Flugdynamik (Starrflügler) - Flight dynamics (fixed-wing aircraft)

Flugdynamik ist die Wissenschaft der Orientierung und Kontrolle von Luftfahrzeugen in drei Dimensionen. Die drei kritische Flugdynamik Parameter sind die Drehwinkel in drei Dimensionen über den Fahrzeugschwerpunkt (CG), wie bekannt Pitch , Roll und Gier .

Steuersysteme passen die Ausrichtung eines Fahrzeugs um seinen Schwerpunkt herum an. Ein Steuersystem enthält Steuerflächen, die, wenn sie ausgelenkt werden, ein Moment (oder eine Kopplung von Querrudern) um den Schwerpunkt erzeugen, der das Flugzeug in Nick-, Roll- und Gierbewegung dreht. Beispielsweise entsteht ein Nickmoment durch eine Kraft, die in einem Abstand vor oder hinter dem Schwerpunkt ausgeübt wird und das Flugzeug nach oben oder unten kippen lässt.

Wanken, Nicken und Gieren beziehen sich auf Drehungen um die jeweiligen Achsen ausgehend von einem definierten stationären Fluggleichgewichtszustand. Der Gleichgewichtsrollwinkel ist als Wing Level oder Zero Bank Angle bekannt.

Die gebräuchlichste aeronautische Konvention definiert Roll als um die Längsachse wirkend, positiv mit dem steuerbordseitigen (rechten) Flügel nach unten. Yaw ist um die vertikale Körperachse, positiv mit der Nase nach Steuerbord. Die Neigung ist um eine Achse senkrecht zur Längssymmetrieebene, positive Nase nach oben.

Ein Starrflügelflugzeug erhöht oder verringert den von den Flügeln erzeugten Auftrieb, wenn es die Nase nach oben oder unten neigt, indem es den Anstellwinkel (AOA) erhöht oder verringert . Der Rollwinkel wird bei Starrflüglern auch als Querneigungswinkel bezeichnet, der normalerweise "quert", um die horizontale Flugrichtung zu ändern. Ein Flugzeug ist von der Nase bis zum Heck stromlinienförmig, um den Luftwiderstand zu reduzieren , was es vorteilhaft macht, den Schwimmwinkel nahe Null zu halten , obwohl ein Flugzeug absichtlich "sidesliped" werden kann, um den Luftwiderstand und die Sinkrate während der Landung zu erhöhen , um den Flugkurs des Flugzeugs während des Überquerens auf dem gleichen Kurs wie die Landebahn zu halten -Windlandungen und während des Fluges mit asymmetrischer Leistung.

Einführung

Referenzrahmen

Drei rechtshändige , kartesische Koordinatensysteme finden häufigen Einsatz in der Flugdynamik. Das erste Koordinatensystem hat einen im Bezugssystem der Erde fixierten Ursprung:

• Erdrahmen
  • Herkunft - willkürlich, relativ zur Erdoberfläche fixiert
  • x _E- Achse - positiv in Richtung Norden
  • y _E- Achse - positiv in Richtung Osten
  • z _E- Achse - positiv zum Erdmittelpunkt

In vielen Flugdynamikanwendungen wird angenommen, dass das Erdsystem inertial mit einer flachen x _E , y _E- Ebene ist, obwohl das Erdsystem auch als Kugelkoordinatensystem mit Ursprung im Erdmittelpunkt betrachtet werden kann.

Die anderen beiden Referenzrahmen sind körperfest, wobei sich die Ursprünge mit dem Flugzeug bewegen, typischerweise im Schwerpunkt. Für ein von rechts nach links symmetrisches Flugzeug können die Rahmen wie folgt definiert werden:

• Karosserierahmen
  • Ursprung - Flugzeugschwerpunkt
  • x _b- Achse - positiv aus der Nase des Flugzeugs in der Symmetrieebene des Flugzeugs
  • z _b- Achse - senkrecht zur x _b- Achse, in der Symmetrieebene des Flugzeugs, positiv unter dem Flugzeug
  • y _b Achse - senkrecht zur x _b , z _b -Ebene, positiv bestimmt durch die Rechte-Hand-Regel (im Allgemeinen positiv aus dem rechten Flügel)
• Windrahmen
  • Ursprung - Flugzeugschwerpunkt
  • x _w- Achse - positiv in Richtung des Geschwindigkeitsvektors des Flugzeugs relativ zur Luft
  • z _w- Achse - senkrecht zur x _w- Achse, in der Symmetrieebene des Flugzeugs, positiv unter dem Flugzeug
  • y _w- Achse - senkrecht zur x _w , z _w -Ebene, positiv bestimmt durch die Rechte-Hand-Regel (im Allgemeinen positiv nach rechts)

Asymmetrische Flugzeuge haben analoge körperfeste Rahmen, jedoch müssen unterschiedliche Konventionen verwendet werden, um die genauen Richtungen der x- und z- Achse zu wählen .

Der Earth-Rahmen ist ein praktischer Rahmen, um die Translations- und Rotationskinematik von Flugzeugen auszudrücken. Der Erdrahmen ist auch insofern nützlich, als er unter bestimmten Annahmen als Trägheit angenähert werden kann. Zusätzlich wird eine auf das Flugzeug wirkende Kraft, das Gewicht, in + z _E- Richtung fixiert .

Der Rumpfrahmen ist oft von Interesse, da der Ursprung und die Achsen relativ zum Flugzeug fest bleiben. Dies bedeutet, dass die relative Ausrichtung von Erde und Körperrahmen die Fluglage des Flugzeugs beschreibt. Auch die Richtung der Schubkraft ist im Allgemeinen im Rumpfrahmen festgelegt, obwohl einige Flugzeuge diese Richtung ändern können, beispielsweise durch Schubvektorsteuerung .

Der Windrahmen ist ein praktischer Rahmen, um die auf ein Flugzeug wirkenden aerodynamischen Kräfte und Momente auszudrücken. Insbesondere ist die Nettoaerodynamische Kraft kann unterteilt entlang der Windrahmenachsen, mit der in Komponenten werden Reibwiderstandskraft in der - x _w - Richtung und der Auftriebskraft in der - Z _w - Richtung.

