Goldener Schnitt -Golden ratio

Goldener Schnitt
Linie Goldener Schnitt.svg
Liniensegmente im goldenen Schnitt
Darstellungen
Dezimal 1.618 033 988 749 894 ...
Algebraische Form
Fortgesetzter Bruch
Binär 1.1001 1110 0011 0111 0111 ...
Hexadezimal 1.9E37 79B9 7F4A 7C15 ...
Ein goldenes Rechteck mit der langen Seite a und der kurzen Seite b neben einem Quadrat mit der Seitenlänge a ergibt ein ähnliches goldenes Rechteck mit der langen Seite a + b und der kurzen Seite a . Dies verdeutlicht den Zusammenhang

In der Mathematik stehen zwei Größen im Goldenen Schnitt, wenn ihr Verhältnis gleich dem Verhältnis ihrer Summe zur größeren der beiden Größen ist. Algebraisch ausgedrückt, für Mengen und mit

wobei der griechische Buchstabe Phi ( oder ) den Goldenen Schnitt darstellt. Es ist eine irrationale Zahl , die eine Lösung der quadratischen Gleichung mit einem Wert von ist

1.618 033 988 749 .... ( OEISA001622 )

Der Goldene Schnitt wird auch Goldener Schnitt oder Goldener Schnitt genannt ( lateinisch : sectio aurea ). Andere Namen sind extremes und mittleres Verhältnis , mittlerer Schnitt , göttlicher Anteil (lateinisch: proportio divina ), göttlicher Schnitt (lateinisch: sectio divina ), goldener Anteil , goldener Schnitt und goldene Zahl .

Mathematiker seit Euklid haben die Eigenschaften des Goldenen Schnitts untersucht, einschließlich seines Auftretens in den Dimensionen eines regelmäßigen Fünfecks und in einem goldenen Rechteck , das in ein Quadrat und ein kleineres Rechteck mit demselben Seitenverhältnis geschnitten werden kann . Der Goldene Schnitt wurde auch verwendet, um die Proportionen natürlicher Objekte sowie von Menschen geschaffener Systeme wie Finanzmärkte zu analysieren , in einigen Fällen basierend auf zweifelhaften Übereinstimmungen mit Daten. Der Goldene Schnitt erscheint in einigen Mustern in der Natur , einschließlich der spiralförmigen Anordnung von Blättern und anderen Teilen der Vegetation.

Einige Künstler und Architekten des 20. Jahrhunderts , darunter Le Corbusier und Salvador Dalí , haben ihre Werke so proportioniert, dass sie sich dem Goldenen Schnitt annähern, weil sie glauben, dass dies ästhetisch ansprechend ist. Diese erscheinen oft in Form des goldenen Rechtecks , bei dem das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren der Goldene Schnitt ist.

Berechnung

Der griechische Buchstabe Phi symbolisiert den Goldenen Schnitt. Üblicherweise wird die Kleinschreibung oder verwendet. Manchmal wird die Großbuchstabenform für den Kehrwert des Goldenen Schnitts verwendet,

Zwei Mengen und sollen im Goldenen Schnitt stehen, wenn

Eine Methode, um den Wert von zu finden, besteht darin, mit dem linken Bruch zu beginnen. Durch Kürzen des Bruches und Einsetzen

Deswegen,

Multiplizieren mit ergibt

die umgestellt werden können

Unter Verwendung der quadratischen Formel erhält man zwei Lösungen:

und

Denn das Verhältnis zwischen positiven Größen ist notwendigerweise positiv. Die negative Wurzel, teilt jedoch viele Eigenschaften mit dem Goldenen Schnitt.

Geschichte

Laut Mario Livio ,

Einige der größten mathematischen Köpfe aller Zeiten, von Pythagoras und Euklid im antiken Griechenland über den mittelalterlichen italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa und den Renaissance-Astronomen Johannes Kepler bis hin zu heutigen wissenschaftlichen Persönlichkeiten wie dem Oxford-Physiker Roger Penrose , haben endlose Stunden damit verbracht über dieses einfache Verhältnis und seine Eigenschaften. ... Biologen, Künstler, Musiker, Historiker, Architekten, Psychologen und sogar Mystiker haben über die Grundlage seiner Allgegenwart und Anziehungskraft nachgedacht und diskutiert. Tatsächlich kann man wohl sagen, dass der Goldene Schnitt Denker aller Disziplinen inspiriert hat wie keine andere Zahl in der Geschichte der Mathematik.

–  Der Goldene Schnitt: Die Geschichte von Phi, der erstaunlichsten Zahl der Welt

Antike griechische Mathematiker untersuchten zuerst den Goldenen Schnitt, weil er häufig in der Geometrie vorkommt ; Die Teilung einer Linie in "extremes und mittleres Verhältnis" (der goldene Schnitt) ist wichtig in der Geometrie von regelmäßigen Pentagrammen und Fünfecken . Laut einer Geschichte entdeckte der Mathematiker Hippasus aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. , dass der Goldene Schnitt weder eine ganze Zahl noch ein Bruch (eine irrationale Zahl ) war, was die Pythagoräer überraschte . Euklids Elemente ( ca. 300 v. Chr. ) liefert mehrere Aussagen und ihre Beweise unter Verwendung des Goldenen Schnitts und enthält seine erste bekannte Definition, die wie folgt vorgeht:

Von einer geraden Linie wird gesagt, dass sie im extremen und mittleren Verhältnis geschnitten wurde, wenn, wie die ganze Linie zu dem größeren Abschnitt ist, der größere zu dem kleineren Abschnitt ist.

Michael Mästlin , der als erster eine dezimale Näherung des Verhältnisses schrieb

Der Goldene Schnitt wurde im Laufe des nächsten Jahrtausends peripher untersucht. Abu Kamil (ca. 850–930) verwendete es in seinen geometrischen Berechnungen von Fünfecken und Zehnecken; Seine Schriften beeinflussten die von Fibonacci (Leonardo von Pisa) (ca. 1170–1250), der das Verhältnis in verwandten Geometrieproblemen verwendete, obwohl er es nie mit der nach ihm benannten Zahlenreihe verband .

Luca Pacioli benannte sein Buch Divina proportione ( 1509 ) nach dem Verhältnis und untersuchte seine Eigenschaften, einschließlich seines Auftretens in einigen der platonischen Körper . Leonardo da Vinci , der das oben erwähnte Buch illustrierte, nannte das Verhältnis die sectio aurea („Goldener Schnitt“). Mathematiker des 16. Jahrhunderts wie Rafael Bombelli lösten geometrische Probleme mit dem Verhältnis.

