Gaußsche Methode - Gauss's method

In der Bahnmechanik (Untergebiet der Himmelsmechanik ) wird die Gaußsche Methode zur vorläufigen Bahnbestimmung aus mindestens drei Beobachtungen (mehr Beobachtungen erhöhen die Genauigkeit der ermittelten Bahn) des interessierenden umlaufenden Körpers zu drei verschiedenen Zeitpunkten verwendet. Die benötigten Informationen sind die Beobachtungszeiten, die Positionsvektoren der Beobachtungspunkte (im äquatorialen Koordinatensystem ), der Richtungskosinusvektor des umlaufenden Körpers aus den Beobachtungspunkten (aus dem topozentrischen äquatorialen Koordinatensystem) und allgemeine physikalische Daten.

Carl Friedrich Gauss entwickelte wichtige mathematische Techniken (zusammengefasst in Gauss' Methoden), die speziell zur Bestimmung der Umlaufbahn von Ceres verwendet wurden . Die im Folgenden gezeigte Methode ist die Bahnbestimmung eines umlaufenden Körpers um den Fokuskörper, von dem aus die Beobachtungen gemacht wurden, während die Methode zur Bestimmung der Ceres-Bahn etwas mehr Aufwand erfordert, da die Beobachtungen von der Erde aus aufgenommen wurden, während Ceres die Sonne umkreist .

Beobachterpositionsvektor

Der Beobachterpositionsvektor (im äquatorialen Koordinatensystem ) der Beobachtungspunkte kann aus dem Breitengrad und der lokalen Sternzeit (aus dem topozentrischen Koordinatensystem ) an der Oberfläche des Fokuskörpers des umlaufenden Körpers (z. B. der Erde) entweder über :

${\displaystyle \mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin^{2}\phi_{n}} }}+H_{n}\right]\cos\phi_{n}(\cos\theta_{n}\\mathbf{\hat{I}} +\sin\theta_{n}\\mathbf{ \hat{J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin\phi_{n}\\mathbf{\hat{K}}}$

oder

${\displaystyle \mathbf {R_{n}} =R_{e}\cos\phi '_{n}\cos\theta_{n}\\mathbf {\hat{I}} +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin\theta_{n}\\mathbf{\hat{J}} +R_{e}\sin\phi '_{n}\\mathbf{\hat{K}}}$

wo,

• ${\displaystyle\mathbf{R_{n}}}$ ist der jeweilige Beobachterpositionsvektor (im äquatorialen Koordinatensystem)
• ${\displaystyle R_{e}}$ ist der äquatoriale Radius des Körpers (z. B. 6.378 km für die Erde)
• ${\displaystyle f}$ist die Abplattung (oder Abflachung ) des Körpers (z. B. 0,003353 für die Erde)
• ${\displaystyle \phi_{n}}$ist die geodätische Breite (der Winkel zwischen der Normalebene und der Äquatorialebene)
• ${\displaystyle \phi '_{n}}$ist die geozentrische Breite (der Winkel zwischen dem Radius und der Äquatorialebene)
• ${\displaystyle H_{n}}$ist die höhe
• ${\displaystyle \theta_{n}}$ ist die lokale Sternzeit

Kosinusvektor in Richtung des umlaufenden Körpers

Der Richtungskosinusvektor des umlaufenden Körpers kann aus der Rektaszension und Deklination (aus dem topozentrischen äquatorialen Koordinatensystem) des umlaufenden Körpers aus den Beobachtungspunkten bestimmt werden über:

${\displaystyle \mathbf{{\hat{\rho}}_{n}} =\cos\delta_{n}\cos\alpha_{n}\\mathbf{\hat{I}} +\cos\ delta_{n}\sin\alpha_{n}\\mathbf{\hat{J}} +\sin\delta_{n}\\mathbf{\hat{K}}}$

wo,

• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\rho}}_{n}} }$ist der jeweilige Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors (vom Beobachtungspunkt zum umlaufenden Körper im Topozentrischen Äquatorialen Koordinatensystem)${\displaystyle \rho}$
• ${\displaystyle \delta_{n}}$ ist die jeweilige Deklination
• ${\displaystyle \alpha_{n}}$ ist die jeweilige Rektaszension