Neben der Definition der Referenzrahmen kann auch die relative Orientierung der Referenzrahmen bestimmt werden. Die relative Orientierung kann in einer Vielzahl von Formen ausgedrückt werden, einschließlich:

• Rotationsmatrizen
• Richtung Kosinus
• Eulerwinkel
• Quaternionen

Wichtig für die Flugdynamik sind die verschiedenen Eulerwinkel, die sich auf die drei Bezugssysteme beziehen. Es gibt viele Euler-Winkelkonventionen, aber alle unten vorgestellten Rotationsfolgen verwenden die z-y'-x"-Konvention . Diese Konvention entspricht einer Art von Tait-Bryan-Winkeln , die allgemein als Euler-Winkel bezeichnet werden. Diese Konvention wird beschrieben im Detail unten für die Wank-, Nick- und Gier-Euler-Winkel, die die Körperrahmenausrichtung relativ zum Erdrahmen beschreiben. Die anderen Sätze von Euler-Winkeln werden unten analog beschrieben.

Transformationen ( Eulerwinkel )

Vom Erdrahmen zum Karosserierahmen

• Zunächst drehen sich die terrestrische Rahmenachsen x _E und y _E um die Z - _E - Achse durch den Gierwinkel ψ . Dies führt zu einem Zwischenbezugssystem mit Achsen, die mit x ' , y ' , z ' bezeichnet sind , wobei z' = z _E .
• Zweitens drehen , um die x ‚ und z ‘ Achsen um die y ' Achse von dem Nickwinkel θ . Dies führt zu einem weiteren Zwischenbezugssystem mit Achsen, die mit x",y",z" bezeichnet sind , wobei y"=y ' ist .
• Schließlich drehen sich die y „ und z“ Achse um die x“ Achse durch den Rollwinkel φ . Der Referenzrahmen , dass die Ergebnisse , nachdem die drei Rotationen ist der Körperrahmen.

Basierend auf den obigen Rotations- und Achsenkonventionen:

• Gierwinkel ψ: Winkel zwischen Norden und dem Vorsprung des Flugzeuglängsachse auf die horizontalen Ebene;
• Pitch Winkel θ: Winkel zwischen der Flugzeuglängsachse und horizontal;
• Rollwinkel φ: Rotation um die Flugzeuglängsachsenachdemvon Gier- und Nick dreht.

Vom Erdrahmen zum Windrahmen

• Heading Winkel σ: Winkel zwischen Norden und der Horizontalkomponente des Geschwindigkeitsvektors, die das Flugzeugwelche Richtung beschreibtbewegtrelativ zum Hauptrichtungen.
• Flugweg Winkel γ: ist der Winkel zwischen dem horizontalen und dem Geschwindigkeitsvektor, der beschreibt , ob das Flugzeug Auf- oder Absteigen ist.
• Bankwinkel μ: stellt eine Drehung der Auftriebskraft um den Geschwindigkeitsvektor, die angeben, ob das Flugzeug drehen .

Bei der Durchführung der oben beschriebenen Drehungen, um den Körperrahmen aus dem Erdrahmen zu erhalten, gibt es diese Analogie zwischen den Winkeln:

• σ, ψ (Kurs vs. Gieren)
• γ, θ (Flugweg vs. Steigung)
• μ, φ (Bank vs. Roll)

Vom Windrahmen zum Karosserierahmen

• sideslip Winkel β: Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Projektion der Flugzeuglängsachse auf die x _w , y _w -Ebene, die beschreibtob es eine seitliche Komponente zu der Flugzeuggeschwindigkeit ist

• Winkel Angriffs α : Winkel zwischen der x _w , y _w -Ebene und der Flugzeuglängsachse , und unter anderem ist eine wichtige Variable in der Größe der Kraft des Auftriebs Bestimmungs

Wenn Sie die zuvor beschriebenen Drehungen ausführen, um den Körperrahmen aus dem Erdrahmen zu erhalten, gibt es diese Analogie zwischen den Winkeln:

• β, ψ (Seitenrutschen vs. Gieren)
• α , θ (Angriff vs. Tonhöhe)
• (φ = 0) (nichts gegen Rolle)

Analogien

Zwischen den drei Referenzsystemen gibt es daher diese Analogien:

• Yaw / Heading / Sideslip (Z-Achse, vertikal)
• Steigung / Flugbahn / Angriffswinkel (Y-Achse, Flügel)
• Roll / Bank / nichts (X-Achse, Nase)

Designfälle

Bei der Analyse der Stabilität eines Flugzeugs ist es üblich, Störungen um einen nominellen stationären Flugzustand zu berücksichtigen . Die Analyse würde also beispielsweise unter der Annahme angewendet:

Gerader und waagerechter Flug

Mit konstanter Geschwindigkeit drehen

Anflug und Landung

Abheben

Geschwindigkeit, Höhe und Anstellwinkel sind für jeden Flugzustand unterschiedlich, außerdem wird das Flugzeug anders konfiguriert, zB können bei niedriger Geschwindigkeit Klappen ausgefahren und das Fahrwerk ausgefahren sein.

Mit Ausnahme von asymmetrischen Designs (oder symmetrischen Designs mit signifikantem Seitenrutschen) können die Längsbewegungsgleichungen (mit Nick- und Auftriebskräften) unabhängig von der seitlichen Bewegung (mit Roll- und Gierbewegungen) behandelt werden.

Im Folgenden werden Störungen um einen nominellen geraden und ebenen Flugweg betrachtet.

Um die Analyse (relativ) einfach zu halten, werden die Steuerflächen während der gesamten Bewegung als feststehend angenommen, dies ist stickfixierte Stabilität. Stick-free-Analyse erfordert die weitere Komplikation der Berücksichtigung der Bewegung der Steuerflächen.

Weiterhin wird angenommen, dass der Flug in ruhender Luft stattfindet und das Flugzeug als starrer Körper behandelt wird .

Fluchtkräfte

Im Flug wirken drei Kräfte auf ein Flugzeug: Gewicht , Schub und die aerodynamische Kraft .

