Von Neumann-Algebra - Von Neumann algebra

In der Mathematik ist eine von Neumann-Algebra oder W*-Algebra eine *-Algebra von beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum , die in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist und den Identitätsoperator enthält . Es ist eine spezielle Art der C*-Algebra .

Von Neumann-Algebren wurden ursprünglich von John von Neumann eingeführt , motiviert durch sein Studium von Einzeloperatoren , Gruppendarstellungen , ergodischer Theorie und Quantenmechanik . Sein Doppelkommutantensatz zeigt, dass die analytische Definition einer rein algebraischen Definition als Symmetriealgebra äquivalent ist .

Zwei grundlegende Beispiele für von Neumann-Algebren sind wie folgt:

• Der Ring von im wesentlichen begrenzte meßbaren Funktionen auf der durchgezogenen Linie ist ein kommutativer Algebra von Neumann, deren Elementen wirken als Multiplikationsoperator durch punktweise Multiplikation auf dem Hilbert - Raum von rechteck integrierbaren Funktionen .${\displaystyle L^{\infty}(\mathbb{R})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb{R})}$
• Die Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum ist eine von Neumann-Algebra, nicht kommutativ, wenn der Hilbertraum mindestens eine Dimension hat .${\displaystyle {\mathcal{B}}({\mathcal{H}})}$${\displaystyle {\mathcal{H}}}$${\displaystyle 2}$

Von Neumann-Algebren wurden erstmals 1929 von von Neumann (1930) untersucht ; er und Francis Murray entwickelten die grundlegende Theorie unter dem ursprünglichen Namen Ringe von Operatoren in einer Reihe von Arbeiten, die in den 1930er und 1940er Jahren verfasst wurden (FJ Murray & J. von Neumann  1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann  1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), abgedruckt in den gesammelten Werken von Neumann (1961) .

Einführende Darstellungen der von-Neumann-Algebren finden sich in den Online-Notizen von Jones (2003) und Wassermann (1991) sowie in den Büchern von Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) und Sakai (1971) . Das dreibändige Werk von Takesaki (1979) gibt eine enzyklopädische Darstellung der Theorie. Das Buch von Connes (1994) behandelt weiterführende Themen.

Definitionen

Es gibt drei gängige Methoden, um von Neumann-Algebren zu definieren.

Der erste und gebräuchlichste Weg besteht darin, sie als schwach abgeschlossene *-Algebren von beschränkten Operatoren (auf einem Hilbert-Raum) zu definieren, die die Identität enthalten. In dieser Definition der schwache (Operator) Topologie kann durch viele andere ersetzt werden gemeinsame Topologien , einschließlich der starken , ultrastarker oder ultraschwachen Operator - Topologien. Die *-Algebren beschränkter Operatoren, die in der Normtopologie abgeschlossen sind, sind C*-Algebren , also ist insbesondere jede von Neumann-Algebra eine C*-Algebra.

Die zweite Definition ist , daß ein von - Neumann - Algebra ein Subalgebra der beschränkten Operatoren unter geschlossen ist Involution (die * -Betrieb) und gleich seinen doppelter commutant oder äquivalent die commutant einiger Subalgebra unter * geschlossen. Der Doppelkommutantensatz von Neumann ( von Neumann 1930 ) besagt, dass die ersten beiden Definitionen äquivalent sind.

Die ersten beiden Definitionen beschreiben eine von Neumann-Algebra konkret als eine Menge von Operatoren, die auf einen bestimmten Hilbert-Raum wirken. Sakai (1971) zeigte, dass von-Neumann-Algebren auch abstrakt als C*-Algebren mit einem Prädual definiert werden können ; mit anderen Worten, die von Neumann-Algebra, die als Banach-Raum betrachtet wird, ist das Dual eines anderen Banach-Raums, der als Predual bezeichnet wird. Das Predual einer von Neumann-Algebra ist bis auf Isomorphie tatsächlich einzigartig. Einige Autoren verwenden "von Neumann-Algebra" für die Algebren zusammen mit einer Hilbert-Raumaktion und "W*-Algebra" für den abstrakten Begriff, also ist eine von Neumann-Algebra eine W*-Algebra zusammen mit einem Hilbert-Raum und einem geeigneten Getreuen Einheitliche Aktion auf dem Hilbertraum. Die konkreten und abstrakten Definitionen einer von Neumann-Algebra ähneln den konkreten und abstrakten Definitionen einer C*-Algebra, die entweder als normgeschlossene *-Algebren von Operatoren auf einem Hilbert-Raum oder als Banach *-Algebren definiert werden können so dass || aa* ||=|| ein || || a* ||.

Terminologie

Einige der Terminologien in der von Neumann-Algebratheorie können verwirrend sein, und die Begriffe haben oft unterschiedliche Bedeutungen außerhalb des Fachs.

