Gauss-Markov-Prozess - Gauss–Markov process
Stochastische Gauss-Markov-Prozesse (benannt nach Carl Friedrich Gauss und Andrey Markov ) sind stochastische Prozesse , die die Anforderungen sowohl an Gauss-Prozesse als auch an Markov-Prozesse erfüllen . Ein stationärer Gauss-Markov-Prozess ist bis auf eine Neuskalierung einzigartig; ein solches Verfahren ist auch als Ornstein-Uhlenbeck-Verfahren bekannt .
Grundeigenschaften
Jeder Gauss-Markov-Prozess X ( t ) besitzt die drei folgenden Eigenschaften:
- Wenn h ( t ) eine von Null verschiedene Skalarfunktion von t ist , dann ist Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) auch ein Gauss-Markov-Prozess
- Wenn f ( t ) eine nicht abnehmende Skalarfunktion von t ist , dann ist Z ( t ) = X ( f ( t )) auch ein Gauss-Markov-Prozess
- Wenn der Prozess nicht entartet und quadratisch-kontinuierlich ist, dann gibt es eine von Null verschiedene Skalarfunktion h ( t ) und eine streng ansteigende Skalarfunktion f ( t ) mit X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), wobei W ( t ) der Standard- Wiener-Prozess ist .
Eigenschaft (3) bedeutet, dass jeder nicht-entartete mittelquadratkontinuierliche Gauss-Markov-Prozess aus dem Standard-Wiener-Prozess (SWP) synthetisiert werden kann.
Andere Eigenschaften
Ein stationärer Gauss-Markov-Prozess mit Varianz und Zeitkonstante hat die folgenden Eigenschaften.
- Exponentielle Autokorrelation :
- Eine Power Spectral Density (PSD)-Funktion, die die gleiche Form wie die Cauchy-Verteilung hat :
- Das Obige ergibt die folgende spektrale Faktorisierung:
Es gibt auch einige triviale Ausnahmen zu all den oben genannten.