Grundlagen der Geometrie - Foundations of geometry

Grundlagen der Geometrie ist das Studium von Geometrien als axiomatische Systeme . Es gibt mehrere Sätze von Axiomen, die zur euklidischen Geometrie oder zu nichteuklidischen Geometrien führen . Diese sind von grundlegender Bedeutung für das Studium und von historischer Bedeutung, aber es gibt viele moderne Geometrien, die nicht euklidisch sind und unter diesem Gesichtspunkt untersucht werden können. Der Begriff axiomatische Geometrie kann auf jede Geometrie angewendet werden, die aus einem Axiomensystem entwickelt wurde, wird jedoch oft verwendet, um unter diesem Gesichtspunkt untersuchte euklidische Geometrie zu bezeichnen. Vollständigkeit und Unabhängigkeit allgemeiner axiomatischer Systeme sind wichtige mathematische Überlegungen, aber auch Fragen der Geometrielehre spielen eine Rolle.

Axiomatische Systeme

Basierend auf altgriechischen Methoden ist ein axiomatisches System eine formale Beschreibung eines Weges zur Feststellung der mathematischen Wahrheit , die sich aus einem festen Satz von Annahmen ergibt . Obwohl auf jeden Bereich der Mathematik anwendbar, ist die Geometrie der Zweig der elementaren Mathematik, in dem diese Methode am erfolgreichsten angewendet wurde.

Es gibt mehrere Komponenten eines axiomatischen Systems.

  1. Primitive (undefinierte Begriffe) sind die grundlegendsten Ideen. Typischerweise umfassen sie Objekte und Beziehungen. In der Geometrie sind die Objekte Dinge wie Punkte , Linien und Ebenen, während eine grundlegende Beziehung die des Einfalls ist – das Zusammentreffen oder Verbinden eines Objekts mit einem anderen. Die Begriffe selbst sind undefiniert. Hilbert hat einmal bemerkt, man könne statt von Punkten, Linien und Flächen genauso gut von Tischen, Stühlen und Bierkrügen sprechen. Sein Punkt ist, dass die primitiven Begriffe nur leere Schalen sind, Platzhalter, wenn Sie so wollen, und keine intrinsischen Eigenschaften haben.
  2. Axiome (oder Postulate) sind Aussagen über diese Primitiven; zum Beispiel fallen zwei beliebige Punkte zusammen mit nur einer Linie zusammen (dh für zwei beliebige Punkte gibt es nur eine Linie, die durch beide geht). Axiome werden als wahr angenommen und nicht bewiesen. Sie sind die Bausteine geometrischer Konzepte, da sie die Eigenschaften der Primitive spezifizieren.
  3. Die Gesetze der Logik .
  4. Die Theoreme sind die logischen Konsequenzen der Axiome, also die Aussagen, die man aus den Axiomen mit den Gesetzen der deduktiven Logik gewinnen kann.

Eine Interpretation eines axiomatischen Systems ist eine besondere Möglichkeit, den Primitiven dieses Systems eine konkrete Bedeutung zu geben. Wenn diese Assoziation von Bedeutungen die Axiome des Systems zu wahren Aussagen macht, dann wird die Interpretation als Modell des Systems bezeichnet. In einem Modell sind alle Theoreme des Systems automatisch wahre Aussagen.

Eigenschaften axiomatischer Systeme

Bei der Diskussion axiomatischer Systeme werden häufig mehrere Eigenschaften im Fokus stehen:

  • Die Axiome eines axiomatischen Systems heißen konsistent, wenn sich daraus kein logischer Widerspruch ableiten lässt. Außer in den einfachsten Systemen ist Konsistenz in einem axiomatischen System eine schwer zu etablierende Eigenschaft. Existiert dagegen ein Modell für das axiomatische System, dann ist jeder im System ableitbare Widerspruch auch im Modell ableitbar, und das axiomatische System ist so konsistent wie jedes System, zu dem das Modell gehört. Diese Eigenschaft (mit einem Modell) wird als relative Konsistenz oder Modellkonsistenz bezeichnet .
  • Ein Axiom heißt unabhängig, wenn es nicht von den anderen Axiomen des axiomatischen Systems bewiesen oder widerlegt werden kann. Ein axiomatisches System heißt unabhängig, wenn jedes seiner Axiome unabhängig ist. Wenn eine wahre Aussage eine logische Konsequenz eines axiomatischen Systems ist, dann wird sie in jedem Modell dieses Systems eine wahre Aussage sein. Um zu beweisen, dass ein Axiom von den übrigen Axiomen des Systems unabhängig ist, genügt es, zwei Modelle der übrigen Axiome zu finden, von denen das Axiom im einen eine wahre und im anderen eine falsche Aussage ist. Unabhängigkeit ist aus pädagogischer Sicht nicht immer eine wünschenswerte Eigenschaft.
  • Ein axiomatisches System heißt vollständig, wenn jede in den Ausdrücken des Systems ausdrückbare Aussage entweder beweisbar ist oder eine beweisbare Negation hat. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, besteht darin, dass zu einem vollständigen axiomatischen System keine unabhängige Aussage hinzugefügt werden kann, die mit den Axiomen dieses Systems konsistent ist.
  • Ein axiomatisches System ist kategorial, wenn zwei beliebige Modelle des Systems isomorph sind (im Wesentlichen gibt es nur ein Modell für das System). Ein kategoriales System ist notwendigerweise vollständig, aber Vollständigkeit impliziert keine Kategorisierung. In manchen Situationen ist Kategorisierung keine wünschenswerte Eigenschaft, da kategoriale axiomatische Systeme nicht verallgemeinert werden können. Der Wert des axiomatischen Systems für die Gruppentheorie besteht beispielsweise darin, dass es nicht kategorisch ist. Der Beweis eines Ergebnisses in der Gruppentheorie bedeutet also, dass das Ergebnis in allen verschiedenen Modellen für die Gruppentheorie gültig ist und man das Ergebnis nicht widerlegen muss in jedem der nicht-isomorphen Modelle.

Euklidische Geometrie

Die euklidische Geometrie ist ein mathematisches System, das dem alexandrinischen griechischen Mathematiker Euklid zugeschrieben wird , das er (wenn auch nach modernen Maßstäben nicht streng) in seinem Lehrbuch über Geometrie beschrieb : die Elemente . Euklids Methode besteht darin, eine kleine Menge intuitiv ansprechender Axiome anzunehmen und daraus viele andere Sätze ( Theoreme ) abzuleiten . Obwohl viele von Euklids Ergebnissen von früheren Mathematikern angegeben wurden, war Euklid der erste, der zeigte, wie diese Sätze in ein umfassendes deduktives und logisches System passen könnten . Die Elemente beginnen mit der ebenen Geometrie, die noch in der Sekundarstufe als erstes axiomatisches System und die ersten Beispiele formaler Beweise gelehrt wird . Es geht weiter zur Festkörpergeometrie der drei Dimensionen . Ein Großteil der Elemente gibt Ergebnisse dessen an, was heute Algebra und Zahlentheorie genannt wird , erklärt in geometrischer Sprache.

Über zweitausend Jahre lang war das Adjektiv "euklidisch" überflüssig, weil keine andere Geometrie erfunden worden war. Euklids Axiome schienen so intuitiv (mit der möglichen Ausnahme des Parallelpostulats ) offensichtlich, dass jeder von ihnen bewiesene Satz in einem absoluten, oft metaphysischen Sinne als wahr angesehen wurde. Heute sind jedoch viele andere Geometrien bekannt, die nicht euklidisch sind, wobei die ersten im frühen 19. Jahrhundert entdeckt wurden.

Euklids Elemente

Euklids Elemente ist eine mathematische und geometrische Abhandlung, die aus 13 Büchern besteht, die vom antiken griechischen Mathematiker Euklid in Alexandria c. 300 v. Es ist eine Sammlung von Definitionen, Postulaten ( Axiomen ), Sätzen ( Theoremen und Konstruktionen ) und mathematischen Beweisen der Sätze. Die dreizehn Bücher behandeln die euklidische Geometrie und die altgriechische Version der elementaren Zahlentheorie . Mit Ausnahme von Autolycus' On the Moving Sphere sind die Elemente eine der ältesten erhaltenen griechischen mathematischen Abhandlungen und die älteste erhaltene axiomatische deduktive Behandlung der Mathematik . Es hat sich als maßgeblich für die Entwicklung der Logik und der modernen Wissenschaft erwiesen .

