Modell mit festen Effekten - Fixed effects model

Teil einer Serie über
Regressionsanalyse
Modelle
Lineare Regression Einfache Regression Polynomialregression Allgemeines lineares Modell
Verallgemeinertes lineares Modell Diskrete Wahl Binomiale Regression Binäre Regression Logistische Regression Multinomiale logistische Regression Gemischte Logit Probit Multinomiales Probit Logit bestellt Bestelltes Probit Poisson
Mehrstufiges Modell Feste Effekte Zufällige Effekte Lineares Mixed-Effects-Modell Nichtlineares Mixed-Effects-Modell
Nichtlineare Regression Nichtparametrisch Semiparametrisch Robust Quantil Isotonisch Hauptkomponenten Kleinster Winkel Lokal Segmentiert
Fehler-in-Variablen
Einschätzung
Kleinsten Quadrate Linear Nichtlinear
gewöhnliche Gewichtet Verallgemeinert
Teilweise Gesamt Nicht negativ Ridge-Regression Regularisiert
Geringste absolute Abweichungen Iterativ neu gewichtet Bayesian Bayes-Multivariat
Hintergrund
Regressionsvalidierung Mittlere und vorhergesagte Reaktion Fehler und Residuen Güte der Anpassung Studentisiertes Residual Satz von Gauss-Markov
Mathematikportal
v t e

In Statistiken , ein Festeffekt - Modell ist ein statistisches Modell , in dem der Modellparameter festgelegt ist oder nicht zufällige Mengen. Dies steht im Gegensatz zu Zufallseffektmodellen und gemischten Modellen, bei denen alle oder einige der Modellparameter Zufallsvariablen sind. In vielen Anwendungen, einschließlich Ökonometrie und Biostatistik, bezieht sich ein Modell mit festen Effekten auf ein Regressionsmodell, bei dem die Gruppenmittelwerte fest (nicht zufällig) sind, im Gegensatz zu einem Modell mit zufälligen Effekten, bei dem die Gruppenmittelwerte eine Zufallsstichprobe aus einer Grundgesamtheit sind. Im Allgemeinen können Daten nach mehreren beobachteten Faktoren gruppiert werden. Die Gruppenmittelwerte könnten für jede Gruppierung als feste oder zufällige Effekte modelliert werden. In einem Modell mit festen Effekten ist jeder Gruppenmittelwert eine gruppenspezifische feste Größe.

In Paneldaten, bei denen Längsschnittbeobachtungen für das gleiche Subjekt vorliegen, repräsentieren fixe Effekte die fachspezifischen Mittelwerte. In der Paneldatenanalyse wird der Begriff Fixed-Effects-Schätzer (auch als Inner-Schätzer bezeichnet ) verwendet, um sich auf einen Schätzer für die Koeffizienten im Regressionsmodell einschließlich dieser festen Effekte (ein zeitinvarianter Achsenabschnitt für jedes Subjekt) zu beziehen .

Qualitative Beschreibung

Solche Modelle helfen bei der Kontrolle des ausgelassenen variablen Bias aufgrund unbeobachteter Heterogenität, wenn diese Heterogenität über die Zeit konstant ist. Diese Heterogenität kann durch Differenzierung aus den Daten entfernt werden, beispielsweise durch Subtrahieren des Durchschnitts auf Gruppenebene über die Zeit, oder indem eine erste Differenz gebildet wird, die alle zeitinvarianten Komponenten des Modells entfernt.

Es gibt zwei allgemeine Annahmen über den einzelnen spezifischen Effekt: die Annahme von zufälligen Effekten und die Annahme von festen Effekten. Die Annahme der Zufallseffekte ist, dass die individualspezifischen Effekte nicht mit den unabhängigen Variablen korrelieren. Die feste Effektannahme ist, dass die individualspezifischen Effekte mit den unabhängigen Variablen korreliert sind. Wenn die Annahme der Zufallseffekte zutrifft, ist der Schätzer für zufällige Effekte effizienter als der Schätzer mit festen Effekten. Wenn diese Annahme jedoch nicht zutrifft, ist der Schätzer für zufällige Effekte nicht konsistent . Der Durbin-Wu-Hausman-Test wird häufig verwendet, um zwischen dem Fixed- und dem Random-Effect-Modell zu unterscheiden.

