Allgemeine Topologie - General topology

Die Sinuskurve des Topologen , ein nützliches Beispiel in der Punktmengentopologie. Es ist verbunden, aber nicht pfadverbunden.

In der Mathematik ist die allgemeine Topologie der Zweig der Topologie , der sich mit den grundlegenden mengentheoretischen Definitionen und Konstruktionen befasst, die in der Topologie verwendet werden. Es ist die Grundlage der meisten anderen Zweige der Topologie, einschließlich der Differentialtopologie , der geometrischen Topologie und der algebraischen Topologie . Ein anderer Name für allgemeine Topologie ist Punktmengentopologie .

Die grundlegenden Konzepte der Punktmengentopologie sind Stetigkeit , Kompaktheit und Verbundenheit :

Die Begriffe „in der Nähe“, „beliebig klein“ und „weit auseinander“ können alle mit dem Konzept der offenen Mengen präzisiert werden . Wenn wir die Definition von 'offener Menge' ändern, ändern wir, was stetige Funktionen, kompakte Mengen und verbundene Mengen sind. Jede Definitionsauswahl für 'offene Menge' wird als Topologie bezeichnet . Eine Menge mit einer Topologie wird als topologischer Raum bezeichnet .

Metrische Räume sind eine wichtige Klasse topologischer Räume, in denen ein reeller, nicht negativer Abstand, auch Metrik genannt , an Punktpaaren in der Menge definiert werden kann. Eine Metrik vereinfacht viele Beweise, und viele der gebräuchlichsten topologischen Räume sind metrische Räume.

Geschichte

Die allgemeine Topologie entstand aus einer Reihe von Bereichen, vor allem den folgenden:

Die allgemeine Topologie hat um 1940 ihre heutige Form angenommen. Sie fängt sozusagen alles in der Intuition der Stetigkeit in technisch adäquater Form ein, die in jedem Bereich der Mathematik angewendet werden kann.

Eine Topologie auf einer Menge

Sei X eine Menge und τ eine Familie von Teilmengen von X . Dann heißt τ eine Topologie auf X, wenn:

  1. Sowohl die leere Menge als auch X sind Elemente von τ
  2. Jede Vereinigung von Elementen von τ ist ein Element von τ
  3. Jeder Durchschnitt endlich vieler Elemente von τ ist ein Element von τ

Ist τ eine Topologie auf X , dann heißt das Paar ( X , τ ) topologischer Raum . Die Notation X τ kann verwendet werden , um einen Satz zu bezeichnen X mit dem bestimmten Topologie dotiert τ .

Die Mitglieder von τ heißen offene Mengen in X . Eine Teilmenge von X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement in τ liegt (dh ihr Komplement ist offen). Eine Teilmenge von X kann offen, geschlossen, beides ( clopen set ) oder keines von beiden sein. Die leere Menge und X selbst sind immer sowohl geschlossen als auch offen.

Basis für eine Topologie

Eine Basis (oder Basis ) B für einen topologischen Raum X mit Topologie T ist eine Sammlung offener Mengen in T, so dass jede offene Menge in T als Vereinigung von Elementen von B geschrieben werden kann . Wir sagen , dass die Basis erzeugt die Topologie T . Basen sind nützlich, weil viele Eigenschaften von Topologien auf Aussagen über eine Basis reduziert werden können, die diese Topologie generiert – und weil viele Topologien am einfachsten in Bezug auf eine Basis definiert werden können, die sie generiert.

Unterraum und Quotient

Jeder Teilmenge eines topologischen Raums kann die Teilraumtopologie gegeben werden, in der die offenen Mengen die Schnittmengen der offenen Mengen des größeren Raums mit der Teilmenge sind. Für jede indizierte Familie topologischer Räume kann dem Produkt die Produkttopologie gegeben werden , die durch die inversen Bilder offener Mengen der Faktoren unter den Projektionsabbildungen erzeugt wird . Bei endlichen Produkten besteht eine Basis für die Produkttopologie beispielsweise aus allen Produkten offener Mengen. Für unendliche Produkte gibt es die zusätzliche Anforderung, dass in einer grundlegenden offenen Menge alle bis auf endlich viele ihrer Projektionen den gesamten Raum ausmachen.

