Fundamentalsatz der Algebra - Fundamental theorem of algebra
Der Hauptsatz der Algebra besagt , dass jeder nicht - konstanten Einzel variable polynomische mit komplexen Koeffizienten besitzt mindestens einen Komplex Wurzel . Dies schließt Polynome mit reellen Koeffizienten ein, da jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist, deren Imaginärteil gleich Null ist.
Gleichwertig (per Definition), stellt der Satz , daß das Feld von komplexen Zahlen ist algebraisch geschlossen .
Der Satz wird auch wie folgt formuliert: Jedes von Null verschiedene, einvariable Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat, mit Multiplizität gezählt , genau n komplexe Wurzeln. Die Äquivalenz der beiden Aussagen kann durch sukzessive Polynomdivision bewiesen werden .
Trotz seines Namens gibt es keinen rein algebraischen Beweis des Satzes, da jeder Beweis irgendeine Form der analytischen Vollständigkeit der reellen Zahlen verwenden muss , die kein algebraisches Konzept ist . Außerdem ist es für die moderne Algebra nicht grundlegend ; Sein Name wurde zu einer Zeit gegeben, als Algebra gleichbedeutend mit Gleichungstheorie war .
Geschichte
Peter Roth, in seinem Buch Arithmetica Philosophica (1608 veröffentlicht, in Nürnberg, von Johann Lantzenberger), schrieb , dass eine Polynom - Gleichung vom Grad n (mit reellen Koeffizienten) kann haben n - Lösungen. Albert Girard , in seinem Buch L'invention nouvelle en l'Algèbre (1629 veröffentlicht), behauptete , dass eine Polynom - Gleichung vom Grad n hat n Lösungen, aber er tat es nicht an , dass sie reelle Zahlen sein mußten. Darüber hinaus fügte er hinzu, dass seine Behauptung gilt "es sei denn, die Gleichung ist unvollständig", womit er meinte, dass kein Koeffizient gleich 0 ist. Wenn er jedoch ausführlich erklärt, was er meint, wird klar, dass er tatsächlich glaubt, dass seine Behauptung immer wahr; zum Beispiel zeigt er, dass die Gleichung, obwohl sie unvollständig ist, vier Lösungen hat (Multiplizitäten zählen): 1 (zweimal) und
Wie wieder unten erwähnt werden, ergibt sich aus dem Hauptsatz der Algebra , daß jede nicht-konstante Polynom mit reellen Koeffizienten als ein Produkt von Polynomen mit reellen Koeffizienten , dessen Grad sind entweder 1 oder 2 ist jedoch im Jahre 1702 geschrieben werden Leibniz irrtümlicherweise die dass kein Polynom vom Typ x 4 + a 4 (mit einem echten und verschieden von 0) kann in einer solchen Art und Weise geschrieben werden. Später machte Nikolaus Bernoulli die gleiche Aussage bezüglich des Polynoms x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4 , aber er bekam 1742 einen Brief von Euler, in dem gezeigt wurde, dass dieses Polynom gleich . ist
mit Außerdem wies darauf hin , dass Euler
Ein erster Versuch, den Satz zu beweisen, wurde 1746 von d'Alembert unternommen , aber sein Beweis war unvollständig. Neben anderen Problemen wurde implizit ein Theorem (jetzt bekannt als Puiseux-Theorem ) angenommen, das erst mehr als ein Jahrhundert später und unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra bewiesen werden sollte. Andere Versuche wurden von Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) und Laplace (1795) unternommen . Diese letzten vier Versuche setzten implizit Girards Behauptung voraus; genauer gesagt wurde die Existenz von Lösungen angenommen und es blieb nur noch zu beweisen, dass ihre Form a + bi für einige reelle Zahlen a und b war . In modernen Begriffen nahmen Euler, de Foncenex, Lagrange und Laplace die Existenz eines Teilungskörpers des Polynoms p ( z ) an.