Euklids Elemente gelten als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch, das je geschrieben wurde. 1482 in Venedig zum ersten Mal in Type gesetzt , ist es eines der allerersten mathematischen Werke, das nach der Erfindung des Buchdrucks gedruckt wurde, und wurde von Carl Benjamin Boyer in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Ausgaben auf das zweitgrößte nach der Bibel geschätzt. mit einer Zahl von weit über tausend. Jahrhundertelang, als das Quadrivium in den Lehrplan aller Universitätsstudenten aufgenommen wurde, wurde von allen Studenten die Kenntnis zumindest eines Teils von Euklids Elementen verlangt. Erst im 20. Jahrhundert, als sein Inhalt durch andere Schulbücher allgemein gelehrt wurde, wurde es nicht mehr als etwas angesehen, das alle gebildeten Menschen gelesen hatten.

Die Elemente sind hauptsächlich eine Systematisierung früherer Kenntnisse der Geometrie. Es wird angenommen, dass seine Überlegenheit gegenüber früheren Behandlungen erkannt wurde, mit der Folge, dass es wenig Interesse an der Erhaltung der früheren gab und sie jetzt fast alle verloren sind.

Die Bücher I–IV und VI behandeln die ebene Geometrie. Viele Ergebnisse über ebene Figuren sind bewiesen, zB Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel hat, dann sind die von den Winkeln aufgespannten Seiten gleich. Der Satz des Pythagoras ist bewiesen.

Die Bücher V und VII–X befassen sich mit der Zahlentheorie, wobei Zahlen geometrisch über ihre Darstellung als Liniensegmente unterschiedlicher Länge behandelt werden. Begriffe wie Primzahlen und rationale und irrationale Zahlen werden eingeführt. Die Unendlichkeit der Primzahlen ist bewiesen.

Die Bücher XI–XIII befassen sich mit der Festkörpergeometrie. Ein typisches Ergebnis ist das Verhältnis 1:3 zwischen dem Volumen eines Kegels und eines Zylinders mit gleicher Höhe und Grundfläche.

Das Parallelpostulat: Wenn zwei Geraden eine dritte so schneiden, dass die Summe der Innenwinkel auf einer Seite kleiner ist als zwei rechte Winkel, dann müssen sich die beiden Geraden bei ausreichender Ausdehnung zwangsläufig auf dieser Seite schneiden.

Am Anfang des ersten Buches der Elemente gibt Euklid fünf Postulate (Axiome) für die ebene Geometrie, ausgedrückt in Konstruktionen (wie von Thomas Heath übersetzt):

"Lassen Sie Folgendes postulieren:

  1. "Um eine gerade Linie von einem beliebigen Punkt zu einem beliebigen Punkt zu zeichnen ."
  2. "Um eine endliche gerade Linie kontinuierlich in einer geraden Linie zu erzeugen [erweitern] ."
  3. "Um einen Kreis mit einem beliebigen Mittelpunkt und einer beliebigen Entfernung [Radius] zu beschreiben."
  4. "Dass alle rechten Winkel einander gleich sind."
  5. Das parallele Postulat : "Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, treffen sich die beiden Geraden, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden, auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als . sind die beiden rechten Winkel."

Obwohl Euklids Aussage der Postulate die Existenz der Konstruktionen nur explizit behauptet, wird davon ausgegangen, dass sie auch einzigartige Objekte hervorbringen.

Der Erfolg der Elemente ist in erster Linie auf die logische Darstellung der meisten mathematischen Kenntnisse zurückzuführen, die Euklid zur Verfügung standen. Ein Großteil des Materials stammt nicht von ihm, obwohl viele der Beweise angeblich von ihm stammen. Euklids systematische Entwicklung seines Themas, von einer kleinen Reihe von Axiomen zu tiefen Ergebnissen, und die Konsistenz seines Ansatzes durch die Elemente hindurch förderten seine Verwendung als Lehrbuch für etwa 2.000 Jahre. Die Elemente beeinflussen immer noch moderne Geometriebücher. Darüber hinaus bleiben ihr logisch-axiomatischer Ansatz und ihre strengen Beweise die Eckpfeiler der Mathematik.

Eine Kritik an Euklid

Die Maßstäbe der mathematischen Strenge haben sich geändert, seit Euklid die Elemente geschrieben hat . Moderne Einstellungen und Standpunkte zu einem axiomatischen System können den Anschein erwecken, dass Euklid in seiner Herangehensweise an das Thema in gewisser Weise nachlässig oder nachlässig war , aber dies ist eine ahistorische Illusion. Erst nachdem die Grundlagen als Reaktion auf die Einführung der nichteuklidischen Geometrie sorgfältig untersucht wurden, traten die Mängel auf, die wir heute als Mängel bezeichnen . Der Mathematiker und Historiker WW Rouse Ball relativierte diese Kritik und bemerkte, dass "die Tatsache, dass [die Elemente ] zweitausend Jahre lang das übliche Lehrbuch zu diesem Thema war, die starke Vermutung aufwirft, dass es für diesen Zweck nicht ungeeignet ist."

Einige der Hauptprobleme bei Euklids Präsentation sind:

  • Mangelnde Anerkennung des Konzepts primitiver Begriffe , Objekte und Begriffe, die bei der Entwicklung eines axiomatischen Systems undefiniert bleiben müssen.
  • Die Verwendung von Superposition in einigen Beweisen, ohne dass es eine axiomatische Begründung dieser Methode gibt.
  • Fehlen eines Konzepts der Stetigkeit, das benötigt wird, um die Existenz einiger Punkte und Linien zu beweisen, die Euklid konstruiert.
  • Unklarheit darüber, ob eine Gerade unendlich oder grenzenlos ist im zweiten Postulat.
  • Fehlen des Konzepts der Betweenness , das unter anderem zur Unterscheidung zwischen Innen und Außen verschiedener Figuren verwendet wird.

Euklids Liste der Axiome in den Elementen war nicht erschöpfend, sondern repräsentierte die Prinzipien, die am wichtigsten erschienen. Seine Beweise berufen sich oft auf axiomatische Begriffe, die ursprünglich nicht in seiner Liste von Axiomen aufgeführt waren. Er geht deswegen nicht in die Irre und beweist Fehler, da er sich impliziter Annahmen bedient, deren Gültigkeit durch die Diagramme, die seinen Beweisen begleiten, gerechtfertigt erscheint. Spätere Mathematiker haben Euklids implizite axiomatische Annahmen in die Liste der formalen Axiome aufgenommen und damit diese Liste erheblich erweitert.

Zum Beispiel benutzte Euklid in der ersten Konstruktion von Buch 1 eine Prämisse, die weder postuliert noch bewiesen wurde: dass sich zwei Kreise mit Mittelpunkten im Abstand ihres Radius in zwei Punkten schneiden. Später, in der vierten Konstruktion, benutzte er Superposition (das Übereinanderschieben der Dreiecke), um zu beweisen, dass, wenn zwei Seiten und ihre Winkel gleich sind, sie kongruent sind; während dieser Betrachtungen verwendet er einige Eigenschaften der Superposition, die jedoch in der Abhandlung nicht explizit beschrieben werden. Wenn Superposition als gültige Methode des geometrischen Beweises angesehen werden soll, wäre die gesamte Geometrie voll von solchen Beweisen. Zum Beispiel lassen sich die Sätze I.1 bis I.3 trivial durch Superposition beweisen.

Um diese Probleme in Euclids Werk anzugehen, haben spätere Autoren entweder versucht, die Lücken in Euclids Präsentation zu füllen – der bemerkenswerteste dieser Versuche ist auf D. Hilbert zurückzuführen – oder das Axiomensystem um verschiedene Konzepte herum zu organisieren, wie es GD Birkhoff getan hat .

Pasch und Peano

Dem deutschen Mathematiker Moritz Pasch (1843–1930) gelang es erstmals, die euklidische Geometrie auf eine feste axiomatische Grundlage zu stellen. In seinem 1882 erschienenen Buch Vorlesungen über neuere Geometrie legte Pasch die Grundlagen der modernen axiomatischen Methode. Er begründete den Begriff des primitiven Begriffs (den er Kernbegriffe nannte ) und konstruiert zusammen mit den Axiomen ( Kernsätzen ) ein formales System, das frei von intuitiven Einflüssen ist. Laut Pasch sollte die Intuition nur bei der Entscheidung über die primitiven Vorstellungen und Axiome eine Rolle spielen. Für Pasch ist Punkt also ein primitiver Begriff, aber Linie (gerade Linie) nicht, da wir eine gute Intuition über Punkte haben, aber niemand hat jemals eine unendliche Linie gesehen oder Erfahrung damit gemacht. Der primitive Begriff, den Pasch an seiner Stelle verwendet, ist Liniensegment .

