Exponentiellen Abfall - Exponential decay

Eine Größe, die einem exponentiellen Zerfall unterliegt. Größere Zerfallskonstanten lassen die Größe viel schneller verschwinden. Dieses Diagramm zeigt den Zerfall für die Zerfallskonstante (λ) von 25, 5, 1, 1/5 und 1/25 für x von 0 bis 5.

Eine Größe unterliegt einem exponentiellen Abfall, wenn sie proportional zu ihrem aktuellen Wert abnimmt . Symbolisch kann dieser Prozess durch die folgende Differentialgleichung ausgedrückt werden, wobei N die Größe und λ (Lambda) eine positive Rate ist, die als exponentielle Zerfallskonstante bezeichnet wird :

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

Die Lösung dieser Gleichung (siehe Herleitung unten) lautet:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

wobei N ( t ) die Größe zum Zeitpunkt t , N ₀ = N (0) die Anfangsgröße ist, d. h. die Größe zum Zeitpunkt t = 0, und die Konstante λ heißt Zerfallskonstante , Zerfallskonstante , Geschwindigkeitskonstante oder Transformationskonstante .

Zerfallsraten messen

Mittlere Lebensdauer

Wenn die abklingende Größe N ( t ) die Anzahl der diskreten Elemente in einer bestimmten Menge ist , ist es möglich, die durchschnittliche Zeitdauer zu berechnen, die ein Element in der Menge verbleibt. Dies wird als mittlere Lebensdauer (oder einfach als Lebensdauer ) bezeichnet, wobei sich die exponentielle Zeitkonstante , , wie folgt auf die Zerfallsrate bezieht: ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

Die mittlere Lebensdauer kann als "Skalierungszeit" angesehen werden, da die exponentielle Zerfallsgleichung in Bezug auf die mittlere Lebensdauer, , anstelle der Zerfallskonstante, λ geschrieben werden kann: ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau},}$

und das ist der Zeitpunkt, zu dem die Population der Baugruppe auf das 1/ e 0,367879441- fache ihres Anfangswertes reduziert wird. ${\displaystyle \tau}$

Wenn beispielsweise die Anfangspopulation der Baugruppe, N (0), 1000 beträgt, dann beträgt die Population zum Zeitpunkt , , 368. ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle N(\tau)}$

Eine sehr ähnliche Gleichung ist unten zu sehen, die entsteht, wenn die Basis der Exponentialfunktion 2 statt e gewählt wird . In diesem Fall ist die Skalierungszeit die "Halbwertszeit".

Halbes Leben

Ein intuitiveres Merkmal des exponentiellen Zerfalls für viele Menschen ist die Zeit, die benötigt wird, bis die zerfallende Menge auf die Hälfte ihres Anfangswertes abfällt. (Wenn N ( t ) diskret ist, dann ist dies die mittlere Lebensdauer und nicht die mittlere Lebensdauer.) Diese Zeit wird Halbwertszeit genannt und oft mit dem Symbol t _{1/2 bezeichnet} . Die Halbwertszeit kann als Zerfallskonstante oder mittlere Lebensdauer geschrieben werden als:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda}}=\tau\ln(2).}$

Wenn dieser Ausdruck in die obige Exponentialgleichung eingesetzt wird und ln 2 in die Basis absorbiert wird, wird diese Gleichung: ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Somit ist die verbleibende Materialmenge 2 ⁻¹  = 1/2, erhöht auf die (ganze oder angebrochene) Anzahl der verstrichenen Halbwertszeiten. Somit bleibt nach 3 Halbwertszeiten 1/2 ³  = 1/8 des ursprünglichen Materials übrig.

Daher ist die mittlere Lebensdauer gleich der Halbwertszeit geteilt durch den natürlichen Logarithmus von 2, oder: ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1,44\cdot t_{1/2}.}$

Zum Beispiel Polonium-210 hat eine Halbwertszeit von 138 Tagen und eine mittlere Lebensdauer von 200 Tagen haben .

Lösung der Differentialgleichung

Die Gleichung, die den exponentiellen Zerfall beschreibt, ist

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N}$

oder durch Neuanordnen (Anwenden der Technik namens Trennung von Variablen ),

${\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.}$

Integration, wir haben

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

wobei C die Integrationskonstante ist und somit

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

wobei die endgültige Substitution, N ₀ = e ^C , durch Auswerten der Gleichung bei t = 0 erhalten wird, da N ₀ als die Größe bei t = 0 definiert ist.