Ende des 18. Jahrhunderts wurden zwei neue Beweise veröffentlicht, die nicht von der Existenz von Wurzeln ausgingen, aber keine davon vollständig waren. Einer von ihnen, auf James Wood zurückzuführen und hauptsächlich algebraisch, wurde 1798 veröffentlicht und völlig ignoriert. Woods Beweis hatte eine algebraische Lücke. Die andere wurde 1799 von Gauß veröffentlicht und war hauptsächlich geometrisch, hatte aber eine topologische Lücke, die erst 1920 von Alexander Ostrowski gefüllt wurde , wie in Smale (1981) diskutiert. Der erste strenge Beweis wurde 1806 von Argand veröffentlicht (und 1813 erneut aufgegriffen); hier wurde auch erstmals der Fundamentalsatz der Algebra für Polynome mit komplexen Koeffizienten und nicht nur für reelle Koeffizienten aufgestellt. Gauß erstellte 1816 zwei weitere Beweise und 1849 eine weitere unvollständige Version seines ursprünglichen Beweises.
Das erste Lehrbuch einen Beweis des Satzes enthalten war Cauchy ‚s Cours d'de l'École Royale Polytechnique analysieren (1821). Es enthielt Argands Beweis, obwohl Argand dafür nicht gutgeschrieben wird.
Keiner der bisher erwähnten Beweise ist konstruktiv . Es war Weierstrass , der Mitte des 19. Jahrhunderts erstmals das Problem aufwarf, einen konstruktiven Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra zu finden. Seine Lösung, die modern gesprochen einer Kombination der Durand-Kerner-Methode mit dem Homotopie-Fortsetzungsprinzip gleichkommt, stellte er 1891 vor. Ein anderer Beweis dieser Art wurde 1940 von Hellmuth Kneser erbracht und 1981 von seinem Sohn Martin Kneser vereinfacht .
Ohne abzählbare Wahl zu verwenden , ist es nicht möglich, den fundamentalen Satz der Algebra für komplexe Zahlen basierend auf den reellen Dedekind-Zahlen (die den reellen Zahlen von Cauchy ohne abzählbare Wahl konstruktiv nicht äquivalent sind) konstruktiv zu beweisen . Doch Fred Richman erwies sich als neue Formulierung des Satzes , das funktioniert.
Beweise
Alle folgenden Beweise beinhalten eine mathematische Analyse oder zumindest das topologische Konzept der Stetigkeit reeller oder komplexer Funktionen. Einige verwenden auch differenzierbare oder sogar analytische Funktionen. Diese Tatsache hat zu der Bemerkung geführt, dass der Fundamentalsatz der Algebra weder fundamental noch ein Satz der Algebra ist.
Einige Beweise des Satzes beweisen nur, dass jedes nichtkonstante Polynom mit reellen Koeffizienten eine komplexe Wurzel hat. Dies reicht aus, um den Satz im allgemeinen Fall aufzustellen, da bei einem nicht konstanten Polynom p ( z ) mit komplexen Koeffizienten das Polynom
hat nur reelle Koeffizienten, und wenn z eine Null von q ( z ) ist, dann ist entweder z oder seine Konjugierte eine Wurzel von p ( z ).
Eine große Anzahl nichtalgebraischer Beweise des Satzes verwenden die Tatsache (manchmal als "Wachstumslemma" bezeichnet), dass eine Polynomfunktion n- ten Grades p ( z ), deren dominanter Koeffizient 1 ist, sich wie z n verhält, wenn | z | ist groß genug. Eine genauere Aussage ist: Es gibt eine positive reelle Zahl R, so dass:
wenn | z | > R .
Komplexanalytische Beweise
Finden Sie eine geschlossene Scheibe D mit Radius r, die im Ursprung zentriert ist, so dass | p ( z )| > | p (0)| wann immer | z | ≥ r . Das Minimum von | p ( z )| auf D , die müssen vorhanden sein , da D sind kompakt , also an einem Punkt erreicht wird , z 0 im Innern von D , aber nicht an einem beliebigen Punkt seiner Grenze. Das maximale Modul - Prinzip (angewandt auf 1 / p ( z )) folgt dann , daß p ( z 0 ) 0. Mit anderen Worten =, Z 0 eine Nullstelle von P ( z ).