Ein Quotientenraum ist wie folgt definiert: Wenn X ein topologischer Raum und Y eine Menge ist und wenn f  : XY eine surjektive Funktion ist , dann ist die Quotiententopologie auf Y die Sammlung von Teilmengen von Y mit offenen inversen Bildern unter f . Mit anderen Worten, die Quotiententopologie ist die feinste Topologie auf Y, für die f stetig ist. Ein gängiges Beispiel für eine Quotiententopologie ist die Definition einer Äquivalenzrelation auf dem topologischen Raum X . Die Abbildung f ist dann die natürliche Projektion auf die Menge der Äquivalenzklassen .

Beispiele für topologische Räume

Ein gegebener Satz kann viele verschiedene Topologien aufweisen. Wenn einer Menge eine andere Topologie gegeben wird, wird sie als anderer topologischer Raum betrachtet.

Diskrete und triviale Topologien

Jeder Menge kann die diskrete Topologie gegeben werden , in der jede Teilmenge offen ist. Die einzigen konvergenten Folgen oder Netze in dieser Topologie sind diejenigen, die schließlich konstant sind. Außerdem kann jeder Menge die triviale Topologie (auch indiskrete Topologie genannt) gegeben werden, in der nur die leere Menge und der gesamte Raum offen sind. Jede Folge und jedes Netz in dieser Topologie konvergiert gegen jeden Punkt des Raumes. Dieses Beispiel zeigt, dass in allgemeinen topologischen Räumen Grenzen von Folgen nicht eindeutig sein müssen. Allerdings müssen topologische Räume oft Hausdorff-Räume sein, in denen Grenzpunkte eindeutig sind.

Cofinite und cocountable Topologien

Jeder Menge kann die kofinite Topologie gegeben werden, in der die offenen Mengen die leere Menge sind und die Mengen, deren Komplement endlich ist. Dies ist die kleinste T 1 -Topologie auf einer unendlichen Menge.

Jeder Menge kann die mitzählbare Topologie gegeben werden , in der eine Menge als offen definiert wird, wenn sie entweder leer ist oder ihr Komplement abzählbar ist. Wenn die Menge unzählbar ist, dient diese Topologie in vielen Situationen als Gegenbeispiel.

Topologien auf den reellen und komplexen Zahlen

Es gibt viele Möglichkeiten, eine Topologie auf R , der Menge der reellen Zahlen, zu definieren . Die Standardtopologie auf R wird durch die offenen Intervalle erzeugt . Die Menge aller offenen Intervalle bildet eine Basis oder Basis für die Topologie, was bedeutet, dass jede offene Menge eine Vereinigung einiger Mengen von Mengen aus der Basis ist. Dies bedeutet insbesondere, dass eine Menge offen ist, wenn es um jeden Punkt in der Menge ein offenes Intervall mit einem Radius ungleich Null gibt. Allgemeiner kann man den euklidischen Räumen R n eine Topologie geben. In der üblichen Topologie auf R n sind die offenen Grundmengen die offenen Kugeln . In ähnlicher Weise haben C , die Menge der komplexen Zahlen , und C n eine Standardtopologie, in der die grundlegenden offenen Mengen offene Kugeln sind.

Der realen Leitung kann auch die untere Grenztopologie gegeben werden . Hier sind die grundlegenden offenen Mengen die halboffenen Intervalle [ a , b ). Diese Topologie auf R ist strenger als die oben definierte euklidische Topologie; eine Folge konvergiert in dieser Topologie genau dann gegen einen Punkt, wenn sie in der euklidischen Topologie von oben her konvergiert. Dieses Beispiel zeigt, dass auf einer Menge viele verschiedene Topologien definiert sein können.

Die metrische Topologie

Jedem metrischen Raum kann eine metrische Topologie gegeben werden, in der die offenen Grundmengen durch die Metrik definierte offene Kugeln sind. Dies ist die Standardtopologie in jedem normierten Vektorraum . Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ist diese Topologie für alle Normen gleich.

Weitere Beispiele

Kontinuierliche Funktionen

Kontinuität ist in Bezug auf den ausgedrückt Nachbarschaften : f zu einem bestimmten Zeitpunkt kontinuierlich ist x  ∈  X , wenn und nur wenn für jede Nachbarschaft V von f ( x ) , gibt es eine Umgebung U von x , so daß f ( U ) ⊆  V . Intuitiv Kontinuitätsmittel , egal wie „klein“ V wird, gibt es immer eine U enthält , x die innerhalb abbildet V und dessen Bild unter f enthält f ( x ) . Dies entspricht der Bedingung, dass die Urbilder der offenen (geschlossenen) Mengen in Y offen (geschlossen) in X sind . In metrischen Räumen entspricht diese Definition der in der Analysis häufig verwendeten ε–δ-Definition .

