Forcen (Mathematik) - Forcing (mathematics)

In der mathematischen Disziplin der Mengenlehre ist Forcing eine Technik zum Nachweis von Konsistenz und Unabhängigkeit von Ergebnissen. Es wurde erstmals 1963 von Paul Cohen verwendet , um die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese von der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie zu beweisen .

Forcen wurde in den folgenden Jahren erheblich überarbeitet und vereinfacht und dient seitdem als leistungsfähige Technik sowohl in der Mengenlehre als auch in Bereichen der mathematischen Logik wie der Rekursionstheorie . Die deskriptive Mengenlehre verwendet die Begriffe des Treibens sowohl aus der Rekursionstheorie als auch aus der Mengentheorie. Forcing wurde auch in der Modelltheorie verwendet , aber es ist in der Modelltheorie üblich, Generizität direkt zu definieren, ohne das Forcing zu erwähnen.

Intuition

Intuitiv besteht das Erzwingen darin, das theoretische Universum auf ein größeres Universum auszudehnen . In diesem größeren Universum zum Beispiel könnte man viele neue Untermengen davon haben , die im alten Universum nicht vorhanden waren, und dadurch die Kontinuumshypothese verletzen .

Obwohl es unmöglich ist, mit endlichen Mengen umzugehen , ist dies nur eine weitere Version von Cantors Paradoxon über die Unendlichkeit. Prinzipiell könnte man sich überlegen:

identifizieren Sie sich mit , und führen Sie dann eine erweiterte Mitgliedschaftsbeziehung ein, die "neue" Sätze der Form einschließt . Erzwingen ist eine ausgefeiltere Version dieser Idee, die die Expansion auf die Existenz einer neuen Menge reduziert und eine feine Kontrolle über die Eigenschaften des erweiterten Universums ermöglicht.

Cohens ursprüngliche Technik, die jetzt als verzweigter Antrieb bezeichnet wird , unterscheidet sich geringfügig von dem hier erläuterten unverzweigten Antrieb. Erzwingen ist auch äquivalent zu der Methode der booleschen Modelle , die nach Meinung einiger konzeptionell natürlicher und intuitiver ist, aber normalerweise viel schwieriger anzuwenden ist.

Erzwingen von Posen

A zwingt poset ist eine geordnete Dreiergruppe, wo eine Vorbestellung auf dh atomless , was bedeutet , dass sie die folgende Bedingung erfüllt:

  • Für jeden gibt es solche , ohne solche . Das größte Element von ist , also für alle .

Mitglieder von werden Bedingungen erzwingen oder nur Bedingungen genannt . Man liest als „ ist stärker als “. Intuitiv liefert die "kleinere" Bedingung "mehr" Informationen, genauso wie das kleinere Intervall mehr Informationen über die Zahl π liefert als das Intervall .

Es gibt verschiedene Konventionen. Einige Autoren verlangen , dass auch antisymmetrisch sein muss , damit die Beziehung eine Teilordnung ist . Einige verwenden ohnehin den Begriff Teilbestellung , was im Widerspruch zur Standardterminologie steht, während andere den Begriff Vorbestellung verwenden . Auf das größte Element kann verzichtet werden. Die umgekehrte Reihenfolge wird auch verwendet, vor allem von Saharon Shelah und seinen Co-Autoren.

P-Namen

Im Zusammenhang mit einem Zwingen poset ist die Klasse von - Namen . Ein -name ist eine Menge der Form

Dies ist eigentlich eine Definition durch transfinite Rekursion . Mit der leeren Menge, der Nachfolge-Ordinalzahl von ordinal , dem Potenzmengen- Operator und einer Grenzwert-Ordinalzahl definieren Sie die folgende Hierarchie:

Dann ist die Klasse der -namen definiert als

Die -Namen sind in der Tat eine Erweiterung des Universums . Gegeben definiert man als -name

Auch dies ist wirklich eine Definition durch transfinite Rekursion.

Deutung

Eine gegebene Teilmenge von definiert als nächstes die Interpretations- oder Bewertungskarte von -names by

Dies ist wiederum eine Definition durch transfinite Rekursion. Beachten Sie, dass wenn , dann . Man definiert dann

damit .