Der deutsche Mathematiker Simon Jacob (gest. 1564) stellte fest, dass aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen zum Goldenen Schnitt konvergieren ; dies wurde 1608 von Johannes Kepler wiederentdeckt . Die erste bekannte dezimale Näherung des (umgekehrten) Goldenen Schnitts wurde 1597 von Michael Maestlin von der Universität Tübingen in einem Brief an Kepler, seinen ehemaligen Schüler, als "ungefähr" angegeben. Im selben Jahr schrieb Kepler an Maestlin über das Kepler-Dreieck , das den Goldenen Schnitt mit dem Satz des Pythagoras kombiniert . Kepler sagte dazu:

Die Geometrie hat zwei große Schätze: Der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere die Teilung einer Geraden in extremes und mittleres Verhältnis. Das erste können wir mit einer Masse Gold vergleichen, das zweite können wir ein kostbares Juwel nennen.

Die Mathematiker Abraham de Moivre , Daniel Bernoulli und Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert verwendeten eine auf dem Goldenen Schnitt basierende Formel, die den Wert einer Fibonacci-Zahl anhand ihrer Platzierung in der Folge ermittelt; 1843 wurde dies von Jacques Philippe Marie Binet wiederentdeckt , für den es "Binets Formel" genannt wurde. Martin Ohm verwendete erstmals 1835 den deutschen Begriff „ goldener Schnitt “, um das Verhältnis zu beschreiben. James Sully verwendete 1875 den entsprechenden englischen Begriff.

1910 begann der Mathematiker Mark Barr , den griechischen Buchstaben Phi ( ) als Symbol für den Goldenen Schnitt zu verwenden. Es wurde auch durch tau ( ) dargestellt, dem ersten Buchstaben des altgriechischen τομή („Schnitt“ oder „Abschnitt“).

Dan Shechtman demonstriert Quasikristalle am NIST im Jahr 1985 unter Verwendung eines Zometoy- Modells.

Das Ende der 1960er Jahre von Steve Baer entwickelte Zome -Konstruktionssystem basiert auf dem Symmetriesystem des Ikosaeders/Dodekaeders und verwendet den Goldenen Schnitt allgegenwärtig. Zwischen 1973 und 1974 entwickelte Roger Penrose Penrose-Kacheln , ein Muster, das sowohl im Verhältnis der Flächen seiner beiden rhombischen Kacheln als auch in ihrer relativen Häufigkeit innerhalb des Musters mit dem Goldenen Schnitt verwandt ist. Dies führte Anfang der 1980er Jahre zu Dan Shechtmans Entdeckung von Quasikristallen , von denen einige eine ikosaedrische Symmetrie aufweisen .

Anwendungen und Beobachtungen

Die Architektur

Der Schweizer Architekt Le Corbusier , berühmt für seine Beiträge zum modernen internationalen Stil , konzentrierte seine Designphilosophie auf Harmonie- und Proportionssysteme. Le Corbusiers Glaube an die mathematische Ordnung des Universums war eng mit dem Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Reihe verbunden, die er als „Rhythmen, die für das Auge sichtbar und in ihren Beziehungen zueinander klar sind. Und diese Rhythmen sind die eigentliche Wurzel von“ beschrieb menschliche Aktivitäten. Sie hallen im Menschen durch eine organische Unvermeidlichkeit wider, dieselbe feine Unvermeidlichkeit, die dazu führt, dass Kinder, alte Männer, Wilde und Gelehrte den Goldenen Schnitt nachzeichnen.

Le Corbusier verwendete in seinem Modulor-System ausdrücklich den Goldenen Schnitt für den Maßstab architektonischer Proportionen . Er sah dieses System als Fortsetzung der langen Tradition von Vitruv , Leonardo da Vincis „ vitruvianischem Menschen “, dem Werk von Leon Battista Alberti und anderen, die die Proportionen des menschlichen Körpers nutzten, um das Erscheinungsbild und die Funktion der Architektur zu verbessern .

Neben dem Goldenen Schnitt stützte Le Corbusier das System auf menschliche Messungen , Fibonacci-Zahlen und die doppelte Einheit. Er nahm den Vorschlag des Goldenen Schnitts in menschlichen Proportionen auf die Spitze: Er teilte die Höhe seines menschlichen Modellkörpers am Nabel mit den beiden Abschnitten im Goldenen Schnitt und unterteilte diese Abschnitte dann im Goldenen Schnitt an den Knien und am Hals; Er verwendete diese Proportionen des Goldenen Schnitts im Modulor -System. Le Corbusiers Villa Stein in Garches von 1927 war ein Beispiel für die Anwendung des Modulor-Systems. Der rechteckige Grundriss, die Ansicht und die innere Struktur der Villa kommen goldenen Rechtecken sehr nahe.

Ein anderer Schweizer Architekt, Mario Botta , basiert viele seiner Entwürfe auf geometrischen Figuren. Mehrere Privathäuser, die er in der Schweiz entworfen hat, bestehen aus Quadraten und Kreisen, Würfeln und Zylindern. In einem Haus, das er in Origlio entworfen hat, ist der Goldene Schnitt das Verhältnis zwischen dem Mittelteil und den Seitenteilen des Hauses.

Kunst

Da Vincis Illustration eines Dodekaeders aus Paciolis Divina proportione (1509)

Divina proportione ( Göttliche Proportion ), ein dreibändiges Werk von Luca Pacioli , wurde 1509 veröffentlicht. Pacioli, ein Franziskanermönch , war vor allem als Mathematiker bekannt, aber er war auch ausgebildet und sehr an Kunst interessiert. Divina proportione erforschte die Mathematik des Goldenen Schnitts. Obwohl oft gesagt wird, dass Pacioli die Anwendung des Goldenen Schnitts befürwortete, um angenehme, harmonische Proportionen zu erzielen, weist Livio darauf hin, dass die Interpretation auf einen Fehler im Jahr 1799 zurückgeführt wurde und dass Pacioli tatsächlich das vitruvianische System rationaler Proportionen befürwortete. Pacioli sah in dem Verhältnis auch eine katholische religiöse Bedeutung, was zum Titel seiner Arbeit führte.

