Kurt Gödel- Kurt Gödel

Kurt Gödel
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Geboren
Kurt Friedrich Gödel

( 1906-04-28 )28. April 1906
Ist gestorben 14. Januar 1978 (1978-01-14)(71 Jahre)
Princeton , New Jersey, USA
Staatsbürgerschaft
Alma Mater Universität Wien
Bekannt für
Ehepartner
Adele Nimbursky
( M.  1938)
Auszeichnungen
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik , mathematische Logik , analytische Philosophie , Physik
Institutionen Institut für Höhere Studien
These Über die Vollständigkeit des Logikkalküls  (1929)
Doktoratsberater Hans Hahn
Unterschrift
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Kurt Friedrich Gödel ( / ɡ ɜːr d əl / ; Deutsch: [kʊɐ̯t ɡøːdl̩] ( hören )Über diesen Ton , 28. April 1906 - 14. Januar 1978) war ein Logiker , Mathematiker und Philosoph . Betrachtet zusammen mit Aristoteles und Gottlob Frege eine der bedeutendsten Logiker in der Geschichte zu sein, hatte Gödel eine immense Wirkung auf wissenschaftliches und philosophisches Denken im 20. Jahrhundert, eine Zeit , als andere, wie Bertrand Russell , Alfred North Whitehead und David Hilbert waren Verwendung von Logik und Mengenlehre zur Untersuchung der Grundlagen der Mathematik , aufbauend auf früheren Arbeiten von Richard Dedekind , Georg Cantor und Frege.

Sein erstes Unvollständigkeitstheorem veröffentlichte Gödel 1931 im Alter von 25 Jahren, ein Jahr nach seiner Promotion an der Universität Wien . Die ersten Unvollständigkeitssatzes besagen , dass für jedes ω-konsistent rekursive axiomatisches System leistungsfähig genug , um die Arithmetik der beschreiben natürlichen Zahlen (zum Beispiel Peano Arithmetik ), gibt es wahre Sätze über die natürlichen Zahlen , die weder beweisen noch aus den Axiomen widerlegt werden können. Um dies zu beweisen, entwickelte Gödel eine Technik, die heute als Gödel-Nummerierung bekannt ist , die formale Ausdrücke als natürliche Zahlen codiert. Der zweite Unvollständigkeitssatz, der sich aus dem ersten ergibt, besagt, dass das System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann.

Gödel zeigte auch, dass weder das Auswahlaxiom noch die Kontinuumshypothese von der akzeptierten Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie widerlegt werden können , vorausgesetzt, dass ihre Axiome konsistent sind. Das erstgenannte Ergebnis öffnete den Mathematikern die Tür, in ihren Beweisen das Axiom der Wahl anzunehmen. Er leistete auch wichtige Beiträge zur Beweistheorie, indem er die Verbindungen zwischen klassischer Logik , intuitionistischer Logik und Modallogik aufklärte .

Frühes Leben und Ausbildung

Kindheit

Gödel wurde am 28. April 1906 in Brünn, Österreich-Ungarn (heute Brünn , Tschechien ) in die deutschsprachige Familie von Rudolf Gödel (1874–1929), dem Geschäftsführer und Teilhaber eines großen Textilunternehmens, und Marianne . geboren Gödel ( geb. Handschuh, 1879–1966). Sein ganzes Leben lang blieb Gödel seiner Mutter nahe; ihre Korrespondenz war häufig und weitreichend. Zum Zeitpunkt seiner Geburt hatte die Stadt eine deutschsprachige Mehrheit, zu der auch seine Eltern gehörten. Sein Vater war katholisch, seine Mutter evangelisch und die Kinder evangelisch erzogen. Die Vorfahren von Kurt Gödel waren oft im kulturellen Leben Brünns aktiv. So war sein Großvater Joseph Gödel zu seiner Zeit ein berühmter Sänger und einige Jahre Mitglied des Brünner Männergesangvereins .