Formales Modell und Annahmen

Betrachten Sie das Modell der linearen unbeobachteten Effekte für Beobachtungen und Zeiträume: ${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta} +\alpha_{i}+u_{it}}$für und${\displaystyle t=1,\dots,T}$${\displaystyle i=1,\dots,N}$

Wo:

• ${\displaystyle y_{it}}$ist die abhängige Variable, die zum jeweiligen Zeitpunkt für eine Person beobachtet wird .${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X_{it}}$ist der zeitvariante (die Anzahl der unabhängigen Variablen) Regressorvektor.${\displaystyle 1\times k}$
• ${\displaystyle \beta}$ist die Parametermatrix.${\displaystyle k\times 1}$
• ${\displaystyle \alpha_{i}}$ist der unbeobachtete zeitinvariante Einzeleffekt. Zum Beispiel die angeborene Fähigkeit für Einzelpersonen oder historische und institutionelle Faktoren für Länder.
• ${\displaystyle u_{it}}$ist der Fehlerterm .

Im Gegensatz zu , kann nicht direkt beobachtet werden. ${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

Im Gegensatz zum Random-Effects-Modell, bei dem das Unbeobachtete von allen unabhängig ist , ermöglicht das Fixed-Effects-(FE)-Modell eine Korrelation mit der Regressormatrix . Strikte Exogenität bezüglich des idiosynkratischen Fehlerterms ist weiterhin erforderlich. ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle t=1,...,T}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

Statistische Schätzung

Schätzer für feste Effekte

Da es nicht beobachtbar ist, kann es nicht direkt kontrolliert werden . Das FE-Modell eliminiert durch Herabsetzung der Variablen mit der inneren Transformation: ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha}}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\impliest {\ddot {y }}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

wo , , und . ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits_{t=1}^{T}y_{it}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits_{t=1}^{T}X_{it}}$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits_{t=1}^{T}u_{it}}$

Da ist konstant, und daher wird der Effekt eliminiert. Der FE-Schätzer wird dann durch eine OLS-Regression von on erhalten . ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle {\overline {\alpha_{i}}}=\alpha_{i}}$${\displaystyle {\hat {\beta}}_{FE}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {X}}}$

Mindestens drei Alternativen zur inneren Transformation existieren mit Variationen.

Eine besteht darin, für jedes Individuum eine Dummy-Variable hinzuzufügen (wobei das erste Individuum wegen Multikollinearität weggelassen wird ). Dies ist numerisch, aber nicht rechnerisch äquivalent zum Fixed-Effect-Modell und funktioniert nur, wenn die Summe aus der Anzahl der Reihen und der Anzahl der globalen Parameter kleiner ist als die Anzahl der Beobachtungen. Der Dummy-Variablen-Ansatz ist in Bezug auf die Computerspeichernutzung besonders anspruchsvoll und wird nicht für Probleme empfohlen, die größer sind als der verfügbare RAM und die angewandte Programmkompilierung bewältigen können. ${\displaystyle i>1}$

Die zweite Alternative besteht darin, für lokale und globale Schätzungen einen konsekutiven Wiederholungsansatz zu verwenden. Dieser Ansatz ist sehr geeignet für Systeme mit geringem Speicher, auf denen er viel recheneffizienter ist als der Ansatz mit Dummy-Variablen.

Der dritte Ansatz ist eine verschachtelte Schätzung, bei der die lokale Schätzung für einzelne Reihen als Teil der Modelldefinition einprogrammiert wird. Dieser Ansatz ist der rechen- und speichereffizienteste, erfordert jedoch fundierte Programmierkenntnisse und Zugriff auf den Modellprogrammcode; obwohl es sogar in SAS programmiert werden kann.