Beispiel

Ein gutes Beispiel für ein Zwingen poset ist , wo und ist die Sammlung von Borel Subsets von Nicht-Null aufweist Lebesguemaß . In diesem Fall kann man von den Bedingungen als Wahrscheinlichkeiten sprechen, und ein -name weist die Zugehörigkeit in einem probabilistischen Sinne zu. Aufgrund der leichten Intuition, die dieses Beispiel bieten kann, wird die probabilistische Sprache manchmal mit anderen abweichenden erzwingenden Posen verwendet.

Abzählbare transitive Modelle und generische Filter

Der Schlüsselschritt beim Erzwingen besteht darin, ein geeignetes Objekt zu finden, das nicht in einem Universum enthalten ist . Die resultierende Klasse aller Interpretationen von -names wird ein Modell dafür sein , das das Original (seit ) richtig erweitert .

Anstatt mit zu arbeiten , ist es sinnvoll, ein abzählbares transitives Modell mit in Betracht zu ziehen . "Modell" bezieht sich auf ein Modell der Mengenlehre, entweder von allen oder ein Modell einer großen, aber endlichen Teilmenge von oder eine Variante davon. "Transitivität" bedeutet, dass wenn , dann . Der Mostowski-Kollaps heißt es, dass dies , wenn die Mitgliedschaft Beziehung angenommen werden kann , ist wohlbegründet . Die Transitivität bewirkt, dass Mitgliedschaft und andere elementare Begriffe intuitiv gehandhabt werden können. Die Abzählbarkeit des Modells beruht auf dem Löwenheim-Skolem-Theorem .

Wie eine Menge gibt es auch Mengen, die nicht enthalten sind – dies folgt aus Russells Paradox . Der geeignete Satz zum Auswählen und Anfügen ist ein generischer Filter für . Die Bedingung "Filter" bedeutet:

  • wenn , dann
  • wenn , dann gibt es einen solchen, dass

Denn "generisch" zu sein bedeutet:

  • Wenn eine "dichte" Teilmenge von ist (d. h. für jede existiert eine solche mit ), dann .

Die Existenz eines generischen Filters folgt aus dem Rasiowa-Sikorski-Lemma . Tatsächlich trifft etwas mehr zu: Unter einer Bedingung kann man einen generischen Filter finden, so dass . Aufgrund der Aufspaltungsbedingung an (oben als "atomlos" bezeichnet) ist, wenn ein Filter ist, dann dicht. Wenn , dann ist da ein Modell von . Aus diesem Grund ist ein generischer Filter nie in .

Erzwingen

Bei einem generischen Filter wird wie folgt vorgegangen. Die Unterklasse von -names in wird mit bezeichnet . Lassen

Um das Studium der Mengenlehre von auf das von zu reduzieren , arbeitet man mit der "Forcing Language", die wie gewöhnliche Logik erster Ordnung aufgebaut ist , mit Zugehörigkeit als binäre Relation und allen -Namen als Konstanten.

Define (zu lesen als " Kräfte im Modell mit Poset "), wobei eine Bedingung ist, eine Formel in der Forcing-Sprache ist und die 's -Namen sind, was bedeutet, dass if ein generischer Filter ist, der , dann enthält . Der Sonderfall wird oft als " " oder einfach " " geschrieben. Solche Aussagen sind in , egal was wahr ist.

Wichtig ist, dass diese externe Definition der erzwingenden Beziehung einer internen Definition innerhalb von äquivalent ist , definiert durch transfinite Induktion über die -Namen auf Instanzen von und und dann durch gewöhnliche Induktion über die Komplexität von Formeln. Dies hat zur Folge, dass alle Eigenschaften von in Wirklichkeit Eigenschaften von sind und die Überprüfung von in einfach wird. Dies wird normalerweise als die folgenden drei Schlüsseleigenschaften zusammengefasst:

  • Wahrheit : genau dann, wenn es erzwungen wird , das heißt, für eine bestimmte Bedingung haben wir .
  • Definierbarkeit : Die Anweisung " " ist definierbar in .
  • Kohärenz : .

Wir definieren die erzwingende Beziehung in durch Induktion über die Komplexität von Formeln, wobei wir zunächst die Beziehung für atomare Formeln durch -Induktion und dann für beliebige Formeln durch Induktion über ihre Komplexität definieren.

Wir definieren zunächst die erzwingende Beziehung für atomare Formeln, und zwar für beide Formeltypen, und gleichzeitig. Dies bedeutet, dass wir eine Beziehung definieren, wobei die Art der Formel wie folgt bezeichnet:

  1. bedeutet .
  2. bedeutet .
  3. bedeutet .