Aerodynamische Kraft

Komponenten der aerodynamischen Kraft

Der Ausdruck zur Berechnung der aerodynamischen Kraft lautet:

${\displaystyle\mathbf{F}_{A}=\int_{\Sigma}(-\Updelta p\mathbf{n}+\mathbf{f})\,d\sigma}$

wo:

${\displaystyle \Delta p\equiv}$ Differenz zwischen statischem Druck und freiem Stromdruck

${\displaystyle \mathbf {n} \equiv}$ äußerer Normalenvektor des Flächenelements

${\displaystyle \mathbf {f} \equiv}$ tangentialer Spannungsvektor, der von der Luft auf den Körper ausgeübt wird

${\displaystyle \Sigma \equiv}$ ausreichende Bezugsfläche

auf Windachsen projiziert erhalten wir:

${\displaystyle\mathbf{F}_{A}=-(\mathbf{i}_{w}D+\mathbf{j}_{w}Q+\mathbf{k}_{w}L)}$

wo:

${\displaystyle D\equiv}$ Ziehen

${\displaystyle Q\äquiv}$ Seitenkraft

${\displaystyle L\equiv}$ Aufzug

Aerodynamische Koeffizienten

Staudruck des freien Stroms${\displaystyle \equiv q={\tfrac {1}{2}}\,\rho\,V^{2}}$

Proper Bezugsfläche ( wing Fläche im Fall Ebene )${\displaystyle \equiv S}$

Druckkoeffizient ${\displaystyle \equiv C_{p}={\dfrac {p-p_{\infty}}{q}}}$

Reibungskoeffizient ${\displaystyle \equiv C_{f}={\dfrac {f}{q}}}$

Widerstandsbeiwert ${\displaystyle \equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma}[(-C_{p})\mathbf { n} \bullet \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma }$

Seitenkraftbeiwert ${\displaystyle \equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma}[(-C_{p})\mathbf { n} \bullet \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma }$

Auftriebsbeiwert ${\displaystyle \equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma}[(-C_{p})\mathbf { n} \bullet \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma }$

Es ist notwendig, C _p und C _f in jedem Punkt der betrachteten Fläche zu kennen.

Dimensionslose Parameter und aerodynamische Regime

Ohne thermische Effekte gibt es drei bemerkenswerte dimensionslose Zahlen:

• Kompressibilität der Strömung:

Machzahl ${\displaystyle \equiv M={\dfrac {V}{a}}}$

• Viskosität der Strömung:

Reynolds Nummer ${\displaystyle \equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu}}}$

• Verdünnung des Flusses:

Knudsen-Zahl ${\displaystyle \equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}}$

wo:

${\displaystyle a={\sqrt {kR\theta}}\equiv}$Geschwindigkeit von Schall

${\displaystyle k\equiv}$ spezifisches Wärmeverhältnis

${\displaystyle R\equiv}$ Gaskonstante durch Masseneinheit

${\displaystyle \theta\equiv}$absolute Temperatur

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\mu}{\rho}}{\sqrt {\dfrac {\pi}{2R\theta}}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt { \dfrac{k\pi}{2}}}\equiv}$ meinen freien Weg

Nach λ gibt es drei mögliche Verdünnungsgrade und ihre entsprechenden Bewegungen heißen:

• Kontinuumsstrom (vernachlässigbare Verdünnung): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ll 1}$
• Übergangsstrom (moderate Verdünnung): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ungefähr 1}$
• Freier Molekülstrom (hohe Verdünnung): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\gg 1}$

Die Bewegung eines Körpers durch eine Strömung wird in der Flugdynamik als Kontinuumsströmung betrachtet. In der äußeren Schicht des den Körper umgebenden Raumes wird die Viskosität vernachlässigbar sein. Bei der Analyse der Strömung in der Nähe der Grenzschicht müssen jedoch Viskositätseffekte berücksichtigt werden .

Je nach Kompressibilität der Strömung kommen unterschiedliche Stromarten in Frage:

• Inkompressibler Unterschallstrom :${\displaystyle 0<M<0,3}$
• Kompressibler Unterschallstrom :${\displaystyle 0.3<M<0.8}$
• Transsonischer Strom :${\displaystyle 0.8<M<1.2}$
• Überschallstrom :${\displaystyle 1.2<M<5}$
• Hyperschallstrom :${\displaystyle 5<M}$

Luftwiderstandsbeiwertgleichung und aerodynamische Effizienz

Bei fester Körpergeometrie und symmetrischem Flug (β=0 und Q=0) sind Druck- und Reibungskoeffizienten Funktionen abhängig von:

${\displaystyle C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)}$

${\displaystyle C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)}$

wo:

${\displaystyle \alpha \equiv}$ Angriffswinkel

${\displaystyle P\equiv}$ betrachteter Punkt der Oberfläche

Unter diesen Bedingungen sind Luftwiderstands- und Auftriebsbeiwert ausschließlich vom Anstellwinkel der Karosserie und den Mach- und Reynolds-Zahlen abhängige Funktionen . Die aerodynamische Effizienz, definiert als das Verhältnis zwischen Auftriebs- und Luftwiderstandsbeiwerten, hängt ebenfalls von diesen Parametern ab.

${\displaystyle {\begin{Fälle}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E (\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}}$

Es ist auch möglich, die Abhängigkeit des Luftwiderstandsbeiwertes vom Auftriebsbeiwert zu erhalten . Diese Beziehung ist als Widerstandsbeiwertgleichung bekannt:

${\displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv}$ Widerstandsbeiwertgleichung

Die aerodynamische Effizienz hat einen Maximalwert E _max in Bezug auf C _{L ,} wo die Tangente vom Koordinatenursprung den Widerstandsbeiwert-Gleichungsdiagramm berührt.

Der Luftwiderstandsbeiwert, C _D , kann auf zwei Arten zerlegt werden. Erste typische Zersetzung trennt Druck- und Reibungseffekte:

${\displaystyle C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}} \int_{\Sigma}C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=- {\dfrac {1}{S}}\int_{\Sigma}(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}} }$

Es gibt eine zweite typische Zerlegung unter Berücksichtigung der Definition der Luftwiderstandsbeiwertgleichung. Diese Zerlegung trennt den Effekt des Auftriebskoeffizienten in der Gleichung, wodurch zwei Terme C _D0 und C _{Di erhalten werden} . C _D0 ist als parasitärer Luftwiderstandsbeiwert bekannt und ist der Basis-Luftwiderstandsbeiwert bei Nullauftrieb. C _Di ist als induzierter Luftwiderstandsbeiwert bekannt und wird durch den Karosserieauftrieb erzeugt.