• Ein Faktor ist eine von Neumann-Algebra mit trivialem Zentrum, dh einem Zentrum, das nur aus Skalaroperatoren besteht.
• Eine endliche von-Neumann-Algebra ist das direkte Integral endlicher Faktoren (d.h. die von-Neumann-Algebra hat einen originalgetreuen Normalzustand τ: M →ℂ, siehe http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/ IHP-Trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf ). In ähnlicher Weise sind richtig unendliche von Neumann-Algebren das direkte Integral von richtig unendlichen Faktoren.
• Eine von Neumann-Algebra, die auf einen separierbaren Hilbertraum wirkt, heißt separierbar . Beachten Sie, dass solche Algebren in der Normtopologie selten trennbar sind .
• Die von einer Menge beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum erzeugte von Neumann-Algebra ist die kleinste von Neumann-Algebra, die alle diese Operatoren enthält.
• Das Tensorprodukt zweier von-Neumann-Algebren, die auf zwei Hilbert-Räume wirken, ist definiert als die von-Neumann-Algebra, die durch ihr algebraisches Tensorprodukt erzeugt wird, betrachtet als Operatoren auf dem Hilbert-Raum-Tensorprodukt der Hilbert-Räume.

Wenn wir die Topologie einer von Neumann-Algebra vergessen , können wir sie als (unitale) *-Algebra oder nur als Ring betrachten. Von-Neumann-Algebren sind semihereditär : Jeder endlich erzeugte Untermodul eines projektiven Moduls ist selbst projektiv. Es gab mehrere Versuche, die zugrundeliegenden Ringe der von Neumann-Algebren, einschließlich Baer*-Ringe und AW* -Algebren, zu axiomatisieren . Die * -Algebra des angeschlossenen Betreibers eines endlichen von Neumann Algebra ist ein von Neumann regulärer Ring . (Die von Neumann-Algebra selbst ist im Allgemeinen nicht von Neumann regulär.)

Kommutative von Neumann-Algebren

Die Beziehung zwischen kommutativen von Neumann-Algebren und Maßräumen ist analog zu der zwischen kommutativen C*-Algebren und lokal kompakten Hausdorff-Räumen . Jede kommutative von Neumann-Algebra ist isomorph zu L ^∞ ( X ) für einen Maßraum ( X , μ) und umgekehrt ist für jeden σ-endlichen Maßraum X die *-Algebra L ^∞ ( X ) eine von Neumann-Algebra.

Aufgrund dieser Analogie wurde die Theorie der von-Neumann-Algebren als nichtkommutative Maßtheorie bezeichnet, während die Theorie der C*-Algebren manchmal als nichtkommutative Topologie bezeichnet wird ( Connes 1994 ).

Projektionen

Operatoren E in einer von Neumann-Algebra mit E = EE = E* heißen Projektionen ; sie sind genau die Operatoren, die eine orthogonale Projektion von H auf einen abgeschlossenen Unterraum ergeben. Ein Unterraum des Hilbert - Raum H wird gesagt, gehören die von Neumann - Algebra M , wenn es das Bild von einigen Projektion in ist M . Dies stellt eine 1:1-Entsprechung zwischen Projektionen von M und Unterräumen her, die zu M gehören . Informell sind dies die geschlossenen Unterräume, die mit Elementen von M beschrieben werden können oder von denen M "weiß".

Es kann gezeigt werden, dass der Abschluss des Bildes eines beliebigen Operators in M und der Kern eines beliebigen Operators in M zu M gehört . Auch die Abgeschlossenheit des Bildes unter einem Operator von M eines beliebigen Unterraums, der zu M gehört, gehört ebenfalls zu M . (Diese Ergebnisse sind eine Folge der polaren Zerlegung ).

Vergleichstheorie von Projektionen

Die grundlegende Theorie der Projektionen wurde von Murray & von Neumann (1936) ausgearbeitet . Zwei zu M gehörende Unterräume heißen ( Murray–von Neumann ) äquivalent, wenn es eine partielle Isometrie gibt, die den ersten isomorph auf den anderen abbildet, der ein Element der von Neumann-Algebra ist (informell, wenn M "weiß", dass die Unterräume isomorph sind) . Dies induziert eine natürliche Äquivalenzrelation auf Projektionen, indem E als äquivalent zu F definiert wird, wenn die entsprechenden Unterräume äquivalent sind, oder anders ausgedrückt, wenn es eine partielle Isometrie von H gibt , die das Bild von E isometrisch auf das Bild von F abbildet und an Element der von Neumann-Algebra. Eine andere Möglichkeit dies zu sagen ist, dass E äquivalent zu F ist, wenn E=uu* und F=u*u für eine partielle Isometrie u in M ist .

Die so definierte Äquivalenzrelation ~ ist im folgenden Sinne additiv: Angenommen E ₁ ~ F ₁ und E ₂ ~ F ₂ . Wenn E ₁ ⊥ E ₂ und F ₁ ⊥ F ₂ , dann E ₁ + E ₂ \ F ₁ + F ₂ . Additivität würde im Allgemeinen nicht gelten, wenn man in der Definition von ~ unitäre Äquivalenz verlangen würde, dh wenn wir sagen, dass E äquivalent zu F ist, wenn u*Eu = F für ein einheitliches u .

