Gerade und ungerade Funktionen - Even and odd functions

Die Sinusfunktion und alle ihre Taylor-Polynome sind ungerade Funktionen. Dieses Bild zeigt und seine Taylor-Approximationen Polynome vom Grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 und 13.${\displaystyle\sin(x)}$

Die Kosinusfunktion und alle ihre Taylor-Polynome sind gerade Funktionen. Dieses Bild zeigt und seine Taylor-Approximation von Grad 4.${\displaystyle\cos(x)}$

In der Mathematik , auch Funktionen und ungerade Funktionen sind Funktionen , die bestimmte erfüllen Symmetrie zu nehmen Beziehungen bezüglich additiven Inversen . Sie sind in vielen Bereichen der mathematischen Analysis wichtig , insbesondere in der Theorie der Potenzreihen und Fourierreihen . Sie sind nach der Parität der Potenzen der Potenzfunktionen benannt , die jede Bedingung erfüllen: Die Funktion ist eine gerade Funktion, wenn n eine gerade ganze Zahl ist , und eine ungerade Funktion, wenn n eine ungerade ganze Zahl ist. ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

Definition und Beispiele

Evenness und Oddness werden im Allgemeinen für reelle Funktionen berücksichtigt , also reellwertige Funktionen einer reellen Variablen. Die Konzepte können jedoch allgemeiner für Funktionen definiert werden, deren Domäne und Kodomäne beide den Begriff der additiven Inversen haben . Dazu gehören abelsche Gruppen , alle Ringe , alle Felder und alle Vektorräume . So könnte beispielsweise eine reelle Funktion ungerade oder gerade (oder keines) sein, ebenso wie eine komplexwertige Funktion einer Vektorvariablen und so weiter.

Die angegebenen Beispiele sind reelle Funktionen, um die Symmetrie ihrer Graphen zu veranschaulichen .

Gleichmäßige Funktionen

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ist ein Beispiel für eine gerade Funktion.

Sei f eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Dann f ist auch , wenn die folgende Gleichung für alle gilt x , so daß x und - x im Bereich von f :

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

( Gl.1 )

oder äquivalent, wenn die folgende Gleichung für alle solche x gilt :

${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$

Geometrisch ist der Graph einer geraden Funktion bezüglich der y- Achse symmetrisch , dh sein Graph bleibt nach der Spiegelung an der y- Achse unverändert .

Beispiele für gerade Funktionen sind:

• Der absolute Wert ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• Kosinus ${\displaystyle \cos ,}$
• hyperbolischer Kosinus ${\displaystyle \cosh.}$

Ungerade Funktionen

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.

Sei wieder f eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Dann f ist ungerade , wenn die folgende Gleichung für alle gilt x , so daß x und - x sind im Bereich der f :

${\displaystyle -f(x)=f(-x)}$

( Gl.2 )

oder äquivalent, wenn die folgende Gleichung für alle solche x gilt :

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$

Geometrisch hat der Graph einer ungeraden Funktion eine Rotationssymmetrie in Bezug auf den Ursprung , was bedeutet, dass sein Graph nach einer Drehung um 180 Grad um den Ursprung unverändert bleibt .

Beispiele für ungerade Funktionen sind:

• Die Identitätsfunktion ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• Sinus ${\displaystyle \sin,}$
• hyperbolischer Sinus ${\displaystyle\sinh,}$
• Die Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$ ist weder gerade noch ungerade.

Grundeigenschaften

Einzigartigkeit

• Wenn eine Funktion sowohl gerade als auch ungerade ist, ist sie überall gleich 0, wo sie definiert ist.
• Wenn eine Funktion ungerade ist, ist der Absolutwert dieser Funktion eine gerade Funktion.

Addition und Subtraktion

• Die Summe zweier gerader Funktionen ist gerade.
• Die Summe zweier ungerader Funktionen ist ungerade.
• Der Unterschied zwischen zwei ungeraden Funktionen ist ungerade.
• Der Unterschied zwischen zwei geraden Funktionen ist gerade.
• Die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ist nicht gerade oder ungerade, es sei denn, eine der Funktionen ist im angegebenen Bereich gleich Null .

Multiplikation und Division

• Das Produkt zweier gerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
  • Das bedeutet, dass auch das Produkt einer beliebigen Anzahl gerader Funktionen eine gerade Funktion ist.
• Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
• Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
• Der Quotient zweier gerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
• Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
• Der Quotient einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.