Pasch beobachtete, dass die Anordnung von Punkten auf einer Linie (oder äquivalent die Eindämmungseigenschaften von Liniensegmenten) durch Euklids Axiome nicht richtig aufgelöst wird; so Pasch Theorem , das besagt , dass , wenn zwei Linien Beziehungen Segment Eindämmung halten dann auch ein drittes hält, kann nicht von Euklids Axiomen bewiesen werden. Das verwandte Paschsche Axiom betrifft die Schnitteigenschaften von Geraden und Dreiecken.

Paschs Grundlagenarbeit setzt Maßstäbe für Strenge, nicht nur in der Geometrie, sondern auch im weiteren Kontext der Mathematik. Seine bahnbrechenden Ideen sind heute so alltäglich, dass es schwerfällt, sich daran zu erinnern, dass sie einen einzigen Urheber hatten. Paschs Werk beeinflusste viele andere Mathematiker direkt, insbesondere D. Hilbert und den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano (1858–1932). Peanos Arbeit über Geometrie von 1889, weitgehend eine Übersetzung von Paschs Abhandlung in die Notation der symbolischen Logik (die Peano erfand), verwendet die primitiven Begriffe Punkt und Zwischen . Peano bricht die empirische Bindung in der Wahl primitiver Begriffe und Axiome, die Pasch verlangte. Für Peano ist das gesamte System rein formal, losgelöst von jeglichem empirischen Input.

Pieri und die italienische Geometerschule

Der italienische Mathematiker Mario Pieri (1860–1913) ging einen anderen Weg und betrachtete ein System, in dem es nur zwei primitive Begriffe gab, den Punkt und den der Bewegung . Pasch hatte vier Primitive verwendet und Peano hatte dies auf drei reduziert, aber beide dieser Ansätze beruhten auf einem Konzept von Betweeness, das Pieri durch seine Formulierung der Bewegung ersetzte . Im Jahr 1905 gab Pieri die erste axiomatische Behandlung der komplexen projektiven Geometrie, die nicht mit dem Aufbau einer realen projektiven Geometrie begann.

Pieri war Mitglied einer Gruppe italienischer Geometer und Logiker, die Peano in Turin um sich versammelt hatte. Diese Gruppe von Assistenten, jüngeren Kollegen und anderen widmete sich der Durchführung von Peanos logisch-geometrischem Programm, die Grundlagen der Geometrie auf eine feste axiomatische Grundlage zu stellen, die auf Peanos logischer Symbolik basiert. Neben Pieri gehörten Burali-Forti , Padoa und Fano zu dieser Gruppe. 1900 fanden in Paris zwei internationale Konferenzen statt, der Internationale Kongress für Philosophie und der Zweite Internationale Mathematikerkongress . Diese Gruppe italienischer Mathematiker war auf diesen Kongressen stark vertreten und trieb ihre axiomatische Agenda voran. Padoa hielt einen viel beachteten Vortrag und Peano bemerkte in der Fragestunde nach David Hilberts berühmter Rede über ungelöste Probleme , dass seine Kollegen bereits Hilberts zweites Problem gelöst hätten.

Hilberts Axiome

David Hilbert

An der Universität Göttingen hielt im Wintersemester 1898–1899 der bedeutende deutsche Mathematiker David Hilbert (1862–1943) eine Vorlesung über die Grundlagen der Geometrie. Auf Wunsch von Felix Klein wurde Professor Hilbert gebeten, rechtzeitig zur Einweihung eines Denkmals für CF Gauss und Wilhelm Weber im Sommer 1899 an der Universität die Vorlesungsunterlagen für diesen Kurs zu verfassen . Die neu geordneten Vorlesungen wurden im Juni 1899 unter dem Titel Grundlagen der Geometrie veröffentlicht . Der Einfluss des Buches war unmittelbar. Nach Eves (1963 , S. 384–5):

Durch die Entwicklung einer Postulatsmenge für die euklidische Geometrie, die im Geiste nicht allzu sehr von der Euklidischen abweicht, und durch ein Minimum an Symbolik gelang es Hilbert, die Mathematiker weit stärker als Pasch und Peano von der rein hypothetisch-deduktiven zu überzeugen Wesen der Geometrie. Aber der Einfluss von Hilberts Werk ging weit darüber hinaus, denn es hat, unterstützt von der großen mathematischen Autorität des Autors, die postulative Methode nicht nur auf dem Gebiet der Geometrie, sondern im Wesentlichen in jedem anderen Zweig der Mathematik fest verankert. Der Anstoß zur Entwicklung der Grundlagen der Mathematik, den Hilberts Büchlein liefert, ist kaum zu überschätzen. Da die seltsame Symbolik der Werke von Pasch und Peano fehlt, kann Hilberts Werk größtenteils von jedem intelligenten Schüler der Highschool-Geometrie gelesen werden.

Es ist schwierig, die von Hilbert verwendeten Axiome zu spezifizieren, ohne auf die Veröffentlichungsgeschichte der Grundlagen zu verweisen, da Hilbert sie mehrmals geändert und modifiziert hat. Der ursprünglichen Monographie folgte schnell eine französische Übersetzung, in der Hilbert V.2, das Vollständigkeitsaxiom, hinzufügte. Eine von Hilbert autorisierte englische Übersetzung wurde von EJ Townsend angefertigt und 1902 urheberrechtlich geschützt. Diese Übersetzung beinhaltete die in der französischen Übersetzung vorgenommenen Änderungen und gilt daher als Übersetzung der 2. Auflage. Hilbert nahm weiterhin Änderungen am Text vor und mehrere Ausgaben erschienen in deutscher Sprache. Die 7. Auflage war die letzte zu Hilberts Lebzeiten. Auf die 7. folgten Neuauflagen, der Haupttext wurde jedoch im Wesentlichen nicht überarbeitet. Die Änderungen in diesen Ausgaben erfolgen in den Anhängen und in Ergänzungen. Die Änderungen im Text waren im Vergleich zum Original groß und eine neue englische Übersetzung wurde von Open Court Publishers in Auftrag gegeben, die die Townsend-Übersetzung veröffentlicht hatten. So wurde die 2. englische Ausgabe 1971 von Leo Unger aus der 10. deutschen Ausgabe übersetzt. Diese Übersetzung enthält mehrere Überarbeitungen und Erweiterungen der späteren deutschen Ausgaben von Paul Bernays. Die Unterschiede zwischen den beiden englischen Übersetzungen sind nicht nur auf Hilbert zurückzuführen, sondern auch auf unterschiedliche Entscheidungen der beiden Übersetzer. Was folgt, basiert auf der Unger-Übersetzung.

Hilberts Axiomensystem besteht aus sechs primitiven Begriffen : Punkt , Linie , Ebene , Zwischenheit , liegt auf (Eindämmung) und Kongruenz .

Alle Punkte, Linien und Ebenen in den folgenden Axiomen sind verschieden, sofern nicht anders angegeben.