Die zu M gehörenden Unterräume sind durch Inklusion teilweise geordnet, was eine Teilordnung ≤ von Projektionen induziert. Es gibt auch eine natürliche Teilordnung in der Menge der Äquivalenzklassen von Projektionen, die durch die Teilordnung ≤ der Projektionen induziert wird. Wenn M ein Faktor ist, ist ≤ eine Gesamtordnung der Äquivalenzklassen von Projektionen, wie im Abschnitt über Spuren weiter unten beschrieben.

Ein Vorsprung (oder Unterraum angehören M ) E soll eine sein finite Vorsprung , wenn es keine Projektion ist F < E (Bedeutung F ≤ E und F ≠ E ) , die äquivalent ist E . Zum Beispiel sind alle endlichdimensionalen Projektionen (oder Unterräume) endlich (da Isometrien zwischen Hilberträumen die Dimension fest lassen), aber der Identitätsoperator auf einem unendlichdimensionalen Hilbertraum ist nicht endlich in der von Neumann-Algebra aller beschränkten Operatoren auf es, da es isometrisch isomorph zu einer echten Teilmenge von sich selbst ist. Es ist jedoch möglich, dass unendlichdimensionale Unterräume endlich sind.

Orthogonale Projektionen sind nichtkommutative Analoga von Indikatorfunktionen in L ^∞ ( R ). L ^∞ ( R ) ist die ||·|| _∞ -Abschluss des durch die Indikatorfunktionen erzeugten Unterraums. In ähnlicher Weise wird eine von Neumann-Algebra durch ihre Projektionen erzeugt; dies ist eine Folge des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren .

Die Projektionen eines endlichen Faktors bilden eine kontinuierliche Geometrie .

Faktoren

Eine von Neumann-Algebra N, deren Zentrum nur aus Vielfachen des Identitätsoperators besteht, heißt Faktor . Von Neumann (1949) zeigte, dass jede von Neumann-Algebra auf einem separierbaren Hilbert-Raum isomorph zu einem direkten Integral von Faktoren ist. Diese Zerlegung ist im Wesentlichen einzigartig. Somit lässt sich das Problem der Klassifikation von Isomorphismusklassen von von Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen auf das Klassifizieren von Isomorphismusklassen von Faktoren reduzieren. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFVon_Neumann1949 ( Hilfe )

Murray & von Neumann (1936) zeigten, dass jeder Faktor einen von 3 Typen hat, wie unten beschrieben. Die Typklassifikation kann auf von-Neumann-Algebren erweitert werden, die keine Faktoren sind, und eine von-Neumann-Algebra ist vom Typ X, wenn sie als direktes Integral von Typ-X-Faktoren zerlegt werden kann; zum Beispiel hat jede kommutative von Neumann-Algebra den Typ I ₁ . Jede von-Neumann-Algebra kann eindeutig als Summe von von-Neumann-Algebren der Typen I, II und III geschrieben werden.

Es gibt mehrere andere Möglichkeiten, Faktoren in Klassen zu unterteilen, die manchmal verwendet werden:

• Ein Faktor wird diskret (oder gelegentlich zahm ) genannt, wenn er Typ I hat, und kontinuierlich (oder gelegentlich wild ), wenn er Typ II oder III hat.
• Ein Faktor heißt semifinit, wenn er Typ I oder II hat, und rein unendlich, wenn er Typ III hat.
• Ein Faktor heißt endlich, wenn die Projektion 1 endlich und andernfalls eigentlich unendlich ist . Faktoren vom Typ I und II können entweder endlich oder wirklich unendlich sein, aber Faktoren vom Typ III sind immer wirklich unendlich.

Faktoren vom Typ I

Ein Faktor heißt vom Typ I, wenn es eine minimale Projektion E ≠ 0 gibt , dh eine Projektion E so dass es keine andere Projektion F mit 0 < F < E gibt . Jeder Faktor vom Typ I ist isomorph zur von-Neumann-Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum; da es für jede Kardinalzahl einen Hilbertraum gibt , entsprechen Isomorphismusklassen von Faktoren vom Typ I genau den Kardinalzahlen. Da viele Autoren von-Neumann-Algebren nur auf separablen Hilbert-Räumen betrachten, ist es üblich, die beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum endlicher Dimension n einen Faktor vom Typ I _{n zu nennen} , und die beschränkten Operatoren auf einem separierbaren unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum, a Faktor vom Typ I _∞ .

