Verallgemeinerter Mittelwert - Generalized mean

In der Mathematik sind verallgemeinerte Mittelwerte (oder Potenzmittel oder Hölder-Mittel von Otto Hölder ) eine Familie von Funktionen zum Aggregieren von Zahlenmengen. Dazu zählen als Sonderfälle die pythagoräischen Mittel ( arithmetische , geometrische und harmonische Mittel ).

Definition

Wenn p eine reelle Zahl ungleich Null ist und positive reelle Zahlen sind, dann ist der verallgemeinerte Mittelwert oder Potenzmittel mit dem Exponenten p dieser positiven reellen Zahlen: ${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i }^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

(Siehe p- Norm ). Für p = 0 setzen wir es gleich dem geometrischen Mittel (das ist die Grenze der Mittelwerte mit Exponenten nahe Null, wie unten gezeigt):

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}}}$$

Weiterhin definieren wir für eine Folge positiver Gewichte w _i mit Summe das gewichtete Potenzmittel als: ${\displaystyle \textstyle {\sum _{i}w_{i}=1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})&=\left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{ i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\prod_{i=1} ^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{ausgerichtet}}}$$

Die ungewichteten Mittelwerte entsprechen der Einstellung aller w _i = 1/ n .

Sonderfälle

Eine visuelle Darstellung einiger der angegebenen Fälle für n = 2 mit a = x ₁ = M _∞ und b = x ₂ = M _−∞ :

  harmonisches Mittel, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  geometrisches Mittel, G = M ₀ ( a , b )

  arithmetisches Mittel, A = M ₁ ( a , b )

  quadratischer Mittelwert, Q = M ₂ ( a , b )

Einige besondere Werte von p ergeben Sonderfälle mit eigenem Namen:

${\displaystyle M_{-\infty}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim_{p\to -\infty}M_{p}(x_{1},\dots,x_{ n})=\min\{x_{1},\dots,x_{n}\}}$	Minimum
${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {n}{{\frac{1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$	harmonische Mittel
${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim_{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})= {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$	geometrisches Mittel
${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$	arithmetisches Mittel
${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}} {n}}}}$	quadratischer Mittelwert oder quadratischer Mittelwert
${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n} ^{3}}{n}}}}$	Kubikmittel
${\displaystyle M_{+\infty}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim_{p\to\infty}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n })=\max\{x_{1},\dots,x_{n}\}}$	maximal

Beweis von (geometrischem Mittel) Wir können die Definition von M _p mit der Exponentialfunktion umschreiben${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_ {i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i =1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

Im Grenzfall p → 0 können wir die Regel von L'Hôpital auf das Argument der Exponentialfunktion anwenden . Differenzieren von Zähler und Nenner nach p , so gilt

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{ p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^ {p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _ {p\to 0}{\frac {\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum_{j= 1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i }}}{\lim_{p\to 0}\sum_{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right )^{p}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i =1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{ausgerichtet}}}$$

Durch die Stetigkeit der Exponentialfunktion können wir in die obige Beziehung zurücksetzen, um

$${\displaystyle \lim_{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod_{i=1 }^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_ {0}(x_{1},\dots,x_{n})}$$

wie gewünscht.

Nachweis und${\displaystyle \textstyle \lim_{p\to\infty}M_{p}=M_{\infty}}$${\displaystyle \textstyle \lim_{p\to -\infty}M_{p}=M_{-\infty}}$  —

Angenommen (möglicherweise nach Umbenennung und Kombination von Begriffen), dass . Dann ${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\lim_{p\to\infty}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})&=\lim_{p\to\infty}\ left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty}\left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right )^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty}(x_{1},\dots,x_{n}).\end{aligned}}}$$

Die Formel für folgt aus${\displaystyle M_{-\infty}}$${\displaystyle M_{-\infty}(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty}(1/x_{1},\dots,1/x_ {n})}}.}$

Eigenschaften

Sei eine Folge positiver reeller Zahlen, dann gelten folgende Eigenschaften: ${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})\leq \max(x_{1},\ Punkte ,x_{n})}$.
   Jeder verallgemeinerte Mittelwert liegt immer zwischen dem kleinsten und größten der x- Werte.
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots,x_{n}))}$, wobei ein Permutationsoperator ist.${\displaystyle P}$
   Jeder verallgemeinerte Mittelwert ist eine symmetrische Funktion seiner Argumente; die Vertauschung der Argumente eines verallgemeinerten Mittelwerts ändert seinen Wert nicht.
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})}$.
   Wie die meisten Mittel , ist die verallgemeinerte Mittelwert eine homogene Funktion ihrer Argumente x ₁ , ..., x _n . Das heißt, wenn b eine positive reelle Zahl ist, dann ist der verallgemeinerte Mittelwert mit dem Exponenten p der Zahlen gleich b mal dem verallgemeinerten Mittelwert der Zahlen x ₁ , ..., x _n .${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots,x_{k}) ,M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots , x_{n\cdot k})\right]}$.
   Wie bei den quasi-arithmetischen Mittelwerten kann die Berechnung des Mittelwerts in Berechnungen von gleich großen Unterblöcken aufgeteilt werden. Dies ermöglicht die Verwendung eines Divide-and-Conquer-Algorithmus , um die Mittelwerte zu berechnen, wenn dies erwünscht ist.

Verallgemeinerte mittlere Ungleichung

Geometric Nachweis ohne Worte , dass max  ( a , b ) > Root Mean Square ( RMS ) bzw. quadratische Mittel ( QM ) > arithmetische Mittel ( AM ) > geometrische Mittel ( GM ) > harmonische Mittel ( HM ) > min  ( a , b ) von zwei positive Zahlen a und b

Im Allgemeinen gilt, wenn p  <  q , dann

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots,x_{n})}$$

und die beiden Mittelwerte sind genau dann gleich, wenn x ₁  =  x ₂  = ... =  x _n .