${\displaystyle C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{Fälle}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\ Ende{Fälle}}}$

Parabolischer und allgemeiner Luftwiderstandsbeiwert

Ein guter Versuch für den induzierten Luftwiderstandsbeiwert ist die Annahme einer parabelförmigen Abhängigkeit des Auftriebs

${\displaystyle C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}}$

Der aerodynamische Wirkungsgrad wird nun berechnet als:

${\displaystyle E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{ 2{\sqrt {kC_{D0}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di} )_{Emax}=C_{D0}\end{Fälle}}}$

Wenn die Konfiguration der Ebene symmetrisch zur XY-Ebene ist, entspricht der minimale Luftwiderstandsbeiwert dem parasitären Luftwiderstand der Ebene.

${\displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}}$

Falls die Konfiguration in Bezug auf die XY-Ebene asymmetrisch ist, unterscheidet sich jedoch der minimale Widerstand vom parasitären Widerstand. In diesen Fällen kann eine neue ungefähre parabolische Widerstandsgleichung verfolgt werden, die den minimalen Widerstandswert bei einem Auftriebswert von Null belässt.

${\displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}}$

${\displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}}$

Variation der Parameter mit der Machzahl

Der Druckkoeffizient variiert mit der Mach-Zahl durch die unten angegebene Beziehung:

${\displaystyle C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty}}^{2}|}}}}$

wo

• C _p ist der kompressible Druckbeiwert
• C _p0 ist der inkompressible Druckbeiwert
• M _∞ ist die Freestream-Mach-Zahl.

Diese Beziehung ist ziemlich genau für 0.3 < M < 0.7 und wenn M = 1 wird sie zu ∞, was eine unmögliche physikalische Situation ist und als Prandtl-Glauert-Singularität bezeichnet wird .

Aerodynamische Kraft in einer bestimmten Atmosphäre

siehe Aerodynamische Kraft

Statische Stabilität und Kontrolle

Statische Längsstabilität

siehe Längsstabilität

Richtungsstabilität

Die Richtungs- oder Wetterhahnstabilität befasst sich mit der statischen Stabilität des Flugzeugs um die z-Achse. Ebenso wie im Fall der Längsstabilität ist es wünschenswert, dass das Flugzeug dazu neigt, in einen Gleichgewichtszustand zurückzukehren, wenn es irgendeiner Form von Gierstörung ausgesetzt ist. Dazu muss die Steigung der Giermomentkurve positiv sein. Ein Flugzeug mit diesem Stabilitätsmodus zeigt immer auf den relativen Wind, daher der Name Wetterhahnstabilität.

Dynamische Stabilität und Kontrolle

Längsmodi

Es ist allgemein üblich, eine charakteristische Gleichung vierter Ordnung abzuleiten , um die Längsbewegung zu beschreiben, und sie dann ungefähr in einen Hochfrequenzmodus und einen Niederfrequenzmodus zu faktorisieren. Der hier gewählte Ansatz besteht darin, die Gleichungen von Anfang an durch qualitatives Wissen über das Verhalten von Flugzeugen zu vereinfachen und das Ergebnis auf einer zugänglicheren Route zu erreichen.

Die beiden Längsbewegungen (Moden) werden als kurzperiodische Tonhöhenschwingung (SPPO) und als Phugoid bezeichnet .

Kurzzeitige Tonhöhenschwingung

Eine kurze Eingabe (in der Terminologie eines Steuersystems ein Impuls ) in Pitch (im Allgemeinen über das Höhenruder in einem Starrflügelflugzeug mit Standardkonfiguration) führt im Allgemeinen zu Überschwingern über den getrimmten Zustand. Der Übergang zeichnet sich durch eine gedämpfte einfache harmonische Bewegung um die neue Verkleidung aus. Die Trajektorie ändert sich während der Zeit, die es dauert, bis die Schwingung gedämpft ist, nur sehr wenig.

Im Allgemeinen ist diese Schwingung hochfrequent (daher eine kurze Periode) und wird über einen Zeitraum von wenigen Sekunden gedämpft. Ein reales Beispiel würde beinhalten, dass ein Pilot eine neue Steigfluglage wählt, zum Beispiel 5° Nase nach oben von der ursprünglichen Fluglage. Ein kurzes, scharfes Zurückziehen der Steuersäule kann verwendet werden und führt im Allgemeinen zu Schwingungen um den neuen Trimmzustand. Wenn die Schwingungen schlecht gedämpft sind, braucht das Flugzeug eine lange Zeit, um sich im neuen Zustand einzupendeln, was möglicherweise zu einer vom Piloten induzierten Schwingung führt . Wenn der Kurzzeitmodus instabil ist, wird es dem Piloten im Allgemeinen unmöglich sein, das Flugzeug für einen beliebigen Zeitraum sicher zu steuern.

Diese gedämpfte harmonische Bewegung wird als Tonhöhenschwingung mit kurzer Periode bezeichnet ; es entsteht aus der Tendenz eines stabilen Flugzeugs, in die allgemeine Flugrichtung zu zeigen. Es ist in seiner Natur dem Wetterhahnmodus von Raketen- oder Raketenkonfigurationen sehr ähnlich . Die Bewegung umfasst hauptsächlich die Nicklage (Theta) und Inzidenz (Alpha). Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors relativ zu den Trägheitsachsen ist . Der Geschwindigkeitsvektor ist: ${\displaystyle\theta}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\theta -\alpha}$

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha)}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha)}$

wobei , die Trägheitsachsenkomponenten der Geschwindigkeit sind. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz sind die Beschleunigungen proportional zu den Kräften , also sind die Kräfte in Trägheitsachsen: ${\displaystyle u_{f}}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha)-mU{\frac {d (\theta -\alpha)}{dt}}\sin(\theta -\alpha)}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d (\theta -\alpha)}{dt}}\cos(\theta -\alpha)}$

wobei m die Masse ist . Aufgrund der Art der Bewegung ist die Geschwindigkeitsänderung über die Schwingungsdauer vernachlässigbar, also: ${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha)}{dt}}\sin(\theta -\alpha)}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha)}{dt}}\cos(\theta -\alpha)}$

Die Kräfte werden aber durch die Druckverteilung auf den Körper erzeugt und auf den Geschwindigkeitsvektor bezogen. Aber die eingestellte Geschwindigkeitsachse (Windachse) ist kein Trägheitsrahmen , daher müssen wir die Kräfte der festen Achsen in Windachsen auflösen. Außerdem beschäftigen wir uns nur mit der Kraft entlang der z-Achse:

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha)}$

Oder:

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha)}{dt}}}$

In Worten ist die Kraft der Windachse gleich der Zentripetalbeschleunigung .

