Flexagon - Flexagon

Ein Hexaflexagon, dargestellt mit dem gleichen Gesicht in zwei Konfigurationen
Ein Hexaflexagon, dargestellt mit dem gleichen Gesicht in zwei Konfigurationen

In Geometrie , flexagons sind flache Modelle, in der Regel durch Falten Papierstreifen ausgebildet ist , das sein kann gebogen auf eine bestimmte Weise gefaltet oder Flächen neben den beiden zu offenbaren , die ursprünglich auf der Vorder- und Rückseite waren.

Flexagons sind in der Regel quadratisch oder rechteckig ( Tetraflexagons ) oder sechseckig ( Hexaflexagons ). Dem Namen kann ein Präfix hinzugefügt werden, um die Anzahl der Flächen anzugeben, die das Modell anzeigen kann, einschließlich der beiden Flächen (vorne und hinten), die vor dem Biegen sichtbar sind. Beispielsweise wird ein Hexaflexagon mit insgesamt sechs Seiten als Hexahexaflexagon bezeichnet .

In der Hexaflexagon-Theorie (d. h. in Bezug auf Flexagons mit sechs Seiten) werden Flexagons normalerweise in Form von Pats definiert .

Zwei Flexagons sind äquivalent, wenn eines durch eine Reihe von Kneifen und Drehungen in das andere umgewandelt werden kann. Die Flexagon-Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation .

Geschichte

Entdeckung und Einführung

Die Entdeckung des ersten Flexagons, eines Trihexaflexagons, wird dem britischen Mathematiker Arthur H. Stone zugeschrieben, der 1939 an der Princeton University in den Vereinigten Staaten studierte. Sein neues amerikanisches Papier passte nicht in seinen englischen Ordner, also schnitt er die Enden des Papiers und begann, sie in verschiedene Formen zu falten. Einer davon bildete ein Trihexaflexagon. Stones Kollegen Bryant Tuckerman , Richard Feynman und John Tukey interessierten sich für die Idee und gründeten das Princeton Flexagon Committee. Tuckerman entwickelte eine topologische Methode, die Tuckerman-Traverse genannt wird, um alle Gesichter eines Flexagons zu enthüllen. Tuckerman-Traversen sind als Diagramm dargestellt.

Flexagons wurden der breiten Öffentlichkeit von Martin Gardner in der Dezember-Ausgabe 1956 von Scientific American in einem Artikel vorgestellt, der so gut aufgenommen wurde, dass er Gardners "Mathematical Games"-Kolumne herausbrachte, die dann für die nächsten fünfundzwanzig Jahre in dieser Zeitschrift lief. 1974 fügte der Magier Doug Henning der Originalaufnahme seiner Broadway-Show The Magic Show ein Hexaflexagon zum Konstruieren Ihres eigenen Hexaflexagons bei .

Versuchte kommerzielle Entwicklung

1955 meldeten Russell Rogers und Leonard D'Andrea aus Homestead Park, Pennsylvania , ein Patent an, und 1959 erhielten sie das US-Patent Nr. 2,883,195 für das Hexahexaflexagon unter dem Titel "Changeable Amusement Devices and the Like".

Ihr Patent stellte mögliche Anwendungen des Geräts "als Spielzeug, als Werbeanzeigegerät oder als geometrisches Lehrgerät" vor. Einige dieser Neuheiten wurden von der Herbick & Held Printing Company produziert , der Druckerei in Pittsburgh, in der Rogers arbeitete, aber das als "Hexmo" vermarktete Gerät konnte sich nicht durchsetzen.

Sorten

Tetraflexagone

Tritetraflexagon

Diagramm zum Falten eines Tritetraflexagons
Ein Tritetraflexagon kann wie abgebildet aus einem Papierstreifen gefaltet werden.
Seiten eines Tritetraflexagons
Diese Figur hat zwei sichtbare Gesichter, die aus Quadraten bestehen, die mit A s und B s gekennzeichnet sind. Das Gesicht von C s ist im Flexagon verborgen.

Das Tritetraflexagon ist das einfachste Tetraflexagon (Flexagon mit quadratischen Seiten). Das "Tri" im Namen bedeutet, dass es drei Gesichter hat, von denen zwei jederzeit sichtbar sind, wenn das Flexagon flach gedrückt wird. Der Aufbau des Tritetraflexagons ähnelt dem Mechanismus, der im traditionellen Kinderspielzeug Jacob's Ladder , in Rubik's Magic und im Zaubergeldbörsen-Trick oder der Himber- Geldbörse verwendet wird.

Das Tritetraflexagon hat zwei Sackgassen, in denen Sie sich nicht nach vorne beugen können. Um zu einer anderen Seite zu gelangen, musst du dich entweder nach hinten beugen oder das Flexagon umdrehen.

Tritetraflexagon-Traverse

Hexatetraflexagon

Ein komplizierteres zyklisches Hexatetraflexagon erfordert kein Kleben. Ein zyklisches Hexatetraflexagon hat keine "Sackgassen", aber der Mensch, der es herstellt, kann es so lange falten, bis er die Ausgangsposition erreicht hat. Werden die Seiten dabei eingefärbt, sind die Zustände deutlicher zu erkennen.

