Friedmann-Gleichungen - Friedmann equations

Die Friedmann-Gleichung ist eine Reihe von Gleichungen in physikalischer Kosmologie , die die regeln Expansion des Raumes in homogenen und isotropen Modellen des Universums im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie . Sie wurden erstmals 1922 von Alexander Friedmann aus Einsteins Feldgleichungen der Gravitation für die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik und eine perfekte Flüssigkeit mit gegebener Massendichte und Druck abgeleitet . Die Gleichungen für die negative räumliche Krümmung wurden 1924 von Friedmann gegeben.

Annahmen

Die Friedmann-Gleichungen gehen von der vereinfachenden Annahme aus, dass das Universum räumlich homogen und isotrop ist , dh das kosmologische Prinzip ; empirisch ist dies auf Skalen größer als ~100 Mpc gerechtfertigt . Das kosmologische Prinzip impliziert, dass die Metrik des Universums die Form

wobei eine dreidimensionale Metrik ist, die entweder (a) ein flacher Raum, (b) eine Kugel mit konstanter positiver Krümmung oder (c) ein hyperbolischer Raum mit konstanter negativer Krümmung sein muss. Diese Metrik wird Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)-Metrik genannt. Der unten diskutierte Parameter nimmt in diesen drei Fällen jeweils den Wert 0, 1, –1 oder die Gaußsche Krümmung an. Diese Tatsache lässt uns vernünftigerweise von einem „ Skalierungsfaktor “ sprechen .

Einsteins Gleichungen beziehen nun die Entwicklung dieses Skalenfaktors auf den Druck und die Energie der Materie im Universum. Aus der FLRW-Metrik berechnen wir Christoffel-Symbole , dann den Ricci-Tensor . Mit dem Spannungs-Energie-Tensor für ein perfektes Fluid setzen wir sie in Einsteins Feldgleichungen ein und die resultierenden Gleichungen werden unten beschrieben.

Gleichungen

Es gibt zwei unabhängige Friedmann-Gleichungen, um ein homogenes, isotropes Universum zu modellieren. Das erste ist:

die aus der 00-Komponente der Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet wird . Das zweite ist:

die aus der ersten zusammen mit der Spur der Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet wird (die Dimension der beiden Gleichungen ist die Zeit −2 ).

ist der Skalierungsfaktor , G , Λ und c sind universelle Konstanten ( G ist die Gravitationskonstante von Newton , Λ ist die kosmologische Konstante (ihre Dimension ist Länge −2 ) und c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ). ρ und p sind die volumetrische Massendichte (und nicht die volumetrische Energiedichte) bzw. der Druck. k ist während einer bestimmten Lösung konstant, kann aber von einer Lösung zur anderen variieren.

In früheren Gleichungen sind , ρ und p Funktionen der Zeit. ist die räumliche Krümmung in jeder Zeitscheibe des Universums; es ist gleich einem Sechstel des räumlichen Ricci-Krümmungsskalars R, da

im Friedmann-Modell. ist der Hubble-Parameter .

Wir sehen, dass a(t) in den Friedmann-Gleichungen nicht davon abhängt, welches Koordinatensystem wir für räumliche Schichten gewählt haben. Es gibt zwei häufig verwendete Optionen für und k , die dieselbe Physik beschreiben:

  • k = +1, 0 oder -1 je nachdem, ob die Form des Universums eine geschlossene 3-Kugel , flach (dh euklidischer Raum ) oder ein offenes 3- Hyperboloid ist. Wenn k = +1, dann ist der Krümmungsradius des Universums. Wenn k = 0, dann kann zu einem bestimmten Zeitpunkt auf jede beliebige positive Zahl festgelegt werden. Wenn k = −1, dann kann man (frei gesprochen) sagen, dass dies der Krümmungsradius des Universums ist.
  • ist der Skalierungsfaktor, der derzeit mit 1 angenommen wird. ist die räumliche Krümmung wann (also heute). Wenn die Form des Universums ist hyper und ist der Krümmungsradius ( im heutigen), dann . Wenn positiv ist, dann ist das Universum hypersphärisch. Wenn Null ist, dann ist das Universum flach . Wenn negativ ist, dann ist das Universum hyperbolisch .

Unter Verwendung der ersten Gleichung kann die zweite Gleichung umformuliert werden als

was die Erhaltung der Masse–Energie . eliminiert und ausdrückt

Diese Gleichungen werden manchmal vereinfacht durch Ersetzen von

geben:

Die vereinfachte Form der zweiten Gleichung ist bei dieser Transformation invariant.

Der Hubble-Parameter kann sich mit der Zeit ändern, wenn andere Teile der Gleichung zeitabhängig sind (insbesondere die Massendichte, die Vakuumenergie oder die räumliche Krümmung). Die Auswertung des Hubble-Parameters zum gegenwärtigen Zeitpunkt ergibt die Hubble-Konstante, die die Proportionalitätskonstante des Hubble-Gesetzes ist . Angewendet auf eine Flüssigkeit mit einer gegebenen Zustandsgleichung liefern die Friedmann-Gleichungen die zeitliche Entwicklung und Geometrie des Universums als Funktion der Flüssigkeitsdichte.

Einige Kosmologen nennen die zweite dieser beiden Gleichungen die Friedmann-Beschleunigungsgleichung und behalten den Begriff Friedmann-Gleichung nur für die erste Gleichung vor.

Dichteparameter

Der Dichteparameter ist definiert als das Verhältnis der tatsächlichen (oder beobachteten) Dichte zur kritischen Dichte des Friedmann-Universums. Das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Dichte und der kritischen Dichte bestimmt die Gesamtgeometrie des Universums; wenn sie gleich sind, ist die Geometrie des Universums flach (euklidisch). In früheren Modellen, die keinen kosmologischen Konstantenterm enthielten , wurde die kritische Dichte zunächst als Wasserscheide zwischen einem expandierenden und einem sich zusammenziehenden Universum definiert.

Bis heute wird die kritische Dichte auf etwa fünf Atome ( einatomigen Wasserstoffs ) pro Kubikmeter geschätzt , während die durchschnittliche Dichte gewöhnlicher Materie im Universum auf 0,2–0,25 Atome pro Kubikmeter geschätzt wird.

Geschätzte relative Verteilung für Komponenten der Energiedichte des Universums. Dunkle Energie dominiert die Gesamtenergie (74%), während Dunkle Materie (22%) den größten Teil der Masse ausmacht. Von der restlichen baryonischen Materie (4 %) ist nur ein Zehntel kompakt. Im Februar 2015 veröffentlichte das europäisch geführte Forschungsteam hinter der Planck-Kosmologie-Sonde neue Daten, die diese Werte auf 4,9% gewöhnliche Materie, 25,9% dunkle Materie und 69,1% dunkle Energie verfeinern.

Eine viel größere Dichte kommt von der nicht identifizierten dunklen Materie ; sowohl gewöhnliche als auch dunkle Materie tragen zur Kontraktion des Universums bei. Der größte Teil stammt jedoch von der sogenannten Dunklen Energie , die den kosmologischen Konstantenterm ausmacht. Obwohl die Gesamtdichte der kritischen Dichte entspricht (genau bis auf Messfehler), führt die dunkle Energie nicht zu einer Kontraktion des Universums, sondern kann seine Expansion beschleunigen. Daher wird sich das Universum wahrscheinlich für immer ausdehnen.

Ein Ausdruck für die kritische Dichte wird gefunden, indem angenommen wird, dass Λ null ist (wie bei allen grundlegenden Friedmann-Universen) und die normalisierte räumliche Krümmung k gleich null gesetzt wird. Wenn die Substitutionen auf die erste der Friedmann-Gleichungen angewendet werden, finden wir:

(wobei h = H o /(100 km/s/Mpc). Für H o = 67,4 km/s/Mpc, dh h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 −27 kg/m 3 )

Der Dichteparameter (nützlich zum Vergleich verschiedener kosmologischer Modelle) wird dann definiert als:

Dieser Begriff wurde ursprünglich verwendet, um die räumliche Geometrie des Universums zu bestimmen , wo die kritische Dichte liegt, für die die räumliche Geometrie flach (oder euklidisch) ist. Unter der Annahme einer Null-Vakuum-Energiedichte, wenn sie größer als eins ist, sind die Raumabschnitte des Universums geschlossen; das Universum wird schließlich aufhören, sich auszudehnen und dann zusammenbrechen. Wenn kleiner als Eins ist, sind sie offen; und das Universum dehnt sich für immer aus. Man kann jedoch auch die Terme der räumlichen Krümmung und der Vakuumenergie in einen allgemeineren Ausdruck subsumieren, in welchem ​​Fall dieser Dichteparameter genau eins ist. Dann gilt es, die verschiedenen Komponenten zu messen, die meist durch Indizes gekennzeichnet sind. Nach dem ΛCDM Modell gibt es wichtige Komponenten aufgrund Baryonen , kalte dunkle Materie und dunkle Energie . Die räumliche Geometrie des Universums wurde von der WMAP- Raumsonde als nahezu flach gemessen . Dies bedeutet, dass das Universum gut durch ein Modell angenähert werden kann, bei dem der Parameter der räumlichen Krümmung null ist; Dies bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass das Universum unendlich ist: Es könnte lediglich sein, dass das Universum viel größer ist als der Teil, den wir sehen. (Ähnlich bedeutet die Tatsache, dass die Erde im Maßstab der Niederlande ungefähr flach ist, nicht, dass die Erde flach ist: Es bedeutet nur, dass sie viel größer ist als die Niederlande.)

Die erste Friedmann-Gleichung wird oft in Bezug auf die Gegenwartswerte der Dichteparameter gesehen, d.h

Hier ist die Strahlungsdichte heute (dh wann ), ist heute die Materiedichte ( dunkel plus baryonisch ), ist heute die "räumliche Krümmungsdichte" und ist heute die kosmologische Konstante oder Vakuumdichte.

Nützliche Lösungen

Die Friedmann-Gleichungen können in Gegenwart eines perfekten Fluids exakt gelöst werden mit Zustandsgleichung

Dabei ist der Druck , die Massendichte des Fluids im sich mitbewegenden Rahmen und eine gewisse Konstante.

Im räumlich flachen Fall ( k  = 0) lautet die Lösung für den Skalierungsfaktor

wobei eine Integrationskonstante ist, die durch die Wahl der Anfangsbedingungen festgelegt wird. Diese mit gekennzeichnete Lösungsfamilie ist für die Kosmologie äußerst wichtig. Beschreibt zB ein Materie-dominiertes Universum, in dem der Druck in Bezug auf die Massendichte vernachlässigbar ist. Aus der generischen Lösung kann man leicht erkennen, dass in einem von Materie dominierten Universum der Skalierungsfaktor wie folgt lautet:

von Materie dominiert

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der Fall eines strahlungsdominierten Universums, dh wenn . Dies führt zu

Strahlung dominiert

Beachten Sie, dass diese Lösung nicht für die Dominanz der kosmologischen Konstante gilt, die einer entspricht . In diesem Fall ist die Energiedichte konstant und der Skalierungsfaktor wächst exponentiell.

Lösungen für andere Werte von k finden Sie bei Tersic, Balsa. "Vorlesungsnotizen zur Astrophysik" (PDF) . Abgerufen am 20. Juli 2011 ..

Mischungen

Wenn die Materie eine Mischung aus zwei oder mehr nicht wechselwirkenden Flüssigkeiten mit jeweils einer solchen Zustandsgleichung ist, dann

gilt für jede solche Flüssigkeit f . In jedem Fall,

von dem wir bekommen

Zum Beispiel kann man eine Linearkombination solcher Terme bilden

wobei: A die Dichte von "Staub" (gewöhnliche Materie, w  = 0) ist, wenn  = 1; B ist die Strahlungsdichte ( w  = 1/3), wenn  = 1; und C ist die Dichte der "dunklen Energie" ( w = −1). Das setzt man dann ein in

und löst nach als Funktion der Zeit auf.

Detaillierte Herleitung

Um die Lösungen deutlicher zu machen, können wir die vollständigen Beziehungen aus der ersten Friedman-Gleichung ableiten:

mit

Umordnen und Ändern zur Verwendung von Variablen und für die Integration

Lösungen für die Abhängigkeit des Skalierungsfaktors von der Zeit für Universen, die von jeder Komponente dominiert werden, können gefunden werden. In jedem haben wir auch das angenommen , was der Annahme entspricht, dass die dominierende Quelle der Energiedichte ist .

Für Materie dominierten Universen, wo und , sowie .

die das oben genannte wiederherstellt

Für strahlungsdominierte Universen, wo und , sowie

Für dominierte Universen, wo und , sowie , und wo wir jetzt unsere Integrationsgrenzen von auf und ebenso auf ändern werden .

Die Lösung des dominierten Universums ist von besonderem Interesse, da die zweite Ableitung nach der Zeit positiv und nicht null ist; mit anderen Worten, was eine beschleunigte Expansion des Universums impliziert, was einen Kandidaten für dunkle Energie macht :

Wobei unsere Annahmen konstruktionsbedingt positiv waren und gemessen wurden, wodurch die Beschleunigung größer als Null ist.

Umskalierte Friedmann-Gleichung

Stellen Sie , wo und sind der Skalierungsfaktor und der Hubble-Parameter heute separat ein . Dann können wir

wo . Für jede Form des effektiven Potentials gibt es eine Zustandsgleichung , die es erzeugt.

Siehe auch

Anmerkungen

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