Eine Variation dieses Beweises erfordert nicht die Anwendung des Maximum-Modulus-Prinzips (tatsächlich liefert das gleiche Argument mit geringfügigen Änderungen auch einen Beweis des Maximum-Modulus-Prinzips für holomorphe Funktionen). Nehmen wir widersprüchlich an, dass a := p ( z 0 ) ≠ 0, dann können wir durch Erweiterung von p ( z ) in Potenzen von z − z 0 schreiben
Hier sind c j einfach die Koeffizienten des Polynoms z → p ( z + z 0 ), und wir seien k der Index des ersten Koeffizienten nach dem konstanten Term, der nicht Null ist. Aber jetzt sehen wir, dass dies für z nahe z 0 ein asymptotisch ähnliches Verhalten wie das einfachere Polynom hat ,
in dem Sinne, dass (wie leicht zu überprüfen) die Funktion
wird durch eine positive Konstante M in einer Umgebung von z 0 begrenzt . Wenn wir also definieren und lassen , dann sehen wir für jede hinreichend kleine positive Zahl r (so dass die oben erwähnte Schranke M gilt) unter Verwendung der Dreiecksungleichung, dass
Wenn r hinreichend nahe bei 0 liegt, ist diese obere Schranke für | p ( z )| ist streng kleiner als | a |, im Widerspruch zur Definition von z 0 . (Geometrisch haben wir eine explizite Richtung θ 0 gefunden, so dass, wenn man sich z 0 aus dieser Richtung nähert , man Werte p ( z ) erhalten kann, die betragsmäßig kleiner als | p ( z 0 )| sind.)
Ein weiterer analytischer Beweis kann auf diesem Gedankengang geführt werden, indem man beobachtet, dass | p ( z )| > | p (0)| außerhalb von D das Minimum von | p ( z )| auf der gesamten komplexen Ebene wird bei z 0 erreicht . Wenn | p ( z 0 )| > 0, dann ist 1/ p eine beschränkte holomorphe Funktion in der gesamten komplexen Ebene, da für jede komplexe Zahl z |1/ p ( z )| |1/ p ( z 0 )|. Wenn man den Satz von Liouville anwendet , der besagt, dass eine beschränkte ganze Funktion konstant sein muss, würde dies implizieren, dass 1/ p konstant und daher p konstant ist. Dies ergibt einen Widerspruch und daher p ( z 0 ) = 0.
Ein weiterer analytischer Beweis verwendet das Argumentprinzip . Sei R eine positive reelle Zahl, die groß genug ist, damit jede Wurzel von p ( z ) einen Betrag kleiner als R hat ; eine solche Zahl muss existieren, weil jede nichtkonstante Polynomfunktion vom Grad n höchstens n Nullstellen hat. Betrachten Sie für jedes r > R die Zahl
wobei c ( r ) der Kreis ist, der bei 0 zentriert ist, wobei der Radius r gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist; dann besagt das Argumentprinzip , dass diese Zahl die Anzahl N der Nullstellen von p ( z ) in der offenen Kugel mit dem Mittelpunkt 0 mit dem Radius r ist , die, da r > R , die Gesamtzahl der Nullstellen von p ( z ) ist. Auf der anderen Seite, das Integral von n / z entlang c ( r ) dividiert durch 2π i gleich n . Aber der Unterschied zwischen den beiden Zahlen ist
Der Zähler des zu integrierenden rationalen Ausdrucks hat höchstens den Grad n − 1 und der Nennergrad ist n + 1. Daher geht die obige Zahl für r → +∞ gegen 0 . Aber die Zahl ist auch gleich N − n und somit N = n .
Noch ein weiterer komplexanalytischer Beweis kann gegeben werden, indem man die lineare Algebra mit dem Cauchy-Theorem kombiniert . Um nachzuweisen, dass jedes komplexe Polynom vom Grad n > 0 eine Nullstelle hat, genügt es zu zeigen, dass jede komplexe quadratische Matrix der Größe n > 0 einen (komplexen) Eigenwert besitzt . Der Beweis der letzteren Aussage erfolgt durch Widerspruch .
Sei A eine komplexe quadratische Matrix der Größe n > 0 und sei I n die Einheitsmatrix gleicher Größe. Angenommen, A hat keine Eigenwerte. Betrachten Sie die resolvent Funktion
das ist eine meromorphe Funktion auf der komplexen Ebene mit Werten im Vektorraum von Matrizen. Die Eigenwerte von A sind genau die Pole von R ( z ). Da A nach Annahme keine Eigenwerte hat, ist die Funktion R ( z ) eine ganze Funktion und der Cauchy-Satz impliziert, dass
Andererseits ergibt R ( z ) als geometrische Reihe erweitert:
Diese Formel ist gültig außerhalb der geschlossenen Scheibe mit dem Radius (der Operatornorm von A ). Lass dann
(bei dem nur der Summand k = 0 ein von Null verschiedenes Integral hat). Dies ist ein Widerspruch, also hat A einen Eigenwert.