Hexatetraflexagon-Traverse

Im Gegensatz zum Tritetraflexagon hat das Hexatetraflexagon keine Sackgassen und muss nie nach hinten gebeugt werden.

Hexaflexagone

Hexaflexagons gibt es in großer Vielfalt, die sich durch die Anzahl der Gesichter auszeichnen, die durch das Biegen der zusammengesetzten Figur erreicht werden können. (Beachten Sie, dass sich das Wort Hexaflexagons [ohne Präfixe] manchmal auf ein gewöhnliches Hexahexaflexagon mit sechs Seiten anstelle anderer Zahlen beziehen kann.)

Trihexaflexagon

Diese Trihexaflexagon-Vorlage zeigt 3 Farben von 9 Dreiecken, einseitig bedruckt und beidseitig zum Einfärben gefaltet. Die beiden gelben Dreiecke an den Enden werden am Ende zusammengeklebt. Die roten und blauen Bögen sind im gefalteten Zustand auf der Innenseite der einen oder anderen Seite als Vollkreise zu sehen.

Ein Hexaflexagon mit drei Seiten ist das am einfachsten herzustellende und zu handhabende Hexaflexagon und besteht aus einem einzigen Papierstreifen, der in neun gleichseitige Dreiecke unterteilt ist. (Einige Muster bieten zehn Dreiecke, von denen zwei in der Endmontage zusammengeklebt werden.)

Zum Zusammenbauen wird der Streifen jedes dritte Dreieck gefaltet und verbindet sich nach drei Umkehrungen nach Art des internationalen Recycling-Symbols wieder mit sich selbst . So entsteht ein Möbius-Streifen, dessen einzelne Kante einen Kleeblattknoten bildet .

Hexahexaflexagon

Dieses Hexaflexagon hat sechs Gesichter. Es besteht aus neunzehn Dreiecken, die aus einem Papierstreifen gefaltet wurden.

Ein in Dreiecke unterteilter Papierstreifen, der zu einem Hexaflexagon gefaltet werden kann.
Eine Reihe von Fotos, die den Aufbau und das "Biegen" eines Hexaflexagons detailliert beschreiben
Die Abbildungen 1-6 zeigen den Aufbau eines Hexaflexagons aus Kartondreiecken auf einer Unterlage aus einem Stoffstreifen. Es ist in sechs Farben dekoriert; Orange, Blau und Rot in Abbildung 1 entsprechen 1, 2 und 3 im obigen Diagramm. Die gegenüberliegende Seite, Abbildung 2, ist mit Lila, Grau und Gelb verziert. Beachten Sie die unterschiedlichen Muster, die für die Farben auf den beiden Seiten verwendet werden. Abbildung 3 zeigt die erste Faltung und Abbildung 4 das Ergebnis der ersten neun Faltungen, die eine Spirale bilden. Fig. 5-6 zeigen die endgültige Faltung der Spirale, um ein Sechseck zu bilden; in 5 wurden zwei rote Gesichter von einer Talfalte verdeckt, und in 6 wurden zwei rote Gesichter auf der Unterseite von einer Bergfalte verdeckt. Nach Abbildung 6 wird das letzte lose Dreieck umgefaltet und am anderen Ende des Originalstreifens befestigt, so dass eine Seite ganz blau und die andere ganz orange ist. Die Fotos 7 und 8 zeigen den Vorgang des Umstülpens des Hexaflexagons, um die ehemals versteckten roten Dreiecke zu zeigen. Durch weitere Manipulationen können alle sechs Farben belichtet werden.

Nach dem Falten sind die Seiten 1, 2 und 3 leichter zu finden als die Seiten 4, 5 und 6.

Eine einfache Möglichkeit, alle sechs Gesichter freizulegen, ist die Tuckerman-Traverse. Es ist nach Bryant Tuckerman benannt, einem der ersten, der die Eigenschaften von Hexaflexagonen untersucht hat. Die Tuckerman-Traverse beinhaltet das wiederholte Biegen, indem eine Ecke gequetscht und jedes Mal von genau derselben Ecke gebeugt wird. Wenn sich die Ecke nicht öffnen lässt, gehen Sie zu einer angrenzenden Ecke und biegen Sie weiter. Dieses Verfahren bringt Sie zu einem Zyklus mit 12 Gesichtern. Dabei tauchen 1, 2 und 3 jedoch dreimal so häufig auf wie 4, 5 und 6. Der Zyklus läuft wie folgt ab:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

Und dann wieder zurück zu 1.