Hier ist eine Bedingung und und sind -Namen. Sei eine durch -Induktion definierte Formel:

R1. wenn und nur wenn .

R2. wenn und nur wenn .

R3. wenn und nur wenn .

Formaler verwenden wir die folgende binäre Relation -names: Es gilt für Namen und wenn und nur wenn für mindestens eine Bedingung . Diese Beziehung ist wohlbegründet, was bedeutet, dass für jeden Namen die Klasse aller Namen , so dass gilt, eine Menge ist und es keine Funktion gibt, so dass .

Im Allgemeinen ist eine fundierte Relation keine Vorbestellung, da sie möglicherweise nicht transitiv ist. Aber wenn wir es als "Ordnung" betrachten, ist es eine Relation ohne unendlich absteigende Folgen und wobei für jedes Element die Klasse der Elemente darunter eine Menge ist.

Es ist einfach, jede binäre Beziehung für die Transitivität zu schließen. Für Namen und , hält , wenn es mindestens eine endliche Sequenz ist (als eine Karte mit Domäne ) für ein , so dass , und für jede , hält. Auch eine solche Anordnung ist begründet.

Wir definieren die folgende wohldefinierte Reihenfolge für Namenspaare: wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

  1. ,
  2. und ,
  3. und und .

Die Relation wird durch Rekursion auf Namenspaare definiert. Für jedes Paar wird es durch die gleiche Beziehung für "einfachere" Paare definiert. Tatsächlich gibt es nach dem Rekursionstheorem eine Formel, so dass R1, R2 und R3 Theoreme sind, weil ihr Wahrheitswert irgendwann durch ihre Wahrheitswerte in "kleineren" Punkten relativ zu einer gut begründeten Beziehung definiert wird, die als "Ordnung" verwendet wird ". Jetzt sind wir bereit, die erzwungene Beziehung zu definieren:

  1. bedeutet .
  2. bedeutet .
  3. bedeutet .
  4. bedeutet .
  5. bedeutet .

Tatsächlich ist dies eine Umwandlung einer beliebigen Formel in die Formel, wobei und zusätzliche Variablen sind. Dies ist die Definition der erzwingenden Relation im Universum aller Mengen unabhängig von jedem abzählbaren transitiven Modell. Es gibt jedoch eine Beziehung zwischen dieser „syntaktischen“ Formulierung des Erzwingens und der „semantischen“ Formulierung des Erzwingens über ein abzählbares transitives Modell .

  1. Für jede Formel gibt es einen Satz der Theorie (zum Beispiel Verbindung von endlicher Anzahl der Axiome) , so dass für jede zählbare transitive Modell , so daß und jede atomless partielle Ordnung und eine beliebige Generischer Filter über

Dies nennt man die Eigenschaft der Definierbarkeit der erzwingenden Beziehung.

Konsistenz

Die obige Diskussion kann durch das grundlegende Konsistenzergebnis zusammengefasst werden, dass wir bei einem gegebenen erzwingenden Poset die Existenz eines generischen Filters annehmen können, das nicht zum Universum gehört , so dass es sich wieder um ein mengentheoretisches Universum handelt, das modelliert . Darüber hinaus können alle Wahrheiten in der erzwingenden Beziehung auf Wahrheiten reduziert werden .

Beide Stile, die entweder an ein abzählbares transitives Modell oder das gesamte Universum angrenzen , werden häufig verwendet. Weniger verbreitet ist der Ansatz, der die "interne" Definition von Forcen verwendet, in der keine Mengen- oder Klassenmodelle erwähnt werden. Dies war Cohens ursprüngliche Methode, und in einer Ausarbeitung wird sie zur Methode der Booleschen Analyse.

Cohen erzwingen

Das einfachste nichttriviale erzwingende Poset ist , die endlichen Partialfunktionen von bis unter umgekehrter Inklusion. Das heißt, eine Bedingung besteht im Wesentlichen aus zwei disjunkten endlichen Teilmengen und von , die man sich als die "Ja"- und "Nein"-Teile von vorstellen kann , ohne dass Informationen über Werte außerhalb des Bereichs von bereitgestellt werden . " ist stärker als " bedeutet, dass mit anderen Worten die "ja"- und "nein" -Teile von Obermengen der "ja"- und "nein"-Teile von sind und in diesem Sinne mehr Informationen liefern.