Schließlich , Rouché Theorem gibt vielleicht den kürzesten Beweis des Satzes.
Topologische Beweise
Angenommen, das Minimum von | p ( z )| insgesamt wird die komplexe Ebene bei z 0 erreicht ; es wurde beim Beweis gesehen, der den Satz von Liouville verwendet, dass eine solche Zahl existieren muss. Wir können schreiben , p ( z ) als Polynom in z - z 0 : Es gibt eine natürliche Zahl k und es gibt einige komplexen Zahlen c k , c k + 1 , ..., c n , so daß c k ≠ 0 ist und:
Wenn p ( z 0 ) nicht Null ist, folgt daraus , dass , wenn a eine k - te Wurzel von - p ( z 0 ) / c k und wenn t positiv ist, und ausreichend klein ist , dann ist | p ( z 0 + ta )| < | p ( z 0 )|, was unmöglich ist, da | p ( z 0 )| ist das Minimum von | p | auf D .
Nehmen Sie für einen weiteren topologischen Widerspruchsbeweis an, dass das Polynom p ( z ) keine Nullstellen hat und folglich nie gleich 0 ist. Stellen Sie sich das Polynom als Abbildung von der komplexen Ebene in die komplexe Ebene vor. Es bildet jeden Kreis ab | z | = R in eine geschlossene Schleife, eine Kurve P ( R ). Wir betrachten, was mit der Windungszahl von P ( R ) an den Extremen passiert, wenn R sehr groß ist und wenn R = 0 ist. Wenn R eine genügend große Zahl ist, dann dominiert der führende Term z n von p ( z ) alle anderen Begriffe kombiniert; mit anderen Worten,
Wenn z den Kreis einmal im Gegenuhrzeigersinn durchquert, windet sich dann n- mal gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung (0,0) und P ( R ) ebenso. Im anderen Extrem mit | z | = 0, die Kurve P (0) ist lediglich der einzelne Punkt p (0), der nicht null sein muss, da p ( z ) nie null ist. Daher muss p (0) vom Ursprung (0,0) verschieden sein, der 0 in der komplexen Ebene bezeichnet. Die Windungszahl von P (0) um den Ursprung (0,0) ist also 0. Eine kontinuierliche Änderung von R verformt die Schleife kontinuierlich . Bei einigen R muss sich die Wicklungszahl ändern. Das kann aber nur passieren, wenn die Kurve P ( R ) den Ursprung (0,0) für ein R enthält . Aber dann für einige z auf diesem Kreis | z | = R haben wir p ( z ) = 0, was unserer ursprünglichen Annahme widerspricht. Daher hat p ( z ) mindestens eine Null.
Algebraische Beweise
Diese Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra müssen die folgenden zwei Tatsachen über reelle Zahlen verwenden, die nicht algebraisch sind, aber nur einen geringen Analyseaufwand erfordern (genauer gesagt der Zwischenwertsatz in beiden Fällen):
- jedes Polynom mit ungeradem Grad und reellen Koeffizienten hat eine reelle Wurzel;
- jede nicht negative reelle Zahl hat eine Quadratwurzel.
Die zweite Tatsache impliziert zusammen mit der quadratischen Formel den Satz für reelle quadratische Polynome. Mit anderen Worten, algebraische Beweise des Fundamentalsatzes zeigen tatsächlich, dass, wenn R ein reell abgeschlossener Körper ist , seine Erweiterung C = R ( √ −1 ) algebraisch abgeschlossen ist.
