphisms , und zwei Isomorphismen und . Die Kategorien und sind gleichwertig; wir können (zum Beispiel) haben Karte auf und Karte , die beiden Objekte auf und alle Morphismen zu .
  • Im Gegensatz dazu ist die Kategorie mit einem einzelnen Objekt und einem einzigen Morphismus nicht äquivalent zur Kategorie mit zwei Objekten und nur zwei Identitätsmorphismen. Die beiden Objekte in sind nicht isomorph, da es keine Morphismen zwischen ihnen gibt. Somit ist kein Funktor von bis im Wesentlichen surjektiv.
  • Betrachten Sie eine Kategorie mit einem Objekt und zwei Morphismen . Sei der Identitätsmorphismus on und set . Natürlich ist äquivalent zu sich selbst, was gezeigt werden kann, indem man die erforderlichen natürlichen Isomorphismen zwischen dem Funktor und sich selbst einsetzt. Es gilt jedoch auch, dass ein natürlicher Isomorphismus von zu sich selbst ergibt . Angesichts der Information, dass die Identitätsfunktoren eine Äquivalenz von Kategorien bilden, kann man in diesem Beispiel also noch zwischen zwei natürlichen Isomorphismen für jede Richtung wählen.
  • Die Kategorie der Mengen und Teilfunktionen ist äquivalent, aber nicht isomorph mit der Kategorie der spitzen Mengen und punkterhaltenden Abbildungen.
  • Betrachten Sie die Kategorie von endlichen dimensionalen realen Vektorräumen , und die Kategorie aller reellen Matrizen (letztere Kategorie wird in dem Artikel erläutert additive Kategorien ). Dann und sind äquivalent: Der Funktor, der das Objekt von in den Vektorraum und die Matrizen in die entsprechenden linearen Abbildungen abbildet, ist vollständig, getreu und im Wesentlichen surjektiv.
  • Eines der zentralen Themen der algebraischen Geometrie ist die Dualität der Kategorie der affinen Schemata und der Kategorie der kommutativen Ringe . Der Funktor ordnet jedem kommutativen Ring sein Spektrum zu , das durch die Primideale des Rings definierte Schema . Sein Adjoint verbindet mit jedem affinen Schema seinen Ring globaler Sektionen.
  • In der Funktionalanalysis ist die Kategorie der kommutativen C*-Algebren mit Identität kontravariant äquivalent zur Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume . Unter dieser Dualität ist jedem kompakten Hausdorff-Raum die Algebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf und jede kommutative C*-Algebra dem Raum ihrer maximalen Ideale zugeordnet . Dies ist die Gelfand-Darstellung .
  • In der Gittertheorie gibt es eine Reihe von Dualitäten, die auf Darstellungssätzen basieren, die bestimmte Klassen von Gittern mit Klassen von topologischen Räumen verbinden . Der wohl bekannteste Satz dieser Art ist der Darstellungssatz von Stone für Boolesche Algebren , der ein Sonderfall innerhalb des allgemeinen Schemas der Stone-Dualität ist . Jede Boolesche Algebra wird einer bestimmten Topologie des Satzes von Ultrafiltern von zugeordnet . Umgekehrt ergeben die clopen (dh geschlossenen und offenen) Teilmengen für jede Topologie eine Boolesche Algebra. Man erhält eine Dualität zwischen der Kategorie der Booleschen Algebren (mit ihren Homomorphismen) und Stone-Räumen (mit stetigen Abbildungen). Ein weiterer Fall der Stone-Dualität ist der Darstellungssatz von Birkhoff , der eine Dualität zwischen endlichen Teilordnungen und endlichen Verteilungsgittern angibt.
  • In der sinnlosen Topologie ist bekannt, dass die Kategorie der räumlichen Orte dem Dual der Kategorie der nüchternen Räume entspricht.
  • Für zwei Ringe R und S , die Produktkategorie R - Mod × S - Mod ist äquivalent zu ( R × S ) - Mod .
  • Jede Kategorie entspricht ihrem Skelett .

Eigenschaften

Als Faustregel gilt, dass eine Äquivalenz von Kategorien alle "kategorialen" Konzepte und Eigenschaften beibehält. Falls F  : CD eine Äquivalenz ist, dann sind die folgenden Aussagen alle wahr:

Dualitäten „drehen alle Konzepte um“: Sie verwandeln Ausgangsobjekte in Endobjekte, Monomorphismen in Epimorphismen, Kernel in Cokernels, Limits in Colimits usw.

Wenn F  : CD eine Äquivalenz von Kategorien ist und G 1 und G 2 zwei Inverse von F sind , dann sind G 1 und G 2 natürlich isomorph.

Wenn F  : CD eine Äquivalenz von Kategorien ist, und wenn C eine präadditive Kategorie (oder additive Kategorie oder abelsche Kategorie ) ist, dann kann D in eine präadditive Kategorie (oder additive Kategorie oder abelsche Kategorie) umgewandelt werden in a so dass F ein additiver Funktor wird . Andererseits ist jede Äquivalenz zwischen additiven Kategorien notwendigerweise additiv. (Beachten Sie, dass die letztere Aussage nicht für Äquivalenzen zwischen präadditiven Kategorien gilt.)

Eine Autoäquivalenz einer Kategorie C ist eine Äquivalenz F  : CC . Die Autoäquivalenzen von C bilden eine Gruppe unter Komposition, wenn wir zwei von Natur aus isomorphe Autoäquivalenzen als identisch betrachten. Diese Gruppe erfasst die wesentlichen "Symmetrien" von C . (Ein Vorbehalt: Wenn C keine kleine Kategorie ist, können die Autoäquivalenzen von C eher eine echte Klasse als eine Menge bilden .)

Siehe auch

Verweise