Extrempunkt - Extreme point
In der Mathematik ist ein Extrempunkt einer konvexen Menge S in einem reellen Vektorraum ein Punkt in S, der in keinem offenen Liniensegment liegt , das zwei Punkte von S verbindet . Bei Problemen der linearen Programmierung wird ein Extrempunkt auch als Scheitelpunkt oder Eckpunkt von S bezeichnet .
Definition
Durchweg wird angenommen, dass S ein reeller oder komplexer Vektorraum ist.
Für jeden x , x 1 , x 2 ∈ S , sagt , dass x liegt zwischen x 1 und x 2 , wenn x 1 ≠ x 2 und es existiert ein 0 < t <1 , so dass x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .
Wenn K eine Teilmenge ist S und x ∈ K , dann x ist ein genannter Extrempunkt von K , wenn es nicht zwischen irgendwelchen zwei sich liegt unterschiedliche Punkte von K . Das heißt, wenn es tut nicht existiert x 1 , x 2 ∈ K und 0 < t <1 , so dass x 1 ≠ x 2 und x = tx 1 + (1 - t ) x 2 . Die Menge aller Extrempunkte von K wird mit extrem( K ) bezeichnet .
Charakterisierungen
Der Mittelpunkt zweier Elemente x und y in einem Vektorraum ist der Vektor 1/2( x + y ) .
Für alle Elemente x und y in einem Vektorraum wird die Menge [ x , y ] := { tx + (1 − t ) y : 0 ≤ t ≤ 1 } als abgeschlossenes Liniensegment oder abgeschlossenes Intervall zwischen x und y bezeichnet . Das offene Liniensegment oder das offene Intervall zwischen x und y ist ( x , x ) := ∅ wenn x = y während es ist ( x , y ) := { tx + (1 − t ) y : 0 < t < 1 } wenn x ≠ y . Die Punkte x und y werden Endpunkte dieses Intervalls genannt. Ein Intervall wird als nicht entartet oder richtig bezeichnet, wenn seine Endpunkte unterschiedlich sind. Der Mittelpunkt eines Intervalls ist der Mittelpunkt seiner Endpunkte.
Man beachte , dass [ x , y ] ist gleich die konvexe Hülle von { x , y } so dass , wenn K konvex ist und x , y ∈ K , dann [ x , y ] ⊆ K .
Wenn K eine nichtleere Teilmenge von X und F eine nichtleere Teilmenge von K ist , dann heißt F eine Fläche von K, wenn immer dann, wenn ein Punkt p ∈ F zwischen zwei Punkten von K liegt , diese beiden Punkte notwendigerweise zu F gehören .
Satz — Sei K eine nichtleere konvexe Teilmenge eines Vektorraums X und sei p ∈ K . Dann sind äquivalent:
- p ist ein Extrempunkt von K ;
- K ∖ { p } ist konvex;
- p ist nicht der Mittelpunkt eines nicht entarteten Liniensegments, das in K enthalten ist ;
- für jeden x , y ∈ K , wenn p ∈ [ x , y ] , dann x = p oder y = p ;
- wenn x ∈ X so ist, dass sowohl p + x als auch p − x zu K gehören , dann ist x = 0 ;
- { p } ist eine Seite von K .
Beispiele
- Wenn a < b zwei reelle Zahlen sind, dann sind a und b Extrempunkte des Intervalls [ a , b ] . Das offene Intervall ( a , b ) hat jedoch keine Extrempunkte.
- Eine injektive lineare Abbildung F : X → Y sendet die Extrempunkte einer konvexen Menge C ⊆ X an die Extrempunkte der konvexen Menge F ( C ) . Dies gilt auch für injektive affine Abbildungen.
- Der Umfang jedes konvexen Polygons in der Ebene ist eine Fläche dieses Polygons.
- Die Scheitelpunkte jedes konvexen Polygons in der Ebene ℝ 2 sind die Extrempunkte dieses Polygons.
- Die Extrempunkte der geschlossenen Einheitsscheibe in ℝ 2 ist der Einheitskreis .