Jede Farbe/Gesicht kann auch auf mehr als eine Weise belichtet werden. In Abbildung 6 zum Beispiel hat jedes blaue Dreieck in der Mitte seine Ecke mit einem Keil verziert, aber es ist zum Beispiel auch möglich, die mit Ys verzierten in die Mitte zu bringen. Es gibt 18 solcher möglichen Konfigurationen für Dreiecke mit unterschiedlichen Farben, und sie können theoretisch gesehen werden, indem das Hexahexaflexagon auf alle möglichen Arten gebeugt wird, aber nur 15 können durch das gewöhnliche Hexahexaflexagon gebogen werden. Die 3 zusätzlichen Konfigurationen sind aufgrund der Anordnung der 4, 5 und 6 Kacheln an der hinteren Klappe nicht möglich. (Die 60-Grad-Winkel in den Rauten, die durch die angrenzenden 4, 5 oder 6 Kacheln gebildet werden, erscheinen nur an den Seiten und nie in der Mitte, da der Streifen geschnitten werden müsste, was topologisch verboten ist.)

Hexahexaflexagons können aus unterschiedlich geformten Netzen von achtzehn gleichseitigen Dreiecken konstruiert werden. Ein Hexahexaflexagon, das aus einem unregelmäßigen Papierstreifen besteht, ist fast identisch mit dem oben gezeigten, außer dass bei dieser Version alle 18 Konfigurationen gebeugt werden können.

Andere Hexaflexagone

Während die am häufigsten vorkommenden Hexaflexagons entweder drei oder sechs Seiten haben, gibt es Variationen mit einer beliebigen Anzahl von Seiten. Gerade Streifen erzeugen Hexaflexagons mit einem Vielfachen von drei Seitenzahlen. Andere Zahlen werden von nicht geraden Streifen erhalten, die nur gerade Streifen sind, bei denen einige Verbindungen gefaltet sind, wodurch einige Flächen eliminiert werden. Viele Streifen können auf unterschiedliche Weise gefaltet werden, wodurch unterschiedliche Hexaflexagons mit unterschiedlichen Faltkarten entstehen.

Flexagone höherer Ordnung

Rechtes Octaflexagon und rechtes Dodecaflexagon

Bei diesen erst kürzlich entdeckten Flexagons ist jede quadratische oder gleichseitige Dreiecksfläche eines herkömmlichen Flexagons weiter in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, was zusätzliche Biegemodi ermöglicht. Die Aufteilung der quadratischen Flächen der Tetraflexagons in rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke ergibt die Octaflexagons, und die Aufteilung der dreieckigen Flächen der Hexaflexagons in 30-60-90 rechtwinklige Dreiecke ergibt die Dodecaflexagons.

Pentaflexagon und rechtes Decaflexagon

In seinem flachen Zustand sieht das Pentaflexagon dem Chrysler- Logo sehr ähnlich : ein regelmäßiges Fünfeck, das von der Mitte aus in fünf gleichschenklige Dreiecke mit den Winkeln 72-54-54 unterteilt ist. Aufgrund seiner fünfzähligen Symmetrie kann das Pentaflexagon nicht in zwei Hälften gefaltet werden. Eine komplexe Reihe von Biegungen führt jedoch zu seiner Transformation von der Anzeige der Seiten eins und zwei auf der Vorder- und Rückseite zu der Anzeige der zuvor verborgenen Seiten drei und vier.

Durch weitere Unterteilung der 72-54-54 Dreiecke des Pentaflexagons in 36-54-90 rechtwinklige Dreiecke entsteht eine Variation des 10-seitigen Dekaflexagons.

Generalisiertes gleichschenkliges n-Flexagon

Das Pentaflexagon ist eines einer unendlichen Folge von Flexagons, die auf der Aufteilung eines regelmäßigen n- Ecks in n gleichschenklige Dreiecke basieren . Andere Flexagone umfassen das Heptaflexagon, das gleichschenklige Octaflexagon, das Enneaflexagon und andere.

Nichtplanares Pentaflexagon und nichtplanares Heptaflexagon

Harold V. McIntosh beschreibt auch "nichtplanare" Flexagons (dh solche, die nicht gebeugt werden können, damit sie flach liegen); diejenigen aus gefalteter Fünfecke genannt pentaflexagons und von heptagons genannt heptaflexagons . Diese sind von den oben beschriebenen "normalen" Pentaflexagons und Heptaflexagons zu unterscheiden, die aus gleichschenkligen Dreiecken bestehen , und sie können flach liegen.

In der Populärkultur

Flexagons sind auch eine beliebte Buchstruktur, die von Künstlerbuchschöpfern wie Julie Chen ( Life Cycle ) und Edward H. Hutchins ( Album und Voces de México ) verwendet wird. Anweisungen zur Herstellung von Tetra-Tetra-Flexagon und Kreuz-Flexagon sind in Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms von Alisa Golden enthalten.

Ein Hexaflexagon höherer Ordnung wurde als Handlungselement in Piers Anthonys Roman 0X verwendet , in dem ein Flex analog zur Reise zwischen alternativen Universen war.

Siehe auch

Verweise

Literaturverzeichnis

Externe Links

  • My Flexagon Experiences von Harold V. McIntosh – enthält historische Informationen und Theorie
  • Das Flexagon-Portal  – Die Website von Robin Moseley bietet Muster für eine Vielzahl von Flexagons.
  • Flexagons
  • Flexagons  – Scott Shermans Website mit einer Vielzahl von Flexagons in verschiedenen Formen.