Dies ist die Form der Gleichung, die am häufigsten verwendet wird, um den exponentiellen Zerfall zu beschreiben. Jede Zerfallskonstante, mittlere Lebensdauer oder Halbwertszeit ist ausreichend, um den Zerfall zu charakterisieren. Die Schreibweise λ für die Zerfallskonstante ist ein Überbleibsel der üblichen Schreibweise für einen Eigenwert . In diesem Fall ist λ der Eigenwert des Negativen des Differentialoperators mit N ( t ) als zugehöriger Eigenfunktion . Die Einheiten der Zerfallskonstante sind s ⁻¹ .

Ableitung der mittleren Lebensdauer

Bei einer Baugruppe von Elementen, deren Anzahl letztendlich auf null sinkt, ist die mittlere Lebensdauer , , (auch einfach Lebensdauer genannt ) der erwartete Wert der Zeitdauer, bevor ein Objekt aus der Baugruppe entfernt wird. Wenn die individuelle Lebensdauer eines Elements der Baugruppe insbesondere die Zeit ist, die zwischen einer Referenzzeit und dem Entfernen dieses Elements aus der Baugruppe verstrichen ist, ist die mittlere Lebensdauer das arithmetische Mittel der einzelnen Lebensdauern. ${\displaystyle \tau}$

Ausgehend von der Bevölkerungsformel

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

sei zunächst c der Normalisierungsfaktor, um in eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion umzuwandeln :

${\displaystyle 1=\int_{0}^{\infty}c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

oder beim Umstellen,

${\displaystyle c={\frac {\lambda}{N_{0}}}.}$

Der exponentielle Zerfall ist ein skalares Vielfaches der Exponentialverteilung (dh die individuelle Lebensdauer jedes Objekts ist exponentiell verteilt), das einen wohlbekannten Erwartungswert hat . Wir können es hier mit Integration nach Teilen berechnen .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty}t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0 }^{\infty}\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Zerfall durch zwei oder mehr Prozesse

Eine Größe kann über zwei oder mehrere verschiedene Prozesse gleichzeitig zerfallen. Im Allgemeinen haben diese Prozesse (oft als "Zerfallsmodi", "Zerfallskanäle", "Zerfallsrouten" usw. bezeichnet) unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten des Auftretens und treten daher parallel mit unterschiedlichen Raten mit unterschiedlichen Halbwertszeiten auf. Die Gesamtzerfallsrate der Größe  N ergibt sich aus der Summe der Zerfallswege; also bei zwei Prozessen:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda_{1}+N\lambda_{2}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})N .}$

Die Lösung dieser Gleichung finden Sie im vorherigen Abschnitt, wo die Summe von als neue Gesamtzerfallskonstante behandelt wird . ${\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}\,}$${\displaystyle \lambda_{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda_{c}) T}.}$

Die mit einzelnen Prozessen verbundene partielle mittlere Lebensdauer ist per Definition die multiplikative Inverse der entsprechenden partiellen Zerfallskonstante: . Eine Kombination kann in Bezug auf s angegeben werden: ${\displaystyle\tau=1/\lambda}$${\displaystyle \tau_{c}}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle {\frac{1}{\tau_{c}}}=\lambda_{c}=\lambda_{1}+\lambda_{2}={\frac{1}{\tau_ {1}}}+{\frac{1}{\tau_{2}}}}$

${\displaystyle \tau_{c}={\frac {\tau_{1}\tau_{2}}{\tau_{1}+\tau_{2}}}.}$

Da sich die Halbwertszeiten um einen konstanten Faktor von der mittleren Lebensdauer unterscheiden , gilt dieselbe Gleichung in Bezug auf die beiden entsprechenden Halbwertszeiten: ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

wobei die kombinierte oder gesamte Halbwertszeit für den Prozess ist und so genannte partielle Halbwertszeiten der entsprechenden Prozesse sind. Die Begriffe "partielle Halbwertszeit" und "partielle mittlere Lebensdauer" bezeichnen Größen, die von einer Zerfallskonstante abgeleitet werden, als ob der gegebene Zerfallsmodus der einzige Zerfallsmodus für die Größe wäre. Der Begriff „partielle Halbwertszeit“ ist irreführend, da er nicht als Zeitintervall gemessen werden kann, für das eine bestimmte Menge halbiert wird . ${\displaystyle T_{1/2}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

In Bezug auf separate Zerfallskonstanten kann gezeigt werden , dass die Gesamthalbwertszeit${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda_{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda_{1}+\lambda_{2} }}.}$

