Funktionsgleichung - Functional equation

In der Mathematik ist eine Funktionsgleichung jede Gleichung, in der die Unbekannte eine Funktion darstellt . Häufig bezieht die Gleichung den Wert einer Funktion (oder Funktionen) an einem bestimmten Punkt mit seinen Werten an anderen Punkten in Beziehung. Zum Beispiel können Eigenschaften von Funktionen bestimmt werden, indem man die Typen von Funktionsgleichungen betrachtet, die sie erfüllen. Der Begriff Funktionsgleichung bezeichnet in der Regel Gleichungen, die nicht einfach auf algebraische Gleichungen oder Differentialgleichungen reduziert werden können .

Beispiele

• Die Funktionsgleichung

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi^{s-1}\sin\left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)}$

wird von der Riemannschen Zetafunktion erfüllt . Der Großbuchstabe Γ bezeichnet die Gammafunktion .

• Die Gammafunktion ist die eindeutige Lösung des folgenden Systems von drei Gleichungen:

${\displaystyle f(x)={f(x+1)\over x}\,\!}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi}}{2^{2y-1}}}f(2y )}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi\over\sin(\piz)}\,\!\,\,\,}$       ( Eulersche Reflexionsformel )

• Die Funktionsgleichung

${\displaystyle f\left({az+b\over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\,\!}$

wo a , b , c , d sind ganze Zahlen erfüllen , das heißt = 1, definiert f a seinem modulare Form der Ordnung k .${\displaystyle ad-bc=1}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

• Verschiedene Beispiele, die nicht unbedingt Standard- oder benannte Funktionen beinhalten:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( Cauchys Funktionsgleichung ), erfüllt durch lineare Abbildungen

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$von allen Exponentialfunktionen erfüllt

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, erfüllt von allen logarithmischen Funktionen

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, erfüllt von allen Leistungsfunktionen

${\displaystyle f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(quadratische Gleichung oder Parallelogrammgesetz )

${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$ (Jensen)

${\displaystyle g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]\,\!}$ (d'Alembert)

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$ ( Abel-Gleichung )

${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$ ( Schrödersche Gleichung ).

${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$ ( Böttchersche Gleichung ).

${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( Julias Gleichung ).

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)}$( Übersetzungsgleichung )

${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$ (Levi-Civita),

und das Gleichungspaar

${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( Sinusadditionsformel und hyperbolische Sinusadditionsformel ),

${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( Cosinus-Additionsformel ),

${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$( Hyperbolische Kosinus-Additionsformel ).

• Eine einfache Form der Funktionsgleichung ist eine Rekursionsbeziehung . Dabei handelt es sich formal gesehen um unspezifizierte Funktionen auf ganzen Zahlen und auch um Verschiebungsoperatoren . Ein solches Beispiel für eine Rekursionsbeziehung ist

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\,\!}$

• Die Kommutativ- und Assoziativgesetze sind Funktionsgleichungen. In seiner vertrauten Form wird das Assoziativgesetz ausgedrückt, indem die binäre Operation in Infixnotation geschrieben wird.

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$

schreiben wir aber ƒ ( a ,  b ) statt a  ○  b, dann sieht das Assoziativgesetz eher wie eine konventionelle Funktionalgleichung aus,

${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$

Allen oben aufgeführten Beispielen ist gemeinsam, dass sich jeweils zwei oder mehr bekannte Funktionen (mal Multiplikation mit einer Konstanten, mal Addition zweier Variablen, mal die Identitätsfunktion ) im Argument der unbekannten Funktionen befinden für gelöst werden.

Wenn nach allen Lösungen gefragt wird, kann es sein, dass Bedingungen aus der mathematischen Analyse angewendet werden sollten; im Fall der oben erwähnten Cauchy-Gleichung beispielsweise sind die Lösungen, die stetige Funktionen sind, die 'vernünftigen', während andere Lösungen konstruiert werden können, die wahrscheinlich keine praktische Anwendung haben (unter Verwendung einer Hamel-Basis für die reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen ). Der Bohr-Mollerup-Satz ist ein weiteres bekanntes Beispiel.

Lösung

Das Lösen von Funktionsgleichungen kann sehr schwierig sein, aber es gibt einige gängige Methoden, um sie zu lösen. Beispielsweise werden in der dynamischen Programmierung eine Vielzahl von sukzessiven Näherungsverfahren verwendet, um die Bellman-Funktionsgleichung zu lösen , einschließlich Verfahren, die auf Festkomma-Iterationen basieren . Einige Klassen von Funktionsgleichungen können durch computergestützte Techniken gelöst werden.

Eine Hauptmethode zur Lösung elementarer Funktionalgleichungen ist die Substitution. Es ist oft sinnvoll, Surjektivität oder Injektivität zu beweisen und nach Möglichkeit Seltsamkeit oder Ebenheit zu beweisen . Es ist auch nützlich, mögliche Lösungen zu erraten. Induktion ist eine nützliche Technik, wenn die Funktion nur für rationale oder ganzzahlige Werte definiert ist.

Eine Diskussion der involvierenden Funktionen ist aktuell. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion

${\displaystyle f(x)=1-x\,.}$

Die Komposition von f mit sich selbst ergibt die Funktionalgleichung von Babbage (1820),

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Mehrere andere Funktionen erfüllen auch die Funktionsgleichung

${\displaystyle f(f(x))=x}$

einschließlich

${\displaystyle f(x)=-x\,,}$

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$ und

${\displaystyle f(x)={\frac {bx}{1+cx}}~,}$

die die vorherigen drei als Sonderfälle oder Grenzen einschließt.

Beispiel 1 . Finden Sie alle Funktionen f , die

${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,}$

für alle x,y ∈ ℝ , vorausgesetzt ƒ ist eine reellwertige Funktion .

Sei x  =  y  = 0,

${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}.\,}$

So ƒ (0) ²  = 0 und ƒ (0) = 0.

Sei nun y  = − x ,

${\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~.}$

Ein Quadrat einer reellen Zahl ist nicht negativ und eine Summe nicht negativer Zahlen ist genau dann null, wenn beide Zahlen 0 sind.

So ƒ (x) ²  = 0 für alle x und ƒ ( x ) = 0 die einzige Lösung ist.

Siehe auch

• Funktionsgleichung (L-Funktion)
• Bellman-Gleichung
• Dynamische Programmierung
• Implizite Funktion
• Funktionale Differentialgleichung

Anmerkungen

Verweise

• János Aczél , Vorlesungen über Funktionale Gleichungen und ihre Anwendungen , Academic Press , 1966, Nachdruck von Dover Publications, ISBN  0486445232 .
• János Aczél & J. Dhombres, Funktionale Gleichungen in mehreren Variablen , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Einführung in funktionale Gleichungen , AMS, 2011, ISBN  978-0-8218-5314-6  ; im Internet .
• Pl. Kannappan, Funktionale Gleichungen und Ungleichungen mit Anwendungen , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Einführung in die Theorie der Funktionsgleichungen und Ungleichungen , zweite Auflage, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups , Erstausgabe, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Klein (3. April 2007). Funktionale Gleichungen und wie man sie löst . Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-0-387-48901-8.

Externe Links

• Funktionale Gleichungen: Exakte Lösungen bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.
• Funktionale Gleichungen: Index bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.
• IMO-Kompendiumstext (archiviert) zu Funktionsgleichungen bei der Problemlösung.