Die Momentengleichung ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses :

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

wobei M das Nickmoment und B das Trägheitsmoment um die Nickachse ist. Lassen Sie: , die Tonhöhe. Die Bewegungsgleichungen mit allen Kräften und Momenten bezogen auf Windachsen lauten daher: ${\displaystyle {\frac {d\theta}{dt}}=q}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

Wir befassen uns nur mit Störungen in Kräften und Momenten aufgrund von Störungen in den Zuständen und q und ihren zeitlichen Ableitungen. Diese zeichnen sich durch aus dem Flugzustand ermittelte Stabilitätsableitungen aus. Die möglichen Stabilitätsderivate sind: ${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle Z_{\alpha}}$ Auftrieb durch Einfall, dieser ist negativ, da die z-Achse nach unten zeigt, während positiver Einfall eine Aufwärtskraft verursacht.

${\displaystyle Z_{q}}$Der Auftrieb aufgrund der Nickrate entsteht durch die Zunahme des Heckeinfalls, ist also ebenfalls negativ, aber klein im Vergleich zu .${\displaystyle Z_{\alpha}}$

${\displaystyle M_{\alpha}}$ Nickmoment durch Einfall - der Begriff der statischen Stabilität. Die statische Stabilität erfordert, dass diese negativ ist.

${\displaystyle M_{q}}$ Nickmoment aufgrund der Nickrate - der Nickdämpfungsterm, dieser ist immer negativ.

Da das Heck im Strömungsfeld des Flügels arbeitet, führen Änderungen des Flügeleinfalls zu Änderungen des Abwinds, aber es gibt eine Verzögerung für die Änderung des Flügelströmungsfelds, um den Heckauftrieb zu beeinflussen, dies wird als ein Moment proportional zur Geschwindigkeit dargestellt der Inzidenzänderung:

${\displaystyle M_{\dot {\alpha}}}$

Der verzögerte Downwash-Effekt verleiht dem Heck mehr Auftrieb und erzeugt ein Nose Down-Moment, daher wird erwartet, dass es negativ ist. ${\displaystyle M_{\dot {\alpha}}}$

Die Bewegungsgleichungen mit kleinen Störkräften und Momenten lauten:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha}}{mU }}\alpha}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha}}{B}}\alpha +{\frac {M_ {\dot {\alpha}}}{B}}{\dot {\alpha}}}$

Diese können manipuliert werden, um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung zu ergeben in : ${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha}}{mU}}+{\frac {M_{q} }{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha}}}{B}}\right){\frac {d\ alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha}}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha}}{B }}(1+{\frac{Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

Dies stellt eine gedämpfte einfache harmonische Bewegung dar.

Wir sollten erwarten , dass er klein im Vergleich zu eins ist, sodass der Koeffizient von (der 'Steifheits'-Term) positiv ist, vorausgesetzt . Dieser Ausdruck wird von dominiert , was die statische Längsstabilität des Flugzeugs definiert, er muss für die Stabilität negativ sein. Der Dämpfungsterm wird durch den Downwash-Effekt reduziert, und es ist schwierig, ein Flugzeug mit sowohl einer schnellen natürlichen Reaktion als auch einer starken Dämpfung zu konstruieren. Normalerweise ist die Reaktion unterdämpft, aber stabil. ${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle M_{\alpha}<{\frac {Z_{\alpha}}{mU}}M_{q}}$${\displaystyle M_{\alpha}}$

Phugoid

Wenn der Steuerknüppel fest gehalten wird, behält das Flugzeug keinen geraden und waagerechten Flug bei (außer in dem unwahrscheinlichen Fall, dass es bei seiner aktuellen Höhen- und Schubeinstellung perfekt auf waagerechten Flug getrimmt ist), sondern beginnt zu tauchen, auszugleichen und wieder klettern. Es wird diesen Zyklus wiederholen, bis der Pilot eingreift. Diese lang anhaltende Oszillation in Geschwindigkeit und Höhe wird als Phugoidmodus bezeichnet . Dies wird unter der Annahme analysiert, dass der SSPO seine ordnungsgemäße Funktion erfüllt und den Anstellwinkel nahe seinem Nennwert beibehält. Die beiden hauptsächlich betroffenen Zustände sind der Flugbahnwinkel (Gamma) und die Geschwindigkeit. Die kleinen Störungsgleichungen der Bewegung lauten: ${\displaystyle\gamma}$

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

was bedeutet, dass die Zentripetalkraft gleich der Störung der Auftriebskraft ist.

Für die Geschwindigkeit, die entlang der Flugbahn auflöst:

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma}$

wobei g die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche ist . Die Beschleunigung entlang der Flugbahn ist gleich der Nettokraft in x-Richtung abzüglich der Gewichtskomponente. Wir sollten nicht erwarten, dass signifikante aerodynamische Ableitungen vom Flugbahnwinkel abhängen, also nur und müssen berücksichtigt werden. ist das Schleppinkrement bei erhöhter Geschwindigkeit, es ist negativ, ebenso ist das Auftriebsinkrement aufgrund des Geschwindigkeitsinkrements, es ist auch negativ, weil der Auftrieb gegenläufig zur z-Achse wirkt. ${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$

Die Bewegungsgleichungen werden:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma}$

Diese können als Gleichung zweiter Ordnung in Flugbahnwinkel- oder Geschwindigkeitsstörung ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

Jetzt ist der Auftrieb fast gleich dem Gewicht:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

wobei die Luftdichte, die Flügelfläche, W das Gewicht und der Auftriebsbeiwert ist (als konstant angenommen, da die Einfallsrate konstant ist), haben wir ungefähr: ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S_{w}}$${\displaystyle c_{L}}$

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

Die Periode des Phugoids, T, ergibt sich aus dem Koeffizienten von u:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

Oder:

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

Da der Auftrieb sehr viel größer ist als der Widerstand, wird das Phugoid allenfalls leicht gedämpft. Ein Propeller mit fester Drehzahl würde helfen. Eine starke Dämpfung der Nickrotation oder eine große Rotationsträgheit erhöhen die Kopplung zwischen Kurzperioden- und Phugoid-Mode, so dass diese das Phugoid modifizieren.