I. Inzidenz
  1. Für jeweils zwei Punkte A und B existiert eine Gerade a , die beide enthält. Wir schreiben AB = a oder BA = a . Anstelle von „enthält“ können wir auch andere Ausdrucksformen verwenden; zum Beispiel können wir sagen „ A liegt auf a “, „ A ist ein Punkt von a “, „ a geht durch A und durch B “, „ a verbindet A mit B “ usw. Wenn A auf a liegt und an der gleichzeitig auf einer anderen Geraden b gebrauchen wir auch den Ausdruck: „Die Geraden a und b haben den Punkt A gemeinsam“ usw.
  2. Für je zwei Punkte existiert nicht mehr als eine Linie, die beide enthält; wenn also AB = a und AC = a , mit BC , dann auch BC = a .
  3. Es gibt mindestens zwei Punkte auf einer Linie. Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen.
  4. Für jeweils drei Punkte A , B , C, die nicht auf derselben Geraden liegen, existiert eine Ebene α, die alle enthält. Für jede Ebene gibt es einen Punkt, der darauf liegt. Wir schreiben ABC = α . Wir verwenden auch die Ausdrücke: „ A , B , C , liegen in α“; „A, B, C sind Punkte von α“ usw.
  5. Für je drei Punkte A , B , C , die nicht auf derselben Geraden liegen, existiert nicht mehr als eine Ebene, die alle enthält.
  6. Liegen zwei Punkte A , B einer Geraden a in einer Ebene α, so liegt jeder Punkt von a in α. In diesem Fall sagen wir: „Die Gerade a liegt in der Ebene α“ usw.
  7. Wenn zwei Ebenen α, β einen gemeinsamen Punkt A haben , dann haben sie mindestens einen zweiten Punkt B gemeinsam.
  8. Es gibt mindestens vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen.
II. Befehl
  1. Wenn ein Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt , liegt B auch zwischen C und A , und es existiert eine Linie, die die verschiedenen Punkte A,B,C enthält .
  2. Sind A und C zwei Punkte einer Geraden, dann existiert mindestens ein Punkt B zwischen A und C .
  3. Von drei Punkten, die auf einer Linie liegen, gibt es nicht mehr als einen, der zwischen den beiden anderen liegt.
  4. Paschsches Axiom : Seien A , B , C drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, und sei a eine Gerade, die in der Ebene ABC liegt und durch keinen der Punkte A , B , C geht . Wenn die Linie a dann durch einen Punkt des Segments AB verläuft , wird sie auch entweder durch einen Punkt des Segments BC oder einen Punkt des Segments AC verlaufen .
III. Kongruenz
  1. Sind A , B zwei Punkte auf einer Geraden a , und ist A′ ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a′ , dann können wir auf einer gegebenen Seite von A′ auf der Geraden a′ immer einen Punkt finden B′, so dass das Segment AB kongruent zum Segment A′B′ ist . Wir geben diese Beziehung an, indem wir ABA′ B′ schreiben . Jedes Segment ist mit sich selbst kongruent; das heißt, wir haben immer ABAB .
    Wir können das obige Axiom kurz formulieren, indem wir sagen, dass jedes Segment auf mindestens eine Weise auf einer gegebenen Seite eines gegebenen Punktes einer gegebenen Geraden abgelegt werden kann.
  2. Ist ein Segment AB kongruent zum Segment A′B′ und auch zum Segment A″B″ , dann ist das Segment A′B′ kongruent zum Segment A″B″ ; die, wenn sie ist ABA'B ' und ABA "B" , dann A'B'A "B" .
  3. Seien AB und BC zwei Segmente einer Geraden a, die außer dem Punkt B keine gemeinsamen Punkte haben , und seien ferner A′B′ und B′C′ zwei Segmente derselben oder einer anderen Geraden a′ mit , ebenso kein anderer Punkt als B′ gemeinsam. Dann wird , wenn ABA'B ' und BCB'C' , haben wir ACA'C ' .
  4. Es sei ein Winkel ∠ ( h , k ) in der Ebene α und eine Gerade a′ in einer Ebene α′ gegeben. Angenommen, in der Ebene α′ sei eine bestimmte Seite der Geraden a′ zugeordnet. Bezeichne mit h′ einen Strahl der Geraden a′ , der von einem Punkt O′ dieser Geraden ausgeht . Dann gibt es in der Ebene α′ einen und nur einen Strahl k′ derart, dass der Winkel ∠ ( h , k ) oder ∠ ( k , h ) kongruent zum Winkel ∠ ( h′ , k′ ) ist und an der gleichzeitig liegen alle inneren Punkte des Winkels ∠ ( h′ , k′ ) auf der gegebenen Seite von a′ . Wir drücken diese Beziehung durch die Notation ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) aus.
  5. Ist der Winkel ∠ ( h , k ) kongruent zum Winkel ∠ ( h′ , k′ ) und zum Winkel ∠ ( h″ , k″ ), dann ist der Winkel ∠ ( h′ , k′ ) kongruent zum Winkel ∠ ( h″ , k″ ); das heißt, wenn ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) und ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), dann ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
NS. Parallelen
  1. (Euklids Axiom): Sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt, der nicht darauf liegt. Dann gibt es höchstens eine Linie in der Ebene, bestimmt durch ein und A , die durch gibt A und nicht schneidet ein .
V. Kontinuität
  1. Axiom des Archimedes . Wenn AB und CD irgendwelche Segmente sind, dann existiert eine Zahl n derart, dass n Segmente CD, die zusammenhängend von A entlang des Strahls von A bis B konstruiert sind , über den Punkt B hinausgehen .
  2. Axiom der Zeilenvollständigkeit . Eine Erweiterung einer Menge von Punkten auf einer Linie mit ihren Ordnungs- und Kongruenzbeziehungen, die die zwischen den ursprünglichen Elementen bestehenden Beziehungen sowie die grundlegenden Eigenschaften der Linienordnung und -kongruenz, die sich aus den Axiomen I–III und aus V-1 ergeben, beibehalten würde, ist unmöglich.

Änderungen in Hilberts Axiomen

Als die Monographie von 1899 ins Französische übersetzt wurde, fügte Hilbert hinzu:

V.2 Axiom der Vollständigkeit . Zu einem System von Punkten, Geraden und Ebenen ist es unmöglich, weitere Elemente so hinzuzufügen, dass das so verallgemeinerte System eine neue Geometrie bildet, die allen fünf Gruppen von Axiomen gehorcht. Mit anderen Worten, die Elemente der Geometrie bilden ein nicht erweiterbares System, wenn wir die fünf Gruppen von Axiomen für gültig halten.

Dieses Axiom wird für die Entwicklung der euklidischen Geometrie nicht benötigt, wird aber benötigt, um eine Bijektion zwischen den reellen Zahlen und den Punkten auf einer Geraden zu erstellen. Dies war ein wesentlicher Bestandteil in Hilberts Beweis der Konsistenz seines Axiomensystems.

In der 7. Auflage der Grundlagen wurde dieses Axiom durch das oben angegebene Axiom der Zeilenvollständigkeit ersetzt und das alte Axiom V.2 wurde zu Theorem 32.

In der Monographie von 1899 (und in der Townsend-Übersetzung) ist auch zu finden:

II.4. Beliebige vier Punkte A , B , C , D einer Linie können immer so beschriftet werden, dass B zwischen A und C und auch zwischen A und D liegen soll , und außerdem, dass C zwischen A und D und auch zwischen B und liegen soll D .

Allerdings EH Moore und RL Moore unabhängig bewiesen , dass dieses Axiom überflüssig ist, und der ehemalige dieses Ergebnis in einem Artikel in der erscheinenden Transaktionen der American Mathematical Society in 1902. Hilbert das Axiom zu Satz 5 bewegt und neu nummeriert die Axiome entsprechend (alt Axiom II-5 (Paschs Axiom) wurde nun II-4).

Obwohl nicht so dramatisch wie diese Änderungen, wurden die meisten der verbleibenden Axiome im Laufe der ersten sieben Auflagen auch in Form und / oder Funktion modifiziert.

Beständigkeit und Unabhängigkeit

Über die Aufstellung einer zufriedenstellenden Menge von Axiomen hinaus bewies Hilbert auch die Konsistenz seines Systems in Bezug auf die Theorie der reellen Zahlen, indem er ein Modell seines Axiomensystems aus den reellen Zahlen konstruierte. Er bewies die Unabhängigkeit einiger seiner Axiome, indem er Geometriemodelle konstruierte, die alle außer dem betrachteten Axiom erfüllen. Somit gibt es Beispiele für Geometrien, die alle außer dem archimedischen Axiom V.1 (nicht-archimedische Geometrien) erfüllen, alle außer dem parallelen Axiom IV.1 (nicht-euklidische Geometrien) und so weiter. Mit derselben Technik zeigte er auch, wie einige wichtige Sätze von bestimmten Axiomen abhängen und von anderen unabhängig sind. Einige seiner Modelle waren sehr komplex und andere Mathematiker versuchten, sie zu vereinfachen. Zum Beispiel führte Hilberts Modell zum Nachweis der Unabhängigkeit des Desargues-Theorems von bestimmten Axiomen letztendlich dazu, dass Ray Moulton die nicht-Desarguessche Moulton-Ebene entdeckte . Diese Untersuchungen von Hilbert eröffneten praktisch das moderne Studium der abstrakten Geometrie im 20. Jahrhundert.

Birkhoffs Axiome

George David Birkhoff

1932 schuf GD Birkhoff eine Reihe von vier Postulaten der euklidischen Geometrie, die manchmal als Birkhoffs Axiome bezeichnet werden . Diese Postulate basieren alle auf einer grundlegenden Geometrie , die experimentell mit einer Waage und einem Winkelmesser überprüft werden kann . In radikaler Abkehr vom synthetischen Ansatz Hilberts baute Birkhoff als erster die Grundlagen der Geometrie auf dem reellen Zahlensystem auf. Es ist diese mächtige Annahme, die die geringe Anzahl von Axiomen in diesem System erlaubt.