Gödel wurde im Alter von 12 Jahren automatisch Staatsbürger der Tschechoslowakei, als das österreichisch-ungarische Reich nach seiner Niederlage im Ersten Weltkrieg zusammenbrach . (Laut seinem Klassenkameraden Klepetař bezeichnete sich Gödel , wie viele Bewohner der überwiegend deutschen Sudetenländer , immer als Österreicher und Exilant in der Tschechoslowakei.) Im Februar 1929 wurde ihm die tschechoslowakische Staatsbürgerschaft und im April dann die österreichische Staatsbürgerschaft erteilt Staatsbürgerschaft. Als Deutschland 1938 Österreich annektierte , wurde Gödel mit 32 Jahren automatisch deutscher Staatsbürger. 1948, nach dem Zweiten Weltkrieg , wurde er mit 42 Jahren amerikanischer Staatsbürger.

In seiner Familie wurde der junge Gödel wegen seiner unstillbaren Neugier Herr Warum genannt . Nach Angaben seines Bruders Rudolf litt Kurt im Alter von sechs oder sieben Jahren an rheumatischem Fieber ; er erholte sich vollständig, blieb aber für den Rest seines Lebens davon überzeugt, dass sein Herz dauerhaft geschädigt war. Ab dem Alter von vier Jahren litt Gödel unter "häufigen Episoden schlechter Gesundheit", die sein ganzes Leben lang anhielten.

Gödel besuchte von 1912 bis 1916 die Evangelische Volksschule in Brünn und war von 1916 bis 1924 am Deutschen Staats-Realgymnasium eingeschrieben , wobei er sich in allen seinen Fächern, insbesondere in Mathematik, Sprachen und Religion, mit Auszeichnung auszeichnete. Obwohl Gödel sich zunächst in Sprachen hervorgetan hatte, interessierte er sich später mehr für Geschichte und Mathematik. Sein Interesse an Mathematik wuchs, als sein älterer Bruder Rudolf (geb. 1902) 1920 nach Wien ging , wo er das Medizinstudium an der Universität Wien besuchte . Während seiner Jugend studierte Gödel Gabelsberger Kurzschrift , Goethe ‚s Theorie von Farben und Kritik von Isaac Newton , und die Schriften von Immanuel Kant .

Studium in Wien

Im Alter von 18 Jahren ging Gödel zu seinem Bruder an die Universität Wien . Zu diesem Zeitpunkt beherrschte er bereits Mathematik auf Universitätsniveau. Obwohl er zunächst theoretische Physik studieren wollte, besuchte er auch Kurse in Mathematik und Philosophie. Während dieser Zeit übernahm er Ideen des mathematischen Realismus . Er las Kant ‚s Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft , und beteiligte sich an der Wiener Kreis mit Moritz Schlick , Hans Hahn und Rudolf Carnap . Gödel studierte dann Zahlentheorie , aber als er an einem Seminar von Moritz Schlick teilnahm, das Bertrand Russells Buch Introduction to Mathematical Philosophy studierte , interessierte er sich für die mathematische Logik . Nach Gödel war die mathematische Logik "eine Wissenschaft vor allen anderen, die die Ideen und Prinzipien enthält, die allen Wissenschaften zugrunde liegen".

Der Besuch eines Vortrags von David Hilbert in Bologna über Vollständigkeit und Konsistenz in mathematischen Systemen mag Gödels Lebensrichtung bestimmt haben. Im Jahr 1928, Hilbert und Wilhelm Ackermann veröffentlicht Grundzüge der theoretischen Logik ( Principles of Mathematische Logik ), eine Einführung in die Logik erster Ordnung , in der das Problem der Vollständigkeit gestellt wurde: „Sind die Axiome eines formalen Systems ausreichend jede Aussage abzuleiten, ist stimmt in allen Modellen des Systems?"

