Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-Metrik - Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric

Der Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker ( FLRW ; / f r í d m ə n l ə m ɛ t r ə  ... / ) Metrik ist eine exakte Lösung von Einstein Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie ; es beschreibt ein homogenes , isotropes , sich ausdehnendes (oder anderweitig zusammenziehendes) Universum , das mit dem Pfad verbunden , aber nicht unbedingt einfach verbunden ist . Die allgemeine Form der Metrik ergibt sich aus den geometrischen Eigenschaften Homogenität und Isotropie; Einsteins Feldgleichungen werden nur benötigt, um den Skalierungsfaktor des Universums als Funktion der Zeit abzuleiten . Je nach geografischen oder historischen Präferenzen wird die Gruppe der vier Wissenschaftler – Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker – üblicherweise als Friedmann oder Friedmann-Robertson-Walker ( FRW ) oder Robertson-Walker ( RW ) gruppiert. oder Friedmann–Lemaître ( FL ). Dieses Modell wird manchmal als Standardmodell der modernen Kosmologie bezeichnet , obwohl eine solche Beschreibung auch mit dem weiterentwickelten Lambda-CDM-Modell in Verbindung gebracht wird . Das FLRW-Modell wurde in den 1920er und 1930er Jahren unabhängig von den genannten Autoren entwickelt.

Allgemeine Metrik

Die FLRW-Metrik beginnt mit der Annahme von Homogenität und Isotropie des Raums. Es wird auch davon ausgegangen, dass die räumliche Komponente der Metrik zeitabhängig sein kann. Die generische Metrik, die diese Bedingungen erfüllt, ist

wobei reicht über einen dreidimensionalen Raum mit gleichförmiger Krümmung, dh elliptischer Raum , euklidischer Raum oder hyperbolischer Raum . Es wird normalerweise als Funktion von drei Raumkoordinaten geschrieben, aber dafür gibt es mehrere Konventionen, die unten beschrieben werden. hängt nicht von t ab – die gesamte Zeitabhängigkeit liegt in der Funktion a ( t ), bekannt als „ Skalenfaktor “.

Polarkoordinaten mit reduziertem Umfang

In Polarkoordinaten mit reduziertem Umfang hat die räumliche Metrik die Form

k ist eine Konstante, die die Krümmung des Raums darstellt. Es gibt zwei gängige Einheitenkonventionen:

  • k kann als Längeneinheiten von -2 angenommen werden , in welchem ​​Fall r Längeneinheiten hat und a ( t ) einheitenlos ist. k ist dann die Gaußsche Krümmung des Raumes zu der Zeit , wenn a ( t ) = 1 r manchmal den reduzierten genannt Umfang , weil es mit dem gemessenen Umfang eines Kreises (bei diesem Wert von gleich r ), an dem Ursprung zentrierte , geteilt durch 2 π (wie das r der Schwarzschild-Koordinaten ). Gegebenenfalls wird a ( t ) in der gegenwärtigen kosmologischen Ära oft gleich 1 gewählt, so dass die Mitbewegungsentfernung gemessen wird .
  • Alternativ kann k als Teil der Menge {-1,0,+1} (für negative, null bzw. positive Krümmung) angenommen werden. Dann ist r einheitenlos und a ( t ) hat Längeneinheiten. Wenn k = ±1 ist, ist a ( t ) der Krümmungsradius des Raums und kann auch als R ( t ) geschrieben werden.

Ein Nachteil von reduzierten Umfangskoordinaten besteht darin, dass sie bei positiver Krümmung nur die Hälfte der 3-Sphäre abdecken – der Umfang darüber hinaus beginnt abzunehmen, was zur Entartung führt. (Dies ist kein Problem, wenn der Raum elliptisch ist , dh eine 3-Sphäre mit identifizierten entgegengesetzten Punkten.)

