Verallgemeinerte Funktion - Generalized function

In der Mathematik sind verallgemeinerte Funktionen Objekte, die den Funktionsbegriff erweitern . Es gibt mehr als eine anerkannte Theorie, zum Beispiel die Theorie der Verteilungen . Verallgemeinerte Funktionen sind besonders nützlich, um diskontinuierliche Funktionen eher wie glatte Funktionen zu machen und diskrete physikalische Phänomene wie Punktladungen zu beschreiben . Sie werden ausgiebig angewendet, insbesondere in der Physik und Technik .

Ein gemeinsames Merkmal einiger Ansätze ist, dass sie auf Operatoraspekten alltäglicher numerischer Funktionen aufbauen . Die frühe Geschichte ist mit einigen Ideen zur Operationsrechnung verbunden , und aktuellere Entwicklungen in bestimmten Richtungen hängen eng mit den Ideen von Mikio Sato zusammen , was er algebraische Analyse nennt . Wichtige Einflüsse auf das Thema waren die technischen Anforderungen der Theorien der partiellen Differentialgleichungen und der Gruppendarstellungstheorie .

Einige frühe Geschichte

In der Mathematik des 19. Jahrhunderts tauchten Aspekte der verallgemeinerten Funktionstheorie auf, beispielsweise in der Definition der Greenschen Funktion , in der Laplace-Transformation und in Riemanns Theorie der trigonometrischen Reihen , die nicht unbedingt die Fourier-Reihen eines Integrierbaren waren Funktion . Dies waren zu dieser Zeit unzusammenhängende Aspekte der mathematischen Analyse .

Die intensive Verwendung der Laplace-Transformation in der Technik führte zur heuristischen Verwendung symbolischer Methoden, die als Operationsrechnung bezeichnet werden . Da Begründungen für die Verwendung unterschiedlicher Reihen gegeben wurden , hatten diese Methoden aus rein mathematischer Sicht einen schlechten Ruf . Sie sind typisch für die spätere Anwendung verallgemeinerter Funktionsmethoden. Ein einflussreiches Buch auf operatives Kalkül war Oliver Heaviside ‚s Theoretische Elektrotechnik 1899.

Als das Lebesgue-Integral eingeführt wurde, gab es zum ersten Mal einen Begriff der verallgemeinerten Funktion, der für die Mathematik von zentraler Bedeutung ist. Eine integrierbare Funktion entspricht in Lebesgues Theorie jeder anderen, die fast überall gleich ist . Das heißt, sein Wert an einem bestimmten Punkt ist (in gewissem Sinne) nicht das wichtigste Merkmal. In der Funktionsanalyse wird eine klare Formulierung des wesentlichen Merkmals einer integrierbaren Funktion gegeben, nämlich der Art und Weise, wie sie eine lineare Funktion für andere Funktionen definiert. Dies ermöglicht eine Definition einer schwachen Ableitung .

In den späten 1920er und 1930er Jahren wurden weitere Schritte unternommen, die für die künftige Arbeit von grundlegender Bedeutung sind. Die Dirac-Delta-Funktion wurde von Paul Dirac (ein Aspekt seines wissenschaftlichen Formalismus ) kühn definiert ; Dies diente dazu, Maßnahmen , die als Dichten (wie die Ladungsdichte ) angesehen wurden, wie echte Funktionen zu behandeln. Sergei Sobolev , der in der partiellen Differentialgleichungstheorie arbeitete , definierte die erste adäquate Theorie verallgemeinerter Funktionen aus mathematischer Sicht, um mit schwachen Lösungen partieller Differentialgleichungen zu arbeiten. Andere, die zu dieser Zeit verwandte Theorien vorschlugen, waren Salomon Bochner und Kurt Friedrichs . Sobolevs Arbeit wurde von Laurent Schwartz in erweiterter Form weiterentwickelt .