Laterale Modi

Bei einer symmetrischen Rakete oder Rakete ist die Richtungsstabilität beim Gieren gleich der Nickstabilität; sie ähnelt der Nickschwingung mit kurzer Periode, wobei die Gierebene den Ableitungen der Nickebenenstabilität entspricht. Aus diesem Grund sind Neigungs- und Gierrichtungsstabilität kollektiv als "Wetterhahn"-Stabilität des Flugkörpers bekannt.

Flugzeugen fehlt die Symmetrie zwischen Nicken und Gieren, so dass die Richtungsstabilität beim Gieren von einem anderen Satz von Stabilitätsableitungen abgeleitet wird. Die der kurzperiodischen Nickschwingung äquivalente Gierebene, die die Richtungsstabilität der Gierebene beschreibt, wird als Dutch Roll bezeichnet. Im Gegensatz zu Nickebenenbewegungen beinhalten die seitlichen Moden sowohl eine Roll- als auch eine Gierbewegung.

Holländische Brötchen

Es ist üblich, die Bewegungsgleichungen durch formale Manipulation abzuleiten, was für den Ingenieur einem mathematischen Taschenspielertrick gleichkommt. Der gegenwärtige Ansatz folgt der Pitch-Plane-Analyse bei der Formulierung der Gleichungen in Begriffen, die einigermaßen vertraut sind.

Das Anlegen eines Impulses über die Seitenruderpedale sollte Dutch Roll auslösen , das ist die Schwingung beim Rollen und Gieren, wobei die Rollbewegung dem Gieren um einen Viertelzyklus nacheilt, so dass die Flügelspitzen in Bezug auf das Flugzeug elliptischen Bahnen folgen.

Die Translationsgleichung der Gierebene setzt wie in der Nickebene die Zentripetalbeschleunigung der Seitenkraft gleich.

${\displaystyle {\frac {d\beta}{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

wobei (beta) der Schwimmwinkel ist , Y die Seitenkraft und r die Gierrate. ${\displaystyle \beta}$

Die Momentengleichungen sind etwas kniffliger. Der Trimmzustand ist mit einem Anstellwinkel des Flugzeugs in Bezug auf den Luftstrom. Die x-Achse des Körpers stimmt nicht mit dem Geschwindigkeitsvektor überein, der die Bezugsrichtung für Windachsen ist. Mit anderen Worten, Windachsen sind keine Hauptachsen (die Masse ist nicht symmetrisch um die Gier- und Wankachse verteilt). Betrachten Sie die Bewegung eines Massenelements in Position -z, x in Richtung der y-Achse, dh in die Papierebene hinein.

Wenn die Rollrate p ist, beträgt die Geschwindigkeit des Teilchens:

${\displaystyle v=-pz+xr}$

Die aus zwei Termen bestehende Kraft auf dieses Teilchen ist erstens proportional zur Änderungsrate von v, zweitens aufgrund der Richtungsänderung dieser Geschwindigkeitskomponente, wenn sich der Körper bewegt. Letztere Terme führen zu Kreuzprodukten kleiner Mengen (pq, pr, qr), die später verworfen werden. In dieser Analyse werden sie der Übersichtlichkeit halber von vornherein verworfen. Tatsächlich nehmen wir an, dass sich die Richtung der Geschwindigkeit des Teilchens aufgrund der gleichzeitigen Roll- und Gierraten während der Bewegung nicht signifikant ändert. Mit dieser vereinfachenden Annahme wird die Beschleunigung des Teilchens zu:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

Das Giermoment ist gegeben durch:

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m }$

Durch den Versatz des Partikels in y-Richtung entsteht ein zusätzliches Giermoment:${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

Das Giermoment ergibt sich durch Summation über alle Teilchen des Körpers:

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac { dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

wobei N das Giermoment, E ein Trägheitsprodukt und C das Trägheitsmoment um die Gierachse ist . Eine ähnliche Argumentation ergibt die Rollgleichung:

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

wobei L das Rollmoment und A das Rollträgheitsmoment ist.

Ableitungen der Quer- und Längsstabilität

Die Zustände sind (Schieben), r (Gierrate) und p (Rollrate), mit Momenten N (Gier) und L (Roll) und Kraft Y (seitlich). Für diese Bewegung sind neun Stabilitätsableitungen relevant, deren Entstehung im Folgenden erläutert wird. Ein besseres intuitives Verständnis ist jedoch zu gewinnen, indem man einfach mit einem Modellflugzeug spielt und sich vor Augen führt, wie sich die Kräfte auf die einzelnen Komponenten durch Änderungen des Schwimmwinkels und der Winkelgeschwindigkeit auswirken: ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle Y_{\beta}}$ Seitenkraft durch Seitenschlupf (bei fehlendem Gieren).

Sideslip erzeugt eine Seitenkraft aus der Seitenflosse und dem Rumpf. Wenn die Tragfläche eine V-Form aufweist, erhöht der Seitenschlupf bei einem positiven Rollwinkel außerdem den Einfall auf den Steuerbordflügel und verringert ihn auf der Backbordseite, was zu einer Nettokraftkomponente direkt entgegengesetzt zur Schwimmrichtung führt. Das Zurückziehen der Flügel hat den gleichen Effekt auf den Einfall, aber da die Flügel nicht in der vertikalen Ebene geneigt sind, hat das Zurückziehen allein keinen Einfluss auf . Jedoch kann bei Hochleistungsflugzeugen eine Anhedral-Technik bei hohen Rückwärtsschwenkwinkeln verwendet werden, um die Flügeleinfallseffekte des Seitenrutschens auszugleichen. Seltsamerweise ändert dies nicht das Vorzeichen des Beitrags der Flügelkonfiguration zu (im Vergleich zum Dieder-Fall). ${\displaystyle Y_{\beta}}$${\displaystyle Y_{\beta}}$

${\displaystyle Y_{p}}$ Seitenkraft aufgrund der Rollrate.

Die Rollrate verursacht einen Anprall an der Flosse, der eine entsprechende Seitenkraft erzeugt. Außerdem erhöht die positive Rollbewegung (Steuerbordflügel nach unten) den Auftrieb am Steuerbordflügel und verringert ihn an Backbord. Wenn der Flügel eine V-Form hat, führt dies zu einer Seitenkraft, die der resultierenden Gleitneigung kurzzeitig entgegenwirkt. Anhedrale Flügel- und/oder Stabilisatorkonfigurationen können dazu führen, dass sich das Vorzeichen der Seitenkraft umkehrt, wenn der Flosseneffekt überflutet wird.