Durch Induktion
Wie oben erwähnt, genügt es, die Aussage "jedes nicht konstante Polynom p ( z ) mit reellen Koeffizienten hat eine komplexe Wurzel" zu überprüfen . Diese Aussage kann durch Induktion über die größte nicht negative ganze Zahl k bewiesen werden, so dass 2 k den Grad n von p ( z ) teilt . Sei a der Koeffizient von z n in p ( z ) und sei F ein Teilerfeld von p ( z ) über C ; mit anderen Worten, der Körper F enthält C und es gibt Elemente z 1 , z 2 , ..., z n in F mit
Wenn k = 0, dann ist n ungerade und daher hat p ( z ) eine reelle Wurzel. Angenommen, n = 2 k m (mit m ungerade und k > 0) und der Satz sei bereits bewiesen, wenn der Grad des Polynoms die Form 2 k − 1 m mit m ′ ungerade hat. Definiere für eine reelle Zahl t :
Dann sind die Koeffizienten von q t ( z ) symmetrische Polynome im z i mit reellen Koeffizienten. Daher können sie als Polynome mit reellen Koeffizienten in den elementarsymmetrischen Polynomen ausgedrückt werden, dh in − a 1 , a 2 , ..., (−1) n a n . Also hat q t ( z ) tatsächlich reelle Koeffizienten. Außerdem ist der Grad von q t ( z ) n ( n − 1)/2 = 2 k −1 m ( n − 1), und m ( n − 1) ist eine ungerade Zahl. Unter Verwendung der Induktionshypothese hat q t also mindestens eine komplexe Wurzel; mit anderen Worten, z i + z j + tz i z j ist komplex für zwei verschiedene Elemente i und j aus {1, ..., n }. Da es mehr reelle Zahlen als Paare ( i , j ) gibt, kann man unterschiedliche reelle Zahlen t und s finden, so dass z i + z j + tz i z j und z i + z j + sz i z j komplex sind (für das gleiche i und j ). Sowohl z i + z j als auch z i z j sind also komplexe Zahlen. Es ist leicht zu überprüfen, dass jede komplexe Zahl eine komplexe Quadratwurzel hat, also jedes komplexe Polynom vom Grad 2 eine komplexe Wurzel nach der quadratischen Formel hat. Daraus folgt, dass z i und z j komplexe Zahlen sind, da sie Wurzeln des quadratischen Polynoms z 2 − ( z i + z j ) z + z i z j sind .
Joseph Shipman zeigte 2007, dass die Annahme, dass Polynome ungeraden Grades Wurzeln haben, stärker ist als nötig; jeder Körper, in dem Polynome Primzahlgrade Wurzeln haben, ist algebraisch abgeschlossen (also kann "ungerade" durch "ungerade Primzahl" ersetzt werden, und dies gilt für Körper aller Eigenschaften). Für die Axiomatisierung algebraisch abgeschlossener Körper ist dies das bestmögliche, da es Gegenbeispiele gibt, wenn eine einzelne Primzahl ausgeschlossen wird. Diese Gegenbeispiele beruhen jedoch darauf, dass –1 eine Quadratwurzel hat. Wenn wir einen Körper nehmen, bei dem −1 keine Quadratwurzel hat und jedes Polynom vom Grad n ∈ I eine Wurzel hat, wobei I eine feste unendliche Menge ungerader Zahlen ist, dann hat jedes Polynom f ( x ) ungeraden Grades eine Wurzel ( da ( x 2 + 1) k f ( x ) eine Wurzel hat, wobei k so gewählt wird, dass deg( f ) + 2 k ∈ I ). Mohsen Aliabadi verallgemeinerte das Shipman-Ergebnis im Jahr 2013 und lieferte damit einen unabhängigen Beweis dafür, dass eine hinreichende Bedingung für die algebraische Abgeschlossenheit eines beliebigen Körpers (beliebiger Charakteristik) darin besteht, dass es eine Wurzel für jedes Polynom Primgrads hat.