Hypersphärische Koordinaten

Bei hypersphärischen oder krümmungsnormierten Koordinaten ist die Koordinate r proportional zum radialen Abstand; das gibt

wo ist wie vorher und

Wie zuvor gibt es zwei gängige Einheitenkonventionen:

  • k kann als Längeneinheiten von -2 angenommen werden , in welchem ​​Fall r Längeneinheiten hat und a ( t ) einheitenlos ist. k ist dann die Gaußsche Krümmung des Raums zu der Zeit, wenn a ( t ) = 1 ist. Gegebenenfalls wird a ( t ) im gegenwärtigen kosmologischen Zeitalter oft gleich 1 gewählt, so dass die mitbewegte Distanz gemessen wird .
  • Alternativ kann, wie zuvor, k zur Menge {-1,0,+1} (für negative, null bzw. positive Krümmung) gehörend angenommen werden. Dann ist r einheitenlos und a ( t ) hat Längeneinheiten. Wenn k = ±1 ist, ist a ( t ) der Krümmungsradius des Raums und kann auch als R ( t ) geschrieben werden. Man beachte , dass , wenn k = +1, r ist im Wesentlichen ein dritte Winkel mit θ und φ . Anstelle von r kann der Buchstabe χ verwendet werden  .

Obwohl es normalerweise wie oben stückweise definiert wird, ist S eine analytische Funktion von sowohl k als auch r . Es kann auch als Potenzreihe geschrieben werden

oder als

wobei sinc die nicht normierte sinc-Funktion und eine der imaginären, Null- oder reellen Quadratwurzeln von k ist . Diese Definitionen gelten für alle k .

Kartesischen Koordinaten

Für k = 0 kann man einfach schreiben

Dies kann auf k ≠ 0 erweitert werden, indem man . definiert

,
, und
,

wobei r eine der oben definierten radialen Koordinaten ist, dies ist jedoch selten.

Krümmung

Kartesischen Koordinaten

In flachem FLRW Raum mit rechtwinkligen Koordinaten, die überlebenden Komponenten des Ricci - Tensor ist

und der Ricci-Skalar ist

Kugelkoordinaten

Im allgemeineren FLRW-Raum mit Kugelkoordinaten (oben "Polarkoordinaten mit reduziertem Umfang" genannt) sind die überlebenden Komponenten des Ricci-Tensors

und der Ricci-Skalar ist

Lösungen

Einsteins Feldgleichungen werden bei der Ableitung der allgemeinen Form der Metrik nicht verwendet: Sie folgt aus den geometrischen Eigenschaften der Homogenität und Isotropie. Allerdings erfordert die Bestimmung der zeitlichen Entwicklung von Einsteins Feldgleichungen zusammen mit einer Methode zur Berechnung der Dichte, wie einer kosmologischen Zustandsgleichung .

Diese Metrik hat eine analytische Lösung für Einsteins Feldgleichungen , die die Friedmann-Gleichungen ergeben, wenn der Energie-Impuls-Tensor in ähnlicher Weise als isotrop und homogen angenommen wird. Die resultierenden Gleichungen sind:

Diese Gleichungen sind die Grundlage des kosmologischen Standardmodells des Urknalls einschließlich des aktuellen ΛCDM- Modells. Da das FLRW-Modell von Homogenität ausgeht, behaupten einige populäre Berichte fälschlicherweise, dass das Urknallmodell die beobachtete Klumpigkeit des Universums nicht erklären kann. In einem strengen FLRW-Modell gibt es keine Ansammlungen von Galaxien, Sternen oder Menschen, da es sich um Objekte handelt, die viel dichter sind als ein typischer Teil des Universums. Dennoch wird das FLRW-Modell als erste Näherung für die Entwicklung des realen, klumpigen Universums verwendet, weil es einfach zu berechnen ist, und Modelle, die die Klumpigkeit im Universum berechnen, werden als Erweiterungen zu den FLRW-Modellen hinzugefügt. Die meisten Kosmologen stimmen darin überein, dass das beobachtbare Universum durch ein fast FLRW-Modell gut angenähert wird , dh ein Modell, das der FLRW-Metrik bis auf primordiale Dichtefluktuationen folgt . Seit 2003 scheinen die theoretischen Implikationen der verschiedenen Erweiterungen des FLRW-Modells gut verstanden zu sein, und das Ziel besteht darin, diese mit den Beobachtungen von COBE und WMAP in Einklang zu bringen .