Leonardo da Vincis Illustrationen von Polyedern in Divina-Proportionen haben einige zu Spekulationen veranlasst, dass er den Goldenen Schnitt in seine Gemälde aufgenommen hat. Aber der Vorschlag, dass seine Mona Lisa zum Beispiel Proportionen im Goldenen Schnitt verwendet, wird von Leonardos eigenen Schriften nicht unterstützt. Auch wenn der vitruvianische Mensch oft im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt dargestellt wird, stimmen die Proportionen der Figur nicht wirklich damit überein, und der Text erwähnt nur ganzzahlige Verhältnisse.

Salvador Dalí , beeinflusst von den Werken von Matila Ghyka , verwendete ausdrücklich den Goldenen Schnitt in seinem Meisterwerk Das Sakrament des letzten Abendmahls . Die Abmessungen der Leinwand sind ein goldenes Rechteck. Ein riesiger Dodekaeder, perspektivisch so, dass Kanten im goldenen Schnitt zueinander erscheinen, hängt über und hinter Jesus und dominiert die Komposition.

Eine statistische Studie über 565 Kunstwerke verschiedener großer Maler, die 1999 durchgeführt wurde, ergab, dass diese Künstler den Goldenen Schnitt bei der Größe ihrer Leinwände nicht verwendet hatten. Die Studie kam zu dem Schluss, dass das durchschnittliche Verhältnis der beiden Seiten der untersuchten Gemälde mit Durchschnittswerten für einzelne Künstler von (Goya) bis (Bellini) reicht. Auf der anderen Seite listete Pablo Tosto über 350 Werke bekannter Künstler auf, darunter mehr als 100 mit Leinwänden mit goldenem Rechteck und Proportionen und andere mit Proportionen wie und

Darstellung der Proportionen in einer mittelalterlichen Handschrift. Laut Jan Tschichold : "Seitenverhältnis 2:3. Randverhältnis 1:1:2:3. Textbereich im Goldenen Schnitt proportioniert."

Bücher und Design

Laut Jan Tschichold ,

Es gab eine Zeit, in der Abweichungen von den wirklich schönen Seitenproportionen und dem Goldenen Schnitt selten waren. Viele Bücher, die zwischen 1550 und 1770 hergestellt wurden, zeigen diese Proportionen auf einen halben Millimeter genau.

Laut einigen Quellen wird der Goldene Schnitt im alltäglichen Design verwendet, beispielsweise in den Proportionen von Spielkarten, Postkarten, Postern, Lichtschalterplatten und Breitbildfernsehern.

Flaggen

Die Flagge von Togo , deren Seitenverhältnis den Goldenen Schnitt verwendet

Das Seitenverhältnis (Verhältnis von Höhe zu Breite) der Flagge Togos liegt im Goldenen Schnitt.

Musik

Ernő Lendvai analysiert Béla Bartóks Werke als auf zwei gegensätzlichen Systemen beruhend, dem des Goldenen Schnitts und der akustischen Tonleiter , obwohl andere Musikwissenschaftler diese Analyse ablehnen. Der französische Komponist Erik Satie verwendete den Goldenen Schnitt in mehreren seiner Stücke, darunter Sonneries de la Rose+Croix . Der Goldene Schnitt zeigt sich auch in der Organisation der Abschnitte in der Musik von Debussys Reflets dans l'eau (Reflexionen im Wasser) aus Images (1. Serie, 1905), in denen "die Tonartfolge durch gekennzeichnet ist die Intervalle 34, 21, 13 und 8, und der Haupthöhepunkt sitzt an der Phi-Position".

Der Musikwissenschaftler Roy Howat hat beobachtet, dass die formalen Grenzen von Debussys La Mer genau dem Goldenen Schnitt entsprechen. Trezise findet die intrinsischen Beweise „bemerkenswert“, warnt jedoch davor, dass keine schriftlichen oder berichteten Beweise darauf hindeuten, dass Debussy bewusst nach solchen Proportionen gesucht hat.

Obwohl Heinz Bohlen die nicht oktavwiederholende 833 - Cent-Skala basierend auf Kombinationstönen vorgeschlagen hat, weist die Stimmung Beziehungen auf, die auf dem Goldenen Schnitt basieren. Als musikalisches Intervall ist das Verhältnis 1,618 ... 833,090 ... Cent ( Play ). Audio-Lautsprecher-Symbol 

Natur

Detail der Untertassenpflanze, Aeonium tabuliforme , zeigt die mehrfache spiralförmige Anordnung ( Parastichie )

Johannes Kepler schrieb: „Das Bild von Mann und Frau entspringt der göttlichen Proportion. Meiner Meinung nach stehen die Fortpflanzung der Pflanzen und die Fortpflanzungsakte der Tiere im gleichen Verhältnis“.

Der Psychologe Adolf Zeising stellte fest, dass der Goldene Schnitt in der Phyllotaxis auftauchte, und argumentierte anhand dieser Muster in der Natur , dass der Goldene Schnitt ein universelles Gesetz sei. Zeising schrieb 1854 von einem universellen orthogenetischen Gesetz des „Strebens nach Schönheit und Vollständigkeit sowohl in der Natur als auch in der Kunst“.

Einige haben jedoch argumentiert, dass viele offensichtliche Manifestationen des Goldenen Schnitts in der Natur, insbesondere in Bezug auf tierische Dimensionen, fiktiv sind.

Optimierung

Der Goldene Schnitt ist ein entscheidendes Element für die Suche nach dem Goldenen Schnitt .

Mathematik

Irrationalität

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl . Nachfolgend zwei kurze Beweise für Irrationalität:

Widerspruch von einem Ausdruck in niedrigsten Begriffen

Wenn rational wäre, dann wäre es das Verhältnis der Seiten eines Rechtecks ​​mit ganzzahligen Seiten (das Rechteck umfasst das gesamte Diagramm) . Aber es wäre auch ein Verhältnis der ganzzahligen Seiten des kleineren Rechtecks ​​(der ganz rechte Teil des Diagramms), das durch Löschen eines Quadrats erhalten wird. Die durch das Löschen von Quadraten gebildete Folge abnehmender ganzzahliger Seitenlängen kann nicht unendlich fortgesetzt werden, da die positiven ganzen Zahlen eine untere Grenze haben, also nicht rational sein können.

Erinnere dich daran:

das Ganze ist der längere Teil plus der kürzere Teil;
das Ganze verhält sich zum längeren Teil wie der längere Teil zum kürzeren Teil.

Wenn wir das Ganze und den längeren Teil nennen , wird die zweite obige Aussage

ist wie es ist

Zu sagen, dass der Goldene Schnitt rational ist, bedeutet, dass es sich um einen Bruch handelt, bei dem und ganze Zahlen sind. Wir können annehmen , in den niedrigsten Begriffen zu sein und und positiv zu sein. Aber wenn es am niedrigsten ist, dann ist das Gleichwertige noch niedriger. Das ist ein Widerspruch, der aus der rationalen Annahme folgt.