Faktoren vom Typ II

Ein Faktor heißt vom Typ II, wenn es keine minimalen Projektionen, aber endliche Projektionen ungleich Null gibt . Dies impliziert, dass jede Projektion E in dem Sinne „halbiert“ werden kann, dass es zwei Projektionen F und G gibt , die Murray-von-Neumann-äquivalent sind und E = F + G erfüllen . Wenn der Identitätsoperator in einem Faktor vom Typ II endlich ist, heißt der Faktor vom Typ II ₁ ; andernfalls heißt es vom Typ II _∞ . Die am besten verstandenen Faktoren des Typs II sind der hyperfinite Typ II ₁ Faktor und der hyperfinite Typ II _∞ Faktor , gefunden von Murray & von Neumann (1936) . Dies sind die einzigartigen hyperfiniten Faktoren der Typen II ₁ und II _∞ ; es gibt unzählige weitere Faktoren dieser Art, die intensiv untersucht werden. Murray & von Neumann (1937) bewiesen das grundlegende Ergebnis, dass ein Faktor vom Typ II ₁ einen eindeutigen endlichen Verlaufszustand hat und die Menge der Projektionsspuren [0,1] ist.

Ein Faktor vom Typ II _∞ hat eine semifinite Spur, die bis zur Neuskalierung eindeutig ist, und die Menge der Spuren der Projektionen ist [0,∞]. Die Menge der reellen Zahlen λ, bei der es einen Automorphismus gibt, der die Spur um den Faktor λ umskaliert, wird als Fundamentalgruppe des Typs II _∞- Faktor bezeichnet.

Das Tensorprodukt eines Faktors vom Typ II ₁ und einem unendlichen Faktor vom Typ I hat den Typ II _∞ , und umgekehrt kann jeder Faktor vom Typ II _∞ so konstruiert werden. Die Fundamentalgruppe eines Faktors vom Typ II ₁ ist definiert als die Fundamentalgruppe seines Tensorprodukts mit dem unendlichen (trennbaren) Faktor vom Typ I. Viele Jahre lang war es ein offenes Problem, einen Faktor vom Typ II zu finden, dessen Fundamentalgruppe nicht die Gruppe der positiven reellen Zahlen , aber Connes zeigte dann, dass die von Neumann-Gruppenalgebra einer abzählbaren diskreten Gruppe mit der Kazhdan-Eigenschaft (T) (die triviale Darstellung ist im Dualraum isoliert), wie SL(3, Z ), a . hat abzählbare Fundamentalgruppe. Anschließend zeigte Sorin Popa , dass die Fundamentalgruppe für bestimmte Gruppen trivial sein kann, einschließlich des semidirekten Produkts von Z ² nach SL(2, Z ).

Ein Beispiel für einen Faktor vom Typ II ₁ ist die von Neumann-Gruppenalgebra einer abzählbaren unendlichen diskreten Gruppe, so dass jede nicht-triviale Konjugationsklasse unendlich ist. McDuff (1969) fand eine unzählbare Familie solcher Gruppen mit nicht-isomorphen von-Neumann-Gruppen-Algebren und zeigte damit die Existenz unzählig vieler verschiedener separierbarer Typ-II- _1- Faktoren.

Typ-III-Faktoren

Schließlich sind Typ-III- Faktoren Faktoren, die überhaupt keine endlichen Projektionen ungleich null enthalten. In ihrer ersten Arbeit konnten Murray & von Neumann (1936) nicht entscheiden, ob sie existierten oder nicht; die ersten Beispiele wurden später von Neumann (1940) gefunden . Da der Identitätsoperator in diesen Faktoren immer unendlich ist, wurden sie in der Vergangenheit manchmal Typ III _{∞ genannt} , aber kürzlich wurde diese Notation durch die Notation III _{λ ersetzt} , wobei λ eine reelle Zahl im Intervall [0,1] ist. Genauer gesagt, wenn das Connes-Spektrum (seiner modularen Gruppe) 1 ist, dann ist der Faktor vom Typ III ₀ , wenn das Connes-Spektrum alle ganzzahligen Potenzen von λ für 0 < λ < 1 sind, dann ist der Typ III _λ , und wenn das Connes-Spektrum ist alles positive reelle Zahlen, dann ist der Typ III ₁ . (Das Connes-Spektrum ist eine geschlossene Untergruppe der positiven reellen Zahlen, daher sind dies die einzigen Möglichkeiten.) Die einzige Spur von Typ-III-Faktoren nimmt den Wert ∞ an allen positiven Elementen ungleich null an, und zwei beliebige Projektionen ungleich null sind äquivalent. Früher galten Typ-III-Faktoren als hartnäckige Objekte, aber die Tomita-Takesaki-Theorie hat zu einer guten Strukturtheorie geführt. Insbesondere kann jeder Typ-III-Faktor kanonisch als das Kreuzprodukt eines Typ-II- _∞- Faktors und der reellen Zahlen geschrieben werden.

Das Prädual

Jede von Neumann-Algebra M hat ein präduales M _∗ , das der Banachraum aller ultraschwach stetigen linearen Funktionale auf M ist . Wie der Name schon sagt, ist M (als Banachraum) das Duale seines Präduals. Das Prädual ist insofern eindeutig, als jeder andere Banachraum, dessen Dual M ist, kanonisch isomorph zu M _{∗ ist} . Sakai (1971) zeigte, dass die Existenz eines Präduals die von Neumann-Algebren unter den C*-Algebren charakterisiert.

