Flexagon - Flexagon
In Geometrie , flexagons sind flache Modelle, in der Regel durch Falten Papierstreifen ausgebildet ist , das sein kann gebogen auf eine bestimmte Weise gefaltet oder Flächen neben den beiden zu offenbaren , die ursprünglich auf der Vorder- und Rückseite waren.
Flexagons sind in der Regel quadratisch oder rechteckig ( Tetraflexagons ) oder sechseckig ( Hexaflexagons ). Dem Namen kann ein Präfix hinzugefügt werden, um die Anzahl der Flächen anzugeben, die das Modell anzeigen kann, einschließlich der beiden Flächen (vorne und hinten), die vor dem Biegen sichtbar sind. Beispielsweise wird ein Hexaflexagon mit insgesamt sechs Seiten als Hexahexaflexagon bezeichnet .
In der Hexaflexagon-Theorie (d. h. in Bezug auf Flexagons mit sechs Seiten) werden Flexagons normalerweise in Form von Pats definiert .
Zwei Flexagons sind äquivalent, wenn eines durch eine Reihe von Kneifen und Drehungen in das andere umgewandelt werden kann. Die Flexagon-Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation .
Geschichte
Entdeckung und Einführung
Die Entdeckung des ersten Flexagons, eines Trihexaflexagons, wird dem britischen Mathematiker Arthur H. Stone zugeschrieben, der 1939 an der Princeton University in den Vereinigten Staaten studierte. Sein neues amerikanisches Papier passte nicht in seinen englischen Ordner, also schnitt er die Enden des Papiers und begann, sie in verschiedene Formen zu falten. Einer davon bildete ein Trihexaflexagon. Stones Kollegen Bryant Tuckerman , Richard Feynman und John Tukey interessierten sich für die Idee und gründeten das Princeton Flexagon Committee. Tuckerman entwickelte eine topologische Methode, die Tuckerman-Traverse genannt wird, um alle Gesichter eines Flexagons zu enthüllen. Tuckerman-Traversen sind als Diagramm dargestellt.
Flexagons wurden der breiten Öffentlichkeit von Martin Gardner in der Dezember-Ausgabe 1956 von Scientific American in einem Artikel vorgestellt, der so gut aufgenommen wurde, dass er Gardners "Mathematical Games"-Kolumne herausbrachte, die dann für die nächsten fünfundzwanzig Jahre in dieser Zeitschrift lief. 1974 fügte der Magier Doug Henning der Originalaufnahme seiner Broadway-Show The Magic Show ein Hexaflexagon zum Konstruieren Ihres eigenen Hexaflexagons bei .
Versuchte kommerzielle Entwicklung
1955 meldeten Russell Rogers und Leonard D'Andrea aus Homestead Park, Pennsylvania , ein Patent an, und 1959 erhielten sie das US-Patent Nr. 2,883,195 für das Hexahexaflexagon unter dem Titel "Changeable Amusement Devices and the Like".
Ihr Patent stellte mögliche Anwendungen des Geräts "als Spielzeug, als Werbeanzeigegerät oder als geometrisches Lehrgerät" vor. Einige dieser Neuheiten wurden von der Herbick & Held Printing Company produziert , der Druckerei in Pittsburgh, in der Rogers arbeitete, aber das als "Hexmo" vermarktete Gerät konnte sich nicht durchsetzen.
Sorten
Tetraflexagone
Tritetraflexagon
Das Tritetraflexagon ist das einfachste Tetraflexagon (Flexagon mit quadratischen Seiten). Das "Tri" im Namen bedeutet, dass es drei Gesichter hat, von denen zwei jederzeit sichtbar sind, wenn das Flexagon flach gedrückt wird. Der Aufbau des Tritetraflexagons ähnelt dem Mechanismus, der im traditionellen Kinderspielzeug Jacob's Ladder , in Rubik's Magic und im Zaubergeldbörsen-Trick oder der Himber- Geldbörse verwendet wird.
Das Tritetraflexagon hat zwei Sackgassen, in denen Sie sich nicht nach vorne beugen können. Um zu einer anderen Seite zu gelangen, musst du dich entweder nach hinten beugen oder das Flexagon umdrehen.
Hexatetraflexagon
Ein komplizierteres zyklisches Hexatetraflexagon erfordert kein Kleben. Ein zyklisches Hexatetraflexagon hat keine "Sackgassen", aber der Mensch, der es herstellt, kann es so lange falten, bis er die Ausgangsposition erreicht hat. Werden die Seiten dabei eingefärbt, sind die Zustände deutlicher zu erkennen.
Im Gegensatz zum Tritetraflexagon hat das Hexatetraflexagon keine Sackgassen und muss nie nach hinten gebeugt werden.