Dieses Problem wurde zum Thema, das Gödel für seine Doktorarbeit wählte. Im Jahr 1929, im Alter von 23, schloß er seine Doktorarbeit unter Hans Hahn Aufsicht. Darin begründete er seinen gleichnamigen Vollständigkeitssatz zum Prädikatenkalkül erster Ordnung . 1930 wurde er promoviert und seine Dissertation (mit einigen Zusatzarbeiten) von der Wiener Akademie der Wissenschaften veröffentlicht .

Karriere

Unvollständigkeitssatz

Kurt Gödels Leistung in der modernen Logik ist einzigartig und monumental – mehr als nur ein Denkmal, es ist ein Wahrzeichen, das weit in Raum und Zeit sichtbar bleiben wird. ... Das Thema Logik hat mit Gödels Leistung sicherlich sein Wesen und seine Möglichkeiten völlig verändert.

1930 nahm Gödel an der Zweiten Konferenz zur Erkenntnistheorie der exakten Wissenschaften teil , die vom 5. bis 7. September in Königsberg stattfand. Hier lieferte er seine Unvollständigkeitssätze .

Gödel veröffentlichte seine Unvollständigkeitssätze in Über formale unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica verwandter Systeme und (genannt in Englisch " Über formal Unentscheidbare Propositions von Principia Mathematica und verwandter Systeme "). In diesem Artikel bewies er für jedes berechenbare axiomatische System , das leistungsfähig genug ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben (z. B. die Peano-Axiome oder die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem Auswahlaxiom ), dass:

  1. Wenn ein (logisches oder axiomatisches formal) System ist Omega-konsistent , kann es nicht sein syntaktisch komplett .
  2. Die Konsistenz von Axiomen kann nicht innerhalb ihres eigenen Systems bewiesen werden .

Diese Theoreme beendeten ein halbes Jahrhundert von Versuchen, beginnend mit den Arbeiten von Gottlob Frege und gipfelten in Principia Mathematica und Hilberts Formalismus , eine Menge von Axiomen zu finden, die für alle Mathematik ausreichend sind.

Im Nachhinein ist die Grundidee des Unvollständigkeitssatzes ziemlich einfach. Gödel konstruierte im Wesentlichen eine Formel, die behauptet, dass sie in einem gegebenen formalen System nicht beweisbar ist. Wenn es beweisbar wäre, wäre es falsch. Es wird also immer mindestens eine wahre, aber nicht beweisbare Aussage geben. Das heißt, für jede berechenbar aufzählbare Menge von Axiomen für die Arithmetik (also eine Menge, die im Prinzip von einem idealisierten Computer mit unbegrenzten Ressourcen ausgedruckt werden kann) gibt es eine Formel, die für die Arithmetik gilt, aber in dieses System. Um dies präzisieren zu können, musste Gödel jedoch eine Methode entwickeln, um Aussagen, Beweise und das Konzept der Beweisbarkeit (als natürliche Zahlen) zu kodieren; er tat dies mit einem Verfahren, das als Gödel-Nummerierung bekannt ist .

In seinem zweiseitigen Aufsatz Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) widerlegte Gödel die Endlichkeit der intuitionistischen Logik . Im Beweis verwendete er implizit die später als Gödel-Dummett-Zwischenlogik (oder Gödel-Fuzzy-Logik ) bekannte.

Mitte der 1930er Jahre: Weiterarbeit und USA-Besuche

Gödel habilitierte sich 1932 in Wien, 1933 wurde er dort Privatdozent . 1933 kam Adolf Hitler in Deutschland an die Macht, und in den folgenden Jahren gewannen die Nazis in Österreich und unter den Wiener Mathematikern an Einfluss. Im Juni 1936 wurde Moritz Schlick , dessen Seminar Gödels Interesse an der Logik geweckt hatte, von einem seiner ehemaligen Schüler, Johann Nelböck , ermordet . Dies habe in Gödel "eine schwere Nervenkrise" ausgelöst. Er entwickelte paranoide Symptome, darunter Angst vor einer Vergiftung, und verbrachte mehrere Monate in einem Sanatorium wegen Nervenkrankheiten.