Für einen Zerfall durch drei gleichzeitige exponentielle Prozesse kann die Gesamthalbwertszeit wie oben berechnet werden:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda_{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda_{1}+\lambda_{2} +\lambda_{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+ (t_{2}t_{3})}}.}$

Zerfallsreihe / gekoppelter Zerfall

In der Nuklearwissenschaft und Pharmakokinetik könnte sich der interessierende Wirkstoff in einer Zerfallskette befinden, in der die Akkumulation durch einen exponentiellen Zerfall eines Quellenagens bestimmt wird, während der interessierende Wirkstoff selbst durch einen exponentiellen Prozess zerfällt.

Diese Systeme werden mit der Bateman-Gleichung gelöst .

In der Pharmakologie können einige aufgenommene Substanzen durch einen Prozess, der vernünftigerweise als exponentieller Zerfall modelliert wird, in den Körper aufgenommen werden, oder sie könnten absichtlich so formuliert werden , dass sie ein solches Freisetzungsprofil aufweisen.

Anwendungen und Beispiele

Exponentieller Zerfall tritt in einer Vielzahl von Situationen auf. Die meisten davon fallen in den Bereich der Naturwissenschaften .

Viele Zerfallsprozesse, die oft als exponentiell behandelt werden, sind wirklich nur exponentiell, solange die Stichprobe groß ist und das Gesetz der großen Zahlen gilt. Bei kleinen Proben ist eine allgemeinere Analyse erforderlich, die einen Poisson-Prozess berücksichtigt .

Naturwissenschaften

• Chemische Reaktionen : Die Geschwindigkeit bestimmter Arten chemischer Reaktionen hängt von der Konzentration des einen oder anderen Reaktionspartners ab . Reaktionen, deren Geschwindigkeit nur von der Konzentration eines Reaktionspartners abhängt (sogenannte Reaktionen erster Ordnung ), folgen folglich einem exponentiellen Zerfall. Zum Beispiel viele Enzyme - katalysierten verhaltene Reaktionendiese Weise.
• Elektrostatik : Diein einem Kondensator (Kapazität C ) enthaltene elektrische Ladung (oder äquivalent das Potential )ändert sich exponentiell, wenn der Kondensator einer konstanten äußeren Belastung (Widerstand R ) ausgesetzt ist . Die exponentielle Zeitkonstante τ für den Prozess ist R C , und die Halbwertszeit ist daher R C ln2. Dies gilt sowohl für das Laden als auch für das Entladen, dh ein Kondensator lädt oder entlädt sich nach dem gleichen Gesetz. Dieselben Gleichungen können auf den Strom in einer Induktivität angewendet werden. (Außerdem ist der spezielle Fall, dass sich ein Kondensator oder eine Induktivität durch mehrere parallele Widerstände ändert,ein interessantes Beispiel für mehrere Abklingprozesse, wobei jeder Widerstand einen separaten Prozess darstellt. Tatsächlichspiegelt derAusdruck für den äquivalenten Widerstand zweier paralleler Widerstände die Gleichung für die Halbwertszeit mit zwei Zerfallsprozessen.)
• Geophysik : Der atmosphärische Druck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel ungefähr exponentiell ab, mit einer Rate von etwa 12% pro 1000m.
• Wärmeübertragung : Wird ein Gegenstand einer Temperatur einem Medium einer anderen Temperatur ausgesetzt, folgt die Temperaturdifferenz zwischen dem Gegenstand und dem Medium einem exponentiellen Zerfall (im Grenzfall langsamer Prozesse; gleichbedeutend mit "guter" Wärmeleitung im Inneren des Gegenstandes, also dass seine Temperatur durch sein Volumen relativ gleichmäßig bleibt). Siehe auch das Newtonsche Kühlgesetz .
• Lumineszenz : Nach der Anregung fällt die Emissionsintensität – die proportional zur Anzahl der angeregten Atome oder Moleküle ist – eines Leuchtstoffs exponentiell ab. Je nach Anzahl der beteiligten Mechanismen kann der Zerfall mono- oder multiexponentiell sein.
• Pharmakologie und Toxikologie : Es wurde festgestellt, dass viele verabreichte Substanzennach exponentiellen Zerfallsmusternverteilt und metabolisiert werden (siehe Clearance ). Die biologischen Halbwertszeiten „Alpha-Halbwertszeit“ und „Beta-Halbwertszeit“ einer Substanz messen, wie schnell eine Substanz verteilt und ausgeschieden wird.
• Physikalische Optik : Die Intensität elektromagnetischer Strahlung wie Licht oder Röntgen- oder Gammastrahlen in einem absorbierenden Medium nimmt mit der Entfernung in das absorbierende Medium exponentiell ab. Dies ist als das Lambert-Beer- Gesetz bekannt.
• Radioaktivität : In einer Probe eines Radionuklids , die einem radioaktiven Zerfall in einen anderen Zustandunterliegt, folgt die Anzahl der Atome im ursprünglichen Zustand dem exponentiellen Zerfall, solange die verbleibende Anzahl von Atomen groß ist. Das Zerfallsprodukt wird als radiogenes Nuklid bezeichnet.
• Thermoelektrizität : Die Abnahme des Widerstands eines Thermistors mitnegativem Temperaturkoeffizienten,wenn die Temperatur erhöht wird.
• Vibrationen : Einige Vibrationen können exponentiell abklingen; Diese Eigenschaft findet man oft bei gedämpften mechanischen Oszillatoren und wird bei der Erzeugung von ADSR-Hüllkurven in Synthesizern verwendet . Ein überdämpftes System kehrt einfach über einen exponentiellen Abfall ins Gleichgewicht zurück.
• Bierschaum: Arnd Leike, der Ludwig - Maximilians - Universität München , gewann einen Ig - Nobelpreis für den Nachweis , dass Bierschaum gehorcht dem Gesetz der exponentiellen Abfall.