Komposition

• Die Zusammensetzung zweier gerader Funktionen ist gerade.
• Die Zusammensetzung zweier ungerader Funktionen ist ungerade.
• Die Zusammensetzung einer geraden und einer ungeraden Funktion ist gerade.
• Die Zusammensetzung jeder Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade (aber nicht umgekehrt).

Gerade–ungerade Zerlegung

Jede Funktion kann eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion zerlegt werden, die jeweils als gerader Teil und ungerader Teil der Funktion bezeichnet werden; wenn man definiert

${\displaystyle f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$

( Gl.3 )

und

${\displaystyle f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$

( Gl.4 )

dann ist gerade, ist ungerade und ${\displaystyle f_{\text{e}}}$${\displaystyle f_{\text{o}}}$

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).}$

Umgekehrt, wenn

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

wobei g gerade und h ungerade ist, dann und da ${\displaystyle g=f_{\text{e}}}$${\displaystyle h=f_{\text{o}},}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h (-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x )-h(-x)=2h(x).\end{ausgerichtet}}}$

Zum Beispiel können der hyperbolische Kosinus und der hyperbolische Sinus als gerade und ungerade Teile der Exponentialfunktion betrachtet werden, da die erste eine gerade Funktion ist, die zweite eine ungerade ist und

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o }}(x)}}$.

Weitere algebraische Eigenschaften

• Jede Linearkombination gerader Funktionen ist gerade, und die geraden Funktionen bilden einen Vektorraum über den reellen Zahlen . In ähnlicher Weise ist jede Linearkombination ungerader Funktionen ungerade, und die ungeraden Funktionen bilden auch einen Vektorraum über den reellen Zahlen. Tatsächlich ist der Vektorraum aller reellen Funktionen die direkte Summe der Unterräume von geraden und ungeraden Funktionen. Dies ist eine abstraktere Art, die Eigenschaft im vorherigen Abschnitt auszudrücken.
  • Der Funktionsraum kann durch diese Eigenschaft sowie einige der oben genannten als gradierte Algebra über den reellen Zahlen betrachtet werden.

• Die geraden Funktionen bilden eine kommutative Algebra über die reellen Zahlen. Die ungeraden Funktionen bilden jedoch keine Algebra über die reellen Zahlen, da sie bei der Multiplikation nicht abgeschlossen sind .

Analytische Eigenschaften

Dass eine Funktion ungerade oder gerade ist, impliziert keine Differenzierbarkeit oder gerade Stetigkeit . Zum Beispiel ist die Dirichlet-Funktion gerade, aber nirgendwo stetig.

Im Folgenden werden Eigenschaften, die Ableitungen , Fourier-Reihen , Taylor-Reihen usw. beinhalten, angenommen, dass diese Konzepte von den betrachteten Funktionen definiert sind.

Grundlegende analytische Eigenschaften

• Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.
• Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
• Das Integral einer ungeraden Funktion von − A bis + A ist null (wobei A endlich ist und die Funktion keine vertikalen Asymptoten zwischen − A und A hat ). Für eine ungerade Funktion, die über ein symmetrisches Intervall integrierbar ist, zB ist das Ergebnis des Integrals über dieses Intervall Null; das ist ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int_{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• Das Integral einer geraden Funktion von − A bis + A ist das Doppelte des Integrals von 0 bis + A (wobei A endlich ist und die Funktion keine vertikalen Asymptoten zwischen − A und A hat . Dies gilt auch für A unendlich, aber nur wenn das Integral konvergiert); das ist

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Serie

• Die Maclaurin-Reihe einer geraden Funktion umfasst nur gerade Potenzen.
• Die Maclaurin-Reihe einer ungeraden Funktion enthält nur ungerade Potenzen.
• Die Fourierreihe einer periodischen geraden Funktion enthält nur Kosinusterme .
• Die Fourier-Reihe einer periodischen ungeraden Funktion enthält nur Sinusterme .
• Die Fourier-Transformation einer rein reellwertigen geraden Funktion ist reell und gerade. (siehe Fourier-Analyse § Symmetrieeigenschaften )
• Die Fourier-Transformation einer rein reellwertigen ungeraden Funktion ist imaginär und ungerade. (siehe Fourier-Analyse § Symmetrieeigenschaften )