Hexaflexagone
Hexaflexagons gibt es in großer Vielfalt, die sich durch die Anzahl der Gesichter auszeichnen, die durch das Biegen der zusammengesetzten Figur erreicht werden können. (Beachten Sie, dass sich das Wort Hexaflexagons [ohne Präfixe] manchmal auf ein gewöhnliches Hexahexaflexagon mit sechs Seiten anstelle anderer Zahlen beziehen kann.)
Trihexaflexagon
Ein Hexaflexagon mit drei Seiten ist das am einfachsten herzustellende und zu handhabende Hexaflexagon und besteht aus einem einzigen Papierstreifen, der in neun gleichseitige Dreiecke unterteilt ist. (Einige Muster bieten zehn Dreiecke, von denen zwei in der Endmontage zusammengeklebt werden.)
Zum Zusammenbauen wird der Streifen jedes dritte Dreieck gefaltet und verbindet sich nach drei Umkehrungen nach Art des internationalen Recycling-Symbols wieder mit sich selbst . So entsteht ein Möbius-Streifen, dessen einzelne Kante einen Kleeblattknoten bildet .
Hexahexaflexagon
Dieses Hexaflexagon hat sechs Gesichter. Es besteht aus neunzehn Dreiecken, die aus einem Papierstreifen gefaltet wurden.
Nach dem Falten sind die Seiten 1, 2 und 3 leichter zu finden als die Seiten 4, 5 und 6.
Eine einfache Möglichkeit, alle sechs Gesichter freizulegen, ist die Tuckerman-Traverse. Es ist nach Bryant Tuckerman benannt, einem der ersten, der die Eigenschaften von Hexaflexagonen untersucht hat. Die Tuckerman-Traverse beinhaltet das wiederholte Biegen, indem eine Ecke gequetscht und jedes Mal von genau derselben Ecke gebeugt wird. Wenn sich die Ecke nicht öffnen lässt, gehen Sie zu einer angrenzenden Ecke und biegen Sie weiter. Dieses Verfahren bringt Sie zu einem Zyklus mit 12 Gesichtern. Dabei tauchen 1, 2 und 3 jedoch dreimal so häufig auf wie 4, 5 und 6. Der Zyklus läuft wie folgt ab:
- 1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2
Und dann wieder zurück zu 1.
Jede Farbe/Gesicht kann auch auf mehr als eine Weise belichtet werden. In Abbildung 6 zum Beispiel hat jedes blaue Dreieck in der Mitte seine Ecke mit einem Keil verziert, aber es ist zum Beispiel auch möglich, die mit Ys verzierten in die Mitte zu bringen. Es gibt 18 solcher möglichen Konfigurationen für Dreiecke mit unterschiedlichen Farben, und sie können theoretisch gesehen werden, indem das Hexahexaflexagon auf alle möglichen Arten gebeugt wird, aber nur 15 können durch das gewöhnliche Hexahexaflexagon gebogen werden. Die 3 zusätzlichen Konfigurationen sind aufgrund der Anordnung der 4, 5 und 6 Kacheln an der hinteren Klappe nicht möglich. (Die 60-Grad-Winkel in den Rauten, die durch die angrenzenden 4, 5 oder 6 Kacheln gebildet werden, erscheinen nur an den Seiten und nie in der Mitte, da der Streifen geschnitten werden müsste, was topologisch verboten ist.)
Hexahexaflexagons können aus unterschiedlich geformten Netzen von achtzehn gleichseitigen Dreiecken konstruiert werden. Ein Hexahexaflexagon, das aus einem unregelmäßigen Papierstreifen besteht, ist fast identisch mit dem oben gezeigten, außer dass bei dieser Version alle 18 Konfigurationen gebeugt werden können.
Andere Hexaflexagone
Während die am häufigsten vorkommenden Hexaflexagons entweder drei oder sechs Seiten haben, gibt es Variationen mit einer beliebigen Anzahl von Seiten. Gerade Streifen erzeugen Hexaflexagons mit einem Vielfachen von drei Seitenzahlen. Andere Zahlen werden von nicht geraden Streifen erhalten, die nur gerade Streifen sind, bei denen einige Verbindungen gefaltet sind, wodurch einige Flächen eliminiert werden. Viele Streifen können auf unterschiedliche Weise gefaltet werden, wodurch unterschiedliche Hexaflexagons mit unterschiedlichen Faltkarten entstehen.
Flexagone höherer Ordnung
Rechtes Octaflexagon und rechtes Dodecaflexagon
Bei diesen erst kürzlich entdeckten Flexagons ist jede quadratische oder gleichseitige Dreiecksfläche eines herkömmlichen Flexagons weiter in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, was zusätzliche Biegemodi ermöglicht. Die Aufteilung der quadratischen Flächen der Tetraflexagons in rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke ergibt die Octaflexagons, und die Aufteilung der dreieckigen Flächen der Hexaflexagons in 30-60-90 rechtwinklige Dreiecke ergibt die Dodecaflexagons.