${\displaystyle Y_{r}}$ Seitenkraft durch Gierrate.

Beim Gieren entstehen Seitenkräfte durch Einfall auf Seitenruder, Seitenflosse und Rumpf.

${\displaystyle N_{\beta}}$ Giermoment durch Schiebekräfte.

Der Seitenschlupf ohne Rudereingabe verursacht einen Aufprall auf den Rumpf und das Leitwerk , wodurch ein Giermoment erzeugt wird, dem nur die Richtungssteifigkeit entgegenwirkt, die dazu neigen würde, die Nase des Flugzeugs bei horizontalen Flugbedingungen zurück in den Wind zu richten. Unter Gleitbedingungen bei einem gegebenen Rollwinkel neigt die Nase auch ohne Rudereingabe dazu, die Nase in die Gleitrichtung zu zeigen, was zu einem Abwärtsspiralflug führt. ${\displaystyle N_{\beta}}$

${\displaystyle N_{p}}$ Giermoment aufgrund der Rollrate.

Die Rollrate erzeugt einen Flossenauftrieb, der ein Giermoment verursacht und auch den Auftrieb an den Flügeln unterschiedlich ändert, wodurch der Beitrag des induzierten Widerstands jedes Flügels beeinflusst wird, was einen (kleinen) Giermomentbeitrag verursacht. Ein positives Rollen verursacht im Allgemeinen positive Werte, es sei denn, das Leitwerk ist anhedrisch oder die Flosse befindet sich unterhalb der Rollachse. Seitliche Kraftkomponenten, die aus zweiflächigen oder anhedralen Flügelauftriebsunterschieden resultieren, haben wenig Einfluss darauf, da die Flügelachse normalerweise eng mit dem Schwerpunkt ausgerichtet ist. ${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{r}}$ Giermoment aufgrund der Gierrate.

Die Gierrateneingabe bei jedem Rollwinkel erzeugt Ruder-, Seitenflossen- und Rumpfkraftvektoren, die das resultierende Giermoment dominieren. Das Gieren erhöht auch die Geschwindigkeit des Außenflügels, während der Innenflügel abgebremst wird, wobei entsprechende Änderungen des Widerstands ein (kleines) entgegenwirkendes Giermoment verursachen. wirkt der inhärenten Richtungssteifigkeit entgegen, die dazu neigt, die Nase des Flugzeugs zurück in den Wind zu richten und immer dem Vorzeichen der Gierrateneingabe entspricht. ${\displaystyle N_{r}}$

${\displaystyle L_{\beta}}$ Rollmoment durch Seitenschlupf.

Ein positiver Schwimmwinkel erzeugt einen Leitwerkseinfall, der je nach Konfiguration ein positives oder negatives Rollmoment verursachen kann. Bei jedem Gleitwinkel ungleich Null verursachen V-Flügel ein Rollmoment, das dazu neigt, das Flugzeug in die Horizontale zurückzubringen, ebenso wie nach hinten gepfeilte Flügel. Bei stark gepfeilten Flügeln kann das resultierende Rollmoment für alle Stabilitätsanforderungen zu groß sein, und eine Anhedrale könnte verwendet werden, um die Wirkung des durch die Flügelpfeilung induzierten Rollmoments auszugleichen.

${\displaystyle L_{r}}$ Rollmoment durch Gierrate.

Gier erhöht die Geschwindigkeit des Außenflügels, während die Geschwindigkeit des Innenflügels verringert wird, was ein Rollmoment auf die Innenbordseite verursacht. Der Beitrag der Flosse unterstützt normalerweise diesen nach innen gerichteten Rolleffekt, sofern er nicht durch einen anhedralen Stabilisator oberhalb der Rollachse (oder Dieder unterhalb der Rollachse) ausgeglichen wird.

${\displaystyle L_{p}}$ Rollmoment aufgrund der Rollrate.

Die Rollbewegung erzeugt Gegenrotationskräfte sowohl an Steuerbord als auch an Backbord, während sie auch solche Kräfte am Leitwerk erzeugt. Diese gegenläufigen Rollmomenteffekte müssen durch die Querrudereingabe überwunden werden, um die Rollrate aufrechtzuerhalten. Wenn die Walze bei einem Nicht-Null - Rollwinkel angehalten wird , die nach oben gerichteten Rollmoment durch die nachfolgenden sideslip induziert sollte das Flugzeug zur Horizontalen zurück , wenn wiederum von dem Überschreitung Abwärtsrollmoment aus sideslip induzierten Gierrate. Durch Minimierung des letztgenannten Effekts könnte die Längsstabilität sichergestellt oder verbessert werden. ${\displaystyle L_{\beta}}$ ${\displaystyle L_{r}}$

Bewegungsgleichungen

Da Dutch Roll ein Handhabungsmodus ist, der analog zur Nickschwingung mit kurzer Periode ist, können jegliche Auswirkungen, die es auf die Flugbahn haben könnte, ignoriert werden. Die Körperrate r setzt sich aus der Änderungsrate des Schwimmwinkels und der Drehrate zusammen. Letzteres als Null annehmend, keine Auswirkung auf die Flugbahn annehmend, für den begrenzten Zweck des Studiums der niederländischen Rolle:

${\displaystyle {\frac {d\beta}{dt}}=-r}$

Die Gier- und Rollgleichungen mit den Stabilitätsableitungen werden zu:

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta}\beta -N_{r}{\frac {d\beta}{dt} }+N_{p}p}$ (gieren)

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta}\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt} }+L_{p}p}$ (rollen)

Das Trägheitsmoment aufgrund der Wankbeschleunigung wird im Vergleich zu den aerodynamischen Termen als klein angesehen, sodass die Gleichungen lauten:

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta}\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}} +N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta}\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+ L_{p}p}$

Dies wird zu einer Gleichung zweiter Ordnung, die entweder die Rollrate oder den Seitenschlupf regelt:

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac { d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p} }{A}}{\frac {N_{\beta}}{C}}-{\frac {L_{\beta}}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right) \beta = 0}$

Die Gleichung für die Rollrate ist identisch. Aber der Rollwinkel (phi) ist gegeben durch: ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

Wenn p eine gedämpfte einfache harmonische Bewegung ist, ist es auch , aber das Wanken muss zur Wankrate und damit auch zum Seitenschlupf in Quadratur sein . Die Bewegung besteht aus Schwingungen beim Rollen und Gieren, wobei die Rollbewegung dem Gieren um 90 Grad nacheilt. Die Flügelspitzen zeichnen elliptische Bahnen nach. ${\displaystyle \phi}$