Postulate

Birkhoff verwendet vier undefinierte Begriffe: Punkt , Linie , Abstand und Winkel . Seine Postulate sind:

Postulat I: Postulat des Linienmaßes . Die Punkte A , B , ... einer beliebigen Geraden lassen sich mit den reellen Zahlen x 1:1 in Übereinstimmung bringen, so dass | x B  − x A | = d( A, B ) für alle Punkte A und  B .  

Postulat II: Punkt-Linien-Postulat . Es gibt eine und nur eine Gerade , die zwei beliebige bestimmte Punkte P und  Q enthält .

Postulat III: Postulat des Winkelmaßes . Die Strahlen { ℓ, m, n , ...} durch jeden Punkt O lassen sich 1:1 mit den reellen Zahlen a  (mod 2 π ) in Übereinstimmung bringen, so dass wenn A und B Punkte (ungleich O ) von sind l und m jeweils die Differenz a m  -  a l  (mod 2π) der Zahlen mit den Linien zuzugeordneten l und m ist AOB . Außerdem, wenn der Punkt B auf m kontinuierlich in einer Linie variiert r nicht den Scheitelpunkt enthält , O die Zahl a m kontinuierlich variiert auch.

Postulat IV: Ähnlichkeitspostulat . Wenn in zwei Dreiecken ABC und A'B'C'  und für eine Konstante k  > 0 gilt d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) und B'A'C'   = ± BAC , dann d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA und A'C'B'   = ± ACB .  

Schulgeometrie

George Bruce Halsted

Ob es sinnvoll ist, die euklidische Geometrie aus axiomatischer Sicht auf High-School-Niveau zu unterrichten, war umstritten. Es gab viele Versuche, dies zu tun, und nicht alle waren erfolgreich. 1904 veröffentlichte George Bruce Halsted einen High-School-Geometrietext, der auf Hilberts Axiomensatz basiert. Logische Kritik an diesem Text führte zu einer stark überarbeiteten zweiten Auflage. Als Reaktion auf den Start des russischen Satelliten Sputnik wurde eine Überarbeitung des schulischen Mathematiklehrplans gefordert. Aus dieser Anstrengung entstand das New Math- Programm der 1960er Jahre. Vor diesem Hintergrund machten sich viele Einzelpersonen und Gruppen daran, auf der Grundlage eines axiomatischen Ansatzes Textmaterial für den Geometrieunterricht bereitzustellen.

Die Axiome von Mac Lane

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909–2005), ein Mathematiker, schrieb 1959 eine Arbeit, in der er eine Reihe von Axiomen für die euklidische Geometrie im Geiste der Behandlung von Birkhoff unter Verwendung einer Distanzfunktion vorschlug, um reelle Zahlen mit Liniensegmenten zu verknüpfen. Dies war nicht der erste Versuch, eine Behandlung auf Schulniveau auf Birkhoffs System zu gründen, tatsächlich hatten Birkhoff und Ralph Beatley 1940 einen Highschool-Text geschrieben, der die euklidische Geometrie aus fünf Axiomen und der Fähigkeit, Liniensegmente und Winkel zu messen, entwickelte. Um die Behandlung jedoch auf ein High-School-Publikum auszurichten, wurden einige mathematische und logische Argumente entweder ignoriert oder verwischt.

Im System von Mac Lane gibt es vier primitive Begriffe (undefinierte Begriffe): Punkt , Distanz , Linie und Winkelmaß . Es gibt auch 14 Axiome, von denen vier die Eigenschaften der Distanzfunktion angeben, vier Eigenschaften von Geraden beschreiben, vier Winkel diskutieren (die in dieser Behandlung gerichtete Winkel sind), ein Ähnlichkeitsaxiom (im Wesentlichen dasselbe wie das von Birkhoff) und ein Stetigkeitsaxiom, das verwendet werden, um das Crossbar-Theorem und seine Umkehrung abzuleiten . Die erhöhte Anzahl von Axiomen hat den pädagogischen Vorteil, dass frühe Beweise in der Entwicklung leichter nachvollziehbar sind und die Verwendung einer vertrauten Metrik ein schnelles Vordringen durch das Basismaterial ermöglicht, so dass die "interessanteren" Aspekte des Themas früher erschlossen werden können.

SMSG (School Mathematics Study Group) Axiome

In den 1960er Jahren wurde von der School Mathematics Study Group (SMSG) ein neuer Satz von Axiomen für die euklidische Geometrie, der für Geometriekurse an Gymnasien geeignet ist , als Teil der neuen mathematischen Lehrpläne eingeführt. Dieser Satz von Axiomen folgt dem Birkhoff-Modell der Verwendung der reellen Zahlen, um einen schnellen Einstieg in die geometrischen Grundlagen zu erhalten. Während Birkhoff jedoch versuchte, die Anzahl der verwendeten Axiome zu minimieren, und die meisten Autoren sich um die Unabhängigkeit der Axiome in ihren Behandlungen bemühten, wurde die SMSG-Axiomenliste aus pädagogischen Gründen absichtlich groß und überflüssig gemacht. Die SMSG produzierte nur einen vervielfältigten Text unter Verwendung dieser Axiome, aber Edwin E. Moise , ein Mitglied der SMSG, schrieb einen High-School-Text basierend auf diesem System und einen College-Level-Text, Moise (1974) , wobei einige der Redundanzen entfernt wurden und Modifikationen an den Axiomen für ein anspruchsvolleres Publikum.

Es gibt acht undefinierte Begriffe: Punkt , Linie , Ebene , Liegen auf , Distanz , Winkelmaß , Fläche und Volumen . Die 22 Axiome dieses Systems werden zur leichteren Bezugnahme mit individuellen Namen versehen. Darunter sind zu finden: das Lineal-Postulat, das Lineal-Platzierungs-Postulat, das Plane-Separation-Postulat, das Winkel-Additions-Postulat, das Side Angle Side (SAS)-Postulat, das Parallel-Postulat (in der Form von Playfair ) und das Cavalieri-Prinzip .

UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project) Axiome

Obwohl ein Großteil des neuen Mathematiklehrplans drastisch modifiziert oder aufgegeben wurde, ist der Geometrieteil relativ stabil geblieben. Moderne Schulbücher verwenden Axiomensysteme, die denen des SMSG sehr ähnlich sind. Beispielsweise verwenden die Texte des School Mathematics Project der University of Chicago (UCSMP) ein System, das sich neben einigen Sprachaktualisierungen hauptsächlich dadurch vom SMSG-System unterscheidet, dass es einige Transformationskonzepte unter seinem "Reflection Postulate" enthält.

Es gibt nur drei undefinierte Begriffe: Punkt , Linie und Ebene . Es gibt acht "Postulate", aber die meisten davon haben mehrere Teile (die in diesem System allgemein als Annahmen bezeichnet werden). Wenn man diese Teile zählt, gibt es 32 Axiome in diesem System. Unter den Postulaten finden sich das Punkt-Linien-Ebene-Postulat , das Postulat der Dreiecksungleichung , Postulate für Distanz, Winkelmessung, entsprechende Winkel, Fläche und Volumen und das Reflexionspostulat. Das Reflexionspostulat wird als Ersatz für das SAS-Postulat des SMSG-Systems verwendet.

Andere Systeme

Oswald Veblen (1880 – 1960) lieferte 1904 ein neues Axiomensystem, als er das Konzept der „Betweens“, wie es von Hilbert und Pasch verwendet wurde, durch eine neue primitive Ordnung ersetzte . Dadurch konnten mehrere von Hilbert verwendete primitive Begriffe zu definierten Entitäten werden, wodurch die Anzahl der primitiven Begriffe auf zwei reduziert wurde, Punkt und Ordnung .

Im Laufe der Jahre wurden viele andere axiomatische Systeme für die euklidische Geometrie vorgeschlagen. Ein Vergleich vieler davon findet sich in einer Monographie von 1927 von Henry George Forder. Forder gibt auch, indem er Axiome aus verschiedenen Systemen kombiniert, seine eigene Behandlung basierend auf den beiden primitiven Begriffen von Punkt und Ordnung . Er stellt auch eine abstraktere Behandlung eines Pieri der Systeme (ab 1909) , basierend auf dem Primitiven Punkt und Kongruenz .