Schwartz-Distributionen

Die Verwirklichung eines solchen Konzepts, das für viele Zwecke als endgültig akzeptiert werden sollte, war die von Laurent Schwartz entwickelte Verteilungstheorie . Es kann als prinzipielle Theorie bezeichnet werden, die auf der Dualitätstheorie für topologische Vektorräume basiert . Sein Hauptkonkurrent in der angewandten Mathematik ist die Verwendung von Sequenzen glatter Näherungen (die Erklärung von ' James Lighthill '), die ad hoc ist . Dies tritt nun als Mollifier- Theorie in die Theorie ein.

Diese Theorie war sehr erfolgreich und wird immer noch häufig verwendet, leidet jedoch unter dem Hauptnachteil, dass sie nur lineare Operationen zulässt . Mit anderen Worten, Verteilungen können nicht multipliziert werden (außer in ganz besonderen Fällen): Im Gegensatz zu den meisten klassischen Funktionsräumen sind sie keine Algebra . Zum Beispiel ist es nicht sinnvoll, die Dirac-Delta-Funktion zu quadrieren . Die Arbeit von Schwartz aus der Zeit um 1954 zeigte, dass dies eine intrinsische Schwierigkeit war.

Einige Lösungen für das Multiplikationsproblem wurden vorgeschlagen. Eine basiert auf einer sehr einfachen und intuitiven Definition einer von Yu gegebenen verallgemeinerten Funktion. V. Egorov (siehe auch seinen Artikel in Demidovs Buch in der Buchliste unten), der willkürliche Operationen an und zwischen verallgemeinerten Funktionen ermöglicht.

Eine andere Lösung des Multiplikationsproblems wird durch die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik vorgegeben . Da dies der Schrödinger- Theorie der Quantenmechanik entsprechen muss, die bei Koordinatentransformationen unveränderlich ist, muss diese Eigenschaft von Pfadintegralen geteilt werden. Dies behebt alle Produkte verallgemeinerter Funktionen, wie von H. Kleinert und A. Chervyakov gezeigt. Das Ergebnis entspricht dem, was aus der dimensionalen Regularisierung abgeleitet werden kann .

Algebren verallgemeinerter Funktionen

Es wurden verschiedene Konstruktionen von Algebren mit verallgemeinerten Funktionen vorgeschlagen, unter anderem von Yu. M. Shirokov und die von E. Rosinger, Y. Egorov und R. Robinson. Im ersten Fall wird die Multiplikation mit einer gewissen Regularisierung der verallgemeinerten Funktion bestimmt. Im zweiten Fall wird die Algebra als Multiplikation von Verteilungen konstruiert . Beide Fälle werden unten diskutiert.

Nichtkommutative Algebra verallgemeinerter Funktionen

Die Algebra verallgemeinerter Funktionen kann mit einem geeigneten Verfahren zur Projektion einer Funktion auf ihre glatten und singulären Teile aufgebaut werden. Das Produkt verallgemeinerter Funktionen und erscheint als ${\ displaystyle F = F (x)}$ ${\ displaystyle F _ {\ rm {glatt}}}$ ${\ displaystyle F _ {\ rm {singular}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle FG ~ = ~ F _ {\ rm {glatt}} ~ G _ {\ rm {glatt}} ~ + ~ F _ {\ rm {glatt}} ~ G _ {\ rm {Singular}} ~ + F _ {\ rm {Singular}} ~ G _ {\ rm {glatt}}.}

( 1 )

Eine solche Regel gilt sowohl für den Raum der Hauptfunktionen als auch für den Raum der Operatoren, die auf den Raum der Hauptfunktionen einwirken. Die Assoziativität der Multiplikation wird erreicht; und das Funktionssignum ist so definiert, dass sein Quadrat überall Einheit ist (einschließlich des Ursprungs der Koordinaten). Beachten Sie, dass das Produkt einzelner Teile nicht auf der rechten Seite von ( 1 ) erscheint. insbesondere . Ein solcher Formalismus schließt als Sonderfall die konventionelle Theorie der verallgemeinerten Funktionen (ohne deren Produkt) ein. Die resultierende Algebra ist jedoch nicht kommutativ: verallgemeinerte Funktionen Signum und Delta Anticommute. Es wurden nur wenige Anwendungen der Algebra vorgeschlagen. ${\ displaystyle \ delta (x) ^ {2} = 0}$