Seien Sie ein generischer Filter für dieses Poset. Wenn und beide in sind , ist dies eine Bedingung, da es sich um einen Filter handelt. Dies bedeutet, dass dies eine wohldefinierte Teilfunktion von bis ist, da zwei beliebige Bedingungen in ihrem gemeinsamen Bereich übereinstimmen.

Tatsächlich handelt es sich um eine Gesamtfunktion. Gegeben , lass . Dann ist dicht. (Angegebene , wenn nicht in der Domäne von , fügen Sie einen Wert für an – das Ergebnis ist in .) Eine Bedingung hat in ihrer Domäne, und da finden wir, dass dies definiert ist.

Sei , die Menge aller "ja"-Mitglieder der generischen Bedingungen. Es ist möglich, direkt einen Namen zu vergeben . Lassen

Dann nehmen Sie nun an, dass in . Das behaupten wir . Lassen

Dann ist dicht. (Gegebenenfalls finden Sie, dass nicht in seiner Domäne ist, und fügen Sie einen Wert für entgegen dem Status von " " hinzu.) Dann alle Zeugen . Zusammenfassend ist eine "neue" Teilmenge von notwendigerweise unendlich.

Ersetzt man durch , d. h. betrachtet man stattdessen endliche Teilfunktionen, deren Eingaben die Form , mit und haben , und deren Ausgaben sind oder , erhält man neue Teilmengen von . Sie sind alle durch ein Dichteargument verschieden: Gegeben sei

dann ist jede dicht, und eine generische Bedingung darin beweist, dass die α- te neue Menge irgendwo mit der neuen Menge übereinstimmt .

Dies ist noch nicht die Falsifikation der Kontinuumshypothese. Man muss beweisen, dass keine neuen Maps eingeführt wurden , auf die oder auf . Betrachtet man beispielsweise stattdessen endliche Teilfunktionen von bis , die erste überabzählbare Ordinalzahl , so erhält man eine Bijektion von bis . Mit anderen Worten, hat kollabiert und ist in der erzwingenden Erweiterung eine abzählbare Ordnungszahl.

Der letzte Schritt, um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese zu zeigen, besteht also darin, zu zeigen, dass das Cohen-Forcing keine Kardinäle zusammenbricht. Dazu ist eine ausreichende kombinatorische Eigenschaft , dass alle der Antiketten der Zwingen poset zählbar sind.

Die abzählbare Kettenbedingung

Eine (stark) Antikette von ist eine Teilmenge , so dass , wenn , dann und sind nicht kompatibel (geschrieben ), dh es gibt keine ist in so dass und . In dem Beispiel für Borel-Sets bedeutet Inkompatibilität, dass das Maß null ist. In dem Beispiel zu endlichen Teilfunktionen bedeutet Inkompatibilität, dass es sich nicht um eine Funktion handelt, mit anderen Worten, und weisen Sie einigen Domäneneingaben unterschiedliche Werte zu.

erfüllt die abzählbare Kettenbedingung (ccc) genau dann, wenn jede Antikette in abzählbar ist. (Der offensichtlich unpassende Name ist ein Überbleibsel aus der älteren Terminologie. Einige Mathematiker schreiben "cac" für "zählbare Antikettenbedingung".)

Es ist leicht zu erkennen, dass dies dem ccc genügt, denn die Maße summieren sich höchstens zu . Außerdem erfüllt die ccc, aber der Beweis ist schwieriger.

Gegeben eine unzählbare Unterfamilie , für einige auf eine unzählbare Unterfamilie von Größenmengen schrumpfen . Wenn für unzählbar viele , schrumpft dies zu einer unzählbaren Unterfamilie und wiederholt, eine endliche Menge bekommen und eine unzählbare Familie inkompatibler Bedingungen Größe , so dass jeder in ist für höchstens abzählbar viele . Nun wählen , eine beliebige und von Pick jeder , der nicht einer der abzählbar viele Mitglieder , die ein Domänenmitglied gemeinsam mit haben . Dann und sind kompatibel, also keine Antikette. Mit anderen Worten, -antiketten sind zählbar.