Durch Irrationalität von

Ein weiterer kurzer – vielleicht bekannterer – Beweis für die Irrationalität des Goldenen Schnitts bedient sich der Schließung rationaler Zahlen bei Addition und Multiplikation. Wenn rational ist, dann ist auch rational, was ein Widerspruch ist, wenn bereits bekannt ist, dass die Quadratwurzel einer nicht quadratischen natürlichen Zahl irrational ist.

Minimales Polynom

Der Goldene Schnitt und sein negativer Kehrwert sind die beiden Wurzeln des quadratischen Polynoms . Der negative und der reziproke Schnitt des Goldenen Schnitts sind die beiden Wurzeln des quadratischen Polynoms .

Der Goldene Schnitt ist auch eine algebraische Zahl und sogar eine algebraische ganze Zahl . Es hat ein Minimalpolynom

Dieses quadratische Polynom hat zwei Wurzeln , und

Der Goldene Schnitt ist auch eng mit dem Polynom verwandt

die Wurzeln hat und

Goldener Schnitt konjugiert

Die konjugierte Wurzel zum Minimalpolynom ist

Der Absolutwert dieser Größe ( ) entspricht dem Längenverhältnis in umgekehrter Reihenfolge (kürzere Segmentlänge gegenüber längerer Segmentlänge, ) und wird manchmal als konjugierter Goldener Schnitt oder Silberschnitt bezeichnet . Er wird hier durch den Großbuchstaben Phi ( ) gekennzeichnet:

Dies verdeutlicht die einzigartige Eigenschaft des Goldenen Schnitts unter den positiven Zahlen

oder seine Umkehrung:

Alternative Formen

Annäherungen an den reziproken Goldenen Schnitt durch endliche fortgesetzte Brüche oder Verhältnisse von Fibonacci-Zahlen

Die Formel kann rekursiv erweitert werden, um einen Kettenbruch für den Goldenen Schnitt zu erhalten:

und sein Kehrwert:

Die Konvergenten dieser fortgesetzten Brüche ( ... oder ...) sind Verhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen .

Die Gleichung ergibt ebenfalls die fortgesetzte Quadratwurzel :

Eine unendliche Reihe kann abgeleitet werden, um Folgendes auszudrücken :

Ebenfalls:

Diese entsprechen der Tatsache, dass die Länge der Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks mal der Länge seiner Seite ist, und ähnlichen Verhältnissen in einem Pentagramm .

Geometrie

Ungefähre und wahre goldene Spiralen . Die grüne Spirale besteht aus Viertelkreisen, die das Innere jedes Quadrats berühren, während die rote Spirale eine Goldene Spirale ist, eine spezielle Art von logarithmischer Spirale . Überlappende Teile erscheinen gelb . Die Seitenlänge eines Quadrats dividiert durch die des nächstkleineren Quadrats ist der Goldene Schnitt.

Die Zahl taucht oft in der Geometrie auf , besonders in Figuren mit fünfeckiger Symmetrie . Die Länge der Diagonale eines regulären Fünfecks ist mal seiner Seite. Die Ecken eines regelmäßigen Ikosaeders sind die von drei zueinander orthogonalen goldenen Rechtecken.

Es gibt keinen bekannten allgemeinen Algorithmus , um eine gegebene Anzahl von Knoten gleichmäßig auf einer Kugel anzuordnen, für irgendeine von mehreren Definitionen der gleichmäßigen Verteilung (siehe zum Beispiel Thomson-Problem oder Tammes-Problem ). Eine nützliche Annäherung ergibt sich jedoch aus der Unterteilung der Kugel in parallele Bänder mit gleicher Oberfläche und der Platzierung eines Knotens in jedem Band an Längengraden, die durch einen goldenen Abschnitt des Kreises beabstandet sind, dh. Diese Methode wurde verwendet, um die 1500 Spiegel der studentischen Beteiligung anzuordnen Satellit Starshine-3 .

Teilen eines Liniensegments durch innere Teilung

Teilen eines Liniensegments durch innere Teilung gemäß dem Goldenen Schnitt
  1. Mit einem Liniensegment konstruieren Sie eine Senkrechte an einem Punkt mit der halben Länge von Zeichnen Sie die Hypotenuse
  2. Zeichnen Sie einen Bogen mit Mittelpunkt und Radius. Dieser Bogen schneidet die Hypotenuse im Punkt
  3. Zeichnen Sie einen Bogen mit Mittelpunkt und Radius . Dieser Bogen schneidet das ursprüngliche Liniensegment am Punkt Punkt teilt das ursprüngliche Liniensegment in Liniensegmente und mit Längen im goldenen Schnitt.

Teilen eines Liniensegments durch äußere Teilung

Teilen eines Liniensegments durch äußere Teilung gemäß dem Goldenen Schnitt
  1. Zeichnen Sie eine Strecke und konstruieren Sie aus dem Punkt eine Strecke senkrecht zu und mit der gleichen Länge wie
  2. Halbieren Sie das Liniensegment mit
  3. Ein Kreisbogen rund mit Radius schneidet im Punkt die Gerade durch die Punkte und (auch bekannt als Verlängerung von ). Das Verhältnis von zum konstruierten Segment ist der Goldene Schnitt.

Anwendungsbeispiele sehen Sie in den Artikeln Fünfeck mit vorgegebener Seitenlänge , Zehneck mit vorgegebenem Umkreis und Zehneck mit vorgegebener Seitenlänge .

Die beiden oben gezeigten unterschiedlichen Algorithmen erzeugen geometrische Konstruktionen , die zwei ausgerichtete Liniensegmente bestimmen, wobei das Verhältnis des längeren zum kürzeren der Goldene Schnitt ist.

Goldenes Dreieck, Fünfeck und Pentagramm

Goldenes Dreieck . Der doppelt rot gewölbte Winkel ist oder Radiant.
Goldenes Dreieck

Das goldene Dreieck kann als gleichschenkliges Dreieck mit der Eigenschaft charakterisiert werden, dass die Halbierung des Winkels ein neues Dreieck erzeugt , das ein ähnliches Dreieck wie das Original ist.