1933 reiste Gödel erstmals in die USA, wo er Albert Einstein kennenlernte , der ein guter Freund wurde. Er hielt eine Rede auf der Jahrestagung der American Mathematical Society . In diesem Jahr entwickelte Gödel auch die Ideen der Berechenbarkeit und rekursiven Funktionen so weit , dass er einen Vortrag über allgemeine rekursive Funktionen und den Wahrheitsbegriff halten konnte. Diese Arbeit wurde in der Zahlentheorie unter Verwendung der Gödel-Nummerierung entwickelt .

Im Jahr 1934 hielt Gödel am Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton , New Jersey, eine Vorlesungsreihe mit dem Titel Über unentscheidbare Aussagen formaler mathematischer Systeme . Stephen Kleene , der gerade in Princeton promoviert hatte, machte sich über diese Vorträge Notizen, die später veröffentlicht wurden.

Im Herbst 1935 besuchte Gödel das IAS erneut. Das Reisen und die harte Arbeit hatten ihn erschöpft und im nächsten Jahr machte er eine Pause, um sich von einer depressiven Episode zu erholen. 1937 kehrte er zur Lehrtätigkeit zurück. Während dieser Zeit arbeitete er am Konsistenzbeweis des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese ; er fuhr fort zu zeigen, dass diese Hypothesen nicht aus dem gemeinsamen System von Axiomen der Mengenlehre widerlegt werden können.

Er heiratete Adele Nimbursky  [ es ; ast ] (geb. Porkert, 1899–1981), die er seit über 10 Jahren kannte, am 20. September 1938. Gödels Eltern hatten sich gegen ihre Beziehung ausgesprochen, weil sie eine geschiedene Tänzerin war, sechs Jahre älter als er.

Anschließend reiste er zu einem weiteren Besuch in die Vereinigten Staaten ab, verbrachte den Herbst 1938 am IAS und veröffentlichte Konsistenz des Auswahlaxioms und der generalisierten Kontinuumshypothese mit den Axiomen der Mengenlehre, einem Klassiker der modernen Mathematik. In dieser Arbeit führte er das konstruierbare Universum ein , ein Modell der Mengenlehre, in dem nur solche Mengen existieren, die aus einfacheren Mengen konstruiert werden können. Gödel zeigte, dass sowohl das Auswahlaxiom (AC) als auch die generalisierte Kontinuumshypothese (GCH) im konstruierbaren Universum wahr sind und daher mit den Zermelo-Fraenkel-Axiomen der Mengenlehre (ZF) konsistent sein müssen . Dieses Ergebnis hat erhebliche Konsequenzen für berufstätige Mathematiker, da sie beim Beweis des Satzes von Hahn-Banach das Axiom der Wahl annehmen können . Paul Cohen konstruierte später ein Modell von ZF, in dem AC und GCH falsch sind; zusammen bedeuten diese Beweise, dass AC und GCH unabhängig von den ZF-Axiomen für die Mengenlehre sind.

Gödel verbrachte das Frühjahr 1939 an der University of Notre Dame .

Princeton, Einstein, US-Staatsbürgerschaft

Nach dem Anschluss am 12. März 1938 war Österreich Teil des nationalsozialistischen Deutschlands . Deutschland schaffte den Titel Privatdozent ab , Gödel musste sich also um eine andere Stelle im Rahmen der neuen Ordnung bewerben. Seine frühere Verbindung mit jüdischen Mitgliedern des Wiener Kreises, insbesondere mit Hahn, belastete ihn. Die Universität Wien lehnte seinen Antrag ab.