Die obige Definition des Präduals scheint von der Wahl des Hilbert-Raums abzuhängen, auf den M einwirkt, da dieser die ultraschwache Topologie bestimmt. Das Predual kann jedoch auch ohne Verwendung des Hilbert-Raums, auf den M wirkt, definiert werden, indem es als der Raum definiert wird, der von allen positiven normalen linearen Funktionalen auf M erzeugt wird . (Hier bedeutet "normal", dass es die Suprema beibehält, wenn es auf zunehmende Netze selbstadjungierter Operatoren oder äquivalent auf zunehmende Projektionsfolgen angewendet wird.)

Das Prädual M _∗ ist ein abgeschlossener Unterraum des dualen M* (der aus allen normstetigen linearen Funktionalen auf M besteht ), aber im Allgemeinen kleiner. Der Beweis, dass M _∗ (normalerweise) nicht gleich M* ist, ist nichtkonstruktiv und verwendet das Auswahlaxiom in essentieller Weise; es ist sehr schwer, explizite Elemente von M* darzustellen , die nicht in M _{∗ sind} . Zum Beispiel werden exotische positive Linearformen auf der von Neumann-Algebra l ^∞ ( Z ) durch freie Ultrafilter gegeben ; sie entsprechen exotischen *-Homomorphismen in C und beschreiben die Stone-Čech-Kompaktifizierung von Z .

Beispiele:

1. Das Prädual der von Neumann-Algebra L ^∞ ( R ) der im Wesentlichen beschränkten Funktionen auf R ist der Banachraum L ¹ ( R ) der integrierbaren Funktionen. Das Dual von L ^∞ ( R ) ist strikt größer als L ¹ ( R ) Zum Beispiel kann ein Funktional auf L ^∞ ( R ), das das Dirac-Maß δ ₀ auf dem abgeschlossenen Unterraum beschränkter stetiger Funktionen C ⁰ _b ( R ) erweitert, nicht als Funktion in L ¹ ( R ) dargestellt werden.
2. Das Prädual der von Neumann-Algebra B ( H ) beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum H ist der Banachraum aller Spurklassenoperatoren mit der Spurnorm || A ||= Tr(| A |). Der Banachraum der Spurenklassenoperatoren ist selbst der Dual der C*-Algebra kompakter Operatoren (die keine von Neumann-Algebra ist).

Gewichte, Zustände und Spuren

Gewichte und ihre Sonderfälle, Zustände und Spuren werden ausführlich in ( Takesaki 1979 ) diskutiert .

• Ein Gewicht ω auf einer von Neumann-Algebra ist eine lineare Abbildung aus der Menge der positiven Elemente (denjenigen der Form a*a ) auf [0,∞].
• Ein positives lineares Funktional ist ein Gewicht mit endlichem ω(1) (oder besser gesagt die Verlängerung von ω auf die ganze Algebra durch Linearität).
• Ein Zustand ist ein Gewicht mit ω(1) = 1.
• Eine Spur ist ein Gewicht mit ω( aa* ) = ω( a*a ) für alle a .
• Ein Spurzustand ist eine Spur mit ω(1) = 1.

Jeder Faktor hat eine Spur, so dass die Spur einer Projektion ungleich Null ist und die Spur einer Projektion genau dann unendlich ist, wenn die Projektion unendlich ist. Eine solche Spur ist bis auf eine Neuskalierung einzigartig. Bei trennbaren oder endlichen Faktoren sind zwei Projektionen genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe Spur haben. Die Art eines Faktors lässt sich aus den möglichen Werten dieser Kurve über die Projektionen des Faktors wie folgt ablesen:

• Typ I _n : 0, x , 2 x , ...., nx für ein positives x (normalerweise auf 1/ n oder 1 normiert ).
• Typ I _∞ : 0, x , 2 x , ....,∞ für ein positives x (normalerweise auf 1 normiert).
• Typ II ₁ : [0, x ] für einige positive x (normalerweise auf 1 normiert).
• Typ - II - _∞ : [0, ∞].
• Typ III: {0,∞}.

Wirkt eine von Neumann-Algebra auf einen Hilbertraum, der einen Norm-1-Vektor v enthält , dann ist das Funktional a → ( av , v ) ein Normalzustand. Diese Konstruktion kann umgekehrt werden, um aus einem Normalzustand eine Aktion auf einen Hilbert-Raum zu geben: Dies ist die GNS-Konstruktion für Normalzustände.

Module über einem Faktor

Bei einem abstrakt trennbaren Faktor kann man nach einer Klassifikation seiner Module fragen, d. h. der trennbaren Hilbert-Räume, auf die er einwirkt. Die Antwort lautet wie folgt: Jedem solchen Modul H kann eine M- Dimension dim _M ( H ) (nicht seine Dimension als komplexer Vektorraum) gegeben werden, so dass Module genau dann isomorph sind, wenn sie die gleiche M- Dimension haben. Die M- Dimension ist additiv, und ein Modul ist zu einem Unterraum eines anderen Moduls genau dann isomorph, wenn es eine kleinere oder gleiche M- Dimension hat.