Aus der Galois-Theorie
Ein weiterer algebraischer Beweis des Fundamentalsatzes kann mit der Galois-Theorie gegeben werden . Es genügt zu zeigen, dass C keine echte endliche Körpererweiterung besitzt . Sei K / C eine endliche Erweiterung. Da der normale Abschluss von K über R immer noch einen endlichen Grad über C (oder R ) hat, können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass K eine normale Erweiterung von R ist (also eine Galois-Erweiterung , da jede algebraische Erweiterung eines Körpers von Merkmal 0 ist trennbar ). Sei G die Galois-Gruppe dieser Erweiterung und sei H eine Sylow- 2-Untergruppe von G , so dass die Ordnung von H eine Potenz von 2 ist und der Index von H in G ungerade ist. Durch den Hauptsatz der Theorie Galois existiert eine Teilerweiterung L von K / R , so dass Gal ( K / L ) = H . Da [ L : R ] = [ G : H ] ungerade ist und es keine nichtlinearen irreduziblen reellen Polynome ungeraden Grades gibt, müssen wir L = R haben , also sind [ K : R ] und [ K : C ] Potenzen von 2 Unter der Annahme , haft Widerspruch, [. K : C ]> 1 ist , schließen wir , dass die 2-Gruppe Gal ( K / C ) enthalten eine Untergruppe von Index 2, so gibt es eine Teilerweiterung M von C vom Grad 2. jedoch C hat keine Erweiterung vom Grad 2, da jedes quadratische komplexe Polynom eine komplexe Wurzel hat, wie oben erwähnt. Dies zeigt, dass [ K : C ] = 1 und damit K = C ist , was den Beweis vervollständigt.
Geometrische Beweise
Es gibt noch einen anderen Weg, sich dem Fundamentalsatz der Algebra nach JM Almira und A. Romero zu nähern: durch Riemannsche geometrische Argumente. Die Hauptidee hier ist zu beweisen, dass die Existenz eines nicht konstanten Polynoms p ( z ) ohne Nullstellen die Existenz einer flachen Riemannschen Metrik über der Sphäre S 2 impliziert . Dies führt zu einem Widerspruch, da die Kugel nicht flach ist.
Eine Riemannsche Fläche ( M , g ) heißt eben, wenn ihre Gaußsche Krümmung, die wir mit K g bezeichnen , gleich null ist. Nun behauptet der Satz von Gauss-Bonnet , wenn er auf die Kugel S 2 angewendet wird , dass
was beweist, dass die Kugel nicht flach ist.
Nehmen wir nun an, dass n > 0 und
für jede komplexe Zahl z . Lass uns definieren
Offensichtlich ist p* ( z ) ≠ 0 für alle z in C . Betrachten Sie das Polynom f ( z ) = p ( z ) p* ( z ). Dann f ( z ) ≠ 0 für jedes Z in C . Außerdem,
Wir können diese Funktionalgleichung verwenden, um zu beweisen, dass g , gegeben durch
für w in C , und
für w ∈ S 2 \{0}, ist eine wohldefinierte Riemannsche Metrik über der Kugel S 2 (die wir mit der erweiterten komplexen Ebene C ∪ {∞} identifizieren ).
Eine einfache Rechnung zeigt nun, dass
da der Realteil einer analytischen Funktion harmonisch ist. Dies beweist, dass K g = 0 ist.
Folgerungen
Da der Fundamentalsatz der Algebra als die Aussage angesehen werden kann, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist , folgt, dass jeder Satz über algebraisch abgeschlossene Körper auch für den Körper der komplexen Zahlen gilt. Hier noch ein paar Konsequenzen des Satzes, die entweder den Körper der reellen Zahlen oder die Beziehung zwischen dem Körper der reellen Zahlen und dem Körper der komplexen Zahlen betreffen:
- Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.
- Jedes Polynom in einer Variablen z mit komplexen Koeffizienten ist das Produkt einer komplexen Konstanten und Polynomen der Form z + a mit einem Komplex.
- Jedes Polynom in einer Variablen x mit reellen Koeffizienten kann eindeutig geschrieben werden als Produkt einer Konstanten, Polynomen der Form x + a mit a reell und Polynomen der Form x 2 + ax + b mit a und b reell und a 2 − 4 b < 0 (was bedeutet, dass das Polynom x 2 + ax + b keine reellen Wurzeln hat). (Nach dem Satz von Abel-Ruffini sind die reellen Zahlen a und b nicht notwendigerweise durch die Koeffizienten des Polynoms, die grundlegenden arithmetischen Operationen und die Extraktion der n- ten Wurzeln ausdrückbar.) Dies impliziert, dass die Zahl der nicht-reellen komplexe Wurzeln sind immer gerade und bleiben auch, wenn sie mit ihrer Vielheit gezählt werden.