Schließlich kann jede der obigen Alternativen verbessert werden, wenn die reihenspezifische Schätzung linear ist (innerhalb eines nichtlinearen Modells), wobei in diesem Fall die direkte lineare Lösung für einzelne Reihen als Teil der nichtlinearen Modelldefinition einprogrammiert werden kann.

Erster Differenzschätzer

Eine Alternative zur Innertransformation ist die erste Differenztransformation , die einen anderen Schätzer erzeugt. Für : ${\displaystyle t=2,\dots,T}$

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha_{i}-\ alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\impliziert \Updelta y_{it}=\Updelta X_{it}\beta +\Updelta u_{ es}.}$

Der FD-Schätzer wird dann durch eine OLS-Regression von on erhalten . ${\displaystyle {\hat {\beta}}_{FD}}$${\displaystyle \Delta y_{it}}$${\displaystyle \Delta X_{it}}$

Wenn , sind die ersten Differenz- und Festeffektschätzer numerisch äquivalent. Denn das sind sie nicht. Wenn die Fehlerterme ohne serielle Korrelation homoskedastisch sind , ist der Schätzer mit festen Effekten effizienter als der erste Differenzschätzer. Folgt jedoch einem Random Walk , ist der erste Differenzschätzer effizienter. ${\displaystyle T=2}$${\displaystyle T>2}$${\displaystyle u_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

Gleichheit fester Effekte und erster Differenzschätzer bei T=2

Für den speziellen Fall mit zwei Perioden ( ) sind der Schätzer mit festen Effekten (FE) und der Schätzer der ersten Differenz (FD) numerisch äquivalent. Dies liegt daran, dass der FE-Schätzer effektiv den im FD-Schätzer verwendeten Datensatz "verdoppelt". Um dies zu sehen, stellen Sie fest, dass der Schätzer für feste Effekte wie folgt lautet: ${\displaystyle T=2}$${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(x_{i1}-{\bar {x}}_{i })'+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})'\right]^{-1}\ links[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(y_{i1}-{\bar {y}}_{i})+(x_{i2}-{\bar {x }}_{i})(y_{i2}-{\bar {y}}_{i})\right]}$

Da jeder als neu geschrieben werden kann , schreiben wir die Zeile neu als: ${\displaystyle (x_{i1}-{\bar {x}}_{i})}$${\displaystyle (x_{i1}-{\dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}$

${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[\sum_{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac { x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2 }}'\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {y_{ i1}-y_{i2}}{2}}+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\ Recht]}$

${\displaystyle =\left[\sum_{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1 }}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{ \dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}$

${\displaystyle =2\left[\sum_{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1 }\left[\sum_{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})\right ]}$

${\displaystyle =\left[\sum_{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1} \sum_{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}$

Chamberlain-Methode

Die Methode von Gary Chamberlain , eine Verallgemeinerung des inneren Schätzers, ersetzt durch ihre lineare Projektion auf die erklärenden Variablen. Schreiben Sie die lineare Projektion als: ${\displaystyle \alpha_{i}}$

${\displaystyle \alpha_{i}=\lambda_{0}+X_{i1}\lambda_{1}+X_{i2}\lambda_{2}+\dots +X_{iT}\lambda_{ T}+e_{i}}$

daraus ergibt sich folgende Gleichung:

${\displaystyle y_{it}=\lambda_{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda_{2}+\dots +X_{it}(\lambda_{t }+\mathbf{\beta})+\dots+X_{iT}\lambda_{T}+e_{i}+u_{it}}$

die durch minimale Distanzschätzung geschätzt werden kann .