Ein Modul heißt Standard, wenn es einen zyklischen Trennvektor besitzt. Jeder Faktor hat eine Standarddarstellung, die bis auf Isomorphie eindeutig ist. Die Standarddarstellung hat eine antilinear Involution J , so daß JMJ = M ' . Für endliche Faktoren ist das Standardmodul durch die GNS-Konstruktion gegeben, die auf den eindeutigen normalen Trazialzustand angewendet wird, und die M- Dimension wird so normiert, dass das Standardmodul die M- Dimension 1 hat, während für unendliche Faktoren das Standardmodul das Modul mit M ist - Abmessung gleich ∞.

Die möglichen M -Maße der Module sind wie folgt angegeben:

• Typ I _n ( n endlich): Die M- Dimension kann 0/ n , 1/ n , 2/ n , 3/ n , ..., sein. Das Standardmodul hat M -Dimension 1 (und komplexe Dimension n ² .)
• Typ I _∞ Die M -Dimension kann 0, 1, 2, 3, ..., ∞ sein. Die Standarddarstellung von B ( H ) ist H ⊗ H ; seine M- Dimension ist ∞.
• Typ II ₁ : Die M -Dimension kann alles in [0, ∞] sein. Sie ist so normiert, dass das Standardmodul die M- Dimension 1 hat. Die M- Dimension wird auch als Kopplungskonstante des Moduls H bezeichnet .
• Typ II _∞ : Die M -Dimension kann alles in [0, ∞] sein. Es gibt im Allgemeinen keinen kanonischen Weg, es zu normalisieren; der Faktor kann äußere Automorphismen haben, die die M- Dimension mit Konstanten multiplizieren . Die Standarddarstellung ist die mit M -Maß ∞.
• Typ III: Das M- Maß kann 0 oder sein. Zwei beliebige Nicht-Null-Module sind isomorph, und alle Nicht-Null-Module sind Standard.

Amenable von Neumann-Algebren

Connes (1976) und andere haben bewiesen, dass die folgenden Bedingungen auf einer von Neumann-Algebra M auf einem separablen Hilbertraum H alle äquivalent sind :

• M ist hyperfinit oder AFD oder näherungsweise endlichdimensional oder näherungsweise endlich : Dies bedeutet, dass die Algebra eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Unteralgebren mit dichter Vereinigung enthält. (Warnung: Einige Autoren verwenden "hyperfinite" um "AFD und endlich" zu bedeuten.)
• M ist zugänglich : Dies bedeutet, dass die Ableitungen von M mit Werten in einem normalen dualen Banach-Bimodul alle innerlich sind.
• M hat die Schwartz- Eigenschaft P : für jeden beschränkten Operator T auf H enthält die abgeschlossene konvexe Hülle des schwachen Operators der Elemente uTu* ein mit M kommutierendes Element .
• M ist semidiskret : das bedeutet, dass die Identitätsabbildung von M nach M eine schwache punktweise Grenze von vollständig positiven Abbildungen endlichen Ranges ist.
• M hat die Eigenschaft E oder die Hakeda-Tomiyama-Erweiterungseigenschaft : Dies bedeutet, dass es eine Projektion der Norm 1 von beschränkten Operatoren auf H auf M ' gibt.
• M ist injektiv : Jede vollständig positive lineare Abbildung aus jedem selbstadjungierten geschlossenen Unterraum, der 1 einer beliebigen unitalen C*-Algebra A bis M enthält, kann zu einer vollständig positiven Abbildung von A bis M erweitert werden .

Es gibt keinen allgemein akzeptierten Begriff für die obige Klasse von Algebren; Connes hat vorgeschlagen, dass zugänglich der Standardbegriff sein sollte.

Die zugänglichen Faktoren wurden klassifiziert: Es gibt einen einzigartigen von jedem der Typen I _n , I _∞ , II ₁ , II _∞ , III _λ , für 0 < λ ≤ 1, und die vom Typ III ₀ entsprechen bestimmten ergodischen fließt. (Für Typ III ₀ ist es ein wenig irreführend, dies als Klassifikation zu bezeichnen, da bekannt ist, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die entsprechenden ergodischen Flüsse zu klassifizieren.) Die von Typ I und II ₁ wurden von Murray & von Neumann (1943) klassifiziert. , und die übrigen wurden von Connes (1976) klassifiziert , mit Ausnahme des Falles Typ III ₁ , der von Haagerup abgeschlossen wurde.