Pentaflexagon und rechtes Decaflexagon
In seinem flachen Zustand sieht das Pentaflexagon dem Chrysler- Logo sehr ähnlich : ein regelmäßiges Fünfeck, das von der Mitte aus in fünf gleichschenklige Dreiecke mit den Winkeln 72-54-54 unterteilt ist. Aufgrund seiner fünfzähligen Symmetrie kann das Pentaflexagon nicht in zwei Hälften gefaltet werden. Eine komplexe Reihe von Biegungen führt jedoch zu seiner Transformation von der Anzeige der Seiten eins und zwei auf der Vorder- und Rückseite zu der Anzeige der zuvor verborgenen Seiten drei und vier.
Durch weitere Unterteilung der 72-54-54 Dreiecke des Pentaflexagons in 36-54-90 rechtwinklige Dreiecke entsteht eine Variation des 10-seitigen Dekaflexagons.
Generalisiertes gleichschenkliges n-Flexagon
Das Pentaflexagon ist eines einer unendlichen Folge von Flexagons, die auf der Aufteilung eines regelmäßigen n- Ecks in n gleichschenklige Dreiecke basieren . Andere Flexagone umfassen das Heptaflexagon, das gleichschenklige Octaflexagon, das Enneaflexagon und andere.
Nichtplanares Pentaflexagon und nichtplanares Heptaflexagon
Harold V. McIntosh beschreibt auch "nichtplanare" Flexagons (dh solche, die nicht gebeugt werden können, damit sie flach liegen); diejenigen aus gefalteter Fünfecke genannt pentaflexagons und von heptagons genannt heptaflexagons . Diese sind von den oben beschriebenen "normalen" Pentaflexagons und Heptaflexagons zu unterscheiden, die aus gleichschenkligen Dreiecken bestehen , und sie können flach liegen.
In der Populärkultur
Flexagons sind auch eine beliebte Buchstruktur, die von Künstlerbuchschöpfern wie Julie Chen ( Life Cycle ) und Edward H. Hutchins ( Album und Voces de México ) verwendet wird. Anweisungen zur Herstellung von Tetra-Tetra-Flexagon und Kreuz-Flexagon sind in Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms von Alisa Golden enthalten.
Ein Hexaflexagon höherer Ordnung wurde als Handlungselement in Piers Anthonys Roman 0X verwendet , in dem ein Flex analog zur Reise zwischen alternativen Universen war.
Siehe auch
Verweise
Literaturverzeichnis
-
Martin Gardner hat in der Kolumne über Mathematische Spiele vom Dezember 1956 im Scientific American eine ausgezeichnete Einführung in Hexaflexagons geschrieben . Es erscheint auch in:
- Das "Scientific American"-Buch der mathematischen Rätsel und Ablenkungen . Simon & Schuster. 1959.
- Hexaflexagons und andere mathematische Ablenkungen: Das erste "Scientific American"-Buch mit Rätseln und Spielen . University of Chicago Press. 1988. ISBN 0-226-28254-6.
- Das kolossale Buch der Mathematik . WW Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1.
- Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi: Martin Gardners First Book of Mathematical Puzzles and Games . Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4.
- Gardner, Martin (Januar 2012). "Hexaflexagone". Das College Mathematik Journal . 43 (1): 2–5. doi : 10.4169/college.math.j.43.1.002 . JSTOR 10.4169/college.math.j.43.1.002 . Die Ausgabe enthält auch einen weiteren Artikel von Pook und einen von Iacob, McLean und Hua.
- Jones, Madeline (1966). Die mysteriösen Flexagons: Eine Einführung in ein faszinierendes neues Konzept des Papierfaltens . Krone Verlag.
- Mitchell, David (2000). The Magic of Flexagons - Papier Kuriositäten auszuschneiden und machen . Tarquin. ISBN 1-899618-28-7.
- Pook, Les (2006). Flexagons von innen nach außen . Cambridge University Press. ISBN 0-521-81970-9.
- Pook, Les (2009). Ernsthafter Spaß mit Flexagons, einem Kompendium und einem Leitfaden . Springer. ISBN 978-90-481-2502-9.
Externe Links
- My Flexagon Experiences von Harold V. McIntosh – enthält historische Informationen und Theorie
- Das Flexagon-Portal – Die Website von Robin Moseley bietet Muster für eine Vielzahl von Flexagons.
- Flexagons
- Flexagons – Scott Shermans Website mit einer Vielzahl von Flexagons in verschiedenen Formen.
- MathWorlds Seite über Tetraflexagone , darunter drei Netze
- Flexagons – 1962 Aufsatz von Antony S. Conrad und Daniel K. Hartline (RIAS)
- MathWorld-Eintrag zu Hexaflexagons
- Yutaka Nishiyama (2010). "Allgemeine Lösung für Mehrfachfaltungen von Hexaflexagons" IJPAM, Vol. 2, No. 58, Nr. 1, 113-124. "19 Gesichter von Flexagons"
- Vi Hart Video zu Hexaflexagons Teil 1 Teil 2