Stabilität erfordert, dass die Ausdrücke " Steifigkeit " und "Dämpfung" positiv sind. Diese sind:

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}} }}$ (Dämpfung)

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta}}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\ frac {N_{\beta}}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A} }}}}$ (Steifheit)

Der Nenner wird dominiert von , der Wankdämpfungsableitung, die immer negativ ist, sodass die Nenner dieser beiden Ausdrücke positiv sind. ${\displaystyle L_{p}}$

Betrachtet man den Begriff "Steifigkeit": wird positiv sein, weil immer negativ und von Natur aus positiv ist. ist normalerweise negativ, während positiv ist. Eine übermäßige V-Form kann die Dutch-Roll destabilisieren, daher erfordern Konfigurationen mit stark gepfeilten Flügeln eine Anhedrale, um den Beitrag der Flügel-Schwingung zu ausgleichen . ${\displaystyle -L_{p}N_{\beta}}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle N_{\beta}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle L_{\beta}}$

Der Dämpfungsterm wird von dem Produkt der Wankdämpfung und der Gierdämpfungsableitungen dominiert, diese sind beide negativ, ihr Produkt ist also positiv. Die Holländerrolle sollte daher gedämpft werden.

Die Bewegung wird von einer leichten seitlichen Bewegung des Schwerpunkts begleitet und eine "genauere" Analyse führt Terme in usw. ein. Angesichts der Genauigkeit, mit der Stabilitätsableitungen berechnet werden können, ist dies eine unnötige Pedanterie, die dazu dient, die Beziehung zwischen Flugzeuggeometrie und Handhabung, die das grundlegende Ziel dieses Artikels ist. ${\displaystyle Y_{\beta}}$

Rollensenkung

Ein seitliches Rucken des Knüppels und Zurückführen in die Mitte bewirkt eine Nettoänderung der Rollenausrichtung.

Die Wankbewegung ist durch das Fehlen einer natürlichen Stabilität gekennzeichnet, es gibt keine Stabilitätsableitungen, die als Reaktion auf den Trägheitsrollwinkel Momente erzeugen. Eine Rollstörung induziert eine Rollrate, die nur durch einen Piloten- oder Autopiloteneingriff aufgehoben wird . Dies geschieht bei unbedeutenden Änderungen der Schwimm- oder Gierrate, sodass sich die Bewegungsgleichung auf:

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$negativ ist, nimmt die Rollrate mit der Zeit ab. Die Rollrate reduziert sich auf Null, aber es gibt keine direkte Kontrolle über den Rollwinkel.

Spiralmodus

Halten Sie den Steuerknüppel einfach still, wenn Sie mit fast waagerechten Flügeln beginnen, wird ein Flugzeug normalerweise die Tendenz haben, allmählich auf eine Seite der geraden Flugbahn auszuweichen. Dies ist der (etwas instabile) Spiralmodus .

Flugbahn im Spiralmodus

Bei der Untersuchung der Flugbahn ist es eher die Richtung des Geschwindigkeitsvektors als die des Körpers, die von Interesse ist. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, wenn er auf die Horizontale projiziert wird, wird Spur genannt, bezeichnet ( mu ). Die Körperausrichtung wird als Kurs bezeichnet und mit (psi) bezeichnet. Die Kraftgleichung der Bewegung enthält eine Gewichtskomponente: ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle {\frac {d\mu}{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi}$

wobei g die Erdbeschleunigung und U die Geschwindigkeit ist.

Einschließlich der Stabilitätsderivate:

${\displaystyle {\frac {d\mu}{dt}}={\frac {Y_{\beta}}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi}$

Es wird erwartet, dass Rollraten und Gierraten klein sind, daher werden die Beiträge von und ignoriert. ${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{p}}$

Der Seitenschlupf und die Rollrate ändern sich allmählich, sodass ihre zeitlichen Ableitungen ignoriert werden. Die Gier- und Rollgleichungen reduzieren sich auf:

${\displaystyle N_{\beta}\beta +N_{r}{\frac {d\mu}{dt}}+N_{p}p=0}$ (gieren)

${\displaystyle L_{\beta}\beta +L_{r}{\frac {d\mu}{dt}}+L_{p}p=0}$ (rollen)

Auflösen nach und p : ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta}-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu}{dt}}}$

${\displaystyle p={\frac {(L_{\beta}N_{r}-L_{r}N_{\beta})}{(L_{p}N_{\beta}-N_{p}L_{\ beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

Das Einsetzen von Schwimmwinkel und Wankrate in die Kraftgleichung führt zu einer Gleichung erster Ordnung des Wankwinkels:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta}N_{r}-N_{\beta}L_{r})}{mU(L_{p} N_{\beta}-N_{p}L_{\beta})-Y_{\beta}(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi}$

Dies ist ein exponentielles Wachstum oder Abfall, je nachdem, ob der Koeffizient von positiv oder negativ ist. Der Nenner ist normalerweise negativ, was erfordert (beide Produkte sind positiv). Dies steht in direktem Konflikt mit der niederländischen Rollstabilitätsanforderung, und es ist schwierig, ein Flugzeug zu konstruieren, für das sowohl der niederländische Roll- als auch der Spiralmodus inhärent stabil sind. ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle L_{\beta}N_{r}>N_{\beta}L_{r}}$

Da der Spiralmodus eine lange Zeitkonstante hat, kann der Pilot eingreifen, um ihn effektiv zu stabilisieren, aber ein Flugzeug mit einer instabilen Dutch-Roll wäre schwierig zu fliegen. Es ist üblich, das Flugzeug mit einem stabilen holländischen Rollmodus, aber einem leicht instabilen Spiralmodus zu konstruieren.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Literaturverzeichnis

• NK Sinha und N Ananthkrishnan (2013), Elementary Flight Dynamics with an Introduction to Bifurcation and Continuation Methods , CRC Press, Taylor & Francis.
• Babister, AW (1980). Dynamische Stabilität und Reaktion von Flugzeugen (1. Aufl.). Oxford: Pergamon-Presse. ISBN 978-0080247687.

Externe Links

• Open-Source-Simulationsframework in C++
• Eine plattformunabhängige Open-Source-Softwarebibliothek für Flugdynamik und -steuerung in C++