Die Bedeutung von Antiketten beim Forcing besteht darin, dass für die meisten Zwecke dichte Mengen und maximale Antiketten gleichwertig sind. Eine maximale Antikette ist eine, die nicht auf eine größere Antikette erweitert werden kann. Dies bedeutet, dass jedes Element mit einem Mitglied von kompatibel ist . Die Existenz einer maximalen Antikette folgt aus Zorns Lemma . Gegeben eine maximale Antikette , sei

Dann ist dicht, und wenn und nur wenn . Umgekehrt zeigt Zorns Lemma bei einer gegebenen dichten Menge , dass es eine maximale Antikette gibt , und dann genau dann, wenn .

Es sei angenommen , dass erfüllt die ccc Gegeben , mit einer Funktion in kann man approximieren innen wie folgt. Sei ein Name für (durch die Definition von ) und sei eine Bedingung, die erzwingt , eine Funktion von bis zu sein . Definiere eine Funktion , deren Domäne ist , durch

Durch die Definierbarkeit von Forcen macht diese Definition innerhalb von Sinn . Durch die Kohärenz des Erzwingens kommt ein anderes von einem inkompatiblen . Von ccc ist zählbar.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es bei einem CCC-Forcing unbekannt ist, da es davon abhängt . Man kann einen zählbaren Satz von Vermutungen für den Wert von an jedem Eingang identifizieren , unabhängig von .

Dies hat die folgende sehr wichtige Konsequenz. Wenn in , eine Surjektion von einer unendlichen Ordinalzahl auf eine andere ist, dann gibt es eine Surjektion in , und folglich eine Surjektion in . Insbesondere können Kardinäle nicht zusammenbrechen. Die Schlussfolgerung ist, dass in .

Easton zwingt

Der genaue Wert des Kontinuums im obigen Cohen-Modell und Varianten wie für Kardinäle im Allgemeinen wurden von Robert M. Solovay ausgearbeitet, der auch herausgearbeitet hat, wie man (die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ) nur für reguläre Kardinäle ein endliches . verletzt Anzahl. Im obigen Cohen-Modell beispielsweise, wenn hält in , dann hält in .

William B. Easton erarbeitet die richtige Klasse - Version die der Verletzung für die regelmäßige Kardinäle, im Grunde zeigen , dass die bekannten Einschränkungen, (Monotonie, Cantors Theorem und König Theorem ), waren die einzigen -provable Einschränkungen (siehe Easton Theorem ).

Eastons Arbeit war insofern bemerkenswert, als sie das Erzwingen mit einer geeigneten Klasse von Bedingungen beinhaltete. Im Allgemeinen liefert die Methode des Erzwingens mit einer geeigneten Klasse von Bedingungen kein Modell von . Zum Beispiel macht das Erzwingen mit , wobei die richtige Klasse aller Ordinalzahlen ist, das Kontinuum zu einer echten Klasse. Andererseits führt das Erzwingen mit eine abzählbare Aufzählung der Ordnungszahlen ein. In beiden Fällen ist das Ergebnis sichtbar kein Modell von .

Einst dachte man, dass eine ausgeklügeltere Zwangssteuerung auch eine willkürliche Variation der Befugnisse einzelner Kardinäle ermöglichen würde . Dies hat sich jedoch als schwieriges, subtiles und sogar überraschendes Problem herausgestellt, wobei je nach Konsistenz verschiedener großkardinaler Eigenschaften mehrere weitere Einschränkungen in und mit den erzwingenden Modellen nachweisbar sind . Viele offene Probleme bleiben.

Zufällige Reals

Zufälliges Forcing kann als Forcieren über die Menge aller kompakten Teilmengen von positiven Maßen, geordnet nach Relation, definiert werden (eine kleinere Menge im Kontext der Inklusion ist eine kleinere Menge in der Ordnung und repräsentiert eine Bedingung mit mehr Informationen). Es gibt zwei Arten von wichtigen dichten Mengen:

  1. Für jede positive ganze Zahl ist die Menge
    ist dicht, wobei der Durchmesser der Menge ist .
  2. Für jede Borel-Teilmenge von Maß 1 ist die Menge
    ist dicht.

Für jeden Filter und für beliebig viele Elemente gibt es solche, die gelten . Im Falle dieser Ordnung bedeutet dies, dass jeder Filter eine Menge kompakter Mengen mit endlicher Schnitteigenschaft ist. Aus diesem Grund ist die Schnittmenge aller Elemente eines Filters nicht leer. Wenn ein Filter die dichte Menge für eine beliebige positive ganze Zahl schneidet , dann enthält der Filter Bedingungen mit einem beliebig kleinen positiven Durchmesser. Daher hat der Schnittpunkt aller Bedingungen von Durchmesser 0. Aber die einzigen nichtleeren Mengen von Durchmesser 0 sind Singletons. Es gibt also genau eine reelle Zahl, so dass .

