Im Wesentlichen einzigartig - Essentially unique

In der Mathematik wird der Begriff im Wesentlichen einzigartig verwendet, um eine schwächere Form der Eindeutigkeit zu beschreiben, bei der ein Objekt, das eine Eigenschaft erfüllt, nur in dem Sinne "einzigartig" ist, dass alle Objekte, die die Eigenschaft erfüllen, einander äquivalent sind. Der Begriff der wesentlichen Einzigartigkeit setzt eine Form der "Gleichheit" voraus, die häufig unter Verwendung einer Äquivalenzbeziehung formalisiert wird .

Ein verwandter Begriff ist eine universelle Eigenschaft , bei der ein Objekt nicht nur im Wesentlichen eindeutig ist, sondern bis zu einem eindeutigen Isomorphismus eindeutig ist (was bedeutet, dass es eine triviale Automorphismusgruppe hat ). Im Allgemeinen kann es zwischen Beispielen eines im Wesentlichen einzigartigen Objekts mehr als einen Isomorphismus geben.

Beispiele

Mengenlehre

Auf der einfachsten Ebene gibt es eine im Wesentlichen eindeutige Menge einer bestimmten Kardinalität , unabhängig davon, ob man die Elemente beschriftet oder . In diesem Fall spiegelt sich die Nicht-Eindeutigkeit des Isomorphismus (z. B. Übereinstimmung 1 zu oder 1 zu ) in der symmetrischen Gruppe wider .

Auf der anderen Seite gibt es einen wesentlichen eindeutig geordneten Satz von jeder endlichen Mächtigkeit gegeben: wenn man schreibt und dann die einzige ordnungserhalt Isomorphismus derjenige ist , der 1 abbildet , 2 , und 3 zu .

Zahlentheorie

Der Grundsatz der Arithmetik legt fest, dass die Faktorisierung einer positiven ganzen Zahl in Primzahlen im Wesentlichen eindeutig ist, dh bis zur Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig ist.

Gruppentheorie

Im Zusammenhang mit der Klassifizierung von Gruppen gibt es eine im Wesentlichen eindeutige Gruppe, die genau 2 Elemente enthält. In ähnlicher Weise gibt es auch eine im Wesentlichen eindeutige Gruppe, die genau drei Elemente enthält: die zyklische Gruppe der Ordnung drei. Unabhängig davon, wie man die drei Elemente schreibt und die Gruppenoperation bezeichnet, kann gezeigt werden, dass alle diese Gruppen isomorph zueinander sind und daher "gleich" sind.

Andererseits gibt es keine im Wesentlichen eindeutige Gruppe mit genau 4 Elementen, da es in diesem Fall insgesamt zwei nicht-isomorphe Gruppen gibt: die zyklische Gruppe der Ordnung 4 und die Klein-4-Gruppe .

Theorie messen

Es gibt ein im Wesentlichen einzigartiges Maß, das translatorisch ist - invariant , streng positiv und lokal endlich auf der realen Linie . Tatsächlich muss ein solches Maß ein konstantes Vielfaches des Lebesgue-Maßes sein , wobei angegeben wird, dass das Maß des Einheitsintervalls 1 sein sollte - bevor die Lösung eindeutig bestimmt wird.

Topologie

Es gibt einen im Wesentlichen einzigartigen zweidimensionalen, kompakten , einfach verbundenen Verteiler : die 2-Kugel . In diesem Fall ist es bis zum Homöomorphismus einzigartig .

Auf dem Gebiet der Topologie, das als Knotentheorie bekannt ist , gibt es ein Analogon zum Grundsatz der Arithmetik: Die Zerlegung eines Knotens in eine Summe von Hauptknoten ist im Wesentlichen einzigartig.

Lügentheorie

Eine maximal kompakte Untergruppe einer halb- einfachen Lie-Gruppe ist möglicherweise nicht eindeutig, aber bis zur Konjugation eindeutig.

Kategorietheorie

Ein Objekt, das die Grenze oder das Colimit über einem bestimmten Diagramm darstellt, ist im Wesentlichen eindeutig, da es einen eindeutigen Isomorphismus zu jedem anderen einschränkenden / kolimitierenden Objekt gibt.

Codierungstheorie

Angesichts der Aufgabe, 24- Bit- Wörter zu verwenden, um 12-Bit-Informationen so zu speichern, dass 7-Bit-Fehler erkannt und 3-Bit-Fehler korrigiert werden können, ist die Lösung im Wesentlichen einzigartig: der erweiterte binäre Golay-Code .

Siehe auch

Verweise