Alle zugänglichen Faktoren können unter Verwendung der Gruppenmaßraumkonstruktion von Murray und von Neumann für eine einzelne ergodische Transformation konstruiert werden . Tatsächlich sind sie genau die Faktoren, die als gekreuzte Produkte durch freie ergodische Einwirkungen von Z oder Z/nZ auf abelsche von Neumann-Algebren L ^∞ ( X ) entstehen. Typ I Faktoren auftreten , wenn die Maßnahme Raum X ist Atom und die Aktion transitiv. Wenn X diffus oder nicht-atomar ist, entspricht es [0,1] als Maßraum . Faktoren vom Typ II treten auf, wenn X ein äquivalentes endliches (II ₁ ) oder unendliches (II _∞ ) Maß zulässt , das unter einer Wirkung von Z invariant ist . Typ-III-Faktoren treten in den übrigen Fällen auf, in denen es kein invariantes Maß, sondern nur eine invariante Maßklasse gibt : diese Faktoren werden Krieger-Faktoren genannt .

Tensorprodukte der von-Neumann-Algebren

Das Hilbert-Raum-Tensorprodukt zweier Hilbert-Räume ist die Vervollständigung ihres algebraischen Tensorprodukts. Man kann ein Tensorprodukt von von-Neumann-Algebren (eine Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts der als Ringe betrachteten Algebren) definieren, das wiederum eine von-Neumann-Algebra ist, und auf das Tensorprodukt der entsprechenden Hilbert-Räume einwirken. Das Tensorprodukt zweier endlicher Algebren ist endlich, und das Tensorprodukt einer unendlichen Algebra und einer von Null verschiedenen Algebra ist unendlich. Der Typ des Tensorprodukts zweier von-Neumann-Algebren (I, II oder III) ist das Maximum ihrer Typen. Der Kommutierungssatz für Tensorprodukte besagt, dass

${\displaystyle (M\otimes N)^{\prime}=M^{\prime}\otimes N^{\prime},}$

wobei M ′ den Kommutanten von M bezeichnet .

Das Tensorprodukt einer unendlichen Anzahl von von Neumann-Algebren ist, wenn man es naiv macht, normalerweise eine lächerlich große, nicht trennbare Algebra. Stattdessen zeigte von Neumann (1938) , dass man auf jeder der von-Neumann-Algebren einen Zustand wählen sollte, um damit einen Zustand auf dem algebraischen Tensorprodukt zu definieren, der verwendet werden kann, um einen Hilbert-Raum und einen (vernünftigen kleinen) von Neumann Algebra. Araki & Woods (1968) untersuchten den Fall, dass alle Faktoren endliche Matrixalgebren sind; diese Faktoren werden Araki-Woods- Faktoren oder ITPFI-Faktoren genannt (ITPFI steht für "infinite Tensor product of finite type I Factors"). Der Typ des unendlichen Tensorprodukts kann sich dramatisch ändern, wenn sich die Zustände ändern; zum Beispiel kann das unendliche Tensorprodukt einer unendlichen Anzahl von Typ-I ₂ -Faktoren je nach Wahl der Zustände jeden beliebigen Typ haben. Insbesondere fand Powers (1967) eine unzählbare Familie von nicht-isomorphen hyperfiniten Typ-III- _λ- Faktoren für 0 < λ < 1, genannt Powers-Faktoren , indem er ein unendliches Tensorprodukt von Typ I ₂ -Faktoren mit jeweils dem folgenden Zustand nahm:

${\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}} x.}$

Alle hyperfiniten von Neumann-Algebren, die nicht vom Typ III ₀ sind, sind zu Araki-Woods-Faktoren isomorph, aber es gibt unzählig viele vom Typ III ₀ , die dies nicht sind.

Bimodule und Subfaktoren

Ein Bimodul (oder Korrespondenz) ist ein Hilbertraum H mit Modulwirkungen zweier kommutierender von-Neumann-Algebren. Bimodule haben eine viel reichere Struktur als die von Modulen. Jeder Bimodul über zwei Faktoren ergibt immer einen Subfaktor, da einer der Faktoren immer im Kommutanten des anderen enthalten ist. Es gibt auch eine subtile relative Tensorproduktoperation aufgrund von Connes auf Bimodulen. Die von Vaughan Jones initiierte Theorie der Subfaktoren bringt diese beiden scheinbar unterschiedlichen Standpunkte in Einklang.

Bimodule sind auch für die von-Neumann-Gruppenalgebra M einer diskreten Gruppe Γ wichtig . Wenn V eine unitäre Darstellung von Γ ist, dann ist die entsprechende induzierte Darstellung auf l ² (Γ, V ) natürlich ein Bimodul für zwei kommutierende Kopien von M , wenn man Γ als die diagonale Untergruppe von Γ × Γ betrachtet . Wichtige darstellungstheoretische Eigenschaften von Γ können vollständig in Form von Bimodulen formuliert werden und sind daher für die von Neumann-Algebra selbst sinnvoll. Connes und Jones haben beispielsweise auf diese Weise ein Analogon der Kazhdan-Eigenschaft (T) für von-Neumann-Algebren definiert.