Ein extremes Beispiel: Wenn einer Menge X die diskrete Topologie gegeben ist , sind alle Funktionen

zu jedem topologischen Raum T sind stetig. Wenn X dagegen mit der indiskreten Topologie ausgestattet ist und der Raum T set mindestens T 0 ist , dann sind die einzigen stetigen Funktionen die konstanten Funktionen. Umgekehrt ist jede Funktion, deren Bereich indiskret ist, stetig.

Alternative Definitionen

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen für eine topologische Struktur und somit gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten, eine stetige Funktion zu definieren.

Nachbarschaftsdefinition

Definitionen, die auf Vorbildern basieren, sind oft schwer direkt zu verwenden. Das folgende Kriterium drückt Kontinuität hinsichtlich der Nachbarschaften : f ist kontinuierlich an einem bestimmten Punkt x  ∈  X , wenn und nur wenn für jede Nachbarschaft V von f ( x ), gibt es eine Umgebung U von x , so daß f ( U ) ⊆  V . Intuitiv bedeutet Stetigkeit, egal wie "klein" V wird, es gibt immer ein U, das x enthält , das in V abgebildet wird .

Wenn X und Y metrische Räume sind, ist es äquivalent, das Nachbarschaftssystem der offenen Kugeln mit den Mittelpunkten x und f ( x ) anstelle aller Nachbarschaften zu betrachten. Dies gibt die obige δ-ε-Definition der Stetigkeit im Kontext metrischer Räume zurück. In allgemeinen topologischen Räumen gibt es jedoch keinen Begriff von Nähe oder Entfernung.

Beachten Sie jedoch, dass , wenn der Zielraum ist Hausdorff , es ist immer noch wahr , dass f stetig auf ein , wenn und nur wenn der Grenzwert von f als x nähert sich a ist f ( a ). An einem isolierten Punkt ist jede Funktion stetig.

Sequenzen und Netze

In verschiedenen Kontexten wird die Topologie eines Raums zweckmäßigerweise in Form von Grenzpunkten angegeben . In vielen Fällen wird dies erreicht, indem angegeben wird, wann ein Punkt die Grenze einer Folge ist , aber für einige Räume, die in gewisser Weise zu groß sind, wird auch angegeben, wann ein Punkt die Grenze von allgemeineren Mengen von Punkten ist, die durch ein gerichtetes . indiziert sind Set , bekannt als Netze . Eine Funktion ist nur dann stetig, wenn sie Grenzen von Folgen zu Grenzen von Folgen führt. Im ersteren Fall genügt auch die Einhaltung von Grenzwerten; im letzteren Fall kann eine Funktion alle Grenzen von Folgen bewahren, aber dennoch nicht stetig sein, und die Erhaltung von Netzen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung.

Im Detail wird eine Funktion f : XY ist sequentiell kontinuierlicher wenn immer dann , wenn eine Folge ( x n ) in X konvergiert zu einer Grenze x , die Sequenz ( f ( x n )) konvergent zu f ( x ). Somit "erhalten sequentielle Grenzen" sequentiell kontinuierliche Funktionen. Jede stetige Funktion ist sequentiell stetig. Wenn X ein zuerst abzählbarer Raum ist und abzählbare Auswahl gilt, dann gilt auch das Umgekehrte: Jede Funktion, die sequentielle Grenzen erhält, ist stetig. Insbesondere wenn X ein metrischer Raum ist, sind sequentielle Stetigkeit und Stetigkeit äquivalent. Für nicht zuerst abzählbare Räume kann die sequentielle Stetigkeit strikt schwächer sein als die Stetigkeit. (Die Räume, für die die beiden Eigenschaften äquivalent sind, werden sequentielle Räume genannt .) Dies motiviert zur Betrachtung von Netzen anstelle von Folgen in allgemeinen topologischen Räumen. Stetige Funktionen bewahren die Grenzen von Netzen, und tatsächlich charakterisiert diese Eigenschaft stetige Funktionen.

