Endlicher Charakter - Finite character
In der Mathematik ist eine Familie von Sätzen ist von Endlichkeit , wenn für jeden , gehört dann und nur dann , wenn jede endliche Teilmenge von gehört . Das ist,
- Für jeden , jede endliche Teilmenge von gehört .
- Wenn jede endliche Teilmenge einer gegebenen Menge zu gehört , dann gehört zu .
Eigenschaften
Eine Familie von Mengen mit endlichem Charakter genießt die folgenden Eigenschaften:
- Für jeden , jede (endliche oder unendliche) Teilmenge von gehört .
- Jeder nicht leere Familie endlichen Charakter hat ein maximales Element in Bezug auf der Aufnahme ( Tukey Lemma ): In , teilweise geordneten durch Einschluss, die Union aller Kette von Elementen der auch gehört daher durch Lemma von Zorn , enthält mindestens ein maximales Element .
Beispiel
Sei ein Vektorraum und sei die Familie linear unabhängiger Teilmengen von . Dann ist eine Familie mit endlichem Charakter (weil eine Teilmenge genau dann linear abhängig ist, wenn sie eine endliche Teilmenge hat, die linear abhängig ist). Daher existiert in jedem Vektorraum eine maximale Familie linear unabhängiger Elemente. Als maximale Familie ist ein Vektorbasis hat jeder Vektorraum eine (möglicherweise unendliche) Vektorbasis.
Siehe auch
Verweise
- Jech, Thomas J. (2008) [1973]. Das Axiom der Wahl . Dover-Veröffentlichungen . ISBN 978-0-486-46624-8.
- Smullyan, Raymond M . ; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Mengenlehre und das Kontinuumsproblem . Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-47484-7.
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