Die Ungleichung gilt für reelle Werte von p und q sowie für positive und negative unendliche Werte.

Es ergibt sich aus der Tatsache , dass für alle reellen p ,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})\geq 0}$$

was mit der Jensenschen Ungleichung bewiesen werden kann .

Insbesondere für p in {−1, 0, 1} impliziert die verallgemeinerte mittlere Ungleichung die pythagoreische Mittelungleichung sowie die Ungleichung der arithmetischen und geometrischen Mittelwerte .

Machtbeweis bedeutet Ungleichheit

Wir beweisen gewichtete Potenz bedeutet Ungleichung, zum Zwecke des Beweises nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes an:

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

Der Beweis für ungewichtete Potenzmittel ist leicht durch Einsetzen von w _i = 1/ n zu erhalten .

Äquivalenz von Ungleichungen zwischen Mitteln mit entgegengesetzten Vorzeichen

Angenommen, ein Mittelwert zwischen Potenzmittelwerten mit den Exponenten p und q gilt:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\geq {\sqrt[{q}]{\ Summe _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

dies anwenden, dann:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\geq {\ sqrt[{q}]{\sum_{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$$

Wir heben beide Seiten hoch −1 (streng fallende Funktion in positiven reellen Zahlen):

$${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{ \frac {1}{\sum_{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\leq {\sqrt[{q }]{\frac {1}{\sum_{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[ {-q}]{\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$$

Wir erhalten die Ungleichung für Mittelwerte mit den Exponenten −p und −q , und wir können die gleiche Argumentation rückwärts verwenden, wodurch die Ungleichung als äquivalent bewiesen wird, was in einigen der späteren Beweise verwendet wird.

Geometrisches Mittel

Für jedes q > 0 und nicht negative Gewichte, die sich zu 1 summieren, gilt die folgende Ungleichung:

$${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod_{i=1} ^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q} }}.}$$

Der Beweis folgt aus der Jensenschen Ungleichung unter Ausnutzung der Tatsache, dass der Logarithmus konkav ist:

$${\displaystyle \log \prod_{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i }\leq\log\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Indem wir die Exponentialfunktion auf beide Seiten anwenden und beobachten, dass sie als streng steigende Funktion das Vorzeichen der Ungleichung beibehält, erhalten wir

$${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Nehmen wir q- te Potenzen von x _i , sind wir für die Ungleichung mit positivem q fertig ; der Fall für Negative ist identisch.

Ungleichung zwischen zwei beliebigen Potenzen bedeutet

Wir müssen beweisen, dass für jedes p < q die folgende Ungleichung gilt:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\ Summe _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

wenn p negativ und q positiv ist, ist die Ungleichung äquivalent zu der oben bewiesenen:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod_{i=1}^{ n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}} }$$

Der Beweis für positives p und q lautet wie folgt: Definiere folgende Funktion: f  : R ₊ → R ₊ . f ist eine Potenzfunktion, hat also eine zweite Ableitung: ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$

$${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

die im Bereich von f streng positiv ist , da q > p , also wissen wir, dass f konvex ist.

Mit dieser und der Jensen-Ungleichung erhalten wir:

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}f\left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1 }^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]{\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^ {n}w_{i}x_{i}^{p}}}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{ausgerichtet}} }$$

nach Potenzierung beider Seiten mit 1/ q (eine wachsende Funktion, da 1/ q positiv ist) erhalten wir die zu beweisende Ungleichung:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\ Summe _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

Mit der zuvor gezeigten Äquivalenz können wir die Ungleichung für negative p und q beweisen, indem wir sie durch −q bzw. −p ersetzen .

Verallgemeinerter f -Mittelwert

Das Potenzmittel könnte weiter zum verallgemeinerten f- Mittel verallgemeinert werden :

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i= 1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

Dies deckt den geometrischen Mittelwert ohne Verwendung eines Grenzwerts mit f ( x ) = log( x ) ab . Das Leistungsmittel wird erhalten f ( x ) = x ^p .

Anwendungen

Signalverarbeitung

Ein Leistungsmittelwert dient einem nichtlinearen gleitenden Durchschnitt, der für kleine p in Richtung kleiner Signalwerte verschoben wird und große Signalwerte für große p betont . Gegeben eine effiziente Implementierung eines sich bewegenden arithmetische Mittel genannt smoothkann man nach dem folgenden eine bewegende Kraft mittleren implementieren Haskell - Code.

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• Für großes p kann es als Hüllkurvendetektor für ein gleichgerichtetes Signal dienen.
• Für kleine p kann es als Basisliniendetektor in einem Massenspektrum dienen .

Siehe auch

• Arithmetisch-geometrisches Mittel
• Durchschnitt
• Heronisch bedeutet
• Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mitteln
• Lehmer-Mittelwert – auch ein Mittelwert im Zusammenhang mit Potenzen
• Minkowski-Distanz
• Quasiarithmetisches Mittel – ein anderer Name für das oben erwähnte verallgemeinerte f-Mittel
• Quadratischer Mittelwert

Anmerkungen

Referenzen und weiterführende Literatur

• PS Bullen: Handbuch der Mittel und ihrer Ungleichungen . Dordrecht, Niederlande: Kluwer, 2003, Kapitel III (The Power Means), S. 175-265

Externe Links

• Macht bedeuten bei MathWorld
• Beispiele für verallgemeinerte Mittelwerte
• Ein Beweis des verallgemeinerten Mittelwerts auf PlanetMath