Definition des Verschlussoperators

Anstatt die offenen Teilmengen eines topologischen Raums anzugeben, kann die Topologie auch durch einen Abschlussoperator (bezeichnet cl) bestimmt werden, der einer beliebigen Teilmenge AX seinen Abschluss zuweist , oder einen inneren Operator (bezeichnet int), der jedem Teilmenge A von X ihr Inneres . In diesen Begriffen ist eine Funktion

zwischen topologischen Räumen ist im obigen Sinne genau dann stetig, wenn für alle Teilmengen A von X

Das heißt, bei einem gegebenen Element x von X , das sich in der Abgeschlossenheit einer beliebigen Teilmenge A befindet , gehört f ( x ) zur Abgeschlossenheit von f ( A ). Dies entspricht der Forderung, dass für alle Teilmengen A ' von X '

Außerdem,

ist genau dann stetig, wenn

für jede Teilmenge A von X .

Eigenschaften

Sind f : XY und g : YZ stetig, dann ist auch die Zusammensetzung gf : XZ stetig . Falls f : XY stetig ist und

  • X ist kompakt , dann ist f ( X ) kompakt.
  • X ist verbunden , dann ist f ( X ) verbunden.
  • X ist pfadbezogen , dann ist f ( X ) pfadbezogen.
  • X ist Lindelöf , dann ist f ( X ) Lindelöf.
  • X ist trennbar , dann ist f ( X ) trennbar.

Die möglichen Topologien auf einer festen Menge X sind teilweise geordnet : Eine Topologie τ 1 heißt gröber als eine andere Topologie τ 2 (Notation: τ 1 ⊆ τ 2 ), wenn jede offene Teilmenge bezüglich τ 1 auch offen bezüglich . ist τ 2 . Dann die Identitätskarte

id X : ( X , 2 ) → ( X , τ 1 )

ist genau dann stetig, wenn τ 1 ⊆ τ 2 (siehe auch Topologievergleich ). Allgemeiner gesagt eine stetige Funktion

bleibt kontinuierlich, wenn die Topologie τ Y durch eine gröbere Topologie und/oder τ X durch eine feinere Topologie ersetzt wird .

Homöomorphismen

Symmetrisch zum Konzept einer kontinuierlichen Karte ist eine offene Karte , für die Bilder offener Mengen offen sind. Wenn eine offene Abbildung f eine Umkehrfunktion hat , ist diese Umkehrfunktion stetig, und wenn eine stetige Abbildung g eine Umkehrfunktion hat, ist diese Umkehrfunktion offen. Bei einer bijektiven Funktion f zwischen zwei topologischen Räumen muss die Umkehrfunktion f −1 nicht stetig sein. Eine bijektiv stetige Funktion mit stetiger Umkehrfunktion heißt Homöomorphismus .

Wenn ein kontinuierlicher bijection als hat Domäne einen kompakten Raum und seine codomain ist Hausdorff , dann ist es ein Homöomorphismus.

Topologien über stetige Funktionen definieren

Gegeben eine Funktion

wobei X ein topologischer Raum und S eine Menge (ohne spezifizierte Topologie) ist, die endgültige Topologie auf S wird dadurch definiert, dass die offenen Mengen von S diejenigen Teilmengen A von S sind, für die f −1 ( A ) offen in X . ist . Wenn S eine existierende Topologie hat, ist f bezüglich dieser Topologie genau dann stetig, wenn die existierende Topologie gröber ist als die endgültige Topologie auf S . Somit kann die endgültige Topologie als die feinste Topologie auf S charakterisiert werden , die f stetig macht . Wenn f ist surjektiv ist diese Topologie kanonisch mit dem identifizierten Quotiententopologie unter der Äquivalenzbeziehung definiert durch f .

Für eine Funktion f von einer Menge S zu einem topologischen Raum hat die Ausgangstopologie auf S als offene Teilmengen A von S diejenigen Teilmengen, für die f ( A ) in X offen ist . Wenn S eine existierende Topologie hat, ist f bezüglich dieser Topologie genau dann stetig, wenn die existierende Topologie feiner ist als die Ausgangstopologie auf S . Somit kann die Anfangstopologie als die gröbste Topologie auf S charakterisiert werden , die f stetig macht . Wenn f injektiv ist, wird diese Topologie kanonisch mit der Unterraumtopologie von S identifiziert , die als Teilmenge von X betrachtet wird .

