Geometrisches Mittel - Geometric mean

Beispiel für den geometrischen Mittelwert: (rot) ist der geometrische Mittelwert von und , in einem Beispiel, in dem das Liniensegment als Senkrechte zu angegeben wird , Animation am Ende 10 s Pause.

In der Mathematik ist der geometrische Mittelwert ein Mittelwert oder Durchschnitt , der die zentrale Tendenz oder den typischen Wert einer Reihe von Zahlen angibt, indem das Produkt ihrer Werte verwendet wird (im Gegensatz zum arithmetischen Mittel , das ihre Summe verwendet). Das geometrische Mittel ist definiert als die n- te Wurzel des Produkts von n Zahlen, dh für eine Menge von Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n ist das geometrische Mittel definiert als

Zum Beispiel ist das geometrische Mittel zweier Zahlen, sagen wir 2 und 8, nur die Quadratwurzel ihres Produkts, also . Als weiteres Beispiel ist das geometrische Mittel der drei Zahlen 4, 1 und 1/32 die Kubikwurzel ihres Produkts (1/8), also 1/2, also . Das geometrische Mittel gilt nur für positive Zahlen.

Das geometrische Mittel wird häufig für eine Reihe von Zahlen verwendet, deren Werte miteinander multipliziert werden sollen oder exponentieller Natur sind, z. B. eine Reihe von Wachstumszahlen: Werte der menschlichen Bevölkerung oder Zinssätze einer Finanzanlage im Zeitverlauf.

Das geometrische Mittel kann in Bezug auf die Geometrie verstanden werden . Das geometrische Mittel zweier Zahlen und ist die Länge einer Seite eines Quadrats, dessen Fläche gleich der Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen und ist . In ähnlicher Weise ist das geometrische Mittel von drei Zahlen, , , und , die Länge einer Kante eines Würfels, dessen Volumen das gleiche ist wie das eines Quaders, dessen Seitenlängen gleich den drei gegebenen Zahlen sind.

Das geometrische Mittel ist neben dem arithmetischen Mittel und dem harmonischen Mittel eines der drei klassischen pythagoräischen Mittel . Für alle positiven Datensätze, die mindestens ein Paar ungleicher Werte enthalten, ist das harmonische Mittel immer das kleinste der drei Mittel, während das arithmetische Mittel immer das größte der drei ist und das geometrische Mittel immer dazwischen liegt (siehe Ungleichung der Arithmetik und geometrische Mittel .)

Berechnung

Das geometrische Mittel eines Datensatzes ist gegeben durch:

Die obige Abbildung verwendet die Großbuchstaben-Pi-Notation , um eine Reihe von Multiplikationen darzustellen. Jede Seite der Gleichheitszeichen zeigen , dass ein Satz von Werten in Folge multipliziert wird (die Anzahl der Werte wird durch „n“ dargestellt) insgesamt geben Produkt des Satzes, und dann die n - te Wurzel des Gesamtproduktes wird getroffen Geben Sie das geometrische Mittel der ursprünglichen Menge an. Zum Beispiel wird in einer Reihe von vier Zahlen , das Produkt der IS und das geometrische Mittel ist die vierte Wurzel von 24 oder ~ 2.213. Der Exponent auf der linken Seite entspricht dem Ziehen der n- ten Wurzel. Zum Beispiel .

Iterativ bedeutet

Das geometrische Mittel eines Datensatzes ist kleiner als das arithmetische Mittel des Datensatzes, es sei denn, alle Elemente des Datensatzes sind gleich. In diesem Fall sind das geometrische und das arithmetische Mittel gleich. Dies ermöglicht die Definition des arithmetisch-geometrischen Mittels , eines Schnittpunkts der beiden, der immer dazwischen liegt.

Das geometrische Mittel ist auch das arithmetisch-harmonische Mittel in dem Sinne, dass wenn zwei Folgen ( ) und ( ) definiert sind:

und

wo ist das harmonische Mittel der vorherigen Werte der beiden Folgen, dann und konvergiert gegen das geometrische Mittel von und .