Wenn Winkel dann wegen der Halbierung und wegen der ähnlichen Dreiecke; von der ursprünglichen gleichschenkligen Symmetrie und durch Ähnlichkeit. Die Winkel in einem Dreieck summieren sich zu so ergeben Die Winkel des goldenen Dreiecks sind also – – Die Winkel des verbleibenden stumpfen gleichschenkligen Dreiecks (manchmal auch als goldener Gnomon bezeichnet) sind – –

Angenommen , es hat Länge und wir nennen es Länge . Wegen der gleichschenkligen Dreiecke sind diese auch Länge . Länge ist daher gleich . Aber Dreieck ist ähnlich wie Dreieck so und so ist auch gleich . Dies bestätigt also, dass es sich tatsächlich um den Goldenen Schnitt handelt.

In ähnlicher Weise ist das Verhältnis der Fläche des größeren Dreiecks zum kleineren gleich, während das umgekehrte Verhältnis ist

Pentagon

In einem regelmäßigen Fünfeck ist das Verhältnis einer Diagonale zu einer Seite der Goldene Schnitt, während sich schneidende Diagonalen im Goldenen Schnitt schneiden.

Odoms Konstruktion
Seien und Mittelpunkte der Seiten und eines gleichseitigen Dreiecks , das sich erstreckt, um den Kreis von at zu treffen

George Odom hat eine bemerkenswert einfache Konstruktion für die Einbeziehung eines gleichseitigen Dreiecks angegeben: Wenn ein gleichseitiges Dreieck in einen Kreis einbeschrieben wird und das Liniensegment, das die Mittelpunkte zweier Seiten verbindet, so erzeugt wird, dass es den Kreis in einem von zwei Punkten schneidet, dann sind diese drei Punkte im goldenen Verhältnis. Dieses Ergebnis ist eine einfache Folge des Satzes über sich überschneidende Akkorde und kann verwendet werden, um ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, eine Konstruktion, die die Aufmerksamkeit des bekannten kanadischen Geometers HSM Coxeter auf sich zog , der sie in Odoms Namen als Diagramm im American Mathematical Monthly veröffentlichte begleitet von das einzige Wort "Siehe!"

Pentagramm
Ein Pentagramm, das farbig ist, um seine Liniensegmente unterschiedlicher Länge zu unterscheiden. Die vier Längen stehen im goldenen Schnitt zueinander.

Der Goldene Schnitt spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie von Pentagrammen . Jeder Schnittpunkt von Kanten schneidet andere Kanten im Goldenen Schnitt. Auch das Verhältnis der Länge des kürzeren Segments zu dem Segment, das durch die beiden sich schneidenden Kanten (eine Seite des Fünfecks in der Mitte des Pentagramms) begrenzt wird , ist so, wie die vierfarbige Abbildung zeigt.

Das Pentagramm enthält zehn gleichschenklige Dreiecke : fünf spitze und fünf stumpfe gleichschenklige Dreiecke. Bei allen ist das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren Seite Die spitzen Dreiecke sind goldene Dreiecke. Die stumpfen gleichschenkligen Dreiecke sind goldene Gnomons.

Satz des Ptolemäus

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts eines regulären Fünfecks können bestätigt werden, indem der Satz von Ptolemäus auf das Viereck angewendet wird, das durch Entfernen einer seiner Ecken gebildet wird. Wenn die lange Kante und die Diagonalen des Vierecks und die kurzen Kanten sind , dann gibt der Satz von Ptolemäus an, was ergibt

Skalierung von Dreiecken

Betrachten Sie ein Dreieck mit Seitenlängen und in absteigender Reihenfolge. Definieren Sie die "Skalierbarkeit" des Dreiecks als das kleinere der beiden Verhältnisse und Die Skalenität ist immer kleiner als und kann so nahe wie gewünscht gemacht werden

Dreieck, dessen Seiten eine geometrische Folge bilden

Wenn die Seitenlängen eines Dreiecks eine geometrische Folge bilden und in dem Verhältnis stehen, wo das gemeinsame Verhältnis ist, dann müssen sie als Folge der Dreiecksungleichung in dem Bereich liegen (die Summe zweier Seiten eines Dreiecks muss unbedingt größer sein als die Länge der dritten Seite). Wenn dann die beiden Seiten kürzer sind und ihre Summe so ist Eine ähnliche Rechnung zeigt: Ein Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis stehen, ist ein rechtwinkliges Dreieck (weil ), bekannt als Kepler-Dreieck .

Goldenes Dreieck, Raute und rhombischer Triacontaeder

Eine der Rauten des rhombischen Triacontaeders
Alle Flächen des rhombischen Triacontaeders sind goldene Rauten

Eine goldene Raute ist eine Raute , deren Diagonalen im goldenen Schnitt liegen. Das rhombische Triacontaeder ist ein konvexes Polytop mit einer ganz besonderen Eigenschaft: Alle seine Flächen sind goldene Rauten. Beim rhombischen Triacontaeder beträgt der Flächenwinkel zwischen zwei benachbarten Rhomben das Doppelte des gleichschenkligen Winkels eines goldenen Dreiecks und das Vierfache seines spitzesten Winkels.

Beziehung zur Fibonacci-Folge

Die Mathematik des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Folge sind eng miteinander verbunden. Die Fibonacci-Folge lautet:

...

Ein geschlossener Ausdruck für die Fibonacci-Folge beinhaltet den Goldenen Schnitt:

Eine Fibonacci-Spirale , die sich der goldenen Spirale annähert, wobei Fibonacci-Folgen-Quadratgrößen bis zu verwendet werden . Die Spirale wird ausgehend vom inneren Quadrat gezeichnet und setzt sich nach außen zu sukzessive größeren Quadraten fort.

Der Goldene Schnitt ist die Grenze der Verhältnisse aufeinanderfolgender Terme der Fibonacci-Folge (oder jeder Fibonacci-ähnlichen Folge), wie von Kepler gezeigt :

Mit anderen Worten, wenn eine Fibonacci-Zahl durch ihren unmittelbaren Vorgänger in der Sequenz dividiert wird , nähert sich der Quotient z .

Allgemeiner

wobei oben die Verhältnisse aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge ein Fall sind, wenn

Darüber hinaus gehorchen die aufeinanderfolgenden Potenzen der Fibonacci- Rekursion

Diese Identität ermöglicht es, jedes Polynom in auf einen linearen Ausdruck zu reduzieren. Zum Beispiel:

Die Reduktion auf einen linearen Ausdruck kann in einem Schritt durch Verwendung der Beziehung erreicht werden

wo ist die te Fibonacci-Zahl.