Algorithmus

Die anfängliche Ableitung beginnt mit der Vektoraddition, um den Positionsvektor des umkreisenden Körpers zu bestimmen. Dann wird basierend auf der Erhaltung des Drehimpulses und dem Keplerschen Bahnprinzip (das besagt, dass eine Bahn in einer zweidimensionalen Ebene im dreidimensionalen Raum liegt) eine Linearkombination der Positionsvektoren erstellt. Außerdem wird die Beziehung zwischen der Position eines Körpers und dem Geschwindigkeitsvektor durch Lagrange-Koeffizienten verwendet, was zur Verwendung dieser Koeffizienten führt. Dann wurden mit Vektormanipulation und Algebra die folgenden Gleichungen abgeleitet. Für eine detaillierte Herleitung siehe Curtis.

ANMERKUNG: Die Methode von Gauß ist eine vorläufige Bahnbestimmung, wobei der Schwerpunkt auf vorläufig liegt. Die Approximation der Lagrange-Koeffizienten und die Einschränkungen der erforderlichen Beobachtungsbedingungen (dh unbedeutende Krümmung des Bogens zwischen den Beobachtungen, siehe Gronchi für weitere Details) führt zu Ungenauigkeiten. Das Verfahren von Gauß kann jedoch verbessert werden, indem die Genauigkeit von Unterkomponenten erhöht wird, beispielsweise durch das Lösen der Kepler-Gleichung . Eine andere Möglichkeit, die Genauigkeit zu erhöhen, sind mehr Beobachtungen.

Schritt 1

Berechnen Sie Zeitintervalle, subtrahieren Sie die Zeiten zwischen den Beobachtungen:

${\displaystyle \tau_{1}=t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle \tau_{3}=t_{3}-t_{2}}$

${\displaystyle \tau =t_{3}-t_{1}}$

wo

• ${\displaystyle \tau_{n}}$ ist das Zeitintervall
• ${\displaystyle t_{n}}$ ist die jeweilige Beobachtungszeit

Schritt 2

Berechnen Sie Kreuzprodukte, nehmen Sie die Kreuzprodukte der Beobachtungseinheitsrichtung (Reihenfolge ist wichtig):

${\displaystyle \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho}}_{3}} }$

${\displaystyle \mathbf {p_{2}} =\mathbf {{\hat {\rho}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho}}_{3}} }$

${\displaystyle \mathbf {p_{3}} =\mathbf {{\hat {\rho}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho}}_{2}} }$

wo

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ist das Kreuzprodukt von Vektoren${\displaystyle \mathbf {a} {\text{ und }}\mathbf {b} }$
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}}}$ ist der jeweilige Kreuzproduktvektor
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\rho}}_{n}} }$ ist der jeweilige Einheitsvektor

Schritt 3

Berechnen Sie die gemeinsame Skalargröße (Skalartripelprodukt), nehmen Sie das Skalarprodukt des ersten Beobachtungseinheitsvektors mit dem Kreuzprodukt des zweiten und dritten Beobachtungseinheitsvektors:

${\displaystyle D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho}}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho}}_{1} } \cdot (\mathbf{{\hat{\rho}}_{2}} \times \mathbf{{\hat{\rho}}_{3}})}$

wo

• ${\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}$ist das Skalarprodukt von Vektoren${\displaystyle \mathbf {a} {\text{ und }}\mathbf {b} }$
• ${\displaystyle D_{0}}$ist das gemeinsame Skalar- Tripelprodukt
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}}}$ ist der jeweilige Kreuzproduktvektor
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\rho}}_{n}} }$ ist der jeweilige Einheitsvektor

Schritt 4

Berechnen Sie neun skalare Größen (ähnlich Schritt 3):

${\displaystyle D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf{R_{1}} \cdot\mathbf{p_{3}}}$