Sei eine beliebige Borel-Maßmenge 1. Wenn schneidet , dann .

Ein generischer Filter über ein zählbares transitives Modell ist jedoch nicht in . Das durch definierte Reale ist nachweislich kein Element von . Das Problem ist , dass wenn , dann „ ist kompakt“, aber aus der Sicht eines größeren Universums , kann nicht kompakt sein und der Durchschnitt aller Bedingungen aus dem generischen Filter tatsächlich leer. Aus diesem Grund betrachten wir die Menge der topologischen Abschlüsse von Bedingungen aus G. Wegen und der endlichen Schnitteigenschaft von hat die Menge auch die endliche Schnitteigenschaft. Elemente der Menge sind beschränkte abgeschlossene Mengen als Abschlüsse von beschränkten Mengen. Also ist eine Menge kompakter Mengen mit der endlichen Schnitteigenschaft und hat somit einen nichtleeren Schnitt. Da das Bodenmodell eine Metrik aus dem Universum erbt , hat die Menge Elemente mit beliebig kleinem Durchmesser. Schließlich gibt es genau ein Reales, das zu allen Mitgliedern der Menge gehört . Der generische Filter kann aus als rekonstruiert werden .

Wenn der Name von ist und für gilt " ist die Borel-Menge von Maß 1", dann gilt

für einige . Es gibt einen Namen , der für jeden generischen Filter gilt

Dann

gilt für jede Bedingung .

Jede Borel-Menge kann nicht eindeutig aufgebaut werden, ausgehend von Intervallen mit rationalen Endpunkten und unter Anwendung der Operationen von Komplement und abzählbaren Vereinigungen, eine abzählbare Anzahl von Malen. Die Aufzeichnung einer solchen Konstruktion wird als Borel-Code bezeichnet . Bei einem gegebenen Borel-Set in stellt man einen Borel-Code wieder her und wendet dann dieselbe Konstruktionssequenz in an , um ein Borel-Set zu erhalten . Es kann bewiesen werden, dass man unabhängig von der Konstruktion von dieselbe Menge erhält und grundlegende Eigenschaften erhalten bleiben. Zum Beispiel, wenn , dann . Wenn das Maß Null hat, dann hat das Maß Null. Diese Abbildung ist injektiv.

Für jede Menge, so dass und " ist eine Borel-Menge von Maß 1" gilt .

Dies bedeutet aus Sicht von "unendliche Zufallsfolge von Nullen und Einsen" , was bedeutet, dass es alle statistischen Tests aus dem Bodenmodell erfüllt .

Wenn also ein zufälliges reelles gegeben ist, kann man das zeigen

Wegen der gegenseitigen Interdefinierbarkeit zwischen und schreibt man im Allgemeinen für .

Eine andere Interpretation von Reals in wurde von Dana Scott bereitgestellt . Rationale Zahlen in haben Namen, die abzählbar vielen verschiedenen rationalen Werten entsprechen, die einer maximalen Antikette von Borel-Mengen zugeordnet sind – mit anderen Worten, einer bestimmten rationalwertigen Funktion auf . Reelle Zahlen entsprechen dann Dedekind-Schnitten solcher Funktionen, also messbaren Funktionen .

Boolesche Modelle

Vielleicht deutlicher lässt sich die Methode anhand von Boolesch-bewerteten Modellen erklären. In diesen wird jeder Aussage ein Wahrheitswert aus einer vollständigen atomlosen Booleschen Algebra zugewiesen , und nicht nur ein Wahr/Falsch-Wert. Dann wird in dieser Booleschen Algebra ein Ultrafilter ausgewählt, der Aussagen unserer Theorie Werte wahr/falsch zuordnet. Der Punkt ist, dass die resultierende Theorie ein Modell hat, das diesen Ultrafilter enthält, das als neues Modell verstanden werden kann, das durch Erweiterung des alten um diesen Ultrafilter erhalten wird. Durch die geeignete Auswahl eines booleschen Modells erhalten wir ein Modell mit der gewünschten Eigenschaft. Darin sind nur Aussagen, die wahr sein müssen (sind "gezwungen", wahr zu sein), in gewissem Sinne wahr (da sie diese Erweiterungs-/Minimalitätseigenschaft haben).