Dies ist jedoch keine besondere Eigenschaft von, da Polynome in jeder Lösung einer quadratischen Gleichung auf analoge Weise reduziert werden können, indem man anwendet:

für gegebene Koeffizienten so, dass die Gleichung erfüllt wird. Noch allgemeiner kann jede rationale Funktion (mit rationalen Koeffizienten) der Wurzel eines irreduziblen Polynoms 1. Grades über den Rationalen auf ein feldtheoretisch formuliertes Polynom des Grades reduziert werden , wenn es eine Wurzel eines irreduziblen 1. Grades ist Polynom, dann hat Grad über mit Basis

Symmetrien

Der Goldene Schnitt und der umgekehrte Goldene Schnitt haben eine Reihe von Symmetrien, die sie bewahren und miteinander in Beziehung setzen. Sie bleiben beide durch die gebrochenen linearen Transformationen erhalten – diese Tatsache entspricht der Identität und der Definition quadratischer Gleichung. Außerdem sind sie durch die drei Abbildungen vertauscht – sie sind reziprok, symmetrisch und (projektiv) symmetrisch

Genauer gesagt bilden diese Karten eine Untergruppe der modularen Gruppe , die isomorph zur symmetrischen Gruppe auf Buchstaben ist, die dem Stabilisator der Menge von Standardpunkten auf der projektiven Linie entspricht, und die Symmetrien entsprechen der Quotientenkarte – der Untergruppe , die aus der Identität besteht und die -Zyklen in der Zyklusnotation fixieren die beiden Zahlen, während die -Zyklen diese vertauschen und so die Karte realisieren.

Andere Eigenschaften

Der Goldene Schnitt hat den einfachsten Ausdruck (und die langsamste Konvergenz) als fortgesetzte Brucherweiterung einer beliebigen irrationalen Zahl (siehe Alternative Formen oben). Aus diesem Grund ist es einer der schlimmsten Fälle des Lagrangeschen Näherungssatzes und ein Extremfall der Hurwitz-Ungleichung für diophantische Näherungen . Dies kann der Grund dafür sein, dass bei der Phyllotaxis häufig Winkel nahe dem Goldenen Schnitt auftreten .

Das definierende quadratische Polynom und die konjugierte Beziehung führen zu Dezimalwerten, die ihren Bruchteil gemeinsam haben mit :

Die Folge der Potenzen von enthält diese Werte allgemeiner, jede Potenz von ist gleich der Summe der beiden unmittelbar vorhergehenden Potenzen:

Infolgedessen kann man jede Potenz von leicht in ein Vielfaches von und eine Konstante zerlegen. Das Vielfache und die Konstante sind immer benachbarte Fibonacci-Zahlen. Dies führt zu einer weiteren Eigenschaft der positiven Potenzen von :

Wenn dann:

Der Goldene Schnitt ist eine Grundeinheit des algebraischen Zahlenkörpers und eine Pisot-Vijayaraghavan-Zahl . Im Feld haben wir wo ist die -te Lucas-Zahl .

Wenn der Goldene Schnitt als Basis eines Zahlensystems verwendet wird (siehe Goldener Schnitt base , manchmal auch phinary oder -nary genannt ), haben quadratische ganze Zahlen im Ring – d. h. Zahlen in der Form for – endende Darstellungen, rationale Brüche jedoch nicht terminierende Darstellungen.

Der Goldene Schnitt erscheint auch in der hyperbolischen Geometrie als der maximale Abstand von einem Punkt auf einer Seite eines idealen Dreiecks zur näheren der beiden anderen Seiten: dieser Abstand ist die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks , das durch die Tangentialpunkte von a gebildet wird Kreis, der in das ideale Dreieck eingeschrieben ist, ist

Der Goldene Schnitt taucht auch in der Theorie der modularen Funktionen auf. Für , lassen Sie

Dann

und

wobei und im fortgesetzten Bruch als ausgewertet werden sollten . Die Funktion ist invariant unter , einer Kongruenzuntergruppe der modularen Gruppe . Auch für positive reelle Zahlen und dann

und

Für die Gammafunktion sind die einzigen Lösungen der Gleichung Γ( z − 1) = Γ( z + 1) z = φ und z = −1/ φ .

Dezimale Erweiterung

Die Dezimalerweiterung des Goldenen Schnitts kann aus dem Ausdruck berechnet werden

mit 2.236 067 977 .... OEISA002163 . Die Quadratwurzel von kann über die babylonische Methode berechnet werden , beginnend mit einer anfänglichen Schätzung wieund Iteration

denn bis die Differenz zwischen und auf die gewünschte Anzahl von Ziffern null wird. Dann

Der babylonische Algorithmus für entspricht der Newtonschen Methode zur Lösung der Gleichung und konvergiert quadratisch , was bedeutet, dass die Anzahl der richtigen Ziffern bei jeder Iteration ungefähr verdoppelt wird.

Um die rechenintensive Divisionsoperation zu vermeiden, kann stattdessen das Newton-Verfahren verwendet werden, um die Gleichung für die Wurzel Then und den Aktualisierungsschritt zu lösen

Alternativ kann das Newton-Verfahren direkt auf jede Gleichung angewendet werden, die den Goldenen Schnitt als Lösung hat, wie z. B. In diesem Fall, und der Aktualisierungsschritt ist

Die Methode von Halley hat eine kubische Konvergenz (ungefähr eine Verdreifachung der Anzahl korrekter Ziffern bei jeder Iteration), kann jedoch für die praktische Berechnung langsamer sein, da jeder Schritt mehr Arbeit erfordert. Zu lösen ist der Update-Schritt

Der Goldene Schnitt lässt sich also relativ einfach mit beliebiger Genauigkeit berechnen . Die Zeit, die benötigt wird, um Ziffern des Goldenen Schnitts zu berechnen, ist proportional zu der Zeit, die benötigt wird, um zweistellige Zahlen zu dividieren. Dies ist erheblich schneller als bekannte Algorithmen für die transzendenten Zahlen und .

Eine einfach zu programmierende Alternative, die nur ganzzahlige Arithmetik verwendet, besteht darin, zwei große aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen zu berechnen und sie zu dividieren. Das Verhältnis von Fibonacci-Zahlen und jeweils über Ziffern ergibt über signifikante Ziffern des Goldenen Schnitts.

Die Dezimalerweiterung des Goldenen Schnitts wurde mit einer Genauigkeit von zehn Billionen ( ) Stellen berechnet.