Beginnend mit Peano gab es unter Logikern ein paralleles Interesse an den axiomatischen Grundlagen der euklidischen Geometrie. Dies lässt sich zum Teil an der Notation ablesen, die zur Beschreibung der Axiome verwendet wird. Pieri behauptete, dass er, obwohl er in der traditionellen Sprache der Geometrie schrieb, immer in Bezug auf die von Peano eingeführte logische Notation dachte und diesen Formalismus benutzte, um Dinge zu beweisen. Ein typisches Beispiel für diese Art der Notation findet sich in der Arbeit von EV Huntington (1874 – 1952), der 1913 eine axiomatische Behandlung der dreidimensionalen euklidischen Geometrie basierend auf den primitiven Begriffen von Sphäre und Inklusion (eine Sphäre liegt in einem anderen). Über die Notation hinaus besteht auch Interesse an der logischen Struktur der Geometrietheorie. Alfred Tarski bewies, dass ein Teil der Geometrie, den er elementare Geometrie nannte, eine logische Theorie erster Ordnung ist (siehe Tarskis Axiome ).

Moderne Textbehandlungen der axiomatischen Grundlagen der euklidischen Geometrie folgen dem Muster von HG Forder und Gilbert de B. Robinson , die Axiome aus verschiedenen Systemen mischen und zuordnen, um unterschiedliche Hervorhebungen zu erzeugen. Venema (2006) ist ein modernes Beispiel für diesen Ansatz.

Nichteuklidische Geometrie

Angesichts der Rolle, die die Mathematik in der Wissenschaft spielt, und der Implikationen wissenschaftlichen Wissens für alle unsere Überzeugungen, konnten revolutionäre Veränderungen im Verständnis des Menschen vom Wesen der Mathematik nur revolutionäre Veränderungen in seinem Verständnis von Wissenschaft, philosophischen, religiösen und ethischen Lehren bedeuten Überzeugungen und in der Tat alle intellektuellen Disziplinen.

In der ersten Hälfte des 19 Dies war die Folge der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie. Über zweitausend Jahre lang, beginnend in der Zeit von Euklid, galten die Postulate, die die Geometrie begründeten, als selbstverständliche Wahrheiten über den physikalischen Raum. Die Geometer dachten, sie würden daraus andere, dunklere Wahrheiten ableiten, ohne die Möglichkeit eines Irrtums. Diese Ansicht wurde mit der Entwicklung der hyperbolischen Geometrie unhaltbar. Es gab nun zwei inkompatible Geometriesysteme (und später kamen weitere hinzu), die in sich konsistent und mit der beobachtbaren physikalischen Welt kompatibel waren. „Von diesem Zeitpunkt an wurde die ganze Diskussion über das Verhältnis von Geometrie und physischem Raum in ganz anderer Weise geführt.“ ( Moise 1974 , S. 388)

Um eine nicht-euklidischen Geometrie, die parallel Postulat (oder dessen Äquivalent) zu erhalten muss durch seine ersetzt werden Negation . Die Axiomform des Playfair zu negieren , da es sich um eine zusammengesetzte Aussage handelt (... es gibt eine und nur eine...), kann auf zwei Arten erfolgen. Entweder gibt es mehr als eine Linie durch den Punkt parallel zur gegebenen Linie oder es werden keine Linien durch den Punkt parallel zur gegebenen Linie existieren. Im ersten Fall ist das parallele Postulats (oder das äquivalent) mit der Aussage Ersetzen von „in einer Ebene, einen Punkt P und eine Linie gegeben l nicht dem durch P gibt es zwei Linien , die durch P , die nicht erfüllen , l “ und Halten aller die anderen Axiome, ergibt hyperbolische Geometrie . Der zweite Fall ist nicht so einfach zu handhaben. Das einfache Ersetzen des Parallelpostulats durch die Aussage „In einer Ebene, wenn ein Punkt P und eine Linie ℓ, die nicht durch P geht, gegeben sind, treffen alle Linien durch P auf “, ergibt keine konsistente Menge von Axiomen. Dies folgt, da in der absoluten Geometrie parallele Geraden existieren, aber diese Aussage würde sagen, dass es keine parallelen Geraden gibt. Dieses Problem war Khayyam, Saccheri und Lambert (in anderer Form) bekannt und war die Grundlage für ihre Ablehnung des sogenannten "stumpfen Winkelfalls". Um einen konsistenten Satz von Axiomen zu erhalten, der dieses Axiom enthält, keine parallelen Linien zu haben, müssen einige der anderen Axiome angepasst werden. Die vorzunehmenden Anpassungen hängen vom verwendeten Axiomensystem ab. Unter anderem werden diese Optimierungen bewirken, dass Euklids zweites Postulat von der Aussage, dass Liniensegmente unbegrenzt verlängert werden können, zu der Aussage modifiziert wird, dass Linien unbeschränkt sind. Die elliptische Geometrie von Riemann stellt sich als die natürlichste Geometrie heraus, die diesem Axiom genügt.

Es war Gauss , der den Begriff „nicht-euklidische Geometrie“ geprägt. Er bezog sich dabei auf sein eigenes, unveröffentlichtes Werk, das wir heute hyperbolische Geometrie nennen . Mehrere Autoren betrachten "nichteuklidische Geometrie" und "hyperbolische Geometrie" noch immer als Synonyme. Im Jahr 1871 konnte Felix Klein durch die Adaption einer 1852 von Arthur Cayley diskutierten Metrik metrische Eigenschaften in ein projektives Setting bringen und konnte so die Behandlungen der hyperbolischen, euklidischen und elliptischen Geometrie unter dem Dach der projektiven Geometrie vereinen . Klein ist verantwortlich für die Begriffe „hyperbolisch“ und „elliptisch“ (in seinem System nannte er die euklidische Geometrie „parabolisch“, ein Begriff, der den Test der Zeit nicht überstanden hat und heute nur noch in wenigen Disziplinen verwendet wird). auf den allgemeinen Gebrauch des Begriffs "nichteuklidische Geometrie", um entweder "hyperbolische" oder "elliptische" Geometrie zu bedeuten.

Es gibt einige Mathematiker, die die Liste der Geometrien, die als "nichteuklidisch" bezeichnet werden sollten, auf verschiedene Weise erweitern würden. In anderen Disziplinen, vor allem in der mathematischen Physik , wo Kleins Einfluss nicht so stark war, wird der Begriff "nichteuklidisch" oft so verstanden, dass er nicht euklidisch bedeutet.

Euklids Parallelpostulat

Zweitausend Jahre lang wurden viele Versuche unternommen, das Parallelpostulat mit den ersten vier Postulaten von Euklid zu beweisen. Ein möglicher Grund dafür, dass ein solcher Beweis so begehrt war, war, dass das Parallelpostulat im Gegensatz zu den ersten vier Postulaten nicht selbstverständlich ist. Wenn die Reihenfolge der Postulate in den Elementen von Bedeutung ist, weist dies darauf hin, dass Euklid dieses Postulat nur einschloss, als er erkannte, dass er es nicht beweisen oder ohne es fortfahren konnte. Es wurden viele Versuche unternommen, das fünfte Postulat von den anderen vier zu beweisen, und viele von ihnen wurden lange Zeit als Beweise akzeptiert, bis der Fehler gefunden wurde. Der Fehler bestand ausnahmslos in der Annahme einer „offensichtlichen“ Eigenschaft, die sich als äquivalent zum fünften Postulat herausstellte. Schließlich wurde erkannt, dass dieses Postulat möglicherweise nicht von den anderen vier bewiesen werden kann. Laut Trudeau (1987 , S. 154) erscheint diese Meinung zum Parallelpostulat (Postulat 5) tatsächlich im Druck:

Anscheinend ist der erste , dies zu tun war GS Klügel (1739-1812), Doktorand an der Universität Göttingen, mit der Unterstützung seines Lehrers AG Kästner, in den ersteren 1763 Dissertation Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Bewertung der gefeiertsten Versuche, die Theorie der Parallelen zu demonstrieren). In dieser Arbeit untersuchte Klügel 28 Versuche, Postulat 5 (einschließlich Saccheris) zu beweisen, fand sie alle mangelhaft und vertrat die Meinung, dass Postulat 5 nicht beweisbar ist und allein durch das Urteil unserer Sinne gestützt wird.