- Jede rationale Funktion in einer Variablen x mit reellen Koeffizienten kann als Summe einer Polynomfunktion mit rationalen Funktionen der Form a /( x − b ) n (wobei n eine natürliche Zahl und a und b reell Zahlen) und rationale Funktionen der Form ( ax + b )/( x 2 + cx + d ) n (wobei n eine natürliche Zahl ist und a , b , c und d reelle Zahlen sind, so dass c 2 − 4 d < 0). Eine Folge davon ist, dass jede rationale Funktion in einer Variablen und reellen Koeffizienten ein elementares Primitiv hat .
- Jede algebraische Erweiterung des reellen Körpers ist entweder zum reellen Körper oder zum komplexen Körper isomorph.
Schranken an den Nullstellen eines Polynoms
Während der Fundamentalsatz der Algebra ein allgemeines Existenzergebnis festlegt, ist es sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht von einigem Interesse, Informationen über die Lage der Nullstellen eines gegebenen Polynoms zu haben. Das einfachere Ergebnis in dieser Richtung ist eine Modulschranke: Alle Nullstellen ζ eines monischen Polynoms erfüllen eine Ungleichung |ζ| ≤ R ∞ , wobei
Beachten Sie, dass dies, wie gesagt, noch kein Existenzergebnis ist, sondern eher ein Beispiel für eine sogenannte A-priori- Schranke: Wenn es Lösungen gibt, dann liegen sie innerhalb der geschlossenen Scheibe des Zentrums von Ursprung und Radius R ∞ . In Verbindung mit dem Fundamentalsatz der Algebra besagt es jedoch, dass die Scheibe tatsächlich mindestens eine Lösung enthält. Allgemeiner ausgedrückt kann eine Schranke direkt in Form einer beliebigen p-Norm des n- Koeffizientenvektors angegeben werden , die |ζ| . ist ≤ R p , wobei R p genau die q -Norm des 2-Vektors q ist, der der konjugierte Exponent von p ist , für jedes 1 ≤ p ≤ ∞. Somit ist der Modul jeder Lösung auch beschränkt durch
für 1 < p < ∞ und insbesondere
(wobei wir a n als 1 definieren, was vernünftig ist, da 1 tatsächlich der n- te Koeffizient unseres Polynoms ist). Der Fall eines generischen Polynoms vom Grad n ,
ist natürlich auf den Fall einer Monik reduziert, bei der alle Koeffizienten durch a n ≠ 0 dividiert werden . Auch für den Fall, dass 0 keine Wurzel ist, dh a 0 ≠ 0, folgen Schranken von unten auf die Wurzeln ζ sofort als Schranken von oben auf , das heißt, die Wurzeln von
Schließlich kann der Abstand von den Wurzeln ζ zu einem beliebigen Punkt von unten und oben geschätzt werden, da man die Nullstellen des Polynoms betrachtet , dessen Koeffizienten die Taylor-Entwicklung von P ( z ) at . sind
Sei ζ eine Wurzel des Polynoms
um die Ungleichung |ζ| . zu beweisen ≤ R p können wir natürlich |ζ| > 1. Schreiben der Gleichung als
und mit der Hölderschen Ungleichung finden wir
Wenn p = 1 ist, ist dies
daher
Im Fall 1 < p ≤ ∞, unter Berücksichtigung der Summenformel für eine geometrische Progression , haben wir
daher
und vereinfachend,
Deswegen
gilt für alle 1 ≤ p ≤ ∞.
Siehe auch
- Weierstraß-Faktorisierungssatz , eine Verallgemeinerung des Satzes auf andere ganze Funktionen
- Satz von Eilenberg-Niven , eine Verallgemeinerung des Satzes auf Polynome mit quaternionischen Koeffizienten und Variablen
Verweise
Zitate
Historische Quellen
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- Taylor, Paul (2. Juni 2007), Gauß' zweiter Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra – Englische Übersetzung des zweiten Beweises von Gauß.
- van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7. Aufl.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-40624-4
Externe Links
- Algebra, Fundamentalsatz von bei Encyclopaedia of Mathematics
- Fundamentaler Satz der Algebra — eine Sammlung von Beweisen
- Vom Fundamentalsatz der Algebra zur Astrophysik: Ein "harmonischer" Weg
- Gauß' erster Beweis (in Latein) bei Google Books
- Gauß' erster Beweis (in Latein) bei Google Books
- Mizar-Systemnachweis : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74