Pyramiden

Eine regelmäßige quadratische Pyramide wird durch ihr mittleres rechtwinkliges Dreieck bestimmt, dessen Kanten das Apothem ( ), die Halbbasis ( ) und die Höhe ( ) der Pyramide sind; der Gesichtsneigungswinkel ist ebenfalls markiert. Mathematische Proportionen von und und sind in Bezug auf ägyptische Pyramiden von besonderem Interesse.

Sowohl ägyptische Pyramiden als auch die ihnen ähnelnden regulären quadratischen Pyramiden können in Bezug auf den Goldenen Schnitt und andere Verhältnisse analysiert werden.

Mathematische Pyramiden

Eine Pyramide, bei der das Apothem (schräge Höhe entlang der Winkelhalbierenden eines Gesichts) gleich der halben Basis (halbe Basisbreite) ist, wird manchmal als goldene Pyramide bezeichnet . Das gleichschenklige Dreieck, das die Fläche einer solchen Pyramide darstellt, kann aus den beiden Hälften eines diagonal geteilten goldenen Rechtecks ​​​​(der Größe Halbbasis durch Apothem) konstruiert werden, wobei die mittellangen Kanten verbunden werden, um das Apothem zu bilden. Die Höhe dieser Pyramide ist mal die Halbbasis (das heißt, die Neigung der Fläche ist ); Das Quadrat der Höhe ist gleich der Fläche eines Gesichts mal dem Quadrat der Halbbasis. Das mittlere rechtwinklige Dreieck dieser "goldenen" Pyramide (siehe Diagramm) mit Seiten ist für sich interessant und demonstriert über den Satz des Pythagoras die Beziehung oder Dieses Kepler-Dreieck ist das einzige rechtwinklige Dreiecksverhältnis mit Kantenlängen in geometrischer Progression Das Dreieck ist das einzige rechtwinklige Dreiecksverhältnis mit Kantenlängen in arithmetischer Progression . Der Winkel mit Tangente entspricht dem Winkel, den die Seite der Pyramide in Bezug auf den Boden bildet ( ).

Eine fast ähnliche Pyramidenform, aber mit rationalen Proportionen, wird im Rhind Mathematical Papyrus (die Quelle eines großen Teils des modernen Wissens der altägyptischen Mathematik ) beschrieben, basierend auf dem Dreieck; die dem Winkel mit der Tangente entsprechende Flächenneigung ist mit zwei Dezimalstellen ( ). Die Schräghöhe oder das Apothem ist mal die Halbbasis. Der Rhind-Papyrus hat auch ein anderes Pyramidenproblem, wieder mit rationaler Neigung (ausgedrückt als überfahrener Anstieg). Die ägyptische Mathematik enthielt nicht den Begriff irrationaler Zahlen, und beim Bau von Pyramiden wurde die rationale umgekehrte Steigung (Lauf / Anstieg, multipliziert mit einem Faktor von , um sie in ihre herkömmlichen Einheiten von Palmen pro Elle umzuwandeln) verwendet.

Ägyptische Pyramiden, die diesen mathematischen Pyramiden sehr ähnlich sind, sind bekannt.

ägyptische Pyramiden

Eine ägyptische Pyramide, die einer „goldenen Pyramide“ nahe kommt, ist die Große Pyramide von Gizeh (auch bekannt als Cheops- oder Khufu-Pyramide). Ihre Neigung liegt nahe an der „goldenen“ Pyramidenneigung – und sogar noch näher an der auf - basierenden Pyramidenneigung . Mehrere andere mathematische Theorien über die Form der großen Pyramide, die auf rationalen Neigungen basieren, haben jedoch herausgefunden, dass beides mehr ist genauere und plausiblere Erklärungen für die Steigung.

Mitte des 19. Jahrhunderts untersuchte Friedrich Röber verschiedene ägyptische Pyramiden, darunter die von Chephren , Mykerinos und einige der Gruppen von Gizeh , Saqqara und Abusir . Er wendete den Goldenen Schnitt nicht auf die Große Pyramide von Gizeh an, sondern stimmte stattdessen mit John Shae Perring darin überein , dass sein Seiten-Höhen-Verhältnis gleich ist oder halbe Seitenlängen werden durch den Goldenen Schnitt mit ihrer Höhe in Beziehung gesetzt.

Im Jahr 1859 interpretierte der Pyramidologe John Taylor Herodot ( ca. 440 v. Chr. ) falsch als Hinweis darauf, dass die Höhe der Großen Pyramide im Quadrat der Fläche eines ihrer Dreiecke entspricht. Dies veranlasste Taylor zu der Behauptung, dass der goldene Schnitt in der Großen Pyramide durch das Verhältnis der Länge der Fläche (der Neigungshöhe, die in einem Winkel zum Boden geneigt ist) zur halben Länge der Seite der quadratischen Basis dargestellt wird (entspricht der Sekante des Winkels ). Die beiden obigen Längen betragen etwa 186,4 Meter (612 Fuß) bzw. 115,2 Meter (378 Fuß). Das Verhältnis dieser Längen ist der goldene Schnitt, der auf mehr Stellen genau ist als jede der ursprünglichen Messungen. In ähnlicher Weise berichtete Howard Vyse über die Höhe der großen Pyramide von 148,2 Metern (486 Fuß) und die Halbbasis von 116,4 Metern (382 Fuß), was für das Verhältnis der Schräghöhe zur Halbbasis wiederum genauer war als die Datenvariabilität.

Eric Temple Bell , Mathematiker und Historiker, behauptete 1950, dass die ägyptische Mathematik die Fähigkeit zur Berechnung der schrägen Höhe der Pyramiden oder des Verhältnisses zur Höhe nicht unterstützt hätte, außer im Fall der Pyramide, da das Dreieck das einzige war rechtwinkliges Dreieck, das den Ägyptern bekannt war, und sie kannten weder den Satz des Pythagoras noch irgendeine Möglichkeit, über Irrationale wie oder zu argumentieren.

Michael Rice behauptet, dass die wichtigsten Autoritäten der Geschichte der ägyptischen Architektur argumentiert haben, dass die Ägypter mit dem Goldenen Schnitt gut vertraut waren und dass er Teil der Mathematik der Pyramiden ist, und zitiert Giedon (1957). Wissenschaftshistoriker haben lange darüber diskutiert, ob die Ägypter über ein solches Wissen verfügten, und behaupteten, dass sein Erscheinen in der Großen Pyramide das Ergebnis eines Zufalls sei.