Dies ist leicht daran zu erkennen, dass die Folgen gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergieren (was durch den Satz von Bolzano-Weierstrass gezeigt werden kann ) und die Tatsache, dass das geometrische Mittel erhalten bleibt:

Das Ersetzen des arithmetischen und harmonischen Mittels durch ein Paar verallgemeinerter Mittelwerte entgegengesetzter endlicher Exponenten führt zum gleichen Ergebnis.

Zusammenhang mit Logarithmen

Das geometrische Mittel kann auch als Exponential des arithmetischen Mittels von Logarithmen ausgedrückt werden. Durch die Verwendung logarithmischer Identitäten zur Transformation der Formel können die Multiplikationen als Summe und die Potenz als Multiplikation ausgedrückt werden:

Wann

zusätzlich, wenn negative Werte von zulässig sind,

wobei m die Anzahl der negativen Zahlen ist.

Dies wird manchmal als logarithmischer Durchschnitt bezeichnet (nicht zu verwechseln mit dem logarithmischen Durchschnitt ). Es berechnet einfach den arithmetischen Mittelwert der logarithmisch-transformierten Werte von (dh den arithmetischen Mittelwert auf der logarithmischen Skala) und verwendet dann die Exponentiation, um die Berechnung auf die ursprüngliche Skala zurückzuführen, dh es ist der verallgemeinerte f-Mittelwert mit . Das geometrische Mittel von 2 und 8 kann beispielsweise wie folgt berechnet werden, wobei eine beliebige Basis eines Logarithmus (üblicherweise 2 oder 10) ist:

In Verbindung mit dem Obigen ist ersichtlich, dass für eine gegebene Stichprobe von Punkten das geometrische Mittel der Minimierer von ist

,

während das arithmetische Mittel der Minimierer von ist

.

Somit liefert das geometrische Mittel eine Zusammenfassung der Stichproben, deren Exponent am besten mit den Exponenten der Stichproben übereinstimmt (im Sinne der kleinsten Quadrate).

Die logarithmische Form des geometrischen Mittels ist im Allgemeinen die bevorzugte Alternative für die Implementierung in Computersprachen, da die Berechnung des Produkts vieler Zahlen zu einem arithmetischen Überlauf oder arithmetischen Unterlauf führen kann . Dies ist bei der Summe der Logarithmen für jede Zahl weniger wahrscheinlich.

Vergleich zum arithmetischen Mittel

Beweis ohne Worte der Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mitteln :
PR ist ein Durchmesser eines Kreises, der auf O zentriert ist; sein Radius AO ist das arithmetische Mittel von a und b . Unter Verwendung des geometrischen Mittels Satz , Dreieck PGR der Höhe GQ ist die geometrische Mittel . Für jedes Verhältnis a : b , AO ≥ GQ.
Geometric Nachweis ohne Worte , dass max  ( a , b ) > Root Mean Square ( RMS ) bzw. quadratische Mittel ( QM ) > arithmetische Mittel ( AM ) > geometrische Mittel ( GM ) > harmonische Mittel ( HM ) > min  ( a , b ) von zwei positive Zahlen a und b

Das geometrische Mittel eines nicht leeren Datensatzes von (positiven) Zahlen ist immer höchstens deren arithmetisches Mittel. Gleichheit wird nur erreicht, wenn alle Zahlen im Datensatz gleich sind; andernfalls ist das geometrische Mittel kleiner. Das geometrische Mittel von 242 und 288 ist beispielsweise gleich 264, während ihr arithmetisches Mittel 265 beträgt. Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn eine Menge nicht identischer Zahlen einer mittelerhaltenden Streuung unterworfen wird, d. h. die Elemente der werden mehr voneinander "gespreizt", während das arithmetische Mittel unverändert bleibt - ihr geometrisches Mittel nimmt ab.