Sozialwissenschaften

• Finanzen : Ein Rentenfonds wird exponentiell verfallen, da er diskreten Auszahlungsbeträgen, normalerweise monatlich, und einem Eingang unterliegt, der einem kontinuierlichen Zinssatz unterliegt. Eine Differentialgleichung dA/dt = Input – Output kann geschrieben und gelöst werden, um die Zeit zu finden, um einen beliebigen Betrag A zu erreichen, der im Fonds verbleibt.
• In der einfachen Glottochronologie erlaubt die (strittige) Annahme einer konstanten Zerfallsrate von Sprachen, das Alter einzelner Sprachen abzuschätzen. (Um die Aufteilungszeit zwischen zwei Sprachen zu berechnen, sind zusätzliche Annahmen erforderlich, unabhängig vom exponentiellen Zerfall).

Informatik

• Das Kern- Routing-Protokoll im Internet , BGP , muss eine Routing-Tabelle führen, um sich an die Pfade zu erinnern, auf die ein Paket umgeleitet werden kann. Wenn einer dieser Pfade wiederholt seinen Zustand von verfügbar zu nicht verfügbar ändert (und umgekehrt ), muss der BGP- Router , der diesen Pfad steuert , den Pfaddatensatz wiederholt zu seiner Routing-Tabelle hinzufügen und entfernen ( den Pfad klappen ), wodurch lokale Ressourcen wie z als CPU und RAM und, mehr noch, das Senden nutzloser Informationen an Peer-Router. Um dieses unerwünschte Verhalten zu verhindern, weist ein Algorithmus namens Route flatping Damping jeder Route ein Gewicht zu, das jedes Mal größer wird, wenn die Route ihren Zustand ändert und mit der Zeit exponentiell abfällt. Wenn das Gewicht eine bestimmte Grenze erreicht, wird nicht mehr geflattert, wodurch die Route unterdrückt wird.

Diagramme zum Vergleich von Verdopplungszeiten und Halbwertszeiten von exponentiellem Wachstum (fette Linien) und Zerfall (schwache Linien) und ihre 70/ t- und 72/ t- Approximationen. Bewegen Sie in der SVG-Version den Mauszeiger über ein Diagramm, um es und seine Ergänzung hervorzuheben.

Siehe auch

• Exponentialformel
• Exponentielles Wachstum
• Radioaktiver Zerfall für die Mathematik von Ketten exponentieller Prozesse mit unterschiedlichen Konstanten

Anmerkungen

Verweise

• McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10. Aufl.). New York: McGraw-Hill . 2007. ISBN 0-07-144143-3.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clemens J.; Moyer, Curt A. (1989), Moderne Physik , Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
• Simmons, George F. (1972), Differentialgleichungen mit Anwendungen und historischen Anmerkungen , New York: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Externe Links

• Rechner für exponentiellen Zerfall
• Eine stochastische Simulation des exponentiellen Zerfalls
• Tutorial zu Zeitkonstanten