Multiplikation von Verteilungen

Das Problem der Multiplikation von Verteilungen , eine Einschränkung der Schwartz-Verteilungstheorie, wird bei nichtlinearen Problemen ernst .

Heute werden verschiedene Ansätze verwendet. Die einfachste basiert auf der von Yu gegebenen Definition der verallgemeinerten Funktion. V. Egorov. Ein anderer Ansatz zur Konstruktion assoziativer Differentialalgebren basiert auf J.-F. Colombeaus Konstruktion: siehe Colombeau-Algebra . Dies sind Faktorräume

{\ displaystyle G = M / N}

von "moderaten" Modulo "vernachlässigbaren" Netzen von Funktionen, wobei "Mäßigkeit" und "Vernachlässigbarkeit" sich auf das Wachstum in Bezug auf den Index der Familie beziehen.

Beispiel: Colombeau-Algebra

Ein einfaches Beispiel wird unter Verwendung der Polynomskala auf N , . Dann ist für jede semi-normierte Algebra (E, P) der Faktorraum ${\ displaystyle s = \ {a_ {m}: \ mathbb {N} \ bis \ mathbb {R}, n \ mapsto n ^ {m}; ~ m \ in \ mathbb {Z} \}}$

{\ displaystyle G_ {s} (E, P) = {\ frac {\ {f \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ existiert m \ in \ mathbb {Z} : p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}} {\ {f \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ forall m \ in \ mathbb {Z}: p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}}}.}

Insbesondere für ( E , P ) = ( C , |. |) Erhält man (Colombeaus) verallgemeinerte komplexe Zahlen (die "unendlich groß" und "unendlich klein" sein können und dennoch strenge Arithmetik zulassen, die nicht standardmäßigen Zahlen sehr ähnlich ist ). Für ( E , P ) = ( C ^∞ ( R ), { p _k }) (wobei p _k das Supremum aller Ableitungen der Ordnung kleiner oder gleich k auf dem Ball mit dem Radius k ist ) erhält man Colombeaus vereinfachte Algebra .

Injektion von Schwartz-Verteilungen

Diese Algebra "enthält" alle Verteilungen T von D ' über die Injektion

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n + N ,

wobei ∗ die Faltungsoperation ist und

φ _n ( x ) = n φ ( nx ).

Diese Injektion ist nicht kanonisch in dem Sinne, dass sie von der Wahl des Weichmachers φ abhängt , der C ^∞ des Integrals Eins sein sollte und dessen Ableitungen bei 0 verschwinden. Um eine kanonische Injektion zu erhalten, kann der Indizierungssatz modifiziert werden , um N × D ( R ), mit einem geeigneten Filterbasis auf D ( R ) (Funktionen der verschwindenden Momente bis zur Ordnung q ).

Garbenstruktur

Wenn ( E , P ) eine (Vor-) Garbe von halbnormierten Algebren auf einem topologischen Raum X ist , dann hat auch G _s ( E , P ) diese Eigenschaft. Dies bedeutet, dass der Begriff der Beschränkung definiert wird, der es ermöglicht, die Unterstützung einer verallgemeinerten Funktion für eine Teilscheibe zu definieren , insbesondere:

Für die Teilscheibe {0} erhält man die übliche Unterstützung (Komplement der größten offenen Teilmenge, bei der die Funktion Null ist).
Für die Teilscheibe E (eingebettet unter Verwendung der kanonischen (konstanten) Injektion) erhält man die sogenannte singuläre Unterstützung , dh grob gesagt den Abschluss der Menge, bei der die verallgemeinerte Funktion keine glatte Funktion ist (für E = C ^∞ ) .