Eine Topologie auf einer Menge S ist eindeutig durch die Klasse aller stetigen Funktionen in alle topologischen Räume X bestimmt . Dual kann eine ähnliche Idee auf Karten angewendet werden

Kompaktsets

Formal ein topologischer Raum X heißt kompakt , wenn jeder seiner offenen Abdeckungen einen hat finite subcover . Andernfalls wird es als nicht kompakt bezeichnet . Explizit bedeutet dies, dass für jede beliebige Sammlung

offener Teilmengen von X mit

es gibt eine endliche Teilmenge J von A mit

Einige Zweige der Mathematik wie die algebraische Geometrie , die typischerweise von der französischen Schule von Bourbaki beeinflusst werden , verwenden den Begriff quasi-kompakt für den allgemeinen Begriff und reservieren den Begriff kompakt für topologische Räume, die sowohl Hausdorff als auch quasi-kompakt sind . Eine kompakte Menge wird manchmal als Compactum , Plural Compacta bezeichnet .

Jedes abgeschlossene Intervall in R endlicher Länge ist kompakt . Mehr gilt: Im R n ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. (Siehe Heine-Borel-Theorem ).

Jedes kontinuierliche Bild eines kompakten Raums ist kompakt.

Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen.

Jede stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist notwendigerweise ein Homöomorphismus .

Jede Folge von Punkten in einem kompakten metrischen Raum hat eine konvergente Teilfolge.

Jede kompakte endlichdimensionale Mannigfaltigkeit kann in einen euklidischen Raum R n eingebettet werden .

Verbundene Sets

Ein topologischer Raum X heißt unverbunden, wenn er die Vereinigung zweier disjunkter nichtleerer offener Mengen ist . Andernfalls X wird gesagt werden , verbunden . Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt zusammenhängend, wenn sie unter ihrer Teilraumtopologie zusammenhängend ist . Einige Autoren schließen die leere Menge (mit ihrer einzigartigen Topologie) als zusammenhängenden Raum aus, aber dieser Artikel folgt dieser Praxis nicht.

Für einen topologischen Raum X sind folgende Bedingungen äquivalent:

  1. X ist verbunden.
  2. X kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen geteilt werden .
  3. Die einzigen Teilmengen von X , die sowohl offen als auch abgeschlossen sind ( clopen-Mengen ) sind X und die leere Menge.
  4. Die einzigen Teilmengen von X mit leerem Rand sind X und die leere Menge.
  5. X kann nicht als Vereinigung von zwei nichtleeren getrennten Mengen geschrieben werden .
  6. Die einzigen stetigen Funktionen von X bis {0,1}, dem Zweipunktraum mit der diskreten Topologie, sind konstant.

Jedes Intervall in R ist zusammenhängend .

Das kontinuierliche Bild eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend.

Angeschlossene Komponenten

Die maximalen zusammenhängenden Teilmengen (geordnet nach Inklusion ) eines nichtleeren topologischen Raums werden Zusammenhangskomponenten des Raums genannt. Die Komponenten eines beliebigen topologischen Raums X bilden eine Partition von  X : Sie sind disjunkt , nicht leer, und ihre Vereinigung ist der gesamte Raum. Jede Komponente ist eine abgeschlossene Teilmenge des ursprünglichen Raums. Daraus folgt, dass jede Komponente, falls ihre Zahl endlich ist, auch eine offene Teilmenge ist. Wenn ihre Zahl jedoch unendlich ist, ist dies möglicherweise nicht der Fall; die Zusammenhangskomponenten der Menge der rationalen Zahlen sind beispielsweise die Einpunktmengen, die nicht offen sind.

Sei die Zusammenhangskomponente von x in einem topologischen Raum X , und sei der Durchschnitt aller offen-abgeschlossenen Mengen, die x enthalten (genannt Quasikomponente von x .) Dann gilt, wenn X kompakt Hausdorff oder lokal zusammenhängend ist.

Getrennte Räume

Ein Raum, in dem alle Komponenten Einpunktmengen sind, heißt total unverbunden . Im Zusammenhang mit dieser Eigenschaft ist ein Raum X heißt vollständig getrennt , wenn für irgendwelche zwei verschiedene Elemente x und y von X existieren disjunkte offene Umgebungen U von x und V von y derart , dass X die Vereinigung ist , U und V . Natürlich ist jeder vollständig getrennte Raum vollständig getrennt, aber das Umgekehrte gilt nicht. Nehmen Sie zum Beispiel zwei Kopien der rationalen Zahlen Q und identifizieren Sie sie an jedem Punkt außer Null. Der resultierende Raum mit der Quotiententopologie ist völlig unverbunden. Betrachtet man jedoch die beiden Kopien von Null, sieht man, dass der Raum nicht vollständig getrennt ist. Tatsächlich ist es nicht einmal Hausdorff , und die Bedingung, völlig getrennt zu sein, ist strenger als die Bedingung, Hausdorff zu sein.