Wenn der Raum - Zeit wird mehrfach verbunden , dann wird jedes Ereignis von mehr als einer dargestellt werden Tupel von Koordinaten.

Deutung

Das oben angegebene Gleichungspaar entspricht dem folgenden Gleichungspaar

mit , dem räumlichen Krümmungsindex, der als Integrationskonstante für die erste Gleichung dient.

Die erste Gleichung lässt sich auch aus thermodynamischen Überlegungen ableiten und entspricht dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik unter der Annahme, dass die Expansion des Universums ein adiabatischer Prozess ist (was bei der Herleitung der Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik implizit vorausgesetzt wird).

Die zweite Gleichung besagt, dass sowohl die Energiedichte als auch der Druck die Expansionsrate des Universums verringern, dh beide eine Verlangsamung der Expansion des Universums bewirken. Dies ist eine Folge der Gravitation , wobei der Druck nach den Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie eine ähnliche Rolle spielt wie die Energie- (oder Massen-) Dichte . Die kosmologische Konstante hingegen bewirkt eine Beschleunigung der Expansion des Universums.

Kosmologische Konstante

Der Term der kosmologischen Konstante kann weggelassen werden, wenn wir die folgenden Ersetzungen vornehmen

Daher kann die kosmologische Konstante so interpretiert werden, dass sie von einer Energieform herrührt, die einen negativen Druck hat, der der Größe ihrer (positiven) Energiedichte entspricht:

Eine solche Energieform – eine Verallgemeinerung des Begriffs einer kosmologischen Konstante – wird als dunkle Energie bezeichnet .

Um einen Term zu erhalten, der eine Beschleunigung der Universumsexpansion bewirkt, reicht es aus, ein skalares Feld zu haben , das

Ein solches Feld wird manchmal als Quintessenz bezeichnet .

Newtonsche Interpretation

Dies ist auf McCrea und Milne zurückzuführen, obwohl sie manchmal fälschlicherweise Friedmann zugeschrieben werden. Die Friedmann-Gleichungen sind äquivalent zu diesem Gleichungspaar:

Die erste Gleichung besagt, dass die Abnahme der Masse in einem festen Würfel (dessen Seite momentan a ist ) der Betrag ist, der aufgrund der Expansion des Universums durch die Seiten austritt, plus dem Massenäquivalent der Arbeit, die durch den Druck gegen das Material verrichtet wird vertrieben werden. Dies ist die Erhaltung der Masse-Energie ( erster Hauptsatz der Thermodynamik ), die in einem Teil des Universums enthalten ist.

Die zweite Gleichung besagt, dass die kinetische Energie (vom Ursprung aus gesehen) eines Teilchens von Einheitsmasse, das sich mit der Expansion bewegt, plus seiner (negativen) potentiellen Gravitationsenergie (bezogen auf die Masse, die in der näher am Ursprung befindlichen Materiesphäre enthalten ist) gleich ist auf eine Konstante bezogen auf die Krümmung des Universums. Mit anderen Worten, die Energie (relativ zum Ursprung) eines sich mitbewegenden Teilchens im freien Fall bleibt erhalten. Die Allgemeine Relativitätstheorie fügt lediglich einen Zusammenhang zwischen der räumlichen Krümmung des Universums und der Energie eines solchen Teilchens hinzu: positive Gesamtenergie impliziert negative Krümmung und negative Gesamtenergie impliziert positive Krümmung.

Es wird angenommen, dass der Term der kosmologischen Konstante als dunkle Energie behandelt und somit in die Dichte- und Druckterme verschmolzen wird.

Während der Planck-Epoche kann man Quanteneffekte nicht vernachlässigen . Sie können also eine Abweichung von den Friedmann-Gleichungen verursachen.

