Extrempunkt - Extreme point

Ein konvexer Satz in Hellblau und seine äußersten Punkte in Rot.

In der Mathematik ist ein Extrempunkt einer konvexen Menge S in einem reellen Vektorraum ein Punkt in S, der in keinem offenen Liniensegment liegt , das zwei Punkte von S verbindet . Bei Problemen der linearen Programmierung wird ein Extrempunkt auch als Scheitelpunkt oder Eckpunkt von S bezeichnet .

Definition

Durchweg wird angenommen, dass S ein reeller oder komplexer Vektorraum ist.

Für jeden x , x 1 , x 2S , sagt , dass x liegt zwischen x 1 und x 2 , wenn x 1x 2 und es existiert ein 0 < t <1 , so dass x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Wenn K eine Teilmenge ist S und xK , dann x ist ein genannter Extrempunkt von K , wenn es nicht zwischen irgendwelchen zwei sich liegt unterschiedliche Punkte von K . Das heißt, wenn es tut nicht existiert x 1 , x 2K und 0 < t <1 , so dass x 1x 2 und x = tx 1 + (1 - t ) x 2 . Die Menge aller Extrempunkte von K wird mit extrem( K ) bezeichnet .

Charakterisierungen

Der Mittelpunkt zweier Elemente x und y in einem Vektorraum ist der Vektor 1/2( x + y ) .

Für alle Elemente x und y in einem Vektorraum wird die Menge [ x , y ] := { tx + (1 − t ) y  : 0 ≤ t ≤ 1 } als abgeschlossenes Liniensegment oder abgeschlossenes Intervall zwischen x und y bezeichnet . Das offene Liniensegment oder das offene Intervall zwischen x und y ist ( x , x ) := ∅ wenn x = y während es ist ( x , y ) := { tx + (1 − t ) y  : 0 < t < 1 } wenn xy . Die Punkte x und y werden Endpunkte dieses Intervalls genannt. Ein Intervall wird als nicht entartet oder richtig bezeichnet, wenn seine Endpunkte unterschiedlich sind. Der Mittelpunkt eines Intervalls ist der Mittelpunkt seiner Endpunkte.

Man beachte , dass [ x , y ] ist gleich die konvexe Hülle von { x , y } so dass , wenn K konvex ist und x , yK , dann [ x , y ] ⊆ K .

Wenn K eine nichtleere Teilmenge von X und F eine nichtleere Teilmenge von K ist , dann heißt F eine Fläche von K, wenn immer dann, wenn ein Punkt pF zwischen zwei Punkten von K liegt , diese beiden Punkte notwendigerweise zu F gehören .

Satz  —  Sei K eine nichtleere konvexe Teilmenge eines Vektorraums X und sei pK . Dann sind äquivalent:

  1. p ist ein Extrempunkt von K ;
  2. K ∖ { p } ist konvex;
  3. p ist nicht der Mittelpunkt eines nicht entarteten Liniensegments, das in K enthalten ist ;
  4. für jeden x , yK , wenn p ∈ [ x , y ] , dann x = p oder y = p ;
  5. wenn xX so ist, dass sowohl p + x als auch px zu K gehören , dann ist x = 0 ;
  6. { p } ist eine Seite von K .

Beispiele

  • Wenn a < b zwei reelle Zahlen sind, dann sind a und b Extrempunkte des Intervalls [ a , b ] . Das offene Intervall ( a , b ) hat jedoch keine Extrempunkte.
  • Eine injektive lineare Abbildung F  : XY sendet die Extrempunkte einer konvexen Menge CX an die Extrempunkte der konvexen Menge F ( C ) . Dies gilt auch für injektive affine Abbildungen.
  • Der Umfang jedes konvexen Polygons in der Ebene ist eine Fläche dieses Polygons.
  • Die Scheitelpunkte jedes konvexen Polygons in der Ebene 2 sind die Extrempunkte dieses Polygons.
  • Die Extrempunkte der geschlossenen Einheitsscheibe in 2 ist der Einheitskreis .
  • Alles offenes Intervall in r hat keine Extrempunkte während jedem nicht-entarteten geschlossenen Intervalls nicht gleich r ist Extrempunkte (dh das geschlossenen Intervalls des Endpunkt (n)). Allgemeiner gesagt hat jede offene Teilmenge des endlichdimensionalen euklidischen Raums n keine Extrempunkte.

Eigenschaften

Die Extrempunkte eines kompakten konvexen Form einen Baireschen Raumes (mit der Unterraum - Topologie) , aber diese Menge kann nicht in geschlossen wird X .

Sätze

Satz von Krein-Milman

Der Satz von Krein-Milman ist wohl einer der bekanntesten Sätze über Extrempunkte.

Satz von Krein-Milman  —  Wenn S in einem lokal konvexen Raum konvex und kompakt ist , dann ist S die geschlossene konvexe Hülle seiner Extrempunkte: Insbesondere hat eine solche Menge Extrempunkte.

Für Banach-Räume

Diese Sätze gelten für Banach-Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft .

Ein Satz von Joram Lindenstrauss besagt, dass in einem Banach-Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft eine nichtleere abgeschlossene und beschränkte Menge einen Extrempunkt hat. (In unendlichdimensionalen Räumen ist die Eigenschaft der Kompaktheit stärker als die gemeinsamen Eigenschaften des Geschlossenseins und des Beschränktseins).

Satz  ( Gerald Edgar )  —  Sei E ein Banachraum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft, sei C eine separierbare, abgeschlossene, beschränkte, konvexe Teilmenge von E und sei a ein Punkt in C . Dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß p auf den universell messbaren Mengen in C, so dass a der Schwerpunkt von p ist und die Menge der Extrempunkte von C hat p -Maß 1.

Der Satz von Edgar impliziert den Satz von Lindenstrauss.

k -Extrempunkte

Mehr ein Punkt in einer konvexen Menge Allgemeinen S ist k -Extreme wenn es in das Innere eines liegt k -dimensionalen konvexen gesetzt innerhalb S , aber nicht eine k + 1 innerhalb -dimensionalen konvexen Menge S . Somit ist ein Extrempunkt auch ein 0-Extrempunkt. Ist S ein Polytop, dann sind die k- Extrempunkte genau die inneren Punkte der k- dimensionalen Flächen von S . Allgemeiner gesagt werden für jede konvexe Menge S die k- Extrempunkte in k- dimensionale offene Flächen unterteilt.

Der endlichdimensionale Satz von Krein-Milman, der von Minkowski stammt, lässt sich schnell mit dem Konzept der k- Extrempunkte beweisen. Wenn S geschlossen ist, begrenzt ist , und n -dimensionalen, und wenn p ein Punkt in ist S , dann p ist k -Extreme für einige k < n . Der Satz besagt, dass p eine konvexe Kombination von Extrempunkten ist. Wenn k = 0, dann ist es trivial wahr. Andernfalls liegt p auf einem Liniensegment in S, das maximal verlängert werden kann (weil S abgeschlossen und beschränkt ist). Wenn die Endpunkte des Segments q und r sind , dann muss ihr extremer Rang kleiner als der von p sein , und der Satz folgt durch Induktion.

Siehe auch

Zitate

Literaturverzeichnis