Seine missliche Lage verschärfte sich, als die Bundeswehr ihn für die Einberufung befunden hatte. Der Zweite Weltkrieg begann im September 1939. Noch bevor das Jahr um war, verließen Gödel und seine Frau Wien nach Princeton . Um die Schwierigkeit einer Atlantiküberquerung zu umgehen, nahmen die Gödels die Transsibirische Eisenbahn in den Pazifik, segelten von Japan nach San Francisco (das sie am 4. März 1940 erreichten) und überquerten dann die USA mit dem Zug nach Princeton. Dort nahm Gödel eine Stelle am Institute for Advanced Study (IAS) an, das er bereits 1933–34 besucht hatte.

Albert Einstein lebte während dieser Zeit auch in Princeton. Gödel und Einstein entwickelten eine enge Freundschaft und waren dafür bekannt, lange gemeinsame Spaziergänge zum und vom Institut für Höhere Studien zu unternehmen. Die Art ihrer Gespräche war den anderen Institutsmitgliedern ein Rätsel. Der Ökonom Oskar Morgenstern erzählt, dass Einstein gegen Ende seines Lebens anvertraute, dass seine "eigene Arbeit nicht mehr viel bedeutete, dass er nur ins Institut kam ... um das Privileg zu haben, mit Gödel nach Hause zu gehen".

Gödel und seine Frau Adele verbrachten den Sommer 1942 in Blue Hill, Maine , im Blue Hill Inn an der Spitze der Bucht. Gödel machte nicht nur Urlaub, sondern hatte auch einen sehr produktiven Sommer. Mit 15 Heft [volume 15] von Gödels noch nicht veröffentlichten Arbeitshefte [Arbeits Notebooks], John W. Dawson Jr. Mutmaßungen , dass Gödel einen Beweis für die Unabhängigkeit des Axiom der Wahl von endlichen Typ Theorie entdeckt, eine abgeschwächte Form der Mengenlehre, während er 1942 in Blue Hill war. Gödels enger Freund Hao Wang unterstützt diese Vermutung und stellt fest, dass Gödels Blue Hill-Notizbücher seine umfassendste Behandlung des Problems enthalten.

Am 5. Dezember 1947 begleiteten Einstein und Morgenstern Gödel zu seiner US-Staatsbürgerschaftsprüfung , wo sie als Zeugen auftraten. Gödel hatte ihnen anvertraut, dass er eine Inkonsistenz in der US-Verfassung entdeckt hatte , die es den USA ermöglichen könnte, eine Diktatur zu werden; dies wird seitdem Gödels Schlupfloch genannt . Einstein und Morgenstern waren besorgt, dass das unberechenbare Verhalten ihres Freundes seine Bewerbung gefährden könnte. Es stellte sich heraus, dass der Richter Phillip Forman war , der Einstein kannte und den Eid bei Einsteins eigener Staatsbürgerschaftsanhörung abgelegt hatte. Alles verlief reibungslos, bis Forman Gödel zufällig fragte, ob er denke, dass eine Diktatur wie das Nazi-Regime in den USA passieren könnte. Gödel begann dann, Forman seine Entdeckung zu erklären. Forman verstand, was vor sich ging, unterbrach Gödel das Wort und verlagerte die Anhörung zu anderen Fragen und einer routinemäßigen Schlussfolgerung.

Gödel wurde 1946 festes Mitglied des Institute for Advanced Study in Princeton. Etwa zu dieser Zeit hörte er auf zu veröffentlichen, arbeitete aber weiter. 1953 wurde er ordentlicher Professor am Institut und 1976 emeritierter Professor.

Während seiner Zeit am Institut wandte sich Gödels Interesse der Philosophie und Physik zu. 1949 demonstrierte er die Existenz von Lösungen mit geschlossenen zeitähnlichen Kurven für Einsteins Feldgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie . Diese Ausarbeitung soll er Einstein zu seinem 70. Geburtstag geschenkt haben. Seine "rotierenden Universen" ermöglichten Zeitreisen in die Vergangenheit und ließen Einstein an seiner eigenen Theorie zweifeln. Seine Lösungen sind als Gödel-Metrik bekannt (eine exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichung ).