Pfadverbundene Sets

Dieser Unterraum von ist pfadbezogen, da zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum ein Pfad gezogen werden kann.

Ein Weg von einem Punkt x zu einem Punkt y in einem topologischen Raum X ist eine stetige Funktion f vom Einheitsintervall [0,1] nach X mit f (0) = x und f (1) = y . Eine Pfadkomponente von X ist eine Äquivalenzklasse von X unter der Äquivalenzrelation , die x äquivalent zu y macht , wenn es einen Pfad von x nach y gibt . Der Raum X heißt wegzusammenhängend (oder wegweise zusammenhängend oder 0-zusammenhängend ), wenn es höchstens eine Wegkomponente gibt, dh wenn es einen Weg gibt, der zwei beliebige Punkte in X verbindet . Auch hier schließen viele Autoren den leeren Raum aus.

Jeder weggebundene Raum ist zusammenhängend. Das Umgekehrte gilt nicht immer: Beispiele für zusammenhängende Räume, die nicht pfadbezogen sind, sind die verlängerte lange Gerade L * und die Sinuskurve des Topologen .

Teilmengen der reellen Linie R sind jedoch genau dann verbunden, wenn sie pfadzusammenhängend sind; diese Teilmengen sind die Intervalle von R . Außerdem sind offene Teilmengen von R n oder C n genau dann zusammenhängend, wenn sie pfadgebunden sind. Außerdem sind Verbundenheit und Pfadverbundenheit für endliche topologische Räume gleich .

Produkte von Räumen

Gegeben X so dass

das kartesische Produkt der topologischen Räume X i , indiziert durch , und der kanonischen Projektionen p i  : XX i ist , ist die Produkttopologie auf X definiert als die gröbste Topologie (dh die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), für die alle die Projektionen p i sind stetig . Die Produkttopologie wird manchmal auch als Tychonoff-Topologie bezeichnet .

Die offenen Mengen in der Produkttopologie sind Vereinigungen (endlich oder unendlich) von Mengen der Form , wobei jedes U i in X i offen ist und U i  ≠  X i nur endlich viele Male. Insbesondere für ein endliches Produkt (insbesondere für das Produkt zweier topologischer Räume) ergeben die Produkte der Basiselemente der X i eine Basis für das Produkt .

Die Produkttopologie auf X ist die Topologie, die durch Mengen der Form p i −1 ( U ) erzeugt wird, wobei i in I und U eine offene Teilmenge von X i ist . Mit anderen Worten, die Mengen { p i −1 ( U )} bilden eine Unterbasis für die Topologie auf X . Eine Teilmenge von X ist genau dann offen, wenn sie eine (möglicherweise unendliche) Vereinigung von Schnittmengen endlich vieler Mengen der Form p i −1 ( U ) ist. Die p i −1 ( U ) werden manchmal offene Zylinder genannt und ihre Schnittpunkte sind Zylindermengen .

Im Allgemeinen bildet das Produkt der Topologien jedes X i eine Basis für die sogenannte Boxtopologie auf X . Im Allgemeinen ist die Boxtopologie feiner als die Produkttopologie, aber bei endlichen Produkten stimmen sie überein.

Mit der Kompaktheit verwandt ist der Satz von Tychonoff : Das (beliebige) Produkt kompakter Räume ist kompakt.

Trennungsaxiome

Viele dieser Namen haben in einigen mathematischen Literaturen alternative Bedeutungen, wie in Geschichte der Trennungsaxiome erklärt ; zum Beispiel werden die Bedeutungen von "normal" und "T 4 " manchmal vertauscht, ähnlich "normal" und "T 3 " usw. Viele der Konzepte haben auch mehrere Namen; der zuerst aufgeführte ist jedoch immer am wenigsten mehrdeutig.

