Friedman-Test - Friedman test

Der Friedman-Test ist ein nichtparametrischer statistischer Test, der von Milton Friedman entwickelt wurde . Ähnlich wie die parametrische ANOVA mit wiederholten Messungen wird sie verwendet, um Unterschiede in den Behandlungen über mehrere Testversuche hinweg zu erkennen. Das Verfahren beinhaltet eine Rangordnung jeder Zeile (oder jedes Blocks ) und dann die Berücksichtigung der Werte der Ränge nach Spalten. Auf komplette Blockdesigns anwendbar , ist er somit ein Sonderfall des Durbin-Tests .

Klassische Anwendungsbeispiele sind:

• n Weinrichter bewerten jeweils k verschiedene Weine. Wird einer der k- Weine durchweg höher oder niedriger eingestuft als die anderen?
• n Schweißer verwenden jeweils k Schweißbrenner, und die resultierenden Schweißnähte wurden nach Qualität bewertet. Erzeugt einer der k- Brenner durchweg bessere oder schlechtere Schweißnähte?

Der Friedman-Test wird für die Einweg-Varianzanalyse nach Rängen mit wiederholten Messungen verwendet. In der Verwendung von Rängen ähnelt sie der Kruskal-Wallis-Einweg-Varianzanalyse nach Rängen.

Der Friedman-Test wird von vielen statistischen Softwarepaketen weitgehend unterstützt .

Methode

1. Berechnen Sie bei gegebenen Daten , d. h. einer Matrix mit Zeilen (den Blöcken ), Spalten (den Behandlungen ) und einer einzelnen Beobachtung am Schnittpunkt jedes Blocks und jeder Behandlung, die Ränge innerhalb jedes Blocks. Wenn es gebundene Werte gibt, weisen Sie jedem gebundenen Wert den Durchschnitt der Ränge zu, die ohne Gleichheit zugewiesen worden wären. Ersetzen Sie die Daten durch eine neue Matrix, wobei der Eintrag der Rang innerhalb des Blocks ist .${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle i}$
2. Finde die Werte ${\displaystyle {\bar{r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
3. Die Teststatistik ist gegeben durch . Beachten Sie, dass der Wert von Q für gebundene Werte in den Daten angepasst werden muss.${\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{ \frac {k+1}{2}}\right)^{2}}$
4. Schließlich, wenn n oder k groß ist (dh n > 15 oder k > 4), kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Q durch die einer Chi-Quadrat-Verteilung angenähert werden . In diesem Fall ist der p-Wert gegeben durch . Wenn n oder k klein ist, wird die Näherung an das Chi-Quadrat schlecht und der p-Wert sollte aus Tabellen von Q erhalten werden, die speziell für den Friedman-Test erstellt wurden. Wenn der p-Wert signifikant ist , werden geeignete Post-hoc- Mehrfachvergleichstests durchgeführt.${\displaystyle \mathbf{P} (\chi_{k-1}^{2}\geq Q)}$

Verwandte Tests

• Wenn man diese Art von Design für eine binäre Antwort verwendet, verwendet man stattdessen den Q-Test von Cochran .
• Der Vorzeichentest (mit einer zweiseitigen Alternative) entspricht einem Friedman-Test an zwei Gruppen.
• Kendalls W ist eine Normalisierung der Friedman-Statistik zwischen 0 und 1.
• Der Wilcoxon- Vorzeichen -Rang-Test ist ein nichtparametrischer Test von nicht unabhängigen Daten von nur zwei Gruppen.
• Der Skillings-Mack-Test ist eine allgemeine Statistik vom Friedman-Typ, die in fast jedem Blockdesign mit einer beliebigen fehlenden Datenstruktur verwendet werden kann.
• Der Wittkowski-Test ist eine allgemeine Statistik vom Friedman-Typ, ähnlich dem Skillings-Mack-Test. Wenn die Daten keinen fehlenden Wert enthalten, erhalten Sie dasselbe Ergebnis wie der Friedman-Test. Wenn die Daten jedoch fehlende Werte enthalten, sind sie präziser und empfindlicher als der Skillings-Mack-Test. Eine Implementierung des Tests existiert in R .

Post-hoc-Analyse

Post-hoc-Tests wurden von Schaich und Hamerle (1984) sowie Conover (1971, 1980) vorgeschlagen, um anhand der mittleren Rangunterschiede der Gruppen zu entscheiden, welche Gruppen sich signifikant voneinander unterscheiden. Diese Verfahren sind detailliert in Bortz, Lienert und Boehnke (2000, S. 275) beschrieben. Eisinga, Heskes, Pelzer und Te Grotenhuis (2017) liefern einen exakten Test für den paarweisen Vergleich von Friedman-Rangsummen, implementiert in R . Der genaue Test von Eisinga cs bietet eine wesentliche Verbesserung gegenüber verfügbaren Näherungstests, insbesondere wenn die Anzahl der Gruppen ( ) groß und die Anzahl der Blöcke ( ) klein ist. ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Nicht alle Statistikpakete unterstützen Post-hoc-Analysen für den Friedman-Test, aber es gibt von Benutzern beigesteuerter Code, der diese Möglichkeiten bereitstellt (z. B. in SPSS und in R. ). Außerdem steht in R ein spezielles Paket zur Verfügung, das zahlreiche nichtparametrische Methoden für die Post-hoc-Analyse nach Friedman enthält.

Verweise

Weiterlesen

• Daniel, Wayne W. (1990). "Friedman Zwei-Wege-Varianzanalyse nach Rängen" . Angewandte nichtparametrische Statistik (2. Aufl.). Boston: PWS-Kent. S. 262–74. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Kendall, MG (1970). Rangkorrelationsmethoden (4. Aufl.). London: Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-199-6.
• Holländer, M.; Wolfe, D. A. (1973). Nichtparametrische Statistik . New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.
• Siegel, Sydney ; Castellan, N. John Jr. (1988). Nichtparametrische Statistik für die Verhaltenswissenschaften (2. Aufl.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100326-1.