Umstrittene Beobachtungen

Beispiele für umstrittene Beobachtungen des Goldenen Schnitts sind:

Meeresschnecken werden oft fälschlicherweise als goldproportioniert bezeichnet .
  • Es wird oft behauptet, dass einige spezifische Proportionen in den Körpern vieler Tiere (einschließlich Menschen) und Teile der Schalen von Mollusken im Goldenen Schnitt liegen. Es gibt jedoch große Unterschiede in den realen Maßen dieser Elemente bei bestimmten Personen, und der fragliche Anteil weicht oft erheblich vom Goldenen Schnitt ab. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Phalangealknochen der Ziffern und des Mittelhandknochens soll sich dem Goldenen Schnitt annähern. Die Nautilusmuschel , deren Konstruktion in einer logarithmischen Spirale verläuft, wird oft zitiert, normalerweise mit der Idee, dass jede logarithmische Spirale mit dem Goldenen Schnitt zusammenhängt, aber manchmal mit der Behauptung, dass jede neue Kammer im Verhältnis zur vorherigen goldene Proportionen hat ein. Messungen an Meeresschnecken stützen diese Behauptung jedoch nicht.
  • Der Historiker John Man gibt an, dass sowohl die Seiten als auch der Textbereich der Gutenberg-Bibel "auf der Form des Goldenen Schnitts basierten". Allerdings stimmt nach eigenen Maßen das Verhältnis von Höhe zu Breite der Seiten
  • Studien von Psychologen, beginnend mit Gustav Fechner c. 1876 ​​wurden entwickelt, um die Idee zu testen, dass der Goldene Schnitt eine Rolle bei der menschlichen Wahrnehmung von Schönheit spielt . Während Fechner eine Vorliebe für Rechteckverhältnisse fand, die auf dem Goldenen Schnitt zentriert waren, waren spätere Versuche, eine solche Hypothese sorgfältig zu testen, bestenfalls nicht schlüssig.
  • Beim Investieren verwenden einige Praktiker der technischen Analyse den Goldenen Schnitt, um die Unterstützung eines Preisniveaus oder den Widerstand gegen Preiserhöhungen einer Aktie oder eines Rohstoffs anzuzeigen; Nach signifikanten Preisänderungen nach oben oder unten werden angeblich neue Unterstützungs- und Widerstandsniveaus zu oder in der Nähe von Preisen gefunden, die über den Goldenen Schnitt mit dem Startpreis in Verbindung stehen. Die Verwendung des Goldenen Schnitts beim Investieren hängt auch mit komplizierteren Mustern zusammen, die durch Fibonacci-Zahlen beschrieben werden (z. B. Elliott-Wellen-Prinzip und Fibonacci-Retracement ). Andere Marktanalysten haben jedoch Analysen veröffentlicht, die darauf hindeuten, dass diese Prozentsätze und Muster nicht durch die Daten gestützt werden.

Das Parthenon

Viele der Proportionen des Parthenon sollen angeblich den Goldenen Schnitt aufweisen, was jedoch weitgehend diskreditiert wurde.

Einige sagen, dass die Fassade des Parthenon (ca. 432 v. Chr.) sowie Elemente seiner Fassade und anderswo von goldenen Rechtecken umgeben sind. Andere Gelehrte bestreiten, dass die Griechen irgendeine ästhetische Verbindung zum Goldenen Schnitt hatten. Zum Beispiel sagt Keith Devlin : „Sicherlich wird die oft wiederholte Behauptung, dass der Parthenon in Athen auf dem Goldenen Schnitt basiert, nicht durch tatsächliche Messungen gestützt. Tatsächlich scheint die ganze Geschichte über die Griechen und den Goldenen Schnitt jeder Grundlage zu entbehren. " Midhat J. Gazalé bestätigt: "Erst bis Euklid ... wurden die mathematischen Eigenschaften des Goldenen Schnitts untersucht."

Aus Messungen von 15 Tempeln, 18 monumentalen Gräbern, 8 Sarkophagen und 58 Grabstelen aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. bis zum 2. Jahrhundert n. Chr. kam ein Forscher zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt in der griechischen Architektur des klassischen 5. Jahrhunderts v. Chr. völlig fehlte, und fast abwesend in den folgenden sechs Jahrhunderten. Spätere Quellen wie Vitruv (1. Jh. v. Chr.) diskutieren ausschließlich Proportionen, die in ganzen Zahlen ausgedrückt werden können, dh proportionale Proportionen im Gegensatz zu irrationalen Proportionen.

Moderne Kunst

Die Section d'Or ("Goldener Schnitt") war ein Kollektiv von Malern , Bildhauern, Dichtern und Kritikern, die mit Kubismus und Orphismus in Verbindung gebracht wurden . Sie waren von 1911 bis etwa 1914 aktiv und nahmen den Namen an, um zu betonen, dass der Kubismus eher die Fortsetzung einer großen Tradition als eine isolierte Bewegung darstellt, und als Hommage an die mathematische Harmonie, die mit Georges Seurat verbunden ist . Die Kubisten beobachteten in seiner Harmonik, geometrischen Strukturierung von Bewegung und Form, den Primat der Idee über die Natur, eine absolut wissenschaftliche Klarheit der Vorstellung. Trotz dieses allgemeinen Interesses an mathematischer Harmonie ist es jedoch schwieriger zu bestimmen , ob die Gemälde, die in der berühmten Ausstellung Salon de la Section d'Or von 1912 gezeigt wurden, den Goldenen Schnitt in irgendwelchen Kompositionen verwendeten. Livio zum Beispiel behauptet, dass sie es nicht getan hätten, und Marcel Duchamp sagte dies in einem Interview. Andererseits deutet eine Analyse darauf hin, dass Juan Gris den Goldenen Schnitt beim Komponieren von Werken verwendet hat, die wahrscheinlich, aber nicht endgültig auf der Ausstellung gezeigt wurden. Der Kunsthistoriker Daniel Robbins hat argumentiert, dass sich der Name der Ausstellung nicht nur auf den mathematischen Begriff bezieht, sondern auch auf die frühere Bandeaux d'Or -Gruppe, an der Albert Gleizes und andere ehemalige Mitglieder der Abbaye de Créteil beteiligt waren.

Piet Mondrian soll den Goldenen Schnitt ausgiebig in seinen geometrischen Gemälden verwendet haben, obwohl andere Experten (einschließlich des Kritikers Yve-Alain Bois ) diese Behauptungen widerlegt haben.

Siehe auch

Verweise

Erklärende Fußnoten

Zitate

Zitierte Werke

Weiterlesen

Externe Links