Die meisten dieser Axiome haben alternative Definitionen mit derselben Bedeutung; die hier gegebenen Definitionen fallen in ein konsistentes Muster, das die verschiedenen im vorigen Abschnitt definierten Begriffe der Trennung in Beziehung setzt. Weitere mögliche Definitionen finden Sie in den einzelnen Artikeln.

In allen folgenden Definitionen ist X wieder ein topologischer Raum .

  • X ist T 0 oder Kolmogorov , wenn irgendwelche zwei verschiedene Punkte in X sind topologisch unterscheidbar . (Es ist ein gemeinsames Thema unter den Trennungsaxiomen, eine Version eines Axioms zu haben, die T 0 erfordert, und eine Version, die dies nicht tut.)
  • X ist T 1 oder zugänglich oder Fréchet , wenn zwei unterschiedliche Punkte in X getrennt sind. Somit ist X genau dann T 1 , wenn es sowohl T 0 als auch R 0 ist . (Obwohl Sie solche Dinge wie T 1 -Raum , Fréchet-Topologie und Angenommen, der topologische Raum X sei Fréchet , sagen können, vermeiden Sie es in diesem Zusammenhang, den Fréchet-Raum zu sagen , da es in der Funktionalanalyse einen anderen völlig anderen Begriff des Fréchet-Raums gibt .)
  • X ist Hausdorff , oder T 2 oder getrennt , wenn zwei beliebige Punkte in X durch Nachbarschaften getrennt sind. Somit ist X Hausdorff genau dann, wenn es sowohl T 0 als auch R 1 ist . Ein Hausdorff-Raum muss auch T 1 sein .
  • X ist T oder Urysohn , wenn zwei beliebige Punkte in X durch geschlossene Umgebungen getrennt sind. AT Leerzeichen muss auch Hausdorff sein.
  • X ist regulär oder T 3 , wenn es T 0 ist und wenn ein Punkt x und eine abgeschlossene Menge F in X gegeben sind, so dass x nicht zu F gehört , werden sie durch Nachbarschaften getrennt. (Tatsächlich sind in einem regulären Raum solche x und F auch durch geschlossene Umgebungen getrennt.)
  • X ist Tychonoff , oder T , vollständig T 3 , oder vollständig regulär , falls es T 0 ist und wenn f, gegebener Punkt x und abgeschlossene Menge F in X so dass x nicht zu F gehört , werden sie durch eine stetige getrennt Funktion.
  • X ist normal oder T 4 , wenn es Hausdorff ist und wenn zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X durch Nachbarschaften getrennt sind. (Tatsächlich ist ein Raum genau dann normal, wenn zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen durch eine stetige Funktion getrennt werden können; dies ist das Lemma von Urysohn .)
  • X ist völlig normal oder T 5 oder vollständig T 4 , wenn es T 1 ist und wenn zwei beliebige getrennte Mengen durch Nachbarschaften getrennt sind. Ein ganz normaler Raum muss auch normal sein.
  • X ist vollkommen normal oder T 6 oder perfekt T 4 , wenn es T 1 ist und wenn zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen durch eine stetige Funktion genau getrennt sind. Ein ganz normaler Hausdorff-Raum muss auch ein ganz normaler Hausdorff-Raum sein.

Der Tietze-Erweiterungssatz : In einem normalen Raum kann jede auf einem abgeschlossenen Unterraum definierte stetige reellwertige Funktion zu einer auf dem ganzen Raum definierten stetigen Abbildung erweitert werden.

Abzählbarkeitsaxiome

Ein Abzählbarkeitsaxiom ist eine Eigenschaft bestimmter mathematischer Objekte (normalerweise in einer Kategorie ), die die Existenz einer abzählbaren Menge mit bestimmten Eigenschaften erfordert , während ohne sie solche Mengen möglicherweise nicht existieren.

Wichtige Abzählbarkeitsaxiome für topologische Räume :

Beziehungen:

  • Jeder erste zählbare Raum ist sequentiell.
  • Jeder zweitzählbare Raum ist erstzählbar, trennbar und Lindelöf.
  • Jeder σ-Kompaktraum ist Lindelöf.
  • Ein metrischer Raum ist zuerst abzählbar.
  • Für metrische Räume sind die zweite Abzählbarkeit, die Trennbarkeit und die Lindelöf-Eigenschaft alle gleichwertig.