Durchschnittliche Wachstumsrate

In vielen Fällen ist das geometrische Mittel das beste Maß, um die durchschnittliche Wachstumsrate einer bestimmten Größe zu bestimmen. (Wenn der Umsatz beispielsweise in einem Jahr um 80 % und im nächsten Jahr um 25 % steigt, entspricht das Endergebnis einer konstanten Wachstumsrate von 50 %, da das geometrische Mittel von 1,80 und 1,25 1,50 beträgt.) Um die durchschnittliche Wachstumsrate zu bestimmen, ist es nicht notwendig, bei jedem Schritt das Produkt der gemessenen Wachstumsraten zu nehmen. Die Größe sei als Sequenz angegeben , wobei die Anzahl der Schritte vom Anfangs- zum Endzustand ist. Die Wachstumsrate zwischen aufeinanderfolgenden Messungen und beträgt . Das geometrische Mittel dieser Wachstumsraten beträgt dann nur:

Anwendung auf normierte Werte

Die grundlegende Eigenschaft des geometrischen Mittels, das nicht für andere bedeutet halten ist, dass für die beiden Sequenzen und der gleichen Länge,

Dies macht das geometrische Mittel zum einzig richtigen Mittel, wenn normalisierte Ergebnisse gemittelt werden ; dh Ergebnisse, die als Verhältnis zu Referenzwerten dargestellt werden. Dies ist der Fall, wenn die Computerleistung in Bezug auf einen Referenzcomputer dargestellt wird oder wenn ein einzelner Durchschnittsindex aus mehreren heterogenen Quellen berechnet wird (z. B. Lebenserwartung, Bildungsjahre und Kindersterblichkeit). In diesem Szenario würde die Verwendung des arithmetischen oder harmonischen Mittels die Rangfolge der Ergebnisse ändern, je nachdem, was als Referenz verwendet wird. Nehmen Sie zum Beispiel den folgenden Vergleich der Ausführungszeit von Computerprogrammen:

  Computer A Computer B Computer C
Programm 1 1 10 20
Programm 2 1000 100 20
Arithmetisches Mittel 500.5 55 20
Geometrisches Mittel 31.622 . . . 31.622 . . . 20
Harmonische Mittel 1.998 . . . 18.182 . . . 20

Die arithmetischen und geometrischen Mittel "stimmen zu", dass Computer C der schnellste ist. Durch die Darstellung entsprechend normalisierter Werte und die Verwendung des arithmetischen Mittels können wir jedoch zeigen, dass einer der beiden anderen Computer der schnellste ist. Die Normalisierung mit dem Ergebnis von A ergibt A als den schnellsten Rechner nach dem arithmetischen Mittel:

  Computer A Computer B Computer C
Programm 1 1 10 20
Programm 2 1 0,1 0,02
Arithmetisches Mittel 1 5,05 10.01
Geometrisches Mittel 1 1 0,632 . . .
Harmonische Mittel 1 0,198 . . . 0,039 . . .

während die Normalisierung mit dem Ergebnis von B B als den schnellsten Computer nach dem arithmetischen Mittel ergibt, aber A als den schnellsten nach dem harmonischen Mittel:

  Computer A Computer B Computer C
Programm 1 0,1 1 2
Programm 2 10 1 0,2
Arithmetisches Mittel 5,05 1 1.1
Geometrisches Mittel 1 1 0,632
Harmonische Mittel 0,198 . . . 1 0,363 . . .

und Normalisieren mit dem Ergebnis von C ergibt C als den schnellsten Rechner nach dem arithmetischen Mittel, aber A als den schnellsten nach dem harmonischen Mittel:

  Computer A Computer B Computer C
Programm 1 0,05 0,5 1
Programm 2 50 5 1
Arithmetisches Mittel 25.025 2,75 1
Geometrisches Mittel 1.581 . . . 1.581 . . . 1
Harmonische Mittel 0,099 . . . 0,909 . . . 1

In allen Fällen bleibt die durch das geometrische Mittel gegebene Rangfolge die gleiche wie bei nicht normierten Werten.

