Dehnbarkeit - Extensionality

In Logik , Extensionalität oder extensionale Gleichheit , bezieht sich auf Prinzipien , dass Richter Objekte werden gleich , wenn sie die gleichen äußeren Eigenschaften aufweisen. Es steht im Gegensatz zum Konzept der Intensionalität , das sich damit beschäftigt, ob die internen Definitionen von Objekten gleich sind.

Beispiel

Betrachten Sie die beiden Funktionen f und g, die von und auf natürliche Zahlen abbilden , definiert wie folgt:

  • Um f ( n ) zu finden, addiere zuerst 5 zu n und multipliziere dann mit 2.
  • Um g ( n ) zu finden, multipliziere zuerst n mit 2 und addiere dann 10.

Diese Funktionen sind extensional gleich; Bei gleicher Eingabe liefern beide Funktionen immer den gleichen Wert. Aber die Definitionen der Funktionen sind nicht gleich, und in diesem intensionalen Sinne sind die Funktionen nicht gleich.

In ähnlicher Weise gibt es in der natürlichen Sprache viele Prädikate (Beziehungen), die sich intensional unterscheiden, aber extensional identisch sind. Angenommen, in einer Stadt gibt es eine Person namens Joe, die auch die älteste Person der Stadt ist. Dann sind die beiden Prädikate "Joe genannt" und "die älteste Person in dieser Stadt sein" intensional verschieden, aber für die (aktuelle) Bevölkerung dieser Stadt dehnungsgleich.

In Mathematik

Die oben diskutierte extensionale Definition der Funktionsgleichheit wird häufig in der Mathematik verwendet. Manchmal werden zusätzliche Informationen an eine Funktion gebunden sind , wie eine explizite codomain , wobei in diesem Fall zwei Funktionen müssen nicht nur auf alle Werte stimmen, sondern muss auch die gleiche codomain haben, um gleich zu sein (im Gegensatz dazu die übliche Definition eines Funktion in der Mathematik bedeutet, dass gleiche Funktionen die gleiche Domäne haben müssen ).

Eine ähnliche extensionale Definition wird normalerweise für Relationen verwendet : Zwei Relationen heißen gleich, wenn sie die gleichen Erweiterungen haben .

In der Mengenlehre , die Extensionalitatsaxiom besagt , dass zwei Sätze sind gleich , wenn und nur dann , wenn sie dieselben Elemente enthalten. In der mengentheoretisch formalisierten Mathematik ist es üblich, Relationen – und vor allem Funktionen – mit ihrer oben genannten Erweiterung zu identifizieren , so dass es unmöglich ist, zwei Relationen oder Funktionen mit derselben Erweiterung zu unterscheiden.

Andere mathematische Objekte sind ebenfalls so konstruiert, dass der intuitive Begriff der "Gleichheit" mit der Extensionsgleichheit auf Mengenebene übereinstimmt; also haben gleichgeordnete Paare gleiche Elemente, und Elemente einer Menge, die durch eine Äquivalenzrelation verbunden sind, gehören derselben Äquivalenzklasse an .

Typ-theoretische Grundlagen der Mathematik sind in der Regel nicht extensional in diesem Sinne und setoids werden häufig verwendet , um eine Differenz zwischen intensionaler Gleichheit und einer allgemeineren Äquivalenzrelation (die in der Regel schlecht hat aufrechtzuerhalten constructibility oder decidability Eigenschaften).

Siehe auch

Verweise