${\displaystyle D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf{R_{2}} \cdot\mathbf{p_{3}}}$

${\displaystyle D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf{R_{3}} \cdot \mathbf{p_{3}}}$

wo

• ${\displaystyle D_{mn}}$ sind die jeweiligen skalaren Größen
• ${\displaystyle \mathbf{R_{m}}}$ ist der jeweilige Beobachterpositionsvektor
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}}}$ ist der jeweilige Kreuzproduktvektor

Schritt 5

Berechnen Sie skalare Positionskoeffizienten:

${\displaystyle A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau_{1}}{\tau}}\right)}$

${\displaystyle B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau_{3}^{2}-\tau^{2}\right){\ frac {\tau_{3}}{\tau}}+D_{32}\left(\tau^{2}-\tau_{1}^{2}\right){\frac {\tau_{ 1}}{\tau}}\right]}$

${\displaystyle E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho}}_{2}} }$

wo

• ${\displaystyle A{\text{, }}B{\text{, und }}E}$ sind skalare Positionskoeffizienten
• ${\displaystyle D_{0}}$ ist die gemeinsame Skalargröße
• ${\displaystyle D_{mn}}$ sind die jeweiligen skalaren Größen
• ${\displaystyle \tau_{n}}$ ist das Zeitintervall
• ${\displaystyle R_{n}}$ ist der jeweilige Beobachterpositionsvektor
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\rho}}_{n}} }$ ist der jeweilige Einheitsvektor

Schritt 6

Berechnen Sie die quadrierte Skalardistanz der zweiten Beobachtung, indem Sie das Skalarprodukt des Positionsvektors der zweiten Beobachtung nehmen:

${\displaystyle {R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}} }$

wo

• ${\displaystyle {R_{2}}^{2}}$ ist die quadrierte Distanz der zweiten Beobachtung
• ${\displaystyle \mathbf{R_{2}}}$ ist der Ortsvektor der zweiten Beobachtung

Schritt 7

Berechnen Sie die Koeffizienten des skalaren Distanzpolynoms für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers:

${\displaystyle a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)}$

${\displaystyle b=-2\mu B(A+E)}$

${\displaystyle c=-\mu^{2}B^{2}}$

wo

• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, und }}c}$ sind Koeffizienten des skalaren Distanzpolynoms für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers
• ${\displaystyle A{\text{, }}B{\text{, und }}E}$ sind skalare Positionskoeffizienten
• ${\displaystyle\mu}$ist der Gravitationsparameter des Fokuskörpers des umlaufenden Körpers

Schritt 8

Bestimmen Sie die Wurzel des skalaren Distanzpolynoms für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers:

${\displaystyle {r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0}$

wo

• ${\displaystyle r_{2}}$ist der skalare Abstand für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers (er und sein Vektor, r ₂ , liegen im äquatorialen Koordinatensystem)
• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, und }}c}$ sind Koeffizienten wie zuvor angegeben

Um die Wurzel zu finden, können verschiedene Methoden verwendet werden, eine empfohlene Methode ist die Newton-Raphson-Methode . Die Wurzel muss physikalisch möglich sein (dh nicht negativ oder komplex) und wenn mehrere Wurzeln geeignet sind, muss jede bewertet und mit allen verfügbaren Daten verglichen werden, um ihre Gültigkeit zu bestätigen.

Schritt 9

Berechnen Sie die Neigungsreichweite , die Entfernung vom Beobachterpunkt zum umkreisenden Körper zu ihrer jeweiligen Zeit:

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{ \tau_{3}}}+D_{21}{\dfrac{\tau}{\tau_{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ links(\tau^{2}-{\tau_{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau_{1}}{\tau_{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu\left(\tau^{2}-{\tau_{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]}$