Diese Argumentation wurde jedoch in Frage gestellt. Konsistente Ergebnisse zu liefern ist nicht immer gleichbedeutend mit korrekten Ergebnissen. Im Allgemeinen ist es rigoroser, jedem der Programme Gewichte zuzuweisen, die durchschnittliche gewichtete Ausführungszeit (unter Verwendung des arithmetischen Mittels) zu berechnen und dieses Ergebnis dann auf einen der Computer zu normalisieren. Die drei obigen Tabellen geben nur jedem der Programme eine unterschiedliche Gewichtung und erklären die inkonsistenten Ergebnisse der arithmetischen und harmonischen Mittel (die erste Tabelle gibt beiden Programmen das gleiche Gewicht, die zweite gibt dem zweiten Programm eine Gewichtung von 1/1000, und das dritte gibt dem zweiten Programm ein Gewicht von 1/100 und dem ersten 1/10). Die Verwendung des geometrischen Mittels zur Aggregation von Leistungszahlen sollte nach Möglichkeit vermieden werden, da die Multiplikation von Ausführungszeiten im Gegensatz zur Addition von Zeiten wie im arithmetischen Mittel keine physikalische Bedeutung hat. Metriken, die umgekehrt proportional zur Zeit sind (speedup, IPC ), sollten mit dem harmonischen Mittel gemittelt werden.

Der geometrische Mittelwert kann aus dem verallgemeinerten Mittelwert als Grenzwert abgeleitet werden, der gegen Null geht. Ähnlich ist dies für das gewichtete geometrische Mittel möglich.

Geometrisches Mittel einer stetigen Funktion

Wenn eine stetige reellwertige Funktion ist, ist ihr geometrisches Mittel über dieses Intervall

Zum Beispiel zeigt die Identitätsfunktion über das Einheitsintervall, dass das geometrische Mittel der positiven Zahlen zwischen 0 und 1 gleich ist .

Anwendungen

Proportionales Wachstum

Das geometrische Mittel ist geeigneter als das arithmetische Mittel, um proportionales Wachstum zu beschreiben, sowohl exponentielles Wachstum (konstantes proportionales Wachstum) als auch variierendes Wachstum; In der Wirtschaft wird das geometrische Mittel der Wachstumsraten als Compound Annual Growth Rate (CAGR) bezeichnet. Das geometrische Mittel des Wachstums über Zeiträume ergibt die äquivalente konstante Wachstumsrate, die den gleichen Endbetrag ergeben würde.

Angenommen, ein Orangenbaum bringt in einem Jahr 100 Orangen und in den folgenden Jahren 180, 210 und 300, so dass das Wachstum für jedes Jahr 80%, 16.6666% bzw. 42.8571% beträgt. Unter Verwendung des arithmetischen Mittels ergibt sich ein (lineares) durchschnittliches Wachstum von 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, diese Summe dann durch 3 geteilt). Wenn wir jedoch mit 100 Orangen beginnen und sie jedes Jahr um 46,5079% wachsen lassen, sind das Ergebnis 314 Orangen, nicht 300, also gibt der lineare Durchschnitt das Wachstum im Jahresvergleich wieder.

Stattdessen können wir das geometrische Mittel verwenden. Wachsen mit 80% entspricht einer Multiplikation mit 1,80, also nehmen wir das geometrische Mittel von 1,80, 1,166666 und 1,428571, dh ; somit beträgt das „durchschnittliche“ Wachstum pro Jahr 44,2249%. Wenn wir mit 100 Orangen beginnen und die Zahl jedes Jahr um 44,2249% wachsen lassen, sind das Ergebnis 300 Orangen.