Name und Geschichte

Der sowjetische Mathematiker Alexander Friedmann leitete 1922 und 1924 erstmals die wichtigsten Ergebnisse des FLRW-Modells ab. Obwohl die renommierte Physikzeitschrift Zeitschrift für Physik seine Arbeit veröffentlichte, blieb sie von seinen Zeitgenossen relativ unbemerkt. Friedmann stand in direktem Austausch mit Albert Einstein , der im Auftrag der Zeitschrift für Physik als wissenschaftlicher Gutachter für Friedmanns Arbeit fungierte. Schließlich erkannte Einstein die Richtigkeit von Friedmanns Berechnungen an, verkannte jedoch die physikalische Bedeutung von Friedmanns Vorhersagen.

Friedmann starb 1925. 1927 gelangte Georges Lemaître , ein belgischer Priester, Astronom und ordentlicher Professor für Physik an der Katholischen Universität Leuven , unabhängig zu ähnlichen Ergebnissen wie Friedmann und veröffentlichte sie in den Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Annalen der Wissenschaftlichen Gesellschaft von Brüssel). Angesichts der Beobachtungsbeweise für die Expansion des Universums, die Edwin Hubble in den späten 1920er Jahren erhielt, wurden Lemaîtres Ergebnisse insbesondere von Arthur Eddington bemerkt , und 1930-31 wurde Lemaîtres Aufsatz ins Englische übersetzt und in den Monthly Notices of . veröffentlicht der Königlichen Astronomischen Gesellschaft .

Howard P. Robertson aus den USA und Arthur Geoffrey Walker aus Großbritannien untersuchten das Problem in den 1930er Jahren weiter. 1935 bewiesen Robertson und Walker rigoros, dass die FLRW-Metrik die einzige auf einer räumlich homogenen und isotropen Raumzeit ist (wie oben erwähnt, ist dies ein geometrisches Ergebnis und nicht speziell an die immer angenommenen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie gebunden von Friedmann und Lemaître).

Diese Lösung, die oft Robertson-Walker- Metrik genannt wird, weil sie ihre generischen Eigenschaften bewiesen hat, unterscheidet sich von den dynamischen "Friedmann-Lemaître" -Modellen , die spezifische Lösungen für a ( t ) sind, die davon ausgehen, dass die einzigen Beiträge zur Stress-Energie kalt sind Materie ("Staub"), Strahlung und eine kosmologische Konstante.

Einsteins Radius des Universums

Einsteins Radius des Universums ist der Krümmungsradius des Raums von Einsteins Universum , einem lange aufgegebenen statischen Modell, das unser Universum in idealisierter Form darstellen sollte. Putten

in der Friedmann-Gleichung ist der Krümmungsradius des Raumes dieses Universums (Einsteins Radius)

,

wobei die Lichtgeschwindigkeit, die Newtonsche Gravitationskonstante und die Raumdichte dieses Universums ist. Der numerische Wert von Einsteins Radius liegt in der Größenordnung von 10 10 Lichtjahren .

Beweis

Durch die Kombination der Beobachtungsdaten aus einigen Experimenten wie WMAP und Planck mit theoretischen Ergebnissen des Ehlers-Geren-Sachs-Theorems und seiner Verallgemeinerung sind sich die Astrophysiker nun einig, dass das Universum fast homogen und isotrop ist (bei einem sehr großen Mittelwert) und damit fast eine FLRW-Raumzeit. Versuche, die rein kinematische Interpretation des kosmischen Mikrowellenhintergrunddipols (CMB) durch Studien von Radiogalaxien und Quasaren zu bestätigen, zeigen jedoch Uneinigkeit in der Größe. Für bare Münze genommen stehen diese Beobachtungen im Widerspruch zu dem Universum, das durch die FLRW-Metrik beschrieben wird. Darüber hinaus kann man argumentieren, dass es einen Maximalwert für die Hubble-Konstante innerhalb einer FLRW-Kosmologie gibt, der von aktuellen Beobachtungen toleriert wird, km/s/Mpc, und je nachdem, wie lokale Bestimmungen konvergieren, kann dies auf eine Erklärung jenseits der FLRW-Metrik hinweisen. Abgesehen von solchen Spekulationen sollte betont werden, dass die FLRW-Metrik eine gültige erste Näherung für das Universum ist.

Verweise

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