Mikrolokale Analyse

Die Fourier - Transformation (gut) zur kompakten Träger verallgemeinerten Funktionen (komponentenweisen) definiert ist , kann man die gleiche Konstruktion wie für Verteilungen anwenden und definiert Lars Hörmander ‚s vorderen Satz Welle für verallgemeinerten Funktionen auch.

Dies hat eine besonders wichtige Anwendung bei der Analyse der Ausbreitung von Singularitäten .

Andere Theorien

Dazu gehören: die Faltungsquotiententheorie von Jan Mikusinski , basierend auf dem Feld der Brüche von Faltungsalgebren , die integrale Domänen sind ; und die Theorien der Hyperfunktionen , die (in ihrer ursprünglichen Konzeption) auf Grenzwerten analytischer Funktionen basieren und nun die Garbentheorie verwenden .

Topologische Gruppen

Bruhat führte eine Klasse von Testfunktionen ein , die Schwartz-Bruhat-Funktionen, wie sie jetzt genannt werden, für eine Klasse lokal kompakter Gruppen , die über die Mannigfaltigkeiten hinausgeht , die die typischen Funktionsbereiche sind . Die Anwendungen liegen hauptsächlich in der Zahlentheorie , insbesondere für adelisch-algebraische Gruppen . André Weil hat Tates These in dieser Sprache umgeschrieben und die Zeta-Verteilung auf die Idele-Gruppe charakterisiert . und hat es auch auf die explizite Formel einer L-Funktion angewendet .

Verallgemeinerter Abschnitt

Eine weitere Möglichkeit, die Theorie zu erweitern, sind verallgemeinerte Abschnitte eines glatten Vektorbündels . Dies ist das Schwartz-Muster, bei dem Objekte doppelt zu den Testobjekten konstruiert werden, glatte Abschnitte eines Bündels, die eine kompakte Unterstützung haben . Die am weitesten entwickelte Theorie ist die der De-Rham-Ströme , duale bis differentielle Formen . Diese sind homologischer Natur, so dass unterschiedliche Formen zur De-Rham-Kohomologie führen . Sie können verwendet werden, um einen sehr allgemeinen Satz von Stokes zu formulieren .

Siehe auch

Bücher

L. Schwartz: Théorie des Distributionen
L. Schwartz: Sur l'impossibilité de la Multiplikation der Verteilungen. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 239 (1954) 847-848.
IM Gel'fand et al.: Generalized Functions, Bd. I - VI, Academic Press, 1964. (Übersetzt aus dem Russischen.)
L. Hörmander: Die Analyse linearer partieller Differentialoperatoren, Springer Verlag, 1983.
AS Demidov: Verallgemeinerte Funktionen in der mathematischen Physik: Hauptideen und Konzepte (Nova Science Publishers, Huntington, 2001). Mit einem Zusatz von Yu. V. Egorov .
M. Oberguggenberger: Multiplikation von Verteilungen und Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen (Longman, Harlow, 1992).
Oberguggenberger, M. (2001). "Verallgemeinerte Funktionen in nichtlinearen Modellen - eine Umfrage". Nichtlineare Analyse . 47 (8): 5029–5040. doi : 10.1016 / s0362-546x (01) 00614-9 .
J.-F. Colombeau : Neue verallgemeinerte Funktionen und Multiplikation von Verteilungen, Nordholland, 1983.
M. Grosser et al.: Geometrische Theorie verallgemeinerter Funktionen mit Anwendungen auf die allgemeine Relativitätstheorie, Kluwer Academic Publishers, 2001.
H. Kleinert , Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik, Polymerphysik und Finanzmärkten , 4. Auflage, World Scientific (Singapur, 2006) ( hier online ). In Kapitel 11 finden Sie Produkte mit verallgemeinerten Funktionen.

Verweise

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