Finanziell

Das geometrische Mittel wurde von Zeit zu Zeit zur Berechnung von Finanzindizes verwendet (die Mittelung erfolgt über die Komponenten des Index). Zum Beispiel verwendete der FT 30- Index in der Vergangenheit ein geometrisches Mittel. Es wird auch in dem kürzlich eingeführten „ RPIJ-Inflationsmaß im Vereinigten Königreich und in der Europäischen Union verwendet.

Dies hat den Effekt, dass die Bewegungen im Index im Vergleich zur Verwendung des arithmetischen Mittels unterschätzt werden.

Bewerbungen in den Sozialwissenschaften

Obwohl das geometrische Mittel bei der Berechnung von Sozialstatistiken relativ selten war, wurde der Human Development Index der Vereinten Nationen ab 2010 auf diese Berechnungsmethode umgestellt, mit der Begründung, dass er die Nichtsubstituierbarkeit der erstellten und verglichenen Statistiken besser widerspiegelt:

Das geometrische Mittel verringert den Grad der Ersetzbarkeit zwischen den [verglichenen] Dimensionen und stellt gleichzeitig sicher, dass ein Rückgang der Lebenserwartung bei der Geburt um 1 Prozent den gleichen Einfluss auf den HDI hat wie ein Rückgang der Bildung oder des Einkommens um 1 Prozent. Als Grundlage für Leistungsvergleiche berücksichtigt diese Methode daher auch die intrinsischen Unterschiede zwischen den Dimensionen mehr als ein einfacher Durchschnitt.

Nicht alle Werte, die zur Berechnung des HDI (Human Development Index) verwendet werden, sind normalisiert; einige von ihnen haben stattdessen die Form . Dies macht die Wahl des geometrischen Mittels weniger offensichtlich, als man es im Abschnitt "Eigenschaften" oben erwarten würde.

Das gleichverteilte wohlfahrtsäquivalente Einkommen, das mit einem Atkinson-Index mit einem Ungleichheitsaversionsparameter von 1,0 verbunden ist, ist einfach der geometrische Mittelwert der Einkommen. Für andere Werte als eins ist der äquivalente Wert eine Lp-Norm geteilt durch die Anzahl der Elemente, wobei p gleich eins minus dem Ungleichheitsaversionsparameter ist.

Geometrie

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks von seinem rechten Winkel zu seiner Hypotenuse ist das geometrische Mittel der Längen der Segmente, in die die Hypotenuse unterteilt ist. Verwendung von Pythagoras' Theorem über die Dreiecken von 3 Seiten ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) und ( s , h , q  ) ,

Im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks ist seine Höhe die Länge einer Linie, die sich senkrecht von der Hypotenuse zu seinem 90°-Scheitelpunkt erstreckt. Stellt man sich vor, dass diese Linie die Hypotenuse in zwei Segmente teilt, ist das geometrische Mittel dieser Segmentlängen die Länge der Höhe. Diese Eigenschaft wird als geometrischer Mittelwertsatz bezeichnet .

Bei einer Ellipse ist die kleine Halbachse das geometrische Mittel der maximalen und minimalen Entfernungen der Ellipse von einem Brennpunkt ; es ist auch das geometrische Mittel der großen Halbachse und des Semilatus-Rektums . Die große Halbachse einer Ellipse ist das geometrische Mittel des Abstands vom Mittelpunkt zu einem der Brennpunkte und dem Abstand vom Mittelpunkt zu einer der Leitachsen .

Die Entfernung zum Horizont einer Kugel ist ungefähr gleich dem geometrischen Mittel der Entfernung zum nächsten Punkt der Kugel und der Entfernung zum entferntesten Punkt der Kugel, wenn die Entfernung zum nächsten Punkt der Kugel klein ist.

Sowohl bei der Approximation der Quadratur des Kreises nach SA Ramanujan (1914) als auch bei der Konstruktion des Heptadecagons nach "sent by TP Stowell, credited to Leybourn's Math. Repository, 1818" wird das geometrische Mittel verwendet.