Metrische Räume

Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar, wobei eine Menge und eine Metrik auf ist , dh eine Funktion

so dass für any gilt:

  1.     ( nicht negativ ),
  2. iff     ( Identität von Ununterscheidbaren ),
  3.     ( Symmetrie ) und
  4.     ( Dreiecksungleichung ).

Die Funktion wird auch Distanzfunktion oder einfach Distanz genannt . Oft wird weggelassen und man schreibt nur für einen metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, welche Metrik verwendet wird.

Jeder metrische Raum ist parakompakt und Hausdorff , also normal .

Die Metrisierungstheoreme liefern notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass eine Topologie aus einer Metrik hervorgeht.

Baire-Kategoriensatz

Der Kategoriensatz von Baire besagt: Wenn X ein vollständiger metrischer Raum oder ein lokal kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist das Innere jeder Vereinigung von abzählbar vielen nirgendwo dichten Mengen leer.

Jeder offene Unterraum eines Baire-Raums ist selbst ein Baire-Raum.

Forschungsschwerpunkte

Drei Iterationen einer Peano-Kurvenkonstruktion, deren Grenze eine raumfüllende Kurve ist. Die Peano-Kurve wird in der Kontinuumstheorie untersucht , einem Zweig der allgemeinen Topologie .

Kontinuumstheorie

Ein Kontinuum (pl Continua ) ist ein nichtleerer kompakter zusammenhängender metrischer Raum oder seltener ein kompakter zusammenhängender Hausdorff-Raum . Die Kontinuumstheorie ist der Zweig der Topologie, der sich dem Studium von Kontinua widmet. Diese Objekte treten häufig in fast allen Bereichen der Topologie und Analyse auf , und ihre Eigenschaften sind stark genug, um viele "geometrische" Merkmale zu ergeben.

Dynamische Systeme

Die topologische Dynamik betrifft das zeitliche Verhalten eines Raums und seiner Unterräume, wenn er einem kontinuierlichen Wandel unterworfen ist. Viele Beispiele mit Anwendungen in der Physik und anderen Bereichen der Mathematik umfassen Fluiddynamik , Billard und Strömungen auf Verteilern. Die topologischen Eigenschaften von Fraktalen in fraktaler Geometrie, von Julia-Mengen und der Mandelbrot-Menge, die in komplexer Dynamik entstehen , und von Attraktoren in Differentialgleichungen sind oft entscheidend für das Verständnis dieser Systeme.

Sinnlose Topologie

Die punktlose Topologie (auch punktfreie oder punktfreie Topologie genannt ) ist ein Ansatz für die Topologie , der die Erwähnung von Punkten vermeidet. Der Name „sinnlose Topologie“ geht auf John von Neumann zurück . Die Ideen der sinnlosen Topologie sind eng mit Mereotopologien verwandt , bei denen Regionen (Mengen) als grundlegend behandelt werden, ohne explizit auf darunterliegende Punktmengen Bezug zu nehmen.

Dimensionstheorie

Dimension Theorie ist ein Zweig der allgemeinen Topologie mit Umgang dimensionalen Invarianten von topologischen Räumen .

Topologische Algebren

Eine topologische Algebra A über einem topologischen Körper K ist ein topologischer Vektorraum zusammen mit einer stetigen Multiplikation

das macht es zu einer Algebra über K . Eine unitale assoziative topologische Algebra ist ein topologischer Ring .

Der Begriff wurde von David van Dantzig geprägt ; es erscheint im Titel seiner Dissertation (1931).

Metrisierbarkeitstheorie

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik ist ein metrisierbarer Raum ein topologischer Raum , der zu einem metrischen Raum homöomorph ist . Das heißt, ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik

so dass die Topologie durch induzierte d ist . Metrisierungssätze sind Sätze , die hinreichende Bedingungen dafür geben , dass ein topologischer Raum metrisierbar ist.

Mengentheoretische Topologie

Die mengentheoretische Topologie ist ein Fach, das Mengentheorie und allgemeine Topologie kombiniert. Es konzentriert sich auf topologische Fragen, die unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZFC) sind. Ein berühmtes Problem ist die normale Moore-Raumfrage , eine Frage in der allgemeinen Topologie, die Gegenstand intensiver Forschung war. Die Antwort auf die normale Moore-Raumfrage erwies sich schließlich als unabhängig von ZFC.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Einige Standardbücher zur allgemeinen Topologie umfassen:

Der arXiv- Betreffcode ist math.GN .

Externe Links