Hausman-Taylor-Methode

Sie müssen mehr als einen zeitvarianten Regressor ( ) und einen zeitinvarianten Regressor ( ) und mindestens einen und einen haben , die nicht mit korreliert sind . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

Partitionieren Sie die und -Variablen so, dass where und nicht mit korreliert sind . Brauchen . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}] \\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle K1>G2}$

Die Schätzung über OLS bei der Verwendung und als Instrument führt zu einer konsistenten Schätzung. ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle {\widehat{di}}=Z_{i}\gamma +\varphi_{it}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$

Generalisierung mit Eingabeunsicherheit

Wenn für die Daten eine Eingabeunsicherheit besteht, sollte der Wert und nicht die Summe der quadrierten Residuen minimiert werden. Dies kann direkt aus den Substitutionsregeln erreicht werden: ${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta y}$${\displaystyle \chi^{2}}$

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta} {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha_ {i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$,

dann können die Werte und Standardabweichungen für und mittels klassischer gewöhnlicher kleinster Quadrate und Varianz-Kovarianz-Matrix bestimmt werden . ${\displaystyle\mathbf{\beta}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

Testen von festen Effekten (FE) vs. zufälligen Effekten (RE)

Wir können mit einem Durbin-Wu-Hausman-Test testen, ob ein Modell mit festen oder zufälligen Effekten geeignet ist .

${\displaystyle H_{0}}$: ${\displaystyle \alpha_{i}\perp X_{it},Z_{i}}$

${\displaystyle H_{a}}$: ${\displaystyle \alpha_{i}\not \perp X_{it},Z_{i}}$

Wenn wahr ist, sind beide und konsistent, aber nur effizient. Wenn wahr ist, ist es konsistent und ist es nicht. ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{RE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{FE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{RE}}$${\displaystyle H_{a}}$${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{FE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{RE}}$

${\displaystyle {\widehat{Q}}=}$ ${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{RE}-{\widehat {\beta}}_{FE}}$

${\displaystyle {\widehat{HT}}=T{\widehat{Q}}^{\prime}[Var({\widehat{\beta}}_{FE})-Var({\widehat {\beta} }_{RE})]^{-1}{\widehat{Q}}\sim\chi_{K}^{2}}$ wo ${\displaystyle K=\dim(Q)}$

Der Hausman-Test ist ein Spezifikationstest, daher kann eine umfangreiche Teststatistik ein Hinweis darauf sein, dass Fehler in Variablen (EIV) vorliegen oder unser Modell falsch spezifiziert ist. Wenn die FE-Annahme wahr ist, sollten wir feststellen, dass . ${\displaystyle {\widehat {\beta}}_{LD}\approx {\widehat {\beta}}_{FD}\approx {\widehat {\beta}}_{FE}}$

Eine einfache Heuristik ist, dass wenn es EIV geben könnte. ${\displaystyle \left\vert {\widehat {\beta}}_{LD}\right\vert >\left\vert {\widehat {\beta}}_{FE}\right\vert >\left\vert { \widehat{\beta}}_{FD}\right\vert}$

Siehe auch

• Modell mit zufälligen Effekten
• Gemischtes Modell
• Modell für dynamische unbeobachtete Effekte

• Poisson-Modell mit festem Effekt

Anmerkungen

Verweise

• Christensen, Ronald (2002). Ebene Antworten auf komplexe Fragen: Die Theorie der linearen Modelle (Dritte Aufl.). New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). "Paneldaten-Regressionsmodelle". Grundlegende Ökonometrie (Fünfte internationale Aufl.). Boston: McGraw-Hügel. S. 591–616. ISBN 978-007-127625-2.
• Hsiao, Cheng (2003). "Modelle mit festen Effekten" . Analyse von Paneldaten (2. Aufl.). New York: Cambridge University Press. S. 95–103. ISBN 0-521-52271-4.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Feste Effekte Schätzung". Introductory Econometrics: A Modern Approach (Fünfte internationale Aufl.). Mason, OH: Südwesten. S. 466–474. ISBN 978-1-111-53439-4.

Externe Links

• Modelle mit festen und zufälligen Effekten
• Beispiele für alle ANOVA- und ANCOVA-Modelle mit bis zu drei Behandlungsfaktoren, einschließlich randomisiertem Block, Split-Plot, Messwiederholungen und lateinischen Quadraten und deren Analyse in R