Oberschwingungen

In der Signalverarbeitung tritt harmonische Verzerrung auf, wenn ein Sinuswellensignal durch ein speicherloses nichtlineares System gesendet wird , d. h. ein System, dessen Ausgabe zum Zeitpunkt t nur von der Eingabe zum Zeitpunkt t abhängt und nicht von der Eingabe zu einem früheren Zeitpunkt mal. Ein solches System wird durch eine Antwortfunktion beschrieben . Die Art der erzeugten Harmonischen hängt von der Antwortfunktion f ab : ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Wenn die Antwortfunktion gerade ist, besteht das resultierende Signal nur aus geraden Harmonischen der Eingangssinuswelle; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots}$
  • Die Grundwelle ist ebenfalls eine ungerade Harmonische und wird daher nicht vorhanden sein.
  • Ein einfaches Beispiel ist ein Vollweggleichrichter .
  • Die Komponente repräsentiert den DC-Offset aufgrund der einseitigen Natur der geraden symmetrischen Übertragungsfunktionen.${\displaystyle 0f}$
• Wenn es ungerade ist, besteht das resultierende Signal nur aus ungeraden Harmonischen der Eingangssinuswelle; ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots}$
  • Das Ausgangssignal ist halbwellensymmetrisch .
  • Ein einfaches Beispiel ist das Clipping in einem symmetrischen Gegentaktverstärker .
• Wenn es asymmetrisch ist, kann das resultierende Signal entweder gerade oder ungerade Harmonische enthalten; ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots}$
  • Einfache Beispiele sind ein Einweggleichrichter und Clipping in einem asymmetrischen Klasse-A-Verstärker .

Beachten Sie, dass dies nicht für komplexere Wellenformen gilt. Eine Sägezahnwelle enthält beispielsweise sowohl gerade als auch ungerade Harmonische. Nach gerader symmetrischer Vollweggleichrichtung wird daraus eine Dreieckswelle , die außer dem DC-Offset nur ungerade Harmonische enthält.

Verallgemeinerungen

Multivariate Funktionen

Gleichmäßige Symmetrie:

Eine Funktion heißt gerade symmetrisch, wenn: ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots,-x_{n})\quad { \text{für alle}}x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{R}}$

Ungerade Symmetrie:

Eine Funktion heißt ungerade symmetrisch, wenn: ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots,-x_{n})\quad {\text{für alle}}x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{R}}$

Komplexwertige Funktionen

Die Definitionen für gerade und ungerade Symmetrie für komplexwertige Funktionen eines reellen Arguments ähneln dem reellen Fall, beinhalten aber komplexe Konjugation .

Gleichmäßige Symmetrie:

Eine komplexwertige Funktion eines reellen Arguments heißt gerade symmetrisch, wenn: ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}}$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{für alle}}x\in\mathbb{R}}$

Ungerade Symmetrie:

Eine komplexwertige Funktion eines reellen Arguments heißt ungerade symmetrisch, wenn: ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}}$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{für alle}}x\in\mathbb{R}}$

Folgen endlicher Länge

Die Definitionen von ungerader und gerader Symmetrie werden wie folgt auf N- Punkt-Folgen (dh Funktionen der Form ) erweitert: ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots,N-1\right\}\to\mathbb{R}}$

Gleichmäßige Symmetrie:

Eine N- Punkte-Folge heißt gerade symmetrisch, wenn

${\displaystyle f(n)=f(Nn)\quad {\text{für alle}}n\in\left\{1,\ldots,N-1\right\}.}$

Eine solche Sequenz wird oft als palindromische Sequenz bezeichnet ; siehe auch Palindromisches Polynom .

Ungerade Symmetrie:

Eine N- Punkte-Folge heißt ungerade symmetrisch, wenn

${\displaystyle f(n)=-f(Nn)\quad {\text{für alle}}n\in\left\{1,\ldots,N-1\right\}.}$

Eine solche Sequenz wird manchmal als antipalindromische Sequenz bezeichnet ; siehe auch Antipalindromisches Polynom .

Siehe auch

• Hermitesche Funktion für eine Verallgemeinerung in komplexen Zahlen
• Taylor-Reihe
• die Fourierreihe
• Holstein-Hering-Methode
• Parität (Physik)

Anmerkungen

Verweise

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Funktionen und Graphen , Mineola, NY: Dover Publications