Der Beginn des 19. Jahrhunderts sollte schließlich entscheidende Schritte in der Schaffung der nichteuklidischen Geometrie erleben. Um 1813 ließen Carl Friedrich Gauß und unabhängig um 1818 der deutsche Rechtsprofessor Ferdinand Karl Schweikart die Keimideen der nichteuklidischen Geometrie ausarbeiten, veröffentlichten jedoch keine Ergebnisse. Dann, um 1830, veröffentlichten der ungarische Mathematiker János Bolyai und der russische Mathematiker Nikolai Ivanovich Lobatschewsky getrennt Abhandlungen über das, was wir heute hyperbolische Geometrie nennen . Folglich wurde die hyperbolische Geometrie als Bolyai-Lobachevskische Geometrie bezeichnet, da beide Mathematiker unabhängig voneinander die grundlegenden Autoren der nichteuklidischen Geometrie sind. Gauß erwähnte gegenüber Bolyais Vater, als er die Arbeit des jüngeren Bolyai zeigte, dass er eine solche Geometrie einige Jahre zuvor entwickelt hatte, obwohl er nicht veröffentlichte. Während Lobatschewsky eine nichteuklidische Geometrie durch Negation des Parallelpostulats schuf, arbeitete Bolyai eine Geometrie aus, bei der sowohl die euklidische als auch die hyperbolische Geometrie in Abhängigkeit von einem Parameter k möglich sind . Bolyai beendet seine Arbeit mit der Bemerkung, dass es nicht möglich ist, allein durch mathematische Überlegungen zu entscheiden, ob die Geometrie des physikalischen Universums euklidisch oder nichteuklidisch ist; Dies ist eine Aufgabe für die Physik. Die Unabhängigkeit des Parallelpostulats von Euklids anderen Axiomen wurde schließlich 1868 von Eugenio Beltrami nachgewiesen .

Die verschiedenen Beweisversuche für das Parallelpostulat ergaben eine lange Liste von Sätzen, die dem Parallelpostulat äquivalent sind. Äquivalenz bedeutet hier, dass in Gegenwart der anderen Axiome der Geometrie jeder dieser Sätze als wahr angenommen werden kann und das Parallelpostulat aus dieser veränderten Menge von Axiomen bewiesen werden kann. Dies ist nicht dasselbe wie logische Äquivalenz . In verschiedenen Sätzen von Axiomen für die euklidische Geometrie kann jede davon das euklidische Parallelpostulat ersetzen. Die folgende unvollständige Liste zeigt einige dieser Theoreme, die von historischem Interesse sind.

  1. Parallele Geraden sind äquidistant. (Poseidonios, 1. Jahrhundert v. Chr.)
  2. Alle Punkte, die von einer gegebenen Geraden auf einer gegebenen Seite gleich weit entfernt sind, bilden eine Gerade. (Christoph Clavius, 1574)
  3. Das Axiom von Playfair . In einer Ebene gibt es höchstens eine Linie, die durch einen äußeren Punkt parallel zu einer anderen gezogen werden kann. (Proclus, 5. Jahrhundert, aber populär gemacht von John Playfair, Ende des 18. Jahrhunderts)
  4. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck ist 180 ° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, Anfang des 19. Jahrhunderts)
  5. Es gibt ein Dreieck, dessen Winkel zusammen 180° ergeben. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, Anfang des 19. Jahrhunderts)
  6. Es gibt ein Paar ähnlicher , aber nicht deckungsgleicher Dreiecke. (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Jedes Dreieck kann umschrieben werden . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, Anfang des 19. Jahrhunderts)
  8. Wenn drei Winkel eines Vierecks sind rechte Winkel , dann der vierte Winkel ist auch ein rechter Winkel. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Es gibt ein Viereck, in dem alle Winkel rechte Winkel sind. (Geralamo Saccheri, 1733)
  10. Wallis' Postulat . Auf einer gegebenen endlichen Geraden ist es immer möglich, ein Dreieck ähnlich einem gegebenen Dreieck zu konstruieren. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. Es gibt keine Obergrenze für die Fläche eines Dreiecks. (Carl Friedrich Gauß, 1799)
  12. Die Gipfelwinkel des Saccheri-Vierecks betragen 90°. (Geralamo Saccheri, 1733)
  13. Proclus ' Axiom. Wenn eine Linie eine von zwei parallelen Linien schneidet, die beide mit der ursprünglichen Linie koplanar sind, schneidet sie auch die andere. (Proklos, 5. Jahrhundert)

Neutrale (oder absolute) Geometrie

Absolute Geometrie ist eine Geometrie, die auf einem Axiomensystem basiert , das aus allen Axiomen besteht, die die euklidische Geometrie mit Ausnahme des Parallelpostulats oder einer seiner Alternativen ergeben. Der Begriff wurde 1832 von János Bolyai eingeführt. Er wird manchmal als neutrale Geometrie bezeichnet , da er in Bezug auf das Parallelpostulat neutral ist.

Beziehung zu anderen Geometrien

In Euklids Elementen vermeiden die ersten 28 Sätze und Satz I.31 die Verwendung des Parallelpostulats und sind daher gültige Sätze in der absoluten Geometrie. Satz I.31 beweist die Existenz paralleler Geraden (durch Konstruktion). Auch der Satz von Saccheri-Legendre , der besagt, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck höchstens 180° beträgt, kann bewiesen werden.

Die Sätze der absoluten Geometrie gelten sowohl in der hyperbolischen als auch in der euklidischen Geometrie .

Absolute Geometrie ist unvereinbar mit elliptischer Geometrie : In der elliptischen Geometrie gibt es überhaupt keine parallelen Linien, aber in der absoluten Geometrie existieren parallele Linien. Außerdem ist in der elliptischen Geometrie die Summe der Winkel in jedem Dreieck größer als 180°.

Unvollständigkeit

Logischerweise bilden die Axiome keine vollständige Theorie, da man zusätzliche unabhängige Axiome hinzufügen kann, ohne das Axiomensystem inkonsistent zu machen. Man kann die absolute Geometrie erweitern, indem man verschiedene Axiome über Parallelität hinzufügt und inkompatible, aber konsistente Axiomensysteme erhält, die zur euklidischen oder hyperbolischen Geometrie führen. Somit ist jeder Satz der absoluten Geometrie ein Satz der hyperbolischen Geometrie und der euklidischen Geometrie. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall. Auch absolute Geometrie ist nicht eine kategorische Theorie , da es Modelle hat , die nicht isomorph ist.

Hyperbolische Geometrie

Beim axiomatischen Ansatz zur hyperbolischen Geometrie (auch als Lobatschewski-Geometrie oder Bolyai-Lobachevski-Geometrie bezeichnet) wird ein zusätzliches Axiom zu den Axiomen hinzugefügt, die die absolute Geometrie ergeben . Das neue Axiom ist Lobatschewskys Parallelpostulat (auch bekannt als das charakteristische Postulat der hyperbolischen Geometrie ):

Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, existieren (in der durch diesen Punkt und die Linie bestimmten Ebene) mindestens zwei Linien, die die gegebene Linie nicht treffen.

Mit dieser Ergänzung ist das Axiomensystem nun vollständig.

Obwohl das neue Axiom nur die Existenz von zwei Geraden behauptet, lässt sich leicht feststellen, dass es unendlich viele Geraden durch den gegebenen Punkt gibt, die die gegebene Gerade nicht treffen. Angesichts dieser Fülle muss man in diesem Zusammenhang mit der Terminologie vorsichtig sein, da der Begriff parallele Linie nicht mehr die einzigartige Bedeutung hat, die er in der euklidischen Geometrie hat. Sei P ein Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt . Sei PA die Senkrechte, die von P nach (Treffpunkt im Punkt A ) gezogen wird. Die Linien bis P fallen in zwei Klassen, solche, die sich treffen und solche, die sich nicht treffen . Das charakteristische Postulat der hyperbolischen Geometrie besagt, dass es mindestens zwei Linien des letzteren Typs gibt. Von den Linien, die sich nicht treffen , gibt es (auf jeder Seite von PA ) eine Linie, die den kleinsten Winkel mit PA bildet . Manchmal werden diese Linien als die ersten Linien durch P bezeichnet, die sich nicht treffen, und werden verschiedentlich als begrenzende, asymptotische oder parallele Linien bezeichnet (wenn dieser letzte Begriff verwendet wird, sind dies die einzigen parallelen Linien). Alle anderen Linien durch P, die sich nicht treffen, werden nicht schneidende oder ultraparallele Linien genannt.