Metamathematische Erklärung

In zwingen, suchen wir in der Regel zu zeigen , dass einiger Satz ist im Einklang mit (oder optional einem gewissen Verlängerung der ). Eine Möglichkeit, das Argument zu interpretieren, besteht darin, anzunehmen, dass konsistent ist, und dann zu beweisen, dass die Kombination mit dem neuen Satz auch konsistent ist.

Jede „Bedingung“ ist eine endliche Information – die Idee ist, dass nur endliche Stücke für Konsistenz relevant sind, da eine Theorie nach dem Kompaktheitssatz genau dann erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge ihrer Axiome erfüllbar ist. Dann können wir eine unendliche Menge konsistenter Bedingungen auswählen, um unser Modell zu erweitern. Unter der Annahme der Konsistenz von beweisen wir daher die Konsistenz von erweitert um diese unendliche Menge.

Logische Erklärung

Mit dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Gödel kann man die Konsistenz einer hinreichend starken formalen Theorie nicht beweisen , indem man nur die Axiome der Theorie selbst verwendet, es sei denn, die Theorie ist inkonsistent. Folglich versuchen Mathematiker nicht, die Konsistenz zu beweisen, wenn nur die Axiome von verwendet werden , oder zu beweisen, dass dies für eine Hypothese nur mit der Verwendung von konsistent ist . Aus diesem Grund besteht das Ziel eines Konsistenzbeweises darin, die Konsistenz von relativ zur Konsistenz von zu beweisen . Solche Probleme sind als Probleme der relativen Konsistenz bekannt , von denen eines beweist


 

 

 

 

( )

Es folgt das allgemeine Schema der relativen Konsistenzbeweise. Da jeder Beweis endlich ist, verwendet er nur eine endliche Anzahl von Axiomen:

Kann für jeden gegebenen Beweis die Gültigkeit dieses Beweises überprüfen. Dies ist durch Induktion über die Länge des Beweises beweisbar.

Dann lösen

Indem Sie Folgendes beweisen


 

 

 

 

( ⁎⁎ )

Daraus kann man schließen

was äquivalent zu ist

was (*) ergibt. Der Kern des relativen Konsistenzbeweis ist das Beweisen (**). Ein Beweis von kann für jede gegebene endliche Teilmenge der Axiome ( natürlich mit Instrumenten) konstruiert werden . ( Natürlich kein universeller Beweis .)

In ist beweisbar, dass für jede Bedingung die Menge von Formeln (ausgewertet durch Namen), die durch erzwungen werden, deduktiv abgeschlossen ist. Beweist außerdem für jedes Axiom, dass dieses Axiom durch erzwungen wird . Dann genügt es zu beweisen, dass es mindestens eine Bedingung gibt, die erzwingt .

Im Fall des Booleschen Forcings ist das Verfahren ähnlich: Beweisen, dass der Boolesche Wert von nicht ist .

Ein anderer Ansatz verwendet das Reflexionstheorem. Für jede gegebene endliche Menge von Axiomen gibt es einen Beweis dafür, dass diese Menge von Axiomen ein abzählbares transitives Modell hat. Für jede gegebene endliche Menge von Axiomen gibt es eine endliche Menge von Axiomen, die beweist, dass, wenn ein abzählbares transitives Modell erfüllt , dann erfüllt . Durch den Beweis, dass es eine endliche Menge von Axiomen gibt, so dass, wenn ein abzählbares transitives Modell erfüllt , dann die Hypothese erfüllt . Dann beweist für jede gegebene endliche Menge von Axiomen .

Manchmal ist in (**) eine stärkere Theorie als zum Beweis verwendet . Dann haben wir den Beweis für die Konsistenz von relativ zur Konsistenz von . Beachten Sie, dass , where ist (das Axiom der Konstruierbarkeit).

Siehe auch

Verweise

  • Bell, JL (1985). Boolean-bewertete Modelle und Unabhängigkeitsbeweise in der Mengenlehre , Oxford. ISBN  0-19-853241-5
  • Cohen, PJ (1966). Mengenlehre und Kontinuumshypothese . Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
  • Grishin, VN (2001) [1994], "Forcing Method" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Kunen, K. (1980). Mengentheorie: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise . Nordholland. ISBN 978-0-444-85401-8.
  • Jech, Thomas (2002). Mengenlehre: Die dritte Millennium Edition . Frühlings-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Externe Links