Nicht zugängliche Faktoren

Von-Neumann-Algebren vom Typ I sind immer zugänglich, aber für die anderen Typen gibt es eine unzählbare Anzahl verschiedener nicht zugänglicher Faktoren, die sehr schwer zu klassifizieren oder sogar voneinander zu unterscheiden scheinen. Dennoch hat Voiculescu gezeigt, dass die Klasse der nicht zugänglichen Faktoren, die aus der Gruppenmaßraumkonstruktion stammt, disjunkt von der Klasse der Gruppen-von-Neumann-Algebren freier Gruppen ist. Später bewies Narutaka Ozawa , dass Gruppe-von-Neumann-Algebren hyperbolischer Gruppen Primfaktoren vom Typ II ₁ liefern , dh solche, die nicht als Tensorprodukte von Typ II _1- Faktoren faktorisiert werden können, ein Ergebnis, das zuerst von Leeming Ge für freie Gruppenfaktoren unter Verwendung der freien Entropie von Voiculescu bewiesen wurde . Popas Arbeit an grundlegenden Gruppen nicht zugänglicher Faktoren stellt einen weiteren bedeutenden Fortschritt dar. Die Theorie der Faktoren "jenseits des Hyperfiniten" breitet sich gegenwärtig schnell aus, mit vielen neuen und überraschenden Ergebnissen; es hat enge Verbindungen zu Starrheitsphänomenen in der geometrischen Gruppentheorie und der ergodischen Theorie .

Beispiele

• Die im Wesentlichen beschränkten Funktionen auf einem σ-endlichen Maßraum bilden eine auf die L ² -Funktionen wirkende kommutative (Typ I ₁ ) von Neumann-Algebra . Für bestimmte nicht-σ-endliche Maßräume, die normalerweise als pathologisch angesehen werden , ist L ^∞ ( X ) keine von Neumann-Algebra; zum Beispiel könnte die σ-Algebra messbarer Mengen die abzählbar-abzählbare Algebra auf einer überzählbaren Menge sein. Ein fundamentaler Approximationssatz kann durch den Kaplansky-Dichtesatz dargestellt werden .
• Die beschränkten Operatoren auf jedem Hilbertraum bilden eine von Neumann-Algebra, ja einen Faktor vom Typ I.
• Wenn wir eine unitäre Darstellung einer Gruppe G auf einem Hilbertraum H haben, dann bilden die mit G kommutierenden beschränkten Operatoren eine von Neumann-Algebra G ′, deren Projektionen genau den abgeschlossenen Unterräumen von H entsprechen, die unter G invariant sind . Äquivalente Teildarstellungen entsprechen äquivalenten Projektionen in G ′. Auch der Doppelkommutant G ′′ von G ist eine von Neumann-Algebra.
• Die von Neumann-Gruppenalgebra einer diskreten Gruppe G ist die Algebra aller beschränkten Operatoren auf H = l ² ( G ), die mit der Wirkung von G auf H durch Rechtsmultiplikation kommutieren . Man kann zeigen, dass dies die von Neumann-Algebra ist, die durch die Operatoren erzeugt wird, die einer Multiplikation von links mit einem Element g ∈ G entsprechen . Er ist ein Faktor (vom Typ II ₁ ), wenn jede nicht-triviale Konjugationsklasse von G unendlich ist (zum Beispiel eine nicht-abelsche freie Gruppe), und ist der hyperfinite Faktor vom Typ II _{1 ,} wenn zusätzlich G eine Vereinigung von endliche Untergruppen (zum Beispiel die Gruppe aller Permutationen der ganzen Zahlen, die alle bis auf eine endliche Anzahl von Elementen festlegen).
• Das Tensorprodukt zweier von-Neumann-Algebren oder einer abzählbaren Zahl mit Zuständen ist eine von-Neumann-Algebra, wie im obigen Abschnitt beschrieben.
• Das gekreuzte Produkt einer von-Neumann-Algebra durch eine diskrete (oder allgemeiner lokal kompakte) Gruppe kann definiert werden und ist eine von-Neumann-Algebra. Sonderfälle sind die Gruppenmaßraumkonstruktion von Murray- und von Neumann- und Krieger-Faktoren .
• Die von Neumann-Algebren einer messbaren Äquivalenzrelation und eines messbaren Gruppoids können definiert werden. Diese Beispiele verallgemeinern von Neumann-Gruppenalgebren und die Gruppenmaßraumkonstruktion.

Anwendungen

Von Neumann-Algebren haben in verschiedenen Bereichen der Mathematik Anwendung gefunden, wie Knotentheorie , statistische Mechanik , Quantenfeldtheorie , lokale Quantenphysik , freie Wahrscheinlichkeit , nichtkommutative Geometrie , Darstellungstheorie , Geometrie und Wahrscheinlichkeit .

Die C*-Algebra bietet beispielsweise eine alternative Axiomatisierung zur Wahrscheinlichkeitstheorie. In diesem Fall heißt die Methode Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion . Dies ist analog zu den beiden Ansätzen von Maß und Integration, bei denen man die Wahl hat, zuerst Mengenmaße zu konstruieren und später Integrale zu definieren, oder zuerst Integrale zu konstruieren und Mengenmaße als Integrale charakteristischer Funktionen zu definieren.

Siehe auch

• AW*-Algebra
• Tomita-Takesaki-Theorie

Verweise

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