- Alles offenes Intervall in r hat keine Extrempunkte während jedem nicht-entarteten geschlossenen Intervalls nicht gleich r ist Extrempunkte (dh das geschlossenen Intervalls des Endpunkt (n)). Allgemeiner gesagt hat jede offene Teilmenge des endlichdimensionalen euklidischen Raums ℝ n keine Extrempunkte.
Eigenschaften
Die Extrempunkte eines kompakten konvexen Form einen Baireschen Raumes (mit der Unterraum - Topologie) , aber diese Menge kann nicht in geschlossen wird X .
Sätze
Satz von Krein-Milman
Der Satz von Krein-Milman ist wohl einer der bekanntesten Sätze über Extrempunkte.
Satz von Krein-Milman — Wenn S in einem lokal konvexen Raum konvex und kompakt ist , dann ist S die geschlossene konvexe Hülle seiner Extrempunkte: Insbesondere hat eine solche Menge Extrempunkte.
Für Banach-Räume
Diese Sätze gelten für Banach-Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft .
Ein Satz von Joram Lindenstrauss besagt, dass in einem Banach-Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft eine nichtleere abgeschlossene und beschränkte Menge einen Extrempunkt hat. (In unendlichdimensionalen Räumen ist die Eigenschaft der Kompaktheit stärker als die gemeinsamen Eigenschaften des Geschlossenseins und des Beschränktseins).
Satz ( Gerald Edgar ) — Sei E ein Banachraum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft, sei C eine separierbare, abgeschlossene, beschränkte, konvexe Teilmenge von E und sei a ein Punkt in C . Dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß p auf den universell messbaren Mengen in C, so dass a der Schwerpunkt von p ist und die Menge der Extrempunkte von C hat p -Maß 1.
Der Satz von Edgar impliziert den Satz von Lindenstrauss.
k -Extrempunkte
Mehr ein Punkt in einer konvexen Menge Allgemeinen S ist k -Extreme wenn es in das Innere eines liegt k -dimensionalen konvexen gesetzt innerhalb S , aber nicht eine k + 1 innerhalb -dimensionalen konvexen Menge S . Somit ist ein Extrempunkt auch ein 0-Extrempunkt. Ist S ein Polytop, dann sind die k- Extrempunkte genau die inneren Punkte der k- dimensionalen Flächen von S . Allgemeiner gesagt werden für jede konvexe Menge S die k- Extrempunkte in k- dimensionale offene Flächen unterteilt.
Der endlichdimensionale Satz von Krein-Milman, der von Minkowski stammt, lässt sich schnell mit dem Konzept der k- Extrempunkte beweisen. Wenn S geschlossen ist, begrenzt ist , und n -dimensionalen, und wenn p ein Punkt in ist S , dann p ist k -Extreme für einige k < n . Der Satz besagt, dass p eine konvexe Kombination von Extrempunkten ist. Wenn k = 0, dann ist es trivial wahr. Andernfalls liegt p auf einem Liniensegment in S, das maximal verlängert werden kann (weil S abgeschlossen und beschränkt ist). Wenn die Endpunkte des Segments q und r sind , dann muss ihr extremer Rang kleiner als der von p sein , und der Satz folgt durch Induktion.
Siehe auch
Zitate
Literaturverzeichnis
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorräume: Die Theorie ohne Konvexitätsbedingungen . Vorlesungsnotizen in Mathematik. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologische Vektorräume: Kapitel 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elemente der Mathematik . 2 . Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Paul E. Schwarz, Hrsg. (2004-12-17). "Extrempunkt" . Wörterbuch der Algorithmen und Datenstrukturen . US Nationales Institut für Standards und Technologie . Abgerufen 2011-03-24 .
- Borowski, Ephraim J.; Borwein, Jonathan M. (1989). "Extrempunkt". Wörterbuch der Mathematik . Collins-Wörterbuch. Harper Collins . ISBN 0-00-434347-6.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume . Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon und Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Lokal konvexe Räume . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983). Topologische Vektorräume I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0.248.498 . OCLC- 840293704 .
- Köthe, Gottfried (1979). Topologische Vektorräume II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 237 . New York: Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, AlexP.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologische Vektorräume . Cambridge Tracts in Mathematik . 53 . Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schäfer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Schechter, Eric (1996). Handbuch der Analysis und ihrer Grundlagen . San Diego, CA: Akademische Presse. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .