Frust - Frustum
Satz Pyramidenfrusts | |
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Gesichter | n Trapeze , 2 n -Ecke |
Kanten | 3 n |
Scheitelpunkte | 2 n |
Symmetriegruppe | C n v , [1, n ], (* nn ) |
Eigenschaften | konvex |
In Geometrie , ein Stumpfes (Plural: Stümpfe oder Kegelstümpfe ) ist der Teil eines Feststoffen ( in der Regel ein Kegel oder Pyramide ) liegt , dass zwischen einer oder zwei parallelen Ebenen es zu schneiden. Ein rechter Kegelstumpf ist eine parallele Abschneidung einer rechten Pyramide oder eines rechten Kegels.
In der Computergrafik ist der Sichtkegel der dreidimensionale Bereich, der auf dem Bildschirm sichtbar ist. Es wird von einer abgeschnittenen Pyramide gebildet; insbesondere ist das Frustum-Culling eine Methode der verdeckten Oberflächenbestimmung .
In der Luft- und Raumfahrtindustrie ist ein Kegelstumpf die Verkleidung zwischen zwei Stufen einer mehrstufigen Rakete (wie der Saturn V ), die wie ein Kegelstumpf geformt ist .
Wenn alle Kanten identisch sein müssen , wird aus einem Kegelstumpf ein gleichförmiges Prisma .
Die Achse eines Kegelstumpfes ist die des ursprünglichen Kegels oder der ursprünglichen Pyramide. Ein Kegelstumpf ist kreisförmig, wenn er kreisförmige Basen hat; sie ist richtig, wenn die Achse senkrecht zu beiden Basen steht, andernfalls schräg.
Die Höhe eines Kegelstumpfes ist der senkrechte Abstand zwischen den Ebenen der beiden Basen.
Kegel und Pyramiden können als degenerierte Frusta-Fälle angesehen werden, bei denen eine der Schnittebenen durch die Spitze geht (so dass die entsprechende Basis zu einem Punkt reduziert wird). Die Pyramidenstümpfe sind eine Unterklasse der Prismatoiden .
Zwei an ihren Basen verbundene Frustas bilden ein Bifrustum .
Formel
Volumen
Die Volumenformel eines Kegelstumpfes einer quadratischen Pyramide wurde von der altägyptischen Mathematik im sogenannten Moskauer Mathematischen Papyrus eingeführt , der in der 13. Dynastie ( ca. 1850 v . Chr. ) geschrieben wurde:
wobei a und b die Grund- und Oberseitenlängen des Pyramidenstumpfes sind und h die Höhe ist. Die Ägypter kannten die richtige Formel, um das Volumen einer abgestumpften quadratischen Pyramide zu erhalten, aber im Moskauer Papyrus findet sich kein Beweis für diese Gleichung.
Das Volumen eines konischen oder pyramidenförmigen Kegelstumpfes ist das Volumen des Festkörpers vor dem Abschneiden des Apex abzüglich des Volumens des Apex:
wobei B 1 die Fläche einer Basis ist, B 2 die Fläche der anderen Basis ist und h 1 , h 2 die senkrechten Höhen vom Scheitelpunkt zu den Ebenen der beiden Basen sind.
Bedenkt, dass
- ,
die Formel für das Volumen kann nur als Produkt dieser Proportionalität α/3 und einer Differenz der Kuben der Höhen h 1 und h 2 ausgedrückt werden .
Durch Faktorisieren der Differenz zweier Würfel, a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , erhält man h 1 − h 2 = h , die Höhe des Kegelstumpfes, und α * ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2/3) .
Durch Verteilen von α und Ersetzen aus seiner Definition erhält man den heronischen Mittelwert der Flächen B 1 und B 2 . Die alternative Formel lautet daher
- .
Heron von Alexandria ist dafür bekannt, dass er diese Formel herleitet und damit auf die imaginäre Einheit , die Quadratwurzel der negativen Eins, trifft .
Insbesondere ist das Volumen eines kreisförmigen Kegelstumpfes
wobei r 1 , r 2 die Radien der beiden Basen sind.
Das Volumen eines Pyramidenstumpfes, dessen Basen n- seitige regelmäßige Vielecke sind, ist
wobei a 1 und a 2 die Seiten der beiden Basen sind.
Oberfläche
Für einen recht kreisförmigen Kegelstumpf
und
wobei r 1 und r 2 die Basis- bzw. Spitzenradien sind und s die schräge Höhe des Kegelstumpfes ist.
Die Oberfläche eines rechten Kegelstumpfes, dessen Basen ähnliche regelmäßige n- seitige Vielecke sind, ist
wobei a 1 und a 2 die Seiten der beiden Basen sind.
Beispiele
- Auf der Rückseite (Rückseite) eines Ein-Dollar-Scheins der Vereinigten Staaten erscheint auf der Rückseite des Großen Siegels der Vereinigten Staaten ein pyramidenförmiger Kegelstumpf , der vom Auge der Vorsehung überragt wird .
- Zigkurats , Stufenpyramiden und bestimmte antike indianische Hügel bilden auch den Kegelstumpf einer oder mehrerer Pyramiden, wobei zusätzliche Merkmale wie Treppen hinzugefügt wurden.
- Chinesische Pyramiden .
- Das John Hancock Center in Chicago , Illinois, ist ein Kegelstumpf, dessen Grundfläche Rechtecke sind.
- Das Washington Monument ist ein schmaler Pyramidenstumpf mit quadratischer Basis, der von einer kleinen Pyramide gekrönt wird.
- Der Betrachtungsstumpf in 3D-Computergrafik ist das nutzbare Sichtfeld einer virtuellen Foto- oder Videokamera, das als Pyramidenstumpf modelliert ist.
- In der englischen Übersetzung von Stanislaw Lems Kurzgeschichtensammlung The Cyberiad behauptet das Gedicht Love and Tensor Algebra , dass "jeder Frustum sich danach sehnt, ein Kegel zu sein".
- Eimer und typische Lampenschirme sind alltägliche Beispiele für konische Kegelstümpfe.
- Trinkgläser und einige Raumkapseln sind auch einige Beispiele.
Siehe auch
Anmerkungen
Verweise
Externe Links
- Ableitung der Formel für das Volumen der Pyramiden- und Kegelstümpfe (Mathalino.com)
- Weisstein, Eric W. "Pyramidenstumpf" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Konischer Kegelstumpf" . MathWorld .
- Papiermodelle von Kegelstumpfen (Pyramidenstümpfe)
- Papiermodell des Kegelstumpfs (Kegelstumpf)
- Designpapiermodelle von Kegelstumpf (Kegelstümpfe)