Da sowohl die hyperbolische Geometrie als auch die euklidische Geometrie auf den Axiomen der absoluten Geometrie aufgebaut sind, teilen sie viele Eigenschaften und Aussagen. Die Folgen der Ersetzung des parallelen Postulats der euklidischen Geometrie durch das charakteristische Postulat der hyperbolischen Geometrie können jedoch dramatisch sein. Um einige davon zu nennen:

Lambert-Viereck in hyperbolischer Geometrie
  • Ein Lambert-Viereck ist ein Viereck mit drei rechten Winkeln. Der vierte Winkel eines Lambert-Vierecks ist spitz, wenn die Geometrie hyperbolisch ist, und ein rechter Winkel, wenn die Geometrie euklidisch ist. Außerdem können Rechtecke (eine Aussage, die dem Parallelpostulat entspricht) nur in der euklidischen Geometrie existieren.
  • Ein Saccheri-Viereck ist ein Viereck, das zwei gleich lange Seiten hat, die beide senkrecht zu einer Seite namens Basis stehen . Die anderen beiden Winkel eines Saccheri-Vierecks werden als Gipfelwinkel bezeichnet und haben das gleiche Maß. Die Scheitelwinkel eines Saccheri-Vierecks sind spitz, wenn die Geometrie hyperbolisch ist, und rechte Winkel, wenn die Geometrie euklidisch ist.
  • Die Summe der Winkelmaße jedes Dreiecks ist kleiner als 180°, wenn die Geometrie hyperbolisch ist, und gleich 180°, wenn die Geometrie euklidisch ist. Der Defekt eines Dreiecks ist der Zahlenwert (180° – Summe der Winkelmaße des Dreiecks). Dieses Ergebnis kann auch so formuliert werden: Der Defekt von Dreiecken in der hyperbolischen Geometrie ist positiv, und der Defekt von Dreiecken in der euklidischen Geometrie ist null.
  • Die Fläche eines Dreiecks in der hyperbolischen Geometrie ist beschränkt, während es in der euklidischen Geometrie Dreiecke mit beliebig großen Flächen gibt.
  • Die Menge der Punkte auf derselben Seite und gleich weit von einer gegebenen geraden Linie bilden selbst eine Linie in der euklidischen Geometrie, aber nicht in der hyperbolischen Geometrie (sie bilden einen Hyperzyklus ).

Befürworter der Position, dass die euklidische Geometrie die einzige "wahre" Geometrie ist, erhielten einen Rückschlag, als Eugenio Beltrami in einer 1868 veröffentlichten Abhandlung "Grundlegende Theorie der Räume konstanter Krümmung" einen abstrakten Beweis für die Äquikonsistenz von hyperbolischer und euklidischer Geometrie für jede Dimension. Er erreichte dies durch die Einführung mehrerer Modelle der nichteuklidischen Geometrie, die heute als Beltrami-Klein-Modell , Poincaré-Scheibenmodell und Poincaré-Halbebenenmodell bekannt sind , zusammen mit Transformationen, die sie in Beziehung setzen. Für das Halbebenenmodell zitierte Beltrami eine Anmerkung von Liouville in der Abhandlung von Monge über Differentialgeometrie . Beltrami zeigte auch, dass die n- dimensionale euklidische Geometrie auf einer Horosphäre des ( n  + 1)-dimensionalen hyperbolischen Raums realisiert wird , so dass die logische Beziehung zwischen der Konsistenz der euklidischen und der nicht-euklidischen Geometrie symmetrisch ist.

Elliptische Geometrie

Eine andere Möglichkeit, das euklidische Parallelpostulat zu modifizieren , besteht darin, anzunehmen, dass es in einer Ebene keine parallelen Linien gibt. Anders als bei der hyperbolischen Geometrie , wo wir nur ein neues Axiom hinzufügen, können wir kein konsistentes System erhalten, indem wir diese Aussage als neues Axiom zu den Axiomen der absoluten Geometrie hinzufügen . Dies folgt, da in der absoluten Geometrie nachweislich parallele Linien existieren. Andere Axiome müssen geändert werden.

Ausgehend von Hilberts Axiomen müssen die vier Ordnungsaxiome von Hilbert entfernt und durch diese sieben Trennungsaxiome ersetzt werden, die sich auf eine neue undefinierte Beziehung beziehen.

Es gibt eine undefinierte ( primitive ) Beziehung zwischen vier Punkten, A , B , C und D, bezeichnet durch ( A , C | B , D ) und gelesen als „ A und C trennen B und D “, die diese Axiome erfüllen:

  1. Wenn ( A , B | C , D ), dann sind die Punkte A , B , C und D sind kollinear und deutlich.
  2. Wenn ( A , B | C , D ), dann ( C , D | A , B ) und ( B , A | D , C ).
  3. Wenn ( A , B | C , D ), dann nicht ( A , C | B , D ).
  4. Wenn die Punkte A , B , C und D kollinear und verschieden sind, dann ( A , B | C , D ) oder ( A , C | B , D ) oder ( A , D | B , C ).
  5. Wenn die Punkte A , B und C kollinear und verschieden sind, dann gibt es einen Punkt D mit ( A , B | C , D ).
  6. Für fünf beliebige kollineare Punkte A , B , C , D und E , wenn ( A , B | D , E ), dann entweder ( A , B | C , D ) oder ( A , B | C , E ).
  7. Perspektiven bewahren die Trennung.

Da der Hilbert-Begriff von "Betweens" entfernt wurde, müssen Begriffe, die mit diesem Konzept definiert wurden, neu definiert werden. Daher muss ein Liniensegment AB, das als die Punkte A und B und alle Punkte zwischen A und B in der absoluten Geometrie definiert ist, umformuliert werden. Ein Liniensegment in dieser neuen Geometrie wird durch drei kollineare Punkte A , B und C bestimmt und besteht aus diesen drei Punkten und allen Punkten, die nicht durch A und C von B getrennt sind . Es gibt weitere Konsequenzen. Da zwei Punkte ein Liniensegment nicht eindeutig bestimmen, bestimmen drei nichtkollineare Punkte kein eindeutiges Dreieck, und die Definition des Dreiecks muss umformuliert werden.

Sobald diese Begriffe neu definiert wurden, ergeben die anderen Axiome der absoluten Geometrie (Inzidenz, Kongruenz und Kontinuität) alle einen Sinn und werden in Ruhe gelassen. Zusammen mit dem neuen Axiom über die Nichtexistenz paralleler Geraden haben wir ein konsistentes Axiomsystem, das eine neue Geometrie ergibt. Die resultierende Geometrie wird (ebene) elliptische Geometrie genannt .

Saccheri-Vierecke in euklidischer, elliptischer und hyperbolischer Geometrie

Auch wenn die elliptische Geometrie keine Erweiterung der absoluten Geometrie ist (wie es die euklidische und hyperbolische Geometrie sind), gibt es eine gewisse "Symmetrie" in den Sätzen der drei Geometrien, die einen tieferen Zusammenhang widerspiegelt, der von Felix Klein beobachtet wurde. Einige der Aussagen, die diese Eigenschaft aufweisen, sind:

  • Der vierte Winkel eines Lambert-Vierecks ist ein stumpfer Winkel in der elliptischen Geometrie.
  • Die Gipfelwinkel eines Saccheri-Vierecks sind in elliptischer Geometrie stumpf.
  • Die Summe der Winkelmaße jedes Dreiecks ist größer als 180°, wenn die Geometrie elliptisch ist. Das heißt, der Defekt eines Dreiecks ist negativ.
  • Alle Linien, die senkrecht zu einer bestimmten Linie stehen, treffen sich in der elliptischen Geometrie an einem gemeinsamen Punkt, der als Pol der Linie bezeichnet wird. In der hyperbolischen Geometrie schneiden sich diese Linien nicht gegenseitig, während sie in der euklidischen Geometrie zueinander parallel sind.

Andere Ergebnisse, wie der Außenwinkelsatz , betonen deutlich den Unterschied zwischen elliptischen und den Geometrien, die Erweiterungen der absoluten Geometrie sind.

Kugelgeometrie

Andere Geometrien

Projektive Geometrie

Affine Geometrie

Geordnete Geometrie

Absolute Geometrie ist eine Erweiterung der geordneten Geometrie , und daher gelten alle Sätze der geordneten Geometrie in der absoluten Geometrie. Das Gegenteil ist nicht wahr. Absolute Geometrie nimmt die ersten vier von Euklids Axiomen (oder deren Äquivalente) an, im Gegensatz zur affinen Geometrie , die Euklids drittes und viertes Axiom nicht annimmt . Geordnete Geometrie ist eine gemeinsame Grundlage sowohl der absoluten als auch der affinen Geometrie.

Endliche Geometrie

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

(3 Bände): ISBN  0-486-60088-2 (Band 1), ISBN  0-486-60089-0 (Band 2), ISBN  0-486-60090-4 (Band 3).

Externe Links