Er studierte und bewunderte die Werke von Gottfried Leibniz , kam aber zu dem Schluss, dass eine feindliche Verschwörung dazu geführt hatte, dass einige Werke von Leibniz unterdrückt wurden. In geringerem Maße studierte er Immanuel Kant und Edmund Husserl . In den frühen 1970er Jahren in Umlauf Gödel unter seinen Freunden eine Ausarbeitung von Leibniz-Version von Anselm von Canterbury ‚s ontologischem Beweis für die Existenz Gottes. Dies ist heute als Gödels ontologischer Beweis bekannt .

Auszeichnungen und Ehrungen

Gödel erhielt (mit Julian Schwinger ) 1951 den ersten Albert Einstein Award und 1974 die National Medal of Science. 1961 wurde Gödel zum Resident Member der American Philosophical Society und zum Foreign Member der Royal Society gewählt (ForMemRS) 1968 . 1950 war er Plenarsprecher des ICM in Cambridge, Massachusetts. Nach ihm ist der Gödel-Preis benannt , ein jährlicher Preis für herausragende Arbeiten im Bereich der theoretischen Informatik.

Grabstein von Kurt und Adele Gödel in Princeton, NJ, Friedhof

Späteres Leben und Tod

Später in seinem Leben litt Gödel unter Phasen psychischer Instabilität und Krankheit. Nach der Ermordung seines engen Freundes Moritz Schlick hatte Gödel eine obsessive Angst vor einer Vergiftung ; er aß nur Speisen, die seine Frau Adele für ihn zubereitet hatte. Ende 1977 wurde sie für sechs Monate ins Krankenhaus eingeliefert und konnte danach das Essen ihres Mannes nicht mehr zubereiten. In ihrer Abwesenheit weigerte er sich zu essen und verhungerte schließlich. Er wog 29 Kilogramm, als er starb. Seine Sterbeurkunde berichtete , dass er von „Unterernährung und starb Entkräftung verursacht durch Persönlichkeitsstörung“ in Princeton - Krankenhaus am 14. Januar 1978. Er in begraben wurde Princeton Cemetery . Adeles Tod folgte 1981.

Religiöse Ansichten

Gödel war ein Theist in der christlichen Tradition. Er glaubte, dass Gott persönlich sei und nannte seine Philosophie „rationalistisch, idealistisch, optimistisch und theologisch“.

Gödel glaubte fest an ein Leben nach dem Tod und sagte: "Das setzt natürlich voraus, dass es viele Zusammenhänge gibt, von denen die heutige Wissenschaft und die Weisheit keine Ahnung haben. Aber ich bin davon [das Leben nach dem Tod] unabhängig von jeder Theologie überzeugt." Es sei "heute möglich, durch reines Denken wahrzunehmen", dass es "vollständig mit bekannten Tatsachen übereinstimmt". "Wenn die Welt rational konstruiert ist und einen Sinn hat, dann muss es so etwas [wie ein Leben nach dem Tod] geben."

In einer unversendeten Antwort auf einen Fragebogen beschrieb Gödel seine Religion als „lutherisch getauft (aber nicht Mitglied einer religiösen Gemeinde). Mein Glaube ist theistisch , nicht pantheistisch , eher nach Leibniz als nach Spinoza “. Über Religion(en) im Allgemeinen sagte er: „Religionen sind zum größten Teil schlecht – aber Religion ist es nicht“. Laut seiner Frau Adele "war Gödel, obwohl er nicht in die Kirche ging, religiös und las jeden Sonntagmorgen die Bibel im Bett", während er über den Islam sagte: "Ich mag den Islam: er ist ein konsequentes [oder konsequentes] Vorstellung von Religion und Weltoffenheit."

Erbe

Die Kurt Gödel Society wurde 1987 gegründet, wurde in seiner Ehre genannt. Es ist eine internationale Organisation zur Förderung der Forschung in Logik, Philosophie und Geschichte der Mathematik . Die Universität Wien beherbergt das Kurt Gödel Forschungszentrum für Mathematische Logik. Die Gesellschaft für Symbolische Logik lädt seit 1990 jährlich einen Kurt-Gödel-Dozenten ein. Gödels Philosophische Notizbücher werden im Kurt-Gödel-Forschungszentrum an der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften in Deutschland herausgegeben.

Fünf Bände von Gödels gesammelten Werken sind erschienen. Die ersten beiden beinhalten seine Veröffentlichungen; der dritte enthält unveröffentlichte Manuskripte aus seinem Nachlass und die letzten beiden enthalten Korrespondenz.

2005 veröffentlichte John Dawson eine Biographie über Gödel, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel ( AK Peters , Wellesley, MA, ISBN  1-56881-256-6 ). Gödel war auch einer von vier Mathematikern, die in David Malones BBC- Dokumentation Dangerous Knowledge aus dem Jahr 2008 untersucht wurden .

Douglas Hofstadter schrieb 1979 das Buch Gödel, Escher, Bach , um das Werk und die Ideen von Gödel, MC Escher und Johann Sebastian Bach zu feiern . Es untersucht teilweise die Auswirkungen der Tatsache, dass Gödels Unvollständigkeitssatz auf jedes Turing-vollständige Computersystem angewendet werden kann, zu dem auch das menschliche Gehirn gehören kann .

Lou Jacobi spielt Gödel im Film IQ . von 1994

Literaturverzeichnis

Wichtige Veröffentlichungen

Auf Deutsch:

  • 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls." Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349–60.
  • 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–98.
  • 1932, Zum intuitionistischen "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.

Auf Englisch:

  • 1940. Die Konsistenz des Auswahlaxioms und der generalisierten Kontinuumshypothese mit den Axiomen der Mengenlehre. Princeton University Press.
  • 1947. "Was ist Cantors Kontinuumsproblem?" The American Mathematical Monthly 54 : 515–25. Überarbeitete Version in Paul Benacerraf und Hilary Putnam , Hrsg., 1984 (1964). Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Lektüre . Cambridge-Uni. Drücken Sie: 470–85.
  • 1950, "Rotierende Universen in der Allgemeinen Relativitätstheorie". Proceedings of the International Congress of Mathematicians in Cambridge, Bd. 1, S. 175–81.

In englischer Übersetzung:

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Dawson, John W (1997), Logische Dilemmata: Das Leben und Werk von Kurt Gödel , Wellesley, MA: AK Peters.
  • Goldstein, Rebecca (2005), Unvollständigkeit: Der Beweis und das Paradox von Kurt Gödel , New York: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-32760-1.

Weiterlesen

  • Stephen Budiansky , 2021. Reise an den Rand der Vernunft: Das Leben von Kurt Gödel . WW Norton & Company.
  • Casti, John L; DePauli, Werner (2000), Gödel: A Life of Logic , Cambridge, MA: Basic Books (Perseus Books Group), ISBN 978-0-7382-0518-2.
  • Dawson, John W, Jr (1996), Logische Dilemmata: Das Leben und Werk von Kurt Gödel , AK Peters.
  • Dawson, John W, Jr (1999), "Gödel and the Limits of Logic", Scientific American , 280 (6): 76–81, Bibcode : 1999SciAm.280f..76D , doi : 10.1038/scientificamerican0699-76 , PMID  10048234.
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  • Hao Wang, 1996. Eine logische Reise: Von Gödel zur Philosophie . MIT-Presse.
  • Yourgrau, Palle, 1999. Gödel trifft Einstein: Zeitreisen im Gödel-Universum. Chicago: Offenes Gericht.
  • Yourgrau, Palle, 2004. Eine Welt ohne Zeit: Das vergessene Erbe von Gödel und Einstein. Grundlegende Bücher. Buchbesprechung von John Stachel in den Notices of the American Mathematical Society ( 54 (7), S. 861–68):

Externe Links