${\displaystyle \rho_{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}}$

${\displaystyle \rho_{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau_{3}}{ \tau_{1}}}-D_{23}{\dfrac {\tau}{\tau_{1}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{13}\ links(\tau^{2}-{\tau_{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau_{3}}{\tau_{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu\left(\tau^{2}-{\tau_{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]}$

wo

• ${\displaystyle \rho_{n}}$ist der jeweilige Neigungsbereich (er und sein Vektor, , liegen im topozentrischen äquatorialen Koordinatensystem)${\displaystyle\mathbf{\rho_{n}}}$
• ${\displaystyle D_{0}}$ ist die gemeinsame Skalargröße
• ${\displaystyle D_{mn}}$ sind die jeweiligen skalaren Größen
• ${\displaystyle \tau_{(n)}}$ ist das Zeitintervall
• ${\displaystyle r_{2}}$ ist der skalare Abstand für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers
• ${\displaystyle\mu}$ist der Gravitationsparameter des Fokuskörpers des umlaufenden Körpers

Schritt 10

Berechnen Sie die Positionsvektoren des umlaufenden Körpers, indem Sie den Beobachterpositionsvektor zum Neigungsrichtungsvektor addieren (der Neigungsabstand multipliziert mit dem Neigungsrichtungsvektor):

${\displaystyle \mathbf{r_{1}} =\mathbf{R_{1}} +\rho_{1}\mathbf {{\hat {\rho}}_{1}} }$

${\displaystyle \mathbf{r_{2}} =\mathbf{R_{2}} +\rho_{2}\mathbf {{\hat {\rho}}_{2}} }$

${\displaystyle \mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho_{3}\mathbf {{\hat {\rho}}_{3}} }$

wo

• ${\displaystyle\mathbf{r_{n}}}$ist der jeweilige Positionsvektor des umlaufenden Körpers (im äquatorialen Koordinatensystem )
• ${\displaystyle\mathbf{R_{n}}}$ ist der jeweilige Beobachterpositionsvektor
• ${\displaystyle \rho_{n}}$ist der jeweilige Neigungsbereich
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\rho}}_{n}} }$ ist der jeweilige Einheitsvektor

Schritt 11

Berechnen Sie die Lagrange-Koeffizienten:

${\displaystyle f_{1}\approx 1-{\frac{1}{2}}{\frac {\mu}{{r_{2}}^{3}}}{\tau_{1}}^ {2}}$

${\displaystyle f_{3}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu}{{r_{2}}^{3}}}{\tau_{3}}^ {2}}$

${\displaystyle g_{1}\approx \tau_{1}-{\frac{1}{6}}{\frac {\mu}{{r_{2}}^{3}}}{\tau_ {1}}^{3}}$

${\displaystyle g_{3}\approx \tau_{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu}{{r_{2}}^{3}}}{\tau_ {3}}^{3}}$

wo,

• ${\displaystyle f_{1}}$, , und sind die Lagrange-Koeffizienten (dies sind nur die ersten beiden Terme des Reihenausdrucks basierend auf der Annahme eines kleinen Zeitintervalls)${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle\mu}$ist der Gravitationsparameter des Fokuskörpers des umlaufenden Körpers
• ${\displaystyle r_{2}}$ ist der skalare Abstand für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers
• ${\displaystyle \tau_{(n)}}$ ist das Zeitintervall

Schritt 12

Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers:

${\displaystyle \mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf{r_{3}} \right)}$

wo

• ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$ist der Geschwindigkeitsvektor für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers (im äquatorialen Koordinatensystem )
• ${\displaystyle f_{1}}$, , und sind die Lagrange-Koeffizienten${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle\mathbf{r_{n}}}$ ist der jeweilige Positionsvektor des umlaufenden Körpers

Schritt 13

Die Bahnzustandsvektoren sind nun gefunden, der Positions- (r2) und der Geschwindigkeitsvektor (v2) für die zweite Beobachtung des umkreisenden Körpers. Mit diesen beiden Vektoren können die Bahnelemente gefunden und die Bahn bestimmt werden.

Siehe auch

• Eingeschriebener Winkelsatz und Dreipunktform für Ellipsen

Verweise

• Der, Gim J.. "Neue Winkel-only-Algorithmen für die Bestimmung der anfänglichen Umlaufbahn." Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). Drucken.