Seitenverhältnisse

Flächengleicher Vergleich der von Kerns Powers verwendeten Seitenverhältnisse zur Ableitung des SMPTE 16:9- Standards.   Fernseher 4:3/1.33 in Rot,   1,66 in Orange,   16:9/1.7 7 in blau ,  1,85 in gelb,   Panavision /2.2 in Mauve und  CinemaScope /2.35 in Lila.

Das geometrische Mittel wurde bei der Auswahl eines Kompromiss- Seitenverhältnisses in Film und Video verwendet: Bei zwei Seitenverhältnissen bietet das geometrische Mittel einen Kompromiss zwischen ihnen, wobei beide in gewisser Weise gleichermaßen verzerrt oder beschnitten werden. Konkret schneiden sich zwei flächengleiche Rechtecke (mit derselben Mitte und parallelen Seiten) unterschiedlichen Seitenverhältnisses in einem Rechteck, dessen Seitenverhältnis das geometrische Mittel ist, und ihre Hülle (kleinstes Rechteck, das beide enthält) hat ebenfalls das Seitenverhältnis ihrer geometrisches Mittel.

Bei der Wahl des 16:9- Seitenverhältnisses durch die SMPTE , ausgleichend 2,35 und 4:3, ist das geometrische Mittel , und somit ... wurde gewählt. Dies wurde empirisch von Kerns Powers entdeckt, der Rechtecke mit gleichen Flächen ausschneidet und sie so geformt, dass sie jedem der gängigen Seitenverhältnisse entsprechen. Bei Überlappung mit ausgerichteten Mittelpunkten stellte er fest, dass alle diese Rechtecke mit Seitenverhältnis in ein äußeres Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1,77:1 passten und alle auch ein kleineres gemeinsames inneres Rechteck mit demselben Seitenverhältnis von 1,77:1 bedeckten. Der von Powers gefundene Wert ist genau das geometrische Mittel der extremen Seitenverhältnisse 4:3 (1,33:1) und CinemaScope (2,35:1), das zufällig nahe bei ( ) liegt. Die Zwischenverhältnisse haben keinen Einfluss auf das Ergebnis, nur die beiden Extremverhältnisse.   

Die Anwendung des gleichen geometrischen Mittelwerts auf 16:9 und 4:3 ergibt ungefähr das Seitenverhältnis 14:9 ( ...), das ebenfalls als Kompromiss zwischen diesen Verhältnissen verwendet wird. In diesem Fall 14: 9 ist genau das arithmetische Mittel aus und , da 14 der Durchschnitt von 16 und 12, während die genaue geometrische Mittel ist aber die beiden unterschiedlichen Mittel , arithmetische und geometrische, annähernd gleich sind, weil beide Zahlen ausreichend nahe sind , um (ein Unterschied von weniger als 2%).

Spektrale Flachheit

In der Signalverarbeitung wird die spektrale Flachheit , ein Maß dafür, wie flach oder spitz ein Spektrum ist, als das Verhältnis des geometrischen Mittels des Leistungsspektrums zu seinem arithmetischen Mittel definiert.

Antireflexbeschichtungen

Bei optischen Beschichtungen, bei denen die Reflexion zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n 0 und n 2 minimiert werden muss, ergibt sich der optimale Brechungsindex n 1 der Antireflexbeschichtung aus dem geometrischen Mittel: .

Subtraktive Farbmischung

Die spektrale Reflexionskurve für Farbmischungen (gleicher Tönungsstärke, Opazität und Verdünnung ) annähernd die geometrischen Mittel der individuellen Reflexionskurven Farben bei jeder Wellenlänge ihrer berechneten Spektren .

Bildverarbeitung

Der geometrische Mittelwertfilter wird als Rauschfilter in der Bildverarbeitung verwendet .